TP4: Fonctions périodiques, exponentielles et logarithmiques.

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Rappels théoriques

Logarithmes

bab

a

baba

na

xnxxnx

a

xx

na

nn

a

loglog)log(

loglog).log(

log

loglogpair n siet impair n si loglog

log

loglog

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Rappels théoriques

Résolution d’une équation logarithmique du style : Isoler le terme en n

Prendre le logarithme de chaque membre

Isoler n

56.2 n

6

52 n

)6

5log(2log n

2log

)65

log(n

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Exercices du syllabus

23Tracer le graphe de f(x), donner son image, les valeurs pour lesquelles la fonction est discontinue, sa parité

Reecriture de la fonction

f paire

𝑓 (𝑥 )=|𝑥|𝑠𝑖−1≤ 𝑥<1

𝑓 (𝑥 )={− 𝑥+2𝑘 si  2 k−1≤ x<2k𝑥−2𝑘 si2 k≤ x<2k +1

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Exercices du syllabus

f continue pour tout x f(273,8) =>273<x<274 : k=137

F(273,8)=-273,8+2.137 = 0,2

f(-371,4) =>-372<x<-371 : k=-165F(-371,4)=-371,4+2.-165

= 0,6

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Exercices du syllabus

Q26 a):si f et g sont paires, f+g et fg sont-elles des fonctions paires? f(-x)=f(x)g(-x)=g(x)(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(x)

Somme de deux fonctions paires est paire(f.g)(-x)=f(-x).g(-x)=(f.g)(x)

Produit de deux fonctions paires est pair

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Exercices du syllabus

26d1 f est de periode T1 et g est de periode T2Période en commun enT1=mT2 (f+g)(x+nT1)= f(x+nT1)+g(x+nT1)=

f(x+nT1)+g(x+mT2)=(f+g)(x)(f.g)(x+nT1)= f(x+nT1).g(x+nT1)=

f(x+nT1).g(x+mT2)=(f.g)(x)

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Exercices du syllabus 29. périodique?

1) 1-sin3x Périodique Période

3) |cos4x| Périodique période=

5)x sin3x Non périodique

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Exercices du syllabus

30 c 2)

12

sin (2 𝑥+𝜋3

)

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Exercices du syllabus

30 c 6) sin (3 𝑥 )+cos (2 𝑥)

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Exercices du syllabus

363. arctg(1/2) =p/34. arctg(1)=p/4 6. arcsin(sin(3p/2))=3p/2-2p

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Exercices du syllabus

38. tracer 3x-1 3x-1

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B. Exercices du syllabus

Q42: a)

c)

e)

125

1log5

35 5log

3

5log3 5

4

3

1616 16log8log

34 22816 nn

4

3

32log2

52 2log 5

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B. Exercices du syllabus

Q43 e) 2log

001,0log001,0log

10

102

30103,0

3

96578,9

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B. Exercices du syllabus

Q44: résoudre les (in)équations (on suppose toujours que les conditions d’existence sont satisfaites) b)

g)

)4(log)4(log 1010 xx 0)4(log)4(log 1010 xx

1log4

4log 1010

x

x

014

4

x

x

04

43

x

x

0 4/3

Num + + + 0 -

Den - 0 + + +

Tot - Existe pas

+ 0 -

2³log3 x ²3log³log 33 x 9³ x 3 9x

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B. Exercices du syllabus

i)

0log² 10 xex

)10(loglog² 1010 xex

0)1log( 10 exx

0 1/log10(e)

X - 0 + + +

Xlog10e-1 - - - 0 +

+ 0 - 0 +

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B. Exercices du syllabus

47a. Résoudre

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B. Exercices du syllabus

x=1/4 y=400

x=1 y=100

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B. Exercices du syllabus

51. Discuter les valeurs de c dans y=ln(x²+c)c=1 : y=ln(x²+1)

0<c<1:

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B. Exercices du syllabus

Q52 : Tracer ln(f), ln|f| et ln²f

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B. Exercices du syllabus

Q52 : ln(f(x))

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B. Exercices du syllabus

Q52 : ln|f(x)|

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B. Exercices du syllabus

Q53:1er janvier 1979, une ville a 3000 habitants, la population diminue de 4% par an, quel est le nombre d’habitants au premier janvier de l’année 1979+n? f(n)=3000(1-4%)n

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B. Exercices du syllabus

Q55:introduction de bactéries, N0=2.103 bactéries, Tg=45min, Quel est le nombre de bactéries après 9h? Quelle est la formule générale en fonction du temps?

Formule générale

pNhN60*9

0 2)9( 45

60*93 2.10.2

313 10.2

45

60*

0 2)(t

NtN 3

4*

0 2)(t

NtN

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Test

Q1Montant à diviser: 100/10 = 10Résultat = 10/10 = 1

Q2C non périodique

a périodique : e3sinx = e3sin(x+2p)

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Test

Q3.p=a+b.cos(kt),max de p = 140, min de p = 80, intervalle de temps entre 2 max= 1/3s, p est max en t=0P(0)=140 140=a+bMinimum quand cos(kt)=-1

A+b(-1)=80A=110, b=30Période = 2p/k k=6p

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Test

Q4. E Q5.D

Réciproque écrire x en fonction de y

𝑦=2 𝑥 ³+1 ↔𝑥= 3√ 𝑦−12

𝑦