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Institut Montjoie Mathématique 6ème année – 4h M. Decamps

probabilités


3.1 Dénombrement Dénombrer, c’est compter des objets particuliers dans un ensemble d’éléments. Cette compétence

est nécessaire pour pouvoir effectuer les calculs de probabilités de la suite de ce chapitre.

3.1.1 Découverte

Nous allons instinctivement deviner les différents types de liste d’éléments que nous pouvons

créer en nous basant sur certains exemples dont nous relèverons systématiquement les

particularités.

De combien de manières peut-on :

a. former des suites de 5 lettres ?

ordre important ?

répétitions ?

tous les éléments utilisés ?

éléments parmi

b. former des nombres de 5 chiffres distincts ne contenant pas 0 ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

c. écrire des anagrammes du mot PENALTY ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi


d. écrire des anagrammes du mot CORNER ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

e. écrire des anagrammes du mot ARRIERE ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi


f. tirer au sort 4 personnes parmi 7 pour effectuer un voyage ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

g. tirer successivement et sans remise 3 boules d’une urne contenant 5 boules de couleurs

différentes ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

h. tirer successivement et avec remise 4 boules d’une urne contenant 8 boules de couleurs

différentes ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

i. former des files de 5 élèves ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi


j. former des mains de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

k. former des plaques de tatouage pour chien comportant 4 chiffres autres que 0 ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

l. former des suites de 3 voyelles distinctes ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi


m. obtenir le tiercé dans l’ordre dans une course de 7 chevaux ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

n. obtenir le tiercé dans le désordre dans une course de 11 chevaux ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

o. répondre à 10 questions « vrai/faux » ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi

p. distribuer 3 chocolats à 20 personnes si chaque personne ne peut recevoir qu’au plus un

chocolat ?

ordre important ?

répétitions ?


éléments parmi


3.1.2 Classification

A partir des informations tirées de chacun des exemples ci-dessus, on peut classifier les différents

types de listes d’objets suivant leurs particularités.


3.1.3 Définitions

3.1.3.1 Permutations

La particularité des permutations est que tous les éléments sont utilisés et que l’ordre est

important. Les éléments peuvent être répétés ou non.

ordre important ? Oui

tous les éléments utilisés ? Oui

3.1.3.1.1 Permutation sans répétition

Exemple

Combien peut-on écrire d’anagrammes du mot CHEVAL ?

6 5 4 3 2 1


répétitions ? Non


6 éléments parmi 6

Il y a ici 6 possibilités pour choisir la première lettre de chaque anagramme, ensuite il reste 5 lettres

à placer, donc encore cinq possibilités pour la deuxième lettre, et ensuite 4 possibilités pour la

troisième lettre…C’est ce qui est représenté dans le tableau ci-dessus.

On a donc en tout 6.5.4.3.2.1 = 720 possibilités

Définition

On appelle permutation sans répétition de p objets, une liste de p objets distincts, 2 listes ne

différant que par l’ordre des éléments.

Notation et formule

𝑃𝑝 = 𝑝. (𝑝 − 1). (𝑝 − 2). … .2.1 = 𝑝!

𝑝! se dit « p factorielle »


3.1.3.1.2 Permutation avec répétition(s)

Exemple

Combien peut-on écrire d’anagrammes du mot ZOOLOGIE ?


répétitions ? Oui



Nous pouvons remarquer directement qu’il y a trois O dans le mot zoologie. Ainsi, en ne permutant

que la position des trois O les uns par rapport aux autres, on ne forme pas des mots différents.

En effet en prenant une des nombreuses anagrammes de ZOOLOGIE, par exemple GIEOLOZO, on

peut, en déplaçant seulement les trois O, créer 6 anagrammes différentes :

G I E O L O Z O

G I E O L O Z O

G I E O L O Z O

G I E O L O Z O

G I E O L O Z O

G I E O L O Z O

On peut remarquer que le nombre de façons d’écrire l’anagramme GIEOLOZO correspond au

nombre de permutations des trois O dans le mot, soit 𝑃3 = 3.2.1 = 6.

On dénombre donc six fois trop d’anagrammes si on ne considère pas la répétition du O.

Pour calculer le nombre d’anagrammes, considérons donc que toutes les lettres sont différentes

et divisons le résultat par 6 :

Nombre d’anagrammes si les lettres sont différentes

8 7 6 5 4 3 2 1

Si on ne se soucie pas des trois O, il y a ici 8 possibilités pour choisir la première lettre de

chaque anagramme, ensuite il reste 7 lettres à placer, donc encore 7 possibilités pour la

deuxième lettre, et ensuite 6 possibilités pour la troisième lettre…C’est ce qui est représenté

dans le tableau ci-dessus.

On a donc en tout 𝑃8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 possibilités

Avec les 40320 possibilités, nous avons donc surestimé le nombre d’anagrammes, le nombre

d’anagrammes considérant les répétitions doit être divisé par 6 et on obtient 40320

6= 6720 =

𝑃8

𝑃3


Définition

On appelle permutation avec répétition de p objets, dont l’un est répété i fois, l’autre j fois, … une liste de p objets distincts ou non, 2 listes ne différant que par l’ordre des éléments.

Notation et formule

𝑃𝑝𝑖,𝑗,…

=𝑝!

𝑖! ∙ 𝑗! ∙ …=

𝑃𝑝

𝑃𝑖 ∙ 𝑃𝑗 ∙ …

3.1.3.2 Arrangements La particularité des arrangements est que seulement une partie des éléments est utilisée et que l’ordre est important. Les éléments peuvent être répétés ou non.


tous les éléments utilisés ? Non

3.1.3.2.1 Arrangement sans répétition

Exemple

Combien peut-on écrire de suites de quatre lettres différentes ?

26 25 24 23


répétitions ? Non



Il y a ici 26 possibilités pour choisir la première lettre, ensuite il reste 25 possibilités pour la deuxième lettre, et ensuite 24 possibilités pour la troisième lettre…C’est ce qui est représenté dans le tableau ci-dessus.

On a donc en tout 26.25.24.23 = 358800 possibilités

Définition

On appelle arrangement sans répétition de p objets parmi n, une liste de p objets distincts choisis parmi les n objets donnés.

2 listes peuvent être différentes par la nature ou par l’ordre des éléments.

Notation et formule

𝐴𝑛𝑝 = 𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2). … . (𝑛 − 𝑝 + 1) =

𝑛!

(𝑛−𝑝)!


3.1.3.2.2 Arrangement avec répétition

Exemple

Combien peut-on écrire de suites de quatre lettres ?

26 26 26 26


répétitions ? Oui



Il y a ici 26 possibilités pour choisir la première lettre, 26 possibilités pour la deuxième lettre, et

ensuite 26 possibilités pour la troisième lettre…C’est ce qui est représenté dans le tableau ci-dessus.

On a donc en tout 26.26.26.26 = 264 = 456976 possibilités

Définition

On appelle arrangement avec répétition de p objets parmi n, une liste de p objets distincts ou non,

choisis parmi les n objets donnés.

2 listes peuvent être différentes par la nature ou par l’ordre des éléments.

Notation et formule

𝐵𝑛𝑝 = 𝑛𝑝


3.1.3.3 Combinaison sans répétition

La particularité des combinaisons est que l’ordre n’est pas important. Nous ne

considérerons dans le cadre de ce cours que les cas de combinaisons sans

répétition.

ordre important ? Non

Exemple

De combien de manières peut-on élire 3 délégués parmi 20 élèves ?

ordre important ? Non

répétitions ? Non



Si l’ordre était important, nous calculerions les possibilités comme pour un arrangement sans

répétition :

20 19 18

Nous avons alors un arrangement sans répétition de 3 éléments parmi 20, c’est-à-dire 𝐴203 =

20.19.18 =20!

(20−3)! = 6840

Néanmoins, l’ordre n’a pas d’importance. Si les 3 délégués choisis sont représentés par les lettres

𝐴, 𝐵 et 𝐶.. Tous les arrangements reprenant ces trois personnes

((𝐴, 𝐵, 𝐶), (𝐴, 𝐶, 𝐵)(𝐵, 𝐴, 𝐶), (𝐵, 𝐶, 𝐴), (𝐶, 𝐴, 𝐵), (𝐶, 𝐵, 𝐴)) correspondent au même groupe de trois

personnes. En ne tenant pas compte de l’ordre, on divise le nombre de groupes de 3 délégués par

6 (𝑃3 = 6).

Pour calculer le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 20, on divise donc le nombre

d’arrangements de 3 éléments parmi 20 par le nombre de permutations de 3 éléments. On obtient

ainsi :

𝐶203 =

20.19.18

3.2.1=

6840

6= 1140

Ou encore : 𝐶20

3 =𝐴20

3

𝑃3

Définition

On appelle combinaison sans répétition de p objets parmi n, une liste de p objets distincts choisis

parmi les n objets donnés.

2 listes ne peuvent être différentes que par la nature des éléments, et non par leur ordre.

Notation et formule

𝐶𝑛𝑝

=𝐴𝑛

𝑝

𝑃𝑝=

𝑛.(𝑛−1).(𝑛−2).….(𝑛−𝑝+1)

𝑝!=

𝑛!

(𝑛−𝑝)!.𝑝!


Exercice 1 (P2 : Appliquer) De combien de façons différentes 3 garçons et 2 filles :

a. peuvent-ils prendre place sur un banc ?

b. peuvent-ils s’asseoir si les garçons d’assoient les uns à côté des autres, et s’il en est de

même pour les filles ?

c. peuvent-ils s’asseoir si seulement les filles s’assoient les unes à côté des autres ?

Exercice 2 (P2 : Appliquer) De combien de façons différentes 3 boules noires qu’on ne peut

distinguer entre elles et 2 boules blanches qu’on ne peut pas distinguer entre elles :

a. peuvent-elles être alignées ?

b. peuvent-elles être alignées si les trois boules noires sont groupées ?

c. peuvent-elles être alignées si les trois boules noires sont groupées et si les trois blanches

le sont aussi ?


Exercice 3 (P2 : Appliquer) Avec les neuf chiffres significatifs (tous sauf zéro), combien peut-on

écrire de nombres de cinq chiffres distincts :

a. qui se terminent par 7 ?

b. qui comprennent 4 ?

c. qui comprennent 4 et 5 dans un ordre quelconque ?

d. qui comprennent 4 et 5 sous la forme « 45 » ?

e. qui ne comprennent pas 7

f. qui comprennent 7 mais pas 9 ?


Exercice 4 (P2 : Appliquer) Avec les 26 lettres de l’alphabet et les 10 chiffres, combien peut-on

écrire de plaques avec 6 caractères qui peuvent se répéter :

a. qui se terminent par AA ?

b. qui comprennent X ?

c. qui comprennent X et Y dans un ordre quelconque ?

d. qui comprennent X et Y sous la forme « XY » ?

e. qui ne comprennent ni A ni X ?

f. qui comprennent A mais pas X ?


Exercice 5 (P2 : Appliquer) De combien de manières peut-on tirer d’un jeu de 52 cartes une main

de 3 cartes composée de :

a. un roi, une dame et un valet ?

b. 3 cartes noires ?

c. un trèfle, un carreau et un cœur ?

d. trois cartes de même couleur (dans le vocabulaire des cartes, une couleur est soit pique,

cœur, carreau ou trèfle, pas rouge ou noir) ?

e. une dame et deux valets ?

f. trois cartes dont deux sont de même couleur ?

g. deux noires et une rouge ?


Exercice 6 (P2 : Appliquer) Combien peut-on former :

a. de plaques d’immatriculation automobile commençant par trois chiffres distincts autres

que 0 et finissant par deux lettres distinctes, les plaques devant commencer par 4 et se

terminer par T ?

b. d’entiers naturels de 4 chiffres dont le chiffre des milliers est pair et non-nul, le chiffre

des centaines est strictement inférieur à 7, le chiffre des dizaines est impair et le chiffre

des unités est supérieur à 4 ?

c. de commissions mixtes comprenant 4 profs et 10 élèves parmi 20 profs et 300 élèves ?

d. de suites de 5 lettres différentes dont les deuxième et quatrième lettre sont des voyelles,

et les autres des consonnes ?


3.2 Probabilités

3.2.1 Phénomène aléatoire et événement

Un phénomène aléatoire est une expérience qui donne lieu à plusieurs résultats dus au hasard.

Exemple : lancer un dé et examiner le résultat

Une épreuve est chacun des résultats possibles du phénomène

Exemple : obtenir 3

La catégorie d’épreuve 𝛀 est l’ensemble de toutes les épreuves d’un phénomène aléatoire.

Exemple : 𝛺 = {1,2,3,4,5,6}

Un événement est un sous-ensemble de la catégorie d’épreuves.

Exemple : obtenir un nombre pair : événement 𝐴 = {2,4,6}

Un événement élémentaire est un événement lié à une seule épreuve.

Exemple : obtenir 3 : événement 𝐵 = {3}

Ces ensembles peuvent être représentés

à l’aide d’un diagramme de Venn :

Si tous les événements élémentaires d’un phénomène fortuit ont la même chance d’apparaître, ce

sont des événements équiprobables.

L’événement certain se produit toujours, il correspond à la catégorie d’épreuve. On dit que sa

probabilité = 1.

Exemple : événement 𝐶 : obtenir un nombre inférieur à 10 événement 𝐶 = 𝛺 𝑃(𝐶) = 1

L’événement impossible ne se produit jamais, sa probabilité est nulle.

Exemple : événement 𝐷 : obtenir 7 événement 𝐷 = ∅ 𝑃(𝐷) = 0


L’événement 𝑨 ∩ 𝑩 se produit si les événements 𝐴 et 𝐵 se produisent simultanément.

L’événement 𝑨 ∪ 𝑩 se produit si les événements 𝐴 ou l’événement 𝐵 se produit.

L’événement 𝑨 \ 𝑩 se produit si l’événement 𝐴 se produit sans que 𝐵 se produise.

Exemple : événement 𝐴 : obtenir un nombre pair : 𝐴 = {2,4,6} événement 𝐵 : obtenir un nombre supérieur à 3 : 𝐵 = {3,4,5,6} événement 𝐴 ∩ 𝐵 : obtenir un nombre pair supérieur à 3 : 𝐴 ∩ 𝐵 = {4,6} événement 𝐴 ∪ 𝐵 : obtenir un nombre pair ou supérieur à 3 : 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,5,6} événement 𝐴 \ 𝐵 : obtenir un nombre pair non supérieur à 3 : 𝐴 \ 𝐵 = {2} Ces événements peuvent être représentés à l’aide d’un diagramme de Venn :

Des événements contraires sont des événements qui n’ont rien en commun et dont la réunion

donne la catégorie d’épreuves Ω.

Exemple : événement 𝐴 : obtenir un nombre pair : 𝐴 = {2,4,6} événement 𝐵 : obtenir un nombre impair : 𝐵 = {1,3,5} événement 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ événement 𝐴 ∪ 𝐵 = Ω Ces événements peuvent être représentés à l’aide d’un diagramme de Venn :


Exercice 7 (P2 : Appliquer) Pour chaque phénomène aléatoire, définis en extension (c’est-à-dire

en listant toutes les épreuves associées) la catégorie d’épreuve, l’événement, l’événement

contraire. Dessine le diagramme de Venn associé au phénomène aléatoire.

a. phénomène aléatoire : jeter une pièce de monnaie et observer la face visible

événement : le côté visible est pile

événement contraire :

b. phénomène aléatoire : tirer une boule d’une urne contenant 5 boules numérotées

de 1 à 5 et lire le numéro

événement : le numéro tiré est impair


c. phénomène aléatoire : observer une nichée de 3 chiens et observer leur sexe

événement : il y a au moins deux mâles


d. phénomène aléatoire : tirer au hasard une lettre du mot « ASSIETTE »

événement : la lettre est une consonne



3.2.2 Fréquence relative et probabilité

3.2.2.1 Définitions

La probabilité d’un événement 𝐴 permet de quantifier le hasard. Elle mesure le nombre de chances

qu’un événement a de se produire.

Lors d’une expérience aléatoire, on s’intéresse à la réalisation de l’événement 𝐴.

Soit 𝑛 le nombre de fois où l’on réalise l’expérience et 𝑛𝐴, le nombre de fois où 𝐴 s’est réalisé.

Le quotient 𝑛𝐴

𝑛 est la fréquence relative de 𝑨.

Si on répète l’expérience un nombre infini de fois (𝑛 → ∞), alors la fréquence relative de 𝐴 tend

vers une limite qui est la probabilité de 𝐴 :

lim𝑛→∞

𝑛𝐴

𝑛= 𝑃(𝐴)

Par exemple, en notant le nombre de piles obtenus pour un certain nombre de lancers de pièces, on peut s’apercevoir que la fréquence relative de l’événement va s’approcher de sa probabilité. Puisqu’on a une

chance sur deux d’obtenir pile, la probabilité est de 1

2= 0.5.

Nombre de piles obtenus 𝑛𝐴

𝑛 : fréquence relative

10 lancers 4 4

10= 0,4

100 lancers 59 59

100= 0,59

1000 lancers 470 470

1000= 0,47

10000 lancers 5212 5212

10000≈ 0,52

Un événement 𝐴 qui ne se produit jamais (𝑛𝐴 = 0) aura une probabilité nulle :

lim𝑛→∞

𝑛𝐴

𝑛= 0 𝑒𝑡 𝑃(𝐴) = 0

Il s’agit de l’événement impossible.

Un événement 𝐴 qui se produit toujours (𝑛𝐴 = 𝑛) aura une probabilité =1 :

lim𝑛→∞

𝑛𝐴

𝑛= lim

𝑛

𝑛𝑛→∞

= 1 𝑒𝑡 𝑃(𝐴) = 1

Il s’agit de l’événement certain.

Tout événement 𝐴 autre que l’événement impossible ou certain a une probabilité strictement

supérieure à 0 et strictement inférieure à 1.

0 < 𝑃(𝐴) < 1


3.2.2.2 Propriétés

Si tous les événements élémentaires d’un phénomène aléatoire sont équiprobables, alors :

𝑷(𝑨) =𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

Exemple : Evénement A : obtenir un nombre pair avec un dé bien équilibré : A = {2,4,6} : 3 cas favorables Dans la catégorie d’épreuve Ω = {1,2,3,4,5,6} , il y a 6 cas possibles.

P(A) =3

6= 0,5

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements contraires, alors :

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

Cette propriété est utile quand il est plus facile de calculer la probabilité de l’événement contraire que celle de l’événement de départ.

Exemple : calculer la probabilité de tirer n’importe quelle carte sauf une dame dans un jeu de 52 cartes Evénement 𝐴 : tirer n’importe quelle carte sauf une dame Evénement contraire B : tirer une dame.

Quand le calcul du nombre de cas favorables correspondant à l’événement contraire est plus direct, comme dans cet exemple, on préférera calculer la probabilité de l’événement contraire plutôt que celle de l’événement de départ. Il y ici 4 dames, donc 4 cas favorables et 52 cas possibles.

𝑃(𝐵) =4

52=

1

13

Puisque A et B sont des événements contraires, on peut utiliser la formule : 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

Et on a :

𝑃(𝐴) +1

13= 1 ⇔ 𝑃(𝐴) =

12

13= 0,92

On a donc 92 % de chances de ne pas tirer une dame.

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements quelconques* alors :

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Cette propriété est utile quand il est plus facile de calculer la probabilité d’événements séparément :

Exemple : Calculer la probabilité de tirer dans un jeu de 52 cartes un as ou un carreau :

Evénement 𝐴 : tirer un as dans un jeu de 52 cartes : 4 cas favorables et 52 cas possibles : 𝑃(𝐴) =4

52

Evénement 𝐵 :tirer un carreau dans un jeu de 52 cartes. 13 cas favorables et 52 cas possibles :

𝑃(𝐵) =13

52=

1

4

Evénement 𝐴 ∩ 𝐵 : tirer un as qui soit aussi un carreau. Il n’y a évidemment qu’une carte remplissant

cette condition : l’as de carreau, donc 1 cas favorable et 52 cas possibles :𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ) =1

52

L’événement 𝐴 ∪ 𝐵 : tirer un as ou un carreau est l’événement dont on cherche ici à calculer la probabilité, avec la formule on a :

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =4

52+

13

52−

1

52=

16

52=

4

13=0,31

On a donc 31% de chances de tirer un as ou un carreau.

* Si A et B sont des événements qui n’ont rien en commun alors A∩B =∅ et P(A∪B)=P(A)+P(B)


Exercice 8 (P2 : Appliquer) Donne la probabilité de chaque événement de l’exercice en page 20 :

a. phénomène aléatoire : jeter une pièce de monnaie et observer la face visible

événement : le côté visible est pile


b. phénomène aléatoire : tirer une boule d’une urne contenant 5 boules numérotées

de 1 à 5 et lire le numéro

événement : le numéro tiré est impair


c. phénomène aléatoire : observer une nichée de 3 chiens et observer leur sexe

événement : il y a au moins deux mâles


d. phénomène aléatoire : tirer au hasard une lettre du mot « ASSIETTE »

événement : la lettre est une consonne



Exercice 9 (P2 : Appliquer) On jette un dé non-pipé, quelle est la probabilité qu’apparaisse :

a. un nombre strictement inférieur à 5

b. un nombre strictement supérieur à 4

c. un nombre pair

d. un nombre impair supérieur à 2

Exercice 10 (P2 : Appliquer) Un sac contient 3 boules rouges, 4 boules vertes et 7 boules blanches :

a. quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

b. quelle est la probabilité de tirer une boule qui n’est pas verte ?

Exercice 11 (P2 : Appliquer) D’un jeu bien mélangé de 52 cartes, on tire une carte au hasard :

a. quelle est la probabilité d’avoir un 10 ou un valet ?

b. quelle est la probabilité d’avoir un as, un roi ou une dame ?

c. quelle est la probabilité d’avoir un as ou un cœur ?


3.2.3 Diagramme en arbre

Un diagramme en arbre permet de représenter les différentes issues possibles d’un phénomène

aléatoire et d’en calculer les probabilités.

On peut l’illustrer sur le problème de d’Alembert† :

Un joueur lance une pièce de monnaie parfaitement

symétrique.

S’il obtient pile, le jeu s’arrête et le joueur a gagné. S’il

obtient face, le joueur relance la pièce et le jeu s’arrête.

S’il a obtenu pile, il gagna sinon il perd. Quelle est la

probabilité de gagner ?

P(gagner) = P ((pile 1er jet) 𝒐𝒖 (face 1er jet 𝒆𝒕 pile 2ème jet))

= P(pile 1er jet) + P(face 1er jet) . P(pile 2ème jet)

=1

2+

1

2.1

2=

3

4= 75%

Exercice 12 (P2 : Appliquer) Une urne contient des boules identiques :3 boules rouges et 4

boules vertes. On tire successivement deux boules au hasard et avec remise, on observe la couleur.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir une

seule boule verte ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir 2

boules vertes ?

c. Quelle est la probabilité d’obtenir 2

boules rouges ?

† Jean le Rond D’Alembert, né le 16 novembre 1717 à Paris où il est mort le 29 octobre 1783, est un mathématicien, physicien, philosophe et encyclopédiste français. Il est célèbre pour avoir dirigé l’Encyclopédie avec Denis Diderot jusqu’en 1757 et pour ses recherches en mathématiques sur les équations différentielles et les dérivées partielles.


Exercice 13 (P2 : Appliquer) Dans un jeu bien mélangé de 52 cartes, on tire successivement deux

cartes sans remise. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un as ?

Remplis la probabilité associée à chaque branche de

l’arbre pour en déduire la probabilité d’obtenir au

moins un as.

Exercice 14 (P2 : Appliquer) On fait trois parties consécutives de pile ou face.

a. Dessine l’arbre correspondant

b. Quelle est la probabilité d’obtenir plus de fois face que pile ?

c. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois pile ?

d. Quelle est la probabilité d’obtenir pile au troisième jet ?

e. Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois le même résultat ?


Exercice 15 (P2 : Appliquer) Deux emplois sont proposés par une société. Il y a 4 candidates et

deux candidats. Chacun d’eux a la même chance d’être retenu.

a. Dessine l’arbre correspondant

b. Quelle est la probabilité d’engager deux hommes ?

c. Quelle est la probabilité d’engager deux femmes ?

d. Quelle est la probabilité d’engager deux personnes de même sexe ?

e. Quelle est la probabilité d’engager deux personnes de sexe différent ?

Exercice 16 (P2 : Appliquer) On tire successivement et au hasard 4 lettres du mot « MONTJOIE »

Quelle est la probabilité pour que, en tenant compte de l’ordre du tirage, ces lettres forment le mot

« MINE » ?

Dessine l’arbre correspondant. Il n’est pas nécessaire de dessiner tout l’arbre, mais uniquement

la partie concernant le mot « MINE ».


Exercice 17 (P2 : Appliquer) Une urne contient 4 boules vertes, 3 boules noires et 3 boules

rouges. On tire successivement 4 boules avec remise.

a. Dessine l’arbre correspondant aux deux premiers tirages

b. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 boules vertes ?

c. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre 3 boules vertes et une rouge ?

d. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre 1 boule verte, une rouge et deux

noires ?

Exercice 18 (P2 : Appliquer) Même question que la précédente mais sans remise.

a. Dessine l’arbre correspondant aux deux premiers tirages

b. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 boules vertes ?

c. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre 3 boules vertes et une rouge ?

d. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre 1 boule verte, une rouge et deux

noires ?


3.2.4 Probabilité conditionnelle

La probabilité qu’un événement 𝐴 se réalise sachant qu’un événement 𝐵 est réalisé se note

𝑃(𝐴|𝐵).

Exemple : Un dé est jeté deux fois. Quelle est la probabilité pour que la somme obtenue lors des deux jets soit strictement supérieure à 10, sachant qu’on obtient 6 lors d’un des deux jets :

Evénement 𝐴 : la somme des deux jets >10 Evénement 𝐵 : le point lors d’un des deux jets est 6 Evénement 𝐴|𝐵 : la somme des deux jets >10 sachant que le point lors d’un des deux jets est 6.

On calcule la probabilité conditionnelle de 𝑨 sachant 𝑩 comme suit :

𝑷(𝑨|𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)

Dans notre exemple nous avons : Evénement 𝐴 : la somme des deux jets >10. On ne doit pas calculer la probabilité de cet événement, elle n’intervient pas dans la formule. Evénement 𝐵 : le point lors d’un des deux jets est 6 Il y a 11 cas favorables :

𝐵 = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}

sur 36 cas possibles, d’où 𝑃(𝐵) =11

36

Il faut calculer la probabilité de réalisation de l’événement 𝐴 ∩ 𝐵 pour trouver celle de l’événement 𝐴|𝐵 : Evénement 𝐴 ∩ 𝐵 : la somme des deux jets >10 et le point lors d’un des deux jets est 6 : Il y a 3 cas favorables :

𝐴 ∩ 𝐵 = {(5,6), (6,6), (6,5)}

sur 36 cas possibles, d’où 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =3

36=

1

12

Evénement 𝐴|𝐵 : la somme des deux jets >10 sachant que le point lors d’un des deux jets est 6. On utilise enfin la formule de la probabilité conditionnelle pour trouver

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=

3361136

=3

11= 27%

On a donc 27 % de chances que la somme des deux jets soit strictement supérieure à 10 si le point lors d’un des deux jets est 6.

Exercice 19 (P2 : Appliquer) On lance un dé non pipé à deux reprises.

a. Quelle est la probabilité que la somme des points obtenus soit 8, sachant qu’au

premier jet le point est impair ?


b. Quelle est la probabilité que la somme des points obtenus soit 8, sachant qu’au

premier jet le point est 3 ?

Exercice 20 (P2 : Appliquer) Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilité

que la carte soit un 8 sachant qu’elle est comprise entre 5 et 10 ?

Exercice 21 (P2 : Appliquer) Un dé est jeté deux fois. Quelle est la probabilité pour que la somme

obtenue lors des deux jets soit strictement supérieure à 10 :

a. sachant qu’on obtient 6 au deuxième jet ?

b. si on obtient 3 au premier jet ?


3.2.5 Notion d’indépendance

On dit que l’événement 𝐴 est indépendant de l’événement 𝐵 si le fait que savoir que l’événement

𝐵 est réalisé ne change pas la probabilité de 𝐴. On peut dire que 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵).

Exemple : Un dé est jeté deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair au deuxième jet, sachant qu’on a obtenu un nombre pair au premier jet : Evénement 𝐴 : obtenir un nombre impair au deuxième jet.

Il y a 3 cas favorables sur 6 possibles :

𝑃(𝐴) =1

2

Evénement 𝐵 : obtenir un nombre pair au premier jet. Il y a 3 cas favorables sur 6 possibles

𝑃(𝐵) =1

2

Evénement 𝐴|𝐵 : obtenir un nombre impair au deuxième jet, sachant qu’on a obtenu un nombre pair au premier jet. Il faut calculer la probabilité de réalisation de l’événement 𝐴 ∩ 𝐵 pour trouver celle de l’événement 𝐴|𝐵 : Evénement 𝐴 ∩ 𝐵 : obtenir un nombre impair au deuxième jet et un nombre pair au premier jet. Il y a 9 cas favorables :

𝐴 ∩ 𝐵 = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)}

sur 36 cas possibles, d’où 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =9

36=

1

4

D’où, avec la formule de la probabilité conditionnelle :

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=

1412

=1

2

On a donc 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵), c’est-à-dire que le fait que savoir que l’événement 𝐵 est réalisé ne change pas la probabilité de 𝐴. On peut donc dire que les événements A et B sont indépendants

Si les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants, on a 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵). D’où, avec la formule de la

probabilité conditionnelle :

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵) , donc 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)

Donc, les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si et seulement si :

𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

On peut confirmer qu’on a bien des événements indépendants dans notre exemple en vérifiant la relation 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).

Ici avec 𝑃(𝐴) =1

2 et 𝑃(𝐵) =

1

2 , on a 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

1

2.

1

2=

1

4, ce qui est bien la valeur calculée précédemment.


Exercice 22 (P2 : Appliquer) On fait trois parties consécutives de pile ou face. Etudie, à l’aide de

la formule de l’indépendance, l’indépendance des événements A et B suivants :

a. 𝐴 : obtenir face au premier jet

𝐵 : obtenir face au deuxième jet

b. 𝐴 : obtenir trois fois le même côté

𝐵 : obtenir face au moins une fois

c. 𝐴 : obtenir face au moins deux fois

𝐵 : lors des trois jets, les jets consécutifs donnent des résultats différents

Exercice 23 (P2 : Appliquer) Joseph, Ayoub et Paolo sont placés au hasard sur un banc. Etudie

l’indépendance des événements 𝐴 et 𝐵 :

𝐴 : Joseph est à la droite d’Ayoub (pas nécessairement à côté)

𝐵 : Paolo est à la droite d’Ayoub (pas nécessairement à côté)


3.2.6 Dénombrement et probabilités

On peut calculer certaines probabilités en dénombrant le nombre de cas possibles et le nombre

de cas favorables.

Exemple : On tire trois cartes d’un jeu de 52 cartes sans remise. Quelle est la probabilité que les trois cartes soient noires ? Nombre de cas possibles : nombre de combinaisons de 3 cartes parmi 26 cartes noires (la moitié du jeu

est noir) = 𝐶263 =

26.25.24

3.2.1=

15600

6= 2600

Nombre de cas possibles : nombre de combinaisons de 3 cartes parmi 52 cartes = 𝐶523 =

52.51.50

3.2.1=

132600

6= 22100

En définissant l’événement 𝐴 : tirer trois cartes noires, on a :

𝑃(𝐴) =𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=

2600

22100= 12%

Exercice 24 (P2 : Appliquer) On tire deux cartes d’un jeu de 52 cartes, sans remise et en tenant

compte de l’ordre.

a. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient rouges ?

b. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient des piques ?

c. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient de la même couleur (pique,

cœur, carreau ou trèfle) ?

d. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient un roi et un neuf ?


Exercice 25 (P2 : Appliquer) Un groupe est formé de 12 Brésiliens, 6 Mexicains et 2 Colombiens.

On en choisit 2 au hasard. Quelle est la probabilité qu’ils soient de même nationalité ?

Exercice 26 (P2 : Appliquer) Une urne contient 9 boules numérotées de 1 à 9. On en tire 3 au

hasard successivement, en tenant compte de l’ordre, et avec remise. Quelle est la probabilité de

tirer :

a. trois boules paires

b. deux boules impaires suivies d’une boule paire


Exercice 27 (P2 : Appliquer) Lorsqu’on distribue 8 cartes d’un jeu bien mélangé de 52 cartes,

quelle est la probabilité d’avoir une main comprenant au moins un carreau ?

Exercice 28 (P2 : Appliquer) On choisit au hasard et sans remise 3 voitures parmi un lot de 15

voitures dont 5 sont défectueuses. Quelle est la probabilité d’obtenir :

a. aucune voiture défectueuse ?

b. au moins une voiture défectueuse ?


Exercice 29 (P3 : Transférer) Dans une pièce se trouvent 30 personnes. Quelle est la probabilité

pour qu’au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour (sans compter le 29/02) ?

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