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Institut Montjoie Mathématique 6ème année – 6h M. Decamps

dossier de révision

examen de décembre

Consignes pour l’examen

Matériel

Calculatrice (non graphique) Stylo, équerre, compas, crayon, gomme, couleurs

Déroulement de l’examen

Examen écrit de 4 heures


1 Exponentielles et logarithmes Rappel : Définitions et propriétés des puissances

Puissance négative :

𝒙−𝒑 =𝟏

𝒙𝒑

Par exemple,

𝑥−1 =1

𝑥 , 𝑥−2 =

1

𝑥2

Puissance fractionnaire :

𝒙𝒑𝒒 = √𝒙𝒑𝒒

Par exemple,

𝑥1

2 = √𝑥, 𝑥1

3 = √𝑥3

, 𝑥2

5 = √𝑥25

Puissance négative et fractionnaire :

𝒙−𝒑𝒒 = √

𝟏

𝒙𝒑

𝒒

Par exemple,

𝑥−1

2 = √1

𝑥 𝑥−

2

3 = √1

𝑥2

3

𝒙𝒑. 𝒙𝒒 = 𝒙𝒑+𝒒

𝒙𝒑

𝒙𝒒= 𝒙𝒑−𝒒

(𝒙. 𝒚)𝒑 = 𝒙𝒑. 𝒚𝒑

[𝒙

𝒚]𝒑

=𝒙𝒑

𝒚𝒑

[𝒙𝒑]𝒒 = 𝒙𝒑.𝒒

1.1 Equations exponentielles Pas de CE (condition d’existence) car 𝑑𝑜𝑚 exp𝑎 𝑥 = ℝ

Exemples :

1) 35𝑥+1 = 32−4𝑥 Si on a une égalité de 2 exponentielles de même base (ici a=3), on égale les exposants.

⇔ 5𝑥 + 1 = 2 − 4𝑥 ⇔ 9𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 1/9 𝑆 = {1/9}

2) 22𝑥 = 1/4

On se ramène à une égalité de 2 exponentielles de même base (ici a=2) : ⇔ 22𝑥 = 2−2

On égale les exposants ⇔ 2𝑥 = −2 ⇔ 𝑥 = −1 𝑆 = {−1}

3) 3. (1

3)𝑥 = 9

On utilise les propriétés des puissances : ⇔ 31. (3−1)𝑥 = 3²

⇔ 31. 3−𝑥 = 3²

⇔ 31−𝑥 = 3²

On égale les exposants ⇔ 1 − 𝑥 = 2 ⇔ 𝑥 = −1 𝑆 = {−1}


Exercice 1. (P2) Résous les équations suivantes.

a. 26𝑥 – 22𝑥−1 = 0

b. 35𝑥 =1

27

c. 52𝑥+1 = 5𝑥

d. 16𝑥 =1

42𝑥+2

e. 5 (1

25)𝑥

= 125

f. 23𝑥+1 =1

8


Exercice 2. (P3) Une population de bactéries double toutes les heures. A l’heure 𝑥 = 1, il y a

deux bactéries. Exprime le nombre de bactéries en fonction du nombre d’heures écoulées.

Détermine en résolvant une équation exponentielle après combien d’heures il y a 64 bactéries ?

1.2 Inéquations exponentielles Pas de CE (condition d’existence) 𝑑𝑜𝑚 exp𝑎 𝑥 = ℝ

Exemples :

1) (0,2)3𝑥+4 < (0,2)5𝑥+1

On change le sens de l’inégalité car la fonction exp0,2 est décroissante, c’est-à-dire que si la

valeur de l’exponentielle augmente, l’abscisse de la fonction (exposant) diminue

⇔ 3𝑥 + 4 > 5𝑥 + 1

⇔ −2𝑥 > 5

⇔ 𝑥 < −5

2

𝑆 = ←,−5

2[

2) 32𝑥+1 ≥1

9

⇔ 32𝑥+1 ≥ 3−2

On ne change pas le sens de l’inégalité car la fonction exp3 est croissante, c’est-à-dire que si la

valeur de l’exponentielle augmente, l’abscisse de la fonction (exposant) augmente.

⇔ 2𝑥 − 1 ≥ −2

⇔ 2𝑥 ≥ −3

⇔ 𝑥 ≥ −3

2

𝑆 = [−3

2,→


Exercice 3. (P2) Résous les inéquations suivantes.

a. 42𝑥+2 >1

16

b. 2𝑥+5 − 28 ≥ 0

c. 53𝑥+2 < 52𝑥+1

d. [1

1000]𝑥

> 10

e. 563𝑥−1 > 1

f. 0,1𝑥+5 − [1

0.01]8≥ 0

g. 43𝑥 < 4

h. [1

3]𝑥

> 9


1.3 Fonctions logarithmes : définition et exemples 1) log2 : ℝ0

+ → ℝ

x → y = log2x ⇔ 2y = x

log22 = 1 car 21 = 2

log28 = 3 car 23 = 8

log21

2= −1 car 2−1 =

1

2

log2√645

=6

5 car 2

6

5 = √265 = √64

5

2) log1/2 : ℝ0+ → ℝ

x → y = log1/2x ⇔ (1 2⁄ )y = x

log1/22 = −1 car (1 2⁄ )−1 = 2

log1/21

√8=

3

2 car (1 2⁄ )

3

2 = (1 2⁄ 3)

1

2 = (1

8)

1

2=

1

√8

log1/264 = −6 car (1 2⁄ )−6 = ((1 2⁄ )−1)6 = (2)6 = 64

log1/2√43

= −2

3 car (1 2⁄ )−

2

3 = ((1 2⁄ )−2)1

3 = (22)1

3 = √43

Exercice 4. (P2) Calcule sans calculatrice :

a. log5 1 = car :

b. log5 25 = car :

c. log51

25= car :

d. log5 √1254

= car :

e. log1

5

1 = car :

f. log1

5

25 = car :

g. log1

5

1

25= car :

h. log1

5

√1254

= car :


1.4 Fonctions logarithmes : propriétés

Logarithme d’un produit log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦

Logarithme d’une puissance log𝑎 𝑥𝑟 = 𝑟 ∙ log𝑎 𝑥

Logarithme d’un quotient

log𝑎 (𝑥

𝑦) = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦

Changement de base log𝑎 𝑥 =log𝑏 𝑥

log𝑏 𝑎

Exercice 5. (P2) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 3 et/ou log 7, en utilisant

uniquement les propriétés des logarithmes. Ecris la propriété utilisée appliquée à l’exercice.

Sachant que log 3 = 0.477 et log 5 =0.845, détermine le résultat avec ta calculatrice.

a. log 21 =

b. log 49 =

c. log7

3=

d. log 63 =

Exercice 6. (P2) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule

appliquée à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.

a. log0.8 23 =

b. log0.2 18 =

c. log2 1000 =

d. log2.4 𝜋 =


1.5 Equations logarithmiques Il faut tout d’abord déterminer les conditions d’existence (CE) car le domaine de la fonction

logarithme est ℝ0+. Il en découle que pour la fonction log 𝑥 , 𝑥 doit être strictement positif.

Exemples :

Logarithmes de même base dans chaque membre : log4(𝑥 − 2) = log4 5

CE : 𝑥 − 2 > 0 ⇔ 𝑥 > 2

On trouve directement :

⇔ 𝑥 − 2 = 5

⇔ 𝑥 = 7 𝑆 = {7}

Egalité d’un logarithme et d’un réel : log3(5 − 𝑥) = 2

CE : 5 − 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 < 5

⇔ 3𝑙𝑜𝑔3(5−𝑥) = 32 ⇔ (5 − 𝑥) = 3²

⇔ (5 − 𝑥) = 9

⇔ 𝑥 = −4 𝑆 = {−4}

Cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes : log 𝑥 + log 2 = 1

CE : 𝑥 > 0

⇔ log 2𝑥 = 1 avec la formule du produit de logarithmes

⇔ 10log2𝑥 = 101

⇔ 2𝑥 = 10 en utilisant la définition du logarithme ; 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎x = 𝑥

⇔ 𝑥 = 5 𝑆 = {5}


Exercice 7. (P2) Résous les équations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence:

a. log2(2𝑥 + 1) = log2 16

b. log4(1 −𝑥

2) = 3

c. log4 𝑥 + log4 5 = 16

d. log3 2 − log3 2𝑥 = 2

e. log2 (3𝑥 − 1) = log2 7

f. log4(1 − 𝑥) = 3

g. ln 2𝑥 + ln 5 = 2 h. ln 2𝑥 − ln 5 = 2 i. ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 3) = 1 j. log5 6𝑥 − log5(𝑥 + 5) = 1


1.6 Inéquations logarithmiques Comme pour les équations, il faut tout d’abord déterminer les conditions d’existence (CE).

Exemples :

Logarithmes de même base dans chaque membre : log0,4(5x-1) < log0,4(3x+4)

CE : {5𝑥 − 1 > 03𝑥 + 4 > 0

⇔ {𝑥 >

1

5

𝑥 >−4

3

⇔ 𝑥 >1

5

⇔ (5x-1) > 3x+4

⇔ 2x > 5

⇔ x > 5

2 𝑆 = ]

5

2, →

Inégalité d’un logarithme et d’un réel : log2(3x-1) ≤ 5

CE : 3x-1 >0 ⇔ x > 1

3

⇔ 2log2(3𝑥−1) ≤ 25 ⇔ 3x − 1 ≤ 25

⇔ 3𝑥 − 1 ≤ 32

⇔ 3𝑥 ≤ 33

⇔ 𝑥 ≤ 11 S = ]1

3, 11]

Cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes : log 𝑥 − log 2 ≤ log(1 − 3𝑥)

CE : {𝑥 > 0

1 − 3𝑥 > 0 ⇔ {

𝑥 > 0

𝑥 <1

3

⇔ 0 < 𝑥 <1

3

⇔ log𝑥

2≤ log(1 − 3𝑥)

⇔ 𝑥

2≤ 1 − 3𝑥

⇔ 7𝑥

2≤ 1

⇔ 𝑥 ≤2

7 𝑆 = ]0,

2

7] l’ensemble des solutions doit prendre en compte les CE

Exercice 8. (P2) Résous les inéquations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence :

a. log3(𝑥 − 5) > log3 11

b. log3(1 + 3𝑥) ≤ 5


c. log4 2𝑥 − log4 3 < 3

d. log2 3 + log2 3𝑥 ≥ 0

e. log (𝑥 + 1) < log 3𝑥

f. log2(2 − 2𝑥) > 3

g. ln 2𝑥 + ln 5 < 2

h. ln 2𝑥 − ln 5 < 2

i. ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 3) ≤ 1


Exercice 9. (P3) Résous les équations suivantes :

a. 2𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 6 = 0

b. ln (ln 𝑥) = 0

c. 𝑒𝑥2≥ 10𝑥

d. 104 log√𝑥 = −2𝑥 − 1

Exercice 10. (P3) Mon cousin a un entretien d’embauche pour être professeur de

mathématiques. Afin de booster ses capacités mentales, il a cru bon d’avaler 2l de boisson

énergisante, étant persuadé que cela lui donnerait des ailes. Malheureusement il est

complètement surexcité et pas réellement présentable. Après une recherche sur internet, je

calcule qu’il a absorbé 350 mg de caféine. La quantité de caféine dans le sang baisse à raison de 22

% par heure et vu son imposante stature, il devrait se calmer quand il ne restera que 150 mg dans

son sang. Sachant qu’il est midi et que son rendez-vous est à 15h30, sera-t-il présentable à son

entretien d’embauche ?


Exercice 11. (P3) Le nombre d’utilisateurs de Snapchat en 2018 est de 188 millions. Ce

nombre augmente de 45 % par an.

a. Combien y aura-t-il d’utilisateurs supplémentaires dans un an ?

b. Par quel facteur faut-il multiplier le nombre d’utilisateurs pour obtenir le nombre

d’utilisateurs de l’année suivante ?

c. Quel sera le nombre d’utilisateurs en 2021 ?

d. En quelle année le milliard d’utilisateurs sera atteint ?


1.7 Dérivées

(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥

(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥. ln 𝑎

(ln 𝑥)′ =1

𝑥

(log𝑎𝑥)′ =

1

𝑥. ln 𝑎

Exercice 12. (P2) Dérive les fonctions suivantes :

a. log1+𝑥

1−𝑥

b. 23𝑥2−𝑥+1

c. 𝑥 + log (sin 𝑥)

d. 22𝑥2−2

e. 2𝑒2𝑥

𝑒𝑥


2 Cyclométriques et réciproques

2.1 Cyclométriques

𝒙 0 𝝅

𝟔

𝝅

𝟒

𝝅

𝟑

𝝅

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝒙 0 1

2

√2

2

√3

2 1

𝐜𝐨𝐬𝒙 1 √3

2

√2

2

1

2 0

𝐭𝐚𝐧𝒙 0 √3

3 1 √3 ∄

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧𝒙

Dom 𝑓 = [−1,1]

Im 𝑓 = [−𝜋

2,𝜋

2]

Fonction impaire

Racine : 𝑥 = 0

𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬𝒙

Dom 𝑓 = [−1,1]

Im 𝑓 = [0, 𝜋]

Fonction ni paire ni impaire

Racine : 𝑥 = 1

𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧𝒙

Dom 𝑓 = ℝ

Im 𝑓 = [−𝜋

2,𝜋

2]

Fonction impaire

Racine : 𝑥 = 0


Exercice 1. (P1) Calcule les angles suivants, n’utilise la calculatrice que si c’est nécessaire.

a. arcsin−1

2= b. arccos (

2

√2) =

c. arctan−5 = d. arcsin𝜋 =

e. arcsin (𝜋

4) = f. arctan−1 =

g. arcsin−√3

2= h. arccos−0.5 =

(arcsin 𝑥)′ =1

√1 − 𝑥²

(arccos 𝑥)′ =−1

√1 − 𝑥²

(arctan𝑥)′ =1

1 + 𝑥²

(𝑓(𝑔(𝑥)))′= 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)

Exercice 2. (P2) Dérive les fonctions suivantes, définies par leur expression analytique :

a. 𝑓(𝑥) = sin2(arccos2𝑥)

b. 𝑔(𝑥) = arctan1+𝑥

1−𝑥

c. ℎ(𝑥) = log3 2𝑥2 + arcsin(cos 𝑥)


2.2 Réciproques Exercice 3. (P2) Calcule l’expression analytique des réciproques des fonctions suivantes :

a. 𝑓:ℝ → ℝ:𝑥 → 2𝑥 − 2

b. 𝑔:ℝ+ → ℝ+: 𝑥 → 𝑥2 + 2𝑥 + 1

c. ℎ: [−𝜋

4,𝜋

4] → ℝ ∶ 𝑥 → 3 tan(2𝑥) + 1

2.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité

𝑓: 𝐸 → 𝐹: 𝑥 → 𝑓(𝑥) est injective si et seulement si tout

élément de 𝐹 est image par 𝑓 d’au plus un élément de 𝐸,

c’est-à-dire :

∀𝑥, 𝑥′ ∈ 𝐸: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥′) ⟹ 𝑥 = 𝑥′

𝑓: 𝐸 → 𝐹: 𝑥 → 𝑓(𝑥) est surjective si et seulement si tout élément de 𝐹 est image par 𝑓 d’au moins un élément de 𝐸, c’est-à-dire :

∀𝑦 ∈ 𝐹, ∃𝑥 ∈ 𝐸 : 𝑓(𝑥) = 𝑦

Si la fonction est à la fois injective et surjective, elle est dite bijective. 𝑓: 𝐸 → 𝐹: 𝑥 → 𝑓(𝑥) est bijective si et seulement si tout élément de 𝐹 est image par 𝑓 d’un seul élément de 𝐸, c’est-à-dire :

∀𝑦 ∈ 𝐹, ∃! 𝑥 ∈ 𝐸 : 𝑓(𝑥) = 𝑦


Exercice 4. (P1) Indique si les schémas suivants représentent des fonctions injectives,

surjectives et/ou bijectives ?

Exercice 5. (P1) Soit la fonction 𝑓 dont le graphe est donné ci-dessous.

a. 𝑓:ℝ → ℝ:𝑥 →2𝑥

1+𝑥² est-elle injective, surjective et/ou bijective ?


b. 𝑔:ℝ → [−1,1]: 𝑥 →2𝑥


c. ℎ: [−1,1] → [−1,1]: 𝑥 →2𝑥


Exercice 6. (P1) Soit la fonction 𝑓 dont le

graphe est donné ci-contre.

a. 𝑓:ℝ0 → ℝ: 𝑥 ↦ 𝑥 ln 𝑥² est-elle

injective, surjective et/ou

bijective ?

b. 𝑔: ]1,→ ↦ ℝ+: 𝑥 → 𝑥 ln 𝑥² est-elle injective, surjective et/ou bijective ?

c. ℎ: ]1,→ ↦ ℝ0+: 𝑥 → 𝑥 ln 𝑥² est-elle injective, surjective et/ou bijective ?


3 Nombres complexes Source des exercices 1 à 9: Pascal Lainé

Exercice 1.


Exercice 2.

Astuce : mettre en évidence par le module

Exercice 3.


Exercice 4.


Exercice 5.

Exercice 6.


Exercice 7.

Exercice 8.

Exercice 9.


Exercice 10. Quelle est l’affixe du point 𝑃′ du plan de Gauss d’origine 𝑂, image du point 𝑃

d’affixe 1 − 𝑖 par :

a. une translation vers la droite de 3, une translation vers le haut de 5, et une

rotation d’origine 𝑂 d’angle 45°,

b. une rotation d’origine 𝑂 d’angle 135° suivie d’une homothétie de centre 𝑂 et de

rapport 2.

Exercice 11. Dans le plan de Gauss d’origine 𝑂, on donne le point 𝑃 d’affixe 𝑧 = −1 + √3𝑖.

Détermine l’affixe du point 𝑃′, image du point 𝑃 par :

a. la translation de vecteur �⃗� (0,2),


b. la translation de vecteur 𝑣 (2,0),

c. la translation de vecteur �⃗⃗� (2,2),

d. l’homothétie de centre 𝑂 et de rapport 2,


e. l’homothétie de centre 𝑂 et de rapport 1

2,

f. la rotation 𝑟 de centre 𝑂 et d’angle 60°,

g. la rotation 𝑟 de centre 𝑂 et d’angle 240°,


h. la rotation 𝑟 de centre 𝑂 et d’angle 150°,

i. la composée des transformations des points a. d. et f,

j. la composée des transformations des points b. d. et f,


k. la composée des transformations des points c. e. et h.

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