exponentielles et logarithmes - e-monsite

Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps

exponentielles et

logarithmes

A la Renaissance, le développement de l’astronomie, du commerce et de la navigation fait

émerger de nouveaux groupes, tels que les celui des astronomes-astrologues, qui génèrent au cours des XVIe et XVIIe siècles, une somme considérable d’œuvres, d’idées et de techniques nouvelles sur lesquelles la société va s’appuyer, et la science classique se construire.

L’invention des logarithmes découle du besoin qu’ont les astronomes, les commerçants ou encore les navigateurs de disposer de méthodes de calcul simples pour effectuer des multiplications, des divisions, ou extraire des racines. C’est dans ce contexte qu’en 1614, John Neper crée des tables de calcul utilisant les logarithmes (dont la couverture est reproduite à gauche). Il n’imaginait pas créer de nouvelles fonctions, mais seulement une méthode pour calculer des produits en effectuant des sommes. Ce type de tables a été utilisé pendant plus de 300 ans, jusqu’à la deuxième moitié du XXe siècle, quand des calculatrices performantes sont devenues accessibles au grand public.

La notion de fonction et le lien entre les exponentielles et les logarithmes n’apparaissent qu’à la fin du XVIIe siècle. Les exponentielles et les logarithmes dépasseront largement le cadre des calculs numériques imaginés par Neper pour s’imposer comme des notions fondamentales de l’analyse mathématique.

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus particulièrement à cette nature fonctionnelle et aux utilisations pratiques des exponentielles et des logarithmes.


1.1 Rappel : les puissances

Pour tout réel 𝑎, et pour tous naturels 𝑛, 𝑝 et 𝑞.

𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

avec 𝑎 > 0, par exemple :

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 𝑎

𝑝𝑞 = √𝑎𝑝

𝑞

30 = 1

31 = 3 3-1 = 1/3 31/2 = √ 3 ≈ 1,73

32 = 9 3-2 = 1/9 32/3 = √323 ≈ 2,08

33 = 27 3-3 = 1/27 3-1/2 = 1/√ 3 ≈ 0,58

avec 𝑎 < 0, par exemple :

(-3)0 = 1

(-3)1 = -3 (-3)-1 = -1/3 (-3)1/2 = √−3

(-3)2 = 9 (-3)-2 = 1/9 racine carrée d’un nombre négatif : ne fait pas

partie de l’ensemble ℝ

(-3)3 = -27 (-3)-3 = -1/27 (-27)1/3= √−273

= −3

On remarque que si 𝑎 < 0, certaines puissances fractionnaires ne peuvent pas être calculées.

Le résultat est toujours positif si 𝑎 est positif, et le résultat peut être négatif ou positif si 𝑎 est négatif.

On peut étendre les définitions du début du paragraphe à tout exposant 𝑛, 𝑝 et 𝑞 réel.

Pour tous réels strictement positifs 𝑥, 𝑦 et pour tous réels 𝑝 et 𝑞, on a les propriétés suivantes:

𝑥𝑝. 𝑥𝑞 = 𝑥𝑝+𝑞

𝑥𝑝

𝑥𝑞= 𝑥𝑝−𝑞

(𝑥. 𝑦)𝑝 = 𝑥𝑝. 𝑦𝑝

(𝑥

𝑦)

𝑝

=𝑥𝑝

𝑦𝑝

(𝑥𝑝)𝑞 = 𝑥𝑝.𝑞


1.2 Exponentielle et logarithme : découverte

1.2.1 Introduction

Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de

bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience.

Les bactéries se reproduisent en se divisant, c’est-à-dire que chaque bactérie se divise en deux à

intervalle régulier.

Pour l’espèce étudiée, les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a

doublé.

a. Remplis le tableau suivant :

Temps (heures)

0 1 2 3 5 10

Nombre de

bactéries

b. Combien y aura-t-il de bactéries après un nombre quelconque 𝑥 d’heures ? Donne

l’expression du nombre de bactéries en fonction de 𝑥.

c. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ?

d. Dans le repère de la page suivante, trace le graphe du nombre de bactéries en fonction du

nombre 𝑥 d’heures.


Nombre de bactéries

Temps (heures)


1.2.2 Croissance et décroissance

Tu as reçu un euro de ta grand-mère pour aller acheter des bonbons. Ta grand-mère ne se rend pas bien compte que tu as grandi et que tu n’es plus très intéressé par les bonbons. Plutôt que d’aller dépenser cet argent, tu décides de commencer à économiser pour tes vieux jours et d’aller placer cet euro à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve (à ce moment-là).

a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ?

b. Remplis le tableau suivant :

Temps (années) 0 1 2 3 5 10

Capital Paul (euros)

c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque 𝑥 d’années ? Donne

l’expression de la valeur de ton capital en fonction de 𝑥.

d. En utilisant ta calculatrice, détermine après combien d’années tu auras plus de 2 euros.

e. Dans le repère de la page suivante, trace en bleu le graphe de ton capital en fonction du nombre 𝑥 d’années. (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe avec le capital à 20, 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c)

Tu voudrais essayer de gagner un peu plus d’argent, et tu décides d’aller voir une autre banque. Robert le banquier, bien qu’il n’ait pas l’air très honnête, te propose un taux d’intérêt de 6%. Cela te semble un meilleur placement et tu signes un contrat avec lui. Tu es pressé et le contrat fait 10 pages, tu décides de ne pas tout lire. Quand tu rentres à la maison et que tu annonces la bonne nouvelle à ton père, il demande à lire le contrat. Il te signale qu’il est écrit que la banque te réclamera comme frais de dossier 8% de ce qui se trouve sur ton compte en chaque fin d’année.

a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ?

b. Remplis le tableau suivant :

Temps (années) 0 1 2 3 5 10

Capital Robert (euros)

c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque 𝑥 d’années?


d. Dans le repère suivant, trace en rouge le graphe de ton capital en fonction du nombre 𝑥 d’années (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe capital à 20, 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c)

Capital (euros)

Temps (années)


Les situations étudiées aux points 1.2.1 et 1.2.2 ont en commun que pour une augmentation d’une

unité de la variable (le temps en heures pour l’exemple en biologie et en années pour l’exemple

en finance), la quantité étudiée est multipliée par un nombre constant. Ce type de fonction est

appelée exponentielle et le nombre par lequel la quantité étudiée est multipliée est appelé base.

Comparons à l’aide du tableau suivant les propriétés des différentes exponentielles étudiées.

Bactérie Banque

Paul Banque Robert

Base

Expression analytique : quantité en fonction de 𝑥

Croissant / décroissant ?

Nous avons remarqué que certaines exponentielles étaient croissantes et d’autres décroissantes.

La base étant le facteur multiplicatif reliant le capital d’une année par rapport à la suivante, donne

l’intervalle dans lequel peut varier la base des deux différents types d’exponentielles.

Exponentielle croissante Exponentielle décroissante

Intervalle de variation de la base


1.2.3 Logarithme

Nous avons constaté que l’expression analytique des fonctions exponentielles placent la variable 𝑥 en exposant (voir points 1.2.1 et 1.2.2), les quantités calculées sont donc des puissances* du nombre appelé base. Observons l’évolution des quantités en terme de puissance de la base. Pour ce faire, remplis le tableau suivant en exprimant les quantités comme pour la ligne correspondant à 𝑥 = 3.

Bactérie Banque

Paul Banque Robert

Base

Unité de 𝑥

Quantité de départ (𝑥 = 0)

Quantité pour 𝑥 = 1 (après 1 h / 1 an)

Quantité pour 𝑥 = 2 (après 2 h / 2 ans)

Quantité pour 𝑥 = 3 8 = 23 1.1576 = 1.053 0.9412 = 0.983

Quantité pour 𝑥 = 5

Quantité pour 𝑥 = 10

Le tableau précédent fait apparaître un autre type de fonction appelé logarithme. Dans nos exemples, le logarithme est le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée de bactéries dans le récipient, ou le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée d’argent sur le compte en banque. Nous avons remarqué que ce nombre correspond à l’exposant à appliquer à la base pour obtenir la quantité voulue.

Ainsi par exemple : on constate qu’il faudra attendre 3 heures pour avoir 8 bactéries dans le récipient. Donc,

le logarithme en base 2 de 8 vaut 3, ou en notation mathématique : log2 8 = 𝟑 car 2𝟑 = 8

Il faudra attendre 3 ans pour avoir un capital de 1,1576 euros chez Paul le banquier. Donc,

le logarithme en base 1,05 de 1,1576 vaut 3, ou en notation mathématique :

log1,05 1.1576 = 𝟑 car 1,05𝟑 = 1,1576

* Puissance et exposant sont des synonymes


Pour les cas moins évidents à calculer, on pourra utiliser la calculatrice. Ainsi si on veut déterminer combien d’heures il faudra attendre pour avoir 15 bactéries dans le récipient, il faudra attendre un nombre d’heures égal à log2 15 , ce qui revient à déterminer l’exposant 𝑥 tel que 2𝑥 =15.

Malheureusement, les calculatrices permettent de calculer le logarithme en base 10, (noté log10, ou plus souvent simplement log), mais pas de calculer le logarithme dans n’importe quelle base. Il faudra dès lors utiliser la formule de changement de base, que nous démontrerons au paragraphe 1.4.4. Ainsi pour déterminer avec la calculatrice le temps à attendre pour avoir 15 bactéries dans le récipient, c’est-à-dire log2 15, on calculera le quotient suivant :

log2 15 =log 15

log 2=

1,176

0,301= 3,9

On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 3,9 heures pour avoir 15 bactéries dans le récipient.

De façon similaire, pour que mon capital s’élève à 10 euros chez Paul le banquier, il faudra attendre un nombre d’années égal à log1,05 10, ce qui revient à déterminer l’exposant 𝑥 tel que 1,05𝑥 = 10.

Avec la formule de changement de base, on calculera :

log1,05 10 =log 10

log 1,05=

1

0,021= 47,2

On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 47,2 années pour avoir 10 euros de capital.

Remplis les tableaux suivants. N’utilise ta calculatrice que lorsque c’est nécessaire. Dans le cas où tu utilises ta calculatrice, veille à écrire dans chaque case le calcul effectué en mentionnant la formule de changement de base comme ci-dessus.

Bactéries

Base

Temps pour avoir 2 bactéries







Paul le banquier

Base

Temps pour avoir 2 euros






Robert le banquier

Base

Temps pour avoir 90 centimes







1.2.4 Fonction réciproque

Il apparaît de nos explorations des fonctions exponentielles et logarithmes qu’elles sont liées.

En effet, si l’exponentielle donne la quantité (de bactéries, d’argent sur un compte, …) pour une

valeur 𝑥 de la variable (le temps, …), on constate que le logarithme donne reciproquement le

temps à attendre pour obtenir une quantité donnée. Le résultat de l’une est la donnée de l’autre,

on dira que ces fonctions sont réciproques.

Reprenons notre premier exemple, celui des bactéries, et comparons numériquement et

graphiquement l’évolution des fonctions exponentielle et logarithme.

Exponentielle Logarithme

Variable 𝑥 Temps en heures Nombre de bactéries

Expression analytique de la fonction

𝑦 = 2𝑥 𝑦 = log2 𝑥

Valeur renvoyée par la fonction

Nombre de bactéries après 𝑥 heures

Temps en heures pour obtenir 𝑥 bactéries

Valeur pour 𝑥 = 1








Trace les graphes des deux fonctions dans le repère suivant, utilise certains points du tableau

précédent, ceux qui ne sortent pas de l’échelle du repère.

On remarque que les graphes des deux fonctions ont pour particularité d’être symétriques par

rapport à un axe, trace cet axe sur le graphe. A l’aide de tes connaissances sur les équations de

droites, détermine l’équation de cet axe et indique-la sur le graphe.

y

x


Puisque le logarithme de la quantité de bactéries est le nombre d’heures qu’il faut attendre pour

obtenir cette quantité de bactéries, on peut dire que :

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠 = log2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠)

Or le nombre de bactéries après un temps donné se calcule comme suit :

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 = 2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠)

On peut en conclure que :

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅′𝒉𝒆𝒖𝒓𝒆𝒔 = log2 2(𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅 𝒉𝒆𝒖𝒓𝒆𝒔)

Réciproquement, on peut aussi écrire :

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 = 2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠)

Et puisque :

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠 = log2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠)

On peut dire :

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒆𝒔 = 2log2(𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒆𝒔)

Et plus généralement, pour toute variable 𝑥 (temps, quantité de bactéries…) et pour toute

exponentielle et pour tout logarithme de même base notée ici 𝑎:

𝒙 = log𝑎 𝑎𝒙

Et aussi :

𝒙 = 𝑎log𝑎 𝑥

Cette relation exprime mathématiquement que les fonctions exponentielles et logarithmes sont

réciproques, puisque « leurs effets se compensent ». Autrement dit, l’application successive des

deux fonctions sur la variable 𝑥 renvoie la valeur de 𝑥.

Cette dernière relation est la définition même du logarithme qui est donc uniquement défini

comme étant la réciproque de l’exponentielle. Plus généralement, pour une base 𝑎, on écrira :

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙

𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖

𝒙 = 𝒂𝒚


1.2.5 Caractérisation des exponentielles

Reprenons l’exemple des bactéries et imaginons que l’équipe de scientifiques ait déposé des

bactéries dans trois récipients différents, correspondant à trois milieux différents, décrits ci-

dessous :

a. Nous sommes dans la même situation que dans le point 1.2.1. Les bactéries se développent

librement, le nombre de bactéries double toutes les heures. Il s’agit de l’expérience témoin.

b. Les scientifiques étudient l’efficacité d’un désinfectant, ils observent que le nombre de

bactéries vivantes est divisée par deux toutes les heures.

c. Les scientifiques testent un produit dopant la croissance des bactéries, le nombre de

bactéries est doublé toutes les demi-heures.

Afin de pouvoir plus facilement observer l’évolution des bactéries, les scientifiques ont besoin

d’une quantité significative de bactéries dans chaque milieu et décident de commencer leurs

observations quand il y aura exactement 1 gramme de bactéries dans chaque récipient. Le début

de l’observation correspondra au temps 𝑥 = 0.

Remplis le tableau suivant :

Expérience a. : expérience témoin

Expérience b. : désinfectant

Expérience c. : dopant

Base

Expression analytique : masse de bactéries en fonction

de 𝑥 (temps en heures)

Croissant / décroissant ?

Masse de bactéries au début de

l’observation (𝑥 = 0)

Masse de bactéries après 1h (𝑥 = 1)




Dans le tableau ci-dessus, les exposants sont des nombres naturels. En les utilisant, il est possible

de prévoir l’évolution de la masse de bactéries après un nombre d’heures entières (et positives

puisqu’on ne s’intéresse qu’à ce qui se passe après le début de l’expérience).


Nous disposons d’outils mathématiques supplémentaires nous permettant de déterminer la

masse de bactéries à n’importe quel moment.

Les exposants fractionnaires (correspondant pour rappel aux racines carrées, cubiques, …)

permettent de connaître la masse de bactéries par exemple après une demi-heure (𝑥 =1

2), après

trois quarts d’heure (𝑥 =3

4),…

D’autre part, les exposants négatifs permettront de déterminer la masse de bactéries présentes

dans le récipient par exemple une heure avant le début de l’expérience (𝑥 = −1), ou encore un

quart d’heure avant le début de l’expérience (𝑥 = −1

4).

En toute généralité, on pourra calculer à l’aide des exposants réels la masse de bactéries à

n’importe quel moment, par exemple 2,3689 h avant ou après le début de l’expérience (𝑥 =

−2,3689 𝑜𝑢 𝑥 = 2,3689).

Remplis le tableau suivant :

𝑥 Expérience a. :

expérience témoin



Masse de bactéries 3,6

heures avant le début

Masse de bactéries une heure avant le

début

Masse de bactéries un

quart d’heure avant le début

Masse de bactéries après

10 minutes

Masse de bactéries après

un quart d’heure

A l’aide des résultats compris dans les deux tableaux précédents, trace dans le repère suivant les

graphes représentant l’évolution du nombre de bactéries pour les trois expériences. Utilise une

couleur différente pour chaque graphe. Il est à noter que certains résultats sont hors d’échelle, ils

ne pourront pas être représentés (« ils sortiraient du graphique »). Représente pour chaque

graphe les éventuelles asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations.


x (temps)

y (masse de bactéries)


On a constaté que :

• une base supérieure à 1 correspond à une fonction croissante, et que la croissance de la

population sera d’autant plus rapide que la base est élevée.

• une base comprise entre 0 et 1 correspond à une fonction décroissante, et que la

décroissance sera d’autant plus rapide que la base sera proche de 0. †

L’utilisation de bases négatives poserait problème d’un point de vue mathématique (par exemple

(−2)1

2 = √−2 n’est pas un réel) et sont proscrites dans le cadre de ce cours.

Une base = 1 correspondrait à une quantité constante (facteur multiplicatif unitaire) et une base

nulle correspondrait à une quantité nulle tout le temps. Ces deux cas particuliers ne sont donc pas

considérés ici comme étant des exponentielles.

On constate aussi que le domaine des fonctions exponentielles est l’ensemble des réels ℝ. En effet,

dans notre exemple, on peut calculer le nombre de bactéries à n’importe quel moment.

Les exponentielles ne sont définies que pour des bases strictement positives, et en conséquence

la valeur renvoyée par une exponentielle ne pourra être que strictement positive, en effet toute

puissance d’un nombre strictement positif donne un nombre strictement positif. Ainsi l’ensemble

image d’une fonction exponentielle est ℝ0+. Dans notre exemple, cela se traduit par le fait que nous

n’aurons jamais une quantité de bactéries négative.

En outre, le graphe d’une fonction exponentielle présente toujours une asymptote horizontale

d’équation 𝑦 = 0. En effet, pour une fonction décroissante, après un temps infini, la quantité

tendra vers 0. Pour une fonction croissante, la quantité à un moment infiniment éloigné dans le

passé tendrait vers 0.

On remarque en outre que tous les graphes des trois fonctions exponentielles étudiées passent

par le même point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression

analytique, explique pourquoi :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

† Ces observations découlent directement de la définition de la base qui est le facteur par lequel est multiplié la quantité

étudiée (ici la masse de bactéries) pour une augmentation de 1 de la variable 𝑥 (ici le temps en h).


1.2.6 Caractérisation des logarithmes

Continuons avec l’exemple des bactéries et reprenons les 3 expériences décrites au point 1.2.5.

Remarquons tout d’abord que lorsqu’on étudie le problème à l’aide des fonctions logarithmiques,

abscisses et ordonnées sont échangées par rapport aux fonctions exponentielles, les fonctions

étant réciproques l’une de l’autre (voir 1.2.4). Ici donc, l’abscisse 𝑥 correspond à la quantité de

bactéries et l’ordonnée 𝑦 correspond au temps. En effet le logarithme renvoie le temps nécessaire

à obtenir une quantité de bactéries, là où l’exponentielle renvoie la quantité de bactéries à un

moment donné. Remplis le tableau suivant.

Expérience a. : expérience témoin



Base

Expression analytique :

moment où l’on a une masse 𝑥 de

bactéries

Valeur de la variable 𝑥

Expérience a. : expérience

témoin



Moment où l’on a 0,1 g de bactéries



Moment où l’on a 1 g de bactéries :

début de l’observation

Moment où l’on a 2 g de bactéries


Moment où l’on a 10 g de bactéries

Dans le tableau ci-dessus, on obtient des valeurs négatives et positives. Que signifie une valeur

négative ?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


A l’aide des résultats compris dans le tableau précédent, trace dans le repère suivant les graphes

représentant le temps en fonction de la masse de bactéries pour les trois expériences. Utilise une

couleur différente pour chaque graphe. Représente pour chaque graphe les éventuelles

asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations.

y (temps)

x (masse de bactéries)


On a constaté que ‡:

• pour un phénomène représenté par une base supérieure à 1, la quantité augmente avec le

temps et donc réciproquement, le temps nécessaire pour obtenir une quantité donnée

augmente avec la quantité. Une fonction logarithmique à base supérieure à 1 est donc

croissante.

• Pour un phénomène représenté par une base comprise entre 0 et 1 correspond à une

fonction décroissante. Les limitations sur la valeur des bases des phénomènes

exponentiels s’étendent aux fonctions logarithmiques, puisqu’elles sont réciproques l’une

de l’autre.

Le domaine d’une fonction logarithmique couvre l’ensemble des réels strictement positifs ℝ0+.

Dans notre exemple, quand on considère les fonctions logarithmiques, on se rappelle que

l’abscisse 𝑥 correspond à la masse de bactéries et l’ordonnée 𝑦 correspond au temps. Il n’est pas

possible d’obtenir une abscisse 𝑥 négative, c’est-à-dire une «masse négative » de bactéries, on ne

pas non plus avoir masse nulle car, en se divisant en deux à chaque pas de temps, il en restera

toujours une certaine quantité, même minime.

Puisque la quantité de bactéries s’approche de 0 sans jamais être nulle, on observe sur le graphe

la présence d’une asymptote verticale d’équation 𝑥 = 0. Pour une fonction logarithmique

décroissante, la quantité de bactéries tendra vers 0 après un temps infini (ordonnée 𝑦 tend vers

+∞). Pour une fonction logarithmique croissante, la masse de bactéries tendait vers 0 à un

moment infiniment éloigné dans le passé (ordonnée 𝑦 tend vers −∞).

Dans notre exemple, on peut étudier les phénomènes à des moments à la fois éloignés dans le

passé et dans le futur. De façon plus générale, cela se traduit par le fait qu’il n’y a pas de limitation

sur la valeur de l’ordonnée 𝑦. Ainsi l’ensemble image d’une fonction logarithmique est couvre tout

l’ensemble des réels ℝ.

On remarque en outre que tous les graphes des fonctions logarithmiques passent par le même

point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression analytique, explique

pourquoi :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

‡ On pourra constater que par réciprocité, l’ensemble des observations faites sur l’abscisse des exponentielles peuvent

se faire sur l’ordonnée des fonctions logarithmiques et vice versa.


1.3 Synthèse

1.3.1 Fonction exponentielle

1.3.1.1 Définitions

Le réel dont on calcule la puissance est appelé base et est noté 𝑎.

• 𝑎 > 0

• 𝑎 ≠ 0 car 0𝑥 = 0 ∀𝑥 : fonction constante

• 𝑎 ≠ 1 car 1𝑥 = 1 ∀𝑥 : fonction constante

La fonction 𝑎𝑥 : ℝ → ℝ0

+ : 𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑥 est appelée fonction exponentielle en base 𝑎

1.3.1.2 Propriétés et graphes

Avec 𝑎 > 1

Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la

fonction exponentielle en

base 2:

𝑓: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥

Propriétés :

• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

• 𝐼𝑚 𝑎𝑥 = ℝ0+

• les points (0,1) et

(1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥

• le graphe admet une asymptote horizontale à gauche en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim𝑥→−∞

𝑎𝑥 = 0

• lim𝑥→+∞

𝑎𝑥 = +∞

• la fonction est croissante

Avec 0 < 𝑎 < 1

Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la

fonction exponentielle en

base 1

2 :

𝑔: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = (

1

2)

𝑥

Propriétés :

• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

• 𝐼𝑚 𝑎𝑥 = ℝ0+

• les points (0,1) et (1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥

• le graphe admet une asymptote horizontale à droite en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim𝑥→+∞

𝑎𝑥 = 0

• lim𝑥→−∞

𝑎𝑥 = +∞

• la fonction est décroissante


1.3.2 Réciproque d’une fonction

La réciproque d’une fonction est la relation qui, à chaque élément de 𝐼𝑚 𝑓, associe l’élément de

𝐷𝑜𝑚 𝑓 dont il est l’image.

En inversant les 𝑥 et les 𝑦 dans

l’expression analytique d’une

fonction, on obtient l’expression

analytique de la réciproque:

a. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑

𝑦 = 2𝑥 − 3

⇔ 2𝑥 = 𝑦 + 3

Tout d’abord, on isole 𝑥

⇔ 𝑥 =𝑦 + 3

2

Ensuite on permute 𝑥 et 𝑦

⇔ 𝑦 =𝑥 + 3

2

La relation réciproque de 𝑓 est la

relation 𝑥 → 𝑦 =𝑥+3

2

(il s’agit ici d’une fonction)

b. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏

𝑦 = 𝑥2 − 1

⇔ 𝑥2 = 𝑦 + 1

Pour obtenir l’expression analytique

de la réciproque, on isole 𝑥

⇔ 𝑥 = ±√𝑦 + 1

on permute 𝑥 et 𝑦

⇔ 𝑦 = ±√𝑥 + 1

La relation réciproque de 𝑓 est la

relation

𝑥 → 𝑦 = ±√𝑥 + 1

(il ne s’agit pas d’une fonction)

𝒙 𝒚

𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝐼𝑚 𝑓 𝒇: 𝒙 → 𝒚

réciproque de 𝒇: 𝒚 → 𝒙

x y x y

-2 3 3 -2

-1 0 0 -1

0 -1 -1 0

1 0 0 1

2 3 3 2

graphe de f

graphe de la réciproque de f

On permute x et y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

x

y

graphe de f

graphe de laréciproque de f

axe de symétrie

x y x y

0 -3 -3 0

2 1 1 2

graphe de la réciproque de f

On permute x et ygraphe de f

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4

x

y

graphe de f

graphe de laréciproque de f

axe desymétrie

a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1


On remarque que :

a. Les graphes d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite

ayant pour équation 𝑦 = 𝑥 (bissectrice des axes 𝑥 et 𝑦)

b. La réciproque d’une fonction 𝑓 est une fonction

𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 la fonction 𝑓 est injective,

c’est-à-dire 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 des abscisses différentes ont des images différentes,

c’est-à-dire 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑓 est strictement croissante ou strictement

décroissante.

c. Si la réciproque d’une fonction est une fonction, on la note 𝑓−1 et on parle de fonction

inverse.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

x

y graphe de f : décroissante(pour x <0) puis croissante(pour x>0) -Deux abscisses différentesont même image (ex: x=-1et x =1 ont pour image y=0)=> la réciproque n'est pasune fonction

graphe de f:strictement croissante=> la réciproque est unefonction

𝑦

𝑥


1.3.3 Fonction logarithme

La fonction 𝑎𝑥 : ℝ0

+ → ℝ : 𝑥 → 𝑦 = log𝑎 𝑥 est appelée fonction logarithme en base 𝑎. Elle est définie comme étant la réciproque de la fonction exponentielle en base 𝑎, c’est-à-dire :

𝑦 = log𝑎 𝑥

⇔ 𝑥 = 𝑎𝑦

𝐥𝐨𝐠𝒂𝐱 est donc l’exposant qu’il faut mettre à 𝒂 pour obtenir 𝒙, c’est-à-dire :

𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 = 𝒙

Avec 𝑎 > 1 Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la fonction logarithme en base 2:

𝑓: ℝ0+ → ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log2 𝑥

Application numérique: • log22 = 𝟏 car 2𝟏 = 2

• log21

2= −𝟏 car 2−𝟏 =

1

2

• log28 = 𝟑 car 2𝟑 = 8

• log2 √645

=𝟔

𝟓 car 2

𝟔

𝟓 = √265

Avec 0 < 𝑎 < 1 Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la fonction

logarithme en base 1

2 :

𝑔: ℝ0+ → ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log1

2

𝑥

Application numérique :

• log1

2

2 = −𝟏 car (1

2)

−𝟏= 2

• log1

2

1

√8=

𝟑

𝟐 car (

1

2)

𝟑

𝟐=

1

√8

• log1

2

64 = −𝟔 car (1

2)

−𝟔=

((1

2)

−1)

6

= (2)6 = 64

Propriétés • 𝐷𝑜𝑚 log𝑎 𝑥 = ℝ0

+

• 𝐼𝑚 log𝑎 𝑥 = ℝ

• les points (1,0) et

(𝑎, 1)appartiennent au graphe de

log𝑎 𝑥

• le graphe admet une asymptote

verticale en 𝑥 = 0, c’est-à-dire

lim𝑥→0

log𝑎 𝑥 = ±∞

• lim𝑥→+∞

log𝑎 𝑥 = ±∞

• Pour 𝑎 > 1, la fonction est

croissante. Si 𝑎 > 0 et 𝑎 < 1, la

fonction est décroissante

x y

1/4 2

1/2 1

1 0

2 -1

4 -2

log1/2x

1/2; 1

1; 0

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

x

y

x y

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

log2x

1; 0

2; 1

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

x

y


Exercice 1

(P1: Connaître) Calcule sans calculatrice et donne l’exponentielle associée (comme dans

l’introduction théorique ci-dessus).

a. log3 1 = car 3…. =

b. log3 9 = car 3…. =

c. log31

27= car 3…. =

d. log3 √814

= car 3…. =

e. log1

3

1 = car (1

3)

…=

f. log1

3

9 = car (1

3)

…=

g. log1

3

1

9= car (

1

3)

…=

h. log1

3

√2434

= car (1

3)

…=

Exercice 2

(P1 : Connaître) Calcule les limites suivantes.

a. lim𝑥→∞

4𝑥

b. lim𝑥→−∞

2𝑥

c. lim𝑥→−∞

(1

3)

𝑥

d. lim𝑥→−∞

(1

3)

1−𝑥

e. lim𝑥→+∞

2−𝑥

f. lim𝑥→−∞

2𝑥2

g. lim𝑥→0

log1

2

𝑥

h. lim𝑥→0

log2 𝑥

i. lim𝑥→+∞

log1

2

𝑥 j. lim𝑥→−∞

log1

2

𝑥

k. lim𝑥→−∞

log0.55(−𝑥) l. lim𝑥→−∞

log0.55(𝑥)


1.4 Propriétés des logarithmes

1.4.1 Découverte

Complète la deuxième ligne des 3 tableaux et indique les opérations correspondant aux flèches sous les tableaux en remplissant les pointillés. Trouve une formule générale en réécrivant les opérations en fonction des réels positifs 𝑥 et 𝑦 et du réel 𝑛.

Opération 1

𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥 =100 𝑦 =1000 10000 𝑥 ∙ 𝑦 =

100000 1000000

log 𝑧

log 100000 = log(100 ∙ 1000) = log 100 … log 1000

𝐥𝐨𝐠(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 … 𝐥𝐨𝐠 𝒚

Opération 2

𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥

𝑦= 100 𝑦 =

1000 10000

𝑥 = 100000

1000000

log 𝑧

log 100 = log (100000

1000) = log 10000 − log 1000

𝐥𝐨𝐠 (𝒙

𝒚) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 … 𝐥𝐨𝐠 𝒚

Opération 3

𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥 =100 1000 10000 100000 𝑥𝑛 =

1000000

log 𝑧

log 1000000 = log(1003) = … log 100

𝐥𝐨𝐠(𝒙𝒏) = … 𝐥𝐨𝐠 𝒙

100 ∙ 1000 = 100000

…

… log 𝑥 … log 𝑦

𝑥 ∙ 𝑦

1003 = 1000000 𝑥𝑛

100000

1000= 100

log 𝑥𝑛 = … log 𝑥

…

𝑥

𝑦

log 𝑥 … log 𝑦


1.4.2 Propriétés immédiates

Pour tout 𝑎 ∈ ℝ0+\{1} , pour tout réel 𝑥 ∈ ℝ0

+ , pour tout réel 𝑟,

Par définition des exponentielles (1.3.1)

𝑎0 = 1 𝑎1 = 𝑎

Par définition des logarithmes (1.3.3)

log𝑎 1 = 0 log𝑎 𝑎 = 1

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂𝒓 = 𝒓

Par réciprocité des exponentielles et logarithmes (1.3.2)

𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒙 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂𝒙 = 𝒙

1.4.3 Opérations sur les logarithmes

Les propriétés découvertes au paragraphe 1.4.1 sont généralisées à toutes les bases et sont

démontrées dans ce paragraphe.

Pour tous réels positifs 𝑥 et 𝑦, pour tout réel 𝑟, pour tout réel 𝑎 ∈ ℝ0+\{1} :

Logarithme d’un produit

Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes

𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚

Démonstration

On pose 𝑢 = log𝑎 𝑥 ⇔ 𝑎𝑢 = 𝑥

𝑣 = log𝑎 𝑦 ⇔ 𝑎𝑣 = 𝑦

log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦) = log𝑎(𝑎𝑢 ∙ 𝑎𝑣)

= log𝑎(𝑎𝑢+𝑣)

= 𝑢 + 𝑣

= log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦

Logarithme d’une puissance

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝒓 = 𝒓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙

Démonstration


log𝑎(𝑥𝑟) = log𝑎(𝑎𝑢)𝑟

= log𝑎(𝑎𝑢∙𝑟)

= 𝑢 ∙ 𝑟

= 𝑟 ∙ log𝑎 𝑥


Logarithme d’un quotient

Le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes

𝐥𝐨𝐠𝒂 (𝒙

𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚

Démonstration

log𝑎 (𝑥

𝑦) = log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦−1)

= log𝑎 𝑥 + log𝑎(𝑦−1) (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒)

= log𝑎 𝑥 + (−1) ∙ log𝑎 𝑦 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒)

= log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦

Exercice 3

(P1 : Connaître) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 2 et log 3, en utilisant

uniquement les propriétés des logarithmes. Ecris la propriété utilisée appliquée à l’exercice.

Sachant que log 2 = 0.,301 et log 3 =0,477, détermine le résultat avec ta calculatrice.

a. log 4 =

b. log 6 =

c. log 8 =

d. log 9 =

e. log1

2=

f. log3

2=

Exercice 4

(P1 : Connaître) A l’aide des valeurs suivantes : log𝑎 15 = 1,09 et log𝑎 124 = 1,94, calcule sans

calculatrice les logarithmes suivants.

a. log𝑎15

124 =

b. log𝑎 154 =

c. log𝑎 √1243

d. log𝑎 124𝑎3

e. log𝑎1243

15𝑎3

f. log𝑎 𝑎log𝑎 1243


1.4.4 Changement de base

La formule de changement de base, utilisée au paragraphe 1.2.3 est démontrée ici. Pour tout réel

positif 𝑥, pour tous réels 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ0+\{1} :

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 =𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂

Démonstration


log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑎𝑢

= 𝑢 ∙ log𝑏 𝑎 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒)

= log𝑎 𝑥 ∙ log𝑏 𝑎

D’où

log𝑎 𝑥 =log𝑏 𝑥

log𝑏 𝑎

Exercice 5

(P1 : Connaître) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée

à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.

a. log0.6 12 =

b. log5.2 4.1 =

c. log4 2000 =

d. log1.56 𝜋 =


1.5 Modélisation

1.5.1 Introduction

Modéliser, c’est traduire une situation réelle dans un langage mathématique dans le but de lui

appliquer des outils mathématiques, pour déduire des indications sur la situation réelle étudiée.

Voici par exemple une situation réelle :

« Un père de famille a un revenu net de 1500€ et a quatre filles. Chaque mois il doit payer les charges

du ménage s’élevant à 1275 €, et il distribue le reste à ses filles. L’aînée reçoit le double de ce que

reçoit la deuxième ou la troisième fille, et la plus petite reçoit la moitié de ce que reçoit la deuxième

ou la troisième. La deuxième fille se demande combien elle recevra. »

L’inconnue de ce problème est le montant que recevra la deuxième fille chaque mois, assignons à

ce montant une valeur inconnue 𝑥.

On modélise ce problème en le traduisant en une équation mathématique, qu’on résoudra avec les

outils qu’on a appris à maîtriser les années précédentes. Voici un exemple de modèle de cette

situation :

1500 = 1275 + 2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +𝑥

2

⇔ 225 =9𝑥

2

⇔225

9= 𝑥

⇔ 𝑥 = 25

Et on en déduit que la deuxième fille recevra 25€ chaque mois.


1.5.2 Modélisation par exponentielles et logarithmes

Dans ce paragraphe, nous nous attacherons à modéliser des situations à l’aide des outils que nous

venons de découvrir, les exponentielles et les logarithmes.

Nous utiliserons des équations, qui font apparaître des égalités et des inéquations qui font

apparaître des inégalités (>, <, ≥, ≤) et on utilisera nos nouveaux outils pour trouver la réponse

au problème posé.

Nous avons résolu toutes sortes de problèmes dans la section 1.2, en utilisant nos facultés de

raisonnement mais sans modéliser, c’est-à-dire sans écrire d’équation. Nous allons ici faire

l’exercice de modéliser ces situations.

Reprenons les situations décrites au point 1.2.1 :

« Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de

bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience.

Les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a doublé »

1. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ?

L’inconnue 𝑥 est le temps. Nous avons remarqué que le nombre de bactéries après 𝑥

heures valait 2𝑥. On modélisera le problème par l’équation suivante :

2𝑥 = 4096

Il s’agit d’une équation exponentielle, la variable 𝑥 apparaît en exposant dans l’équation.

Après l’avoir créée, il convient de la résoudre afin de répondre à la question posée. Pour

résoudre cette équation on utilisera une propriété qui traduit mathématiquement la

réciprocité des exponentielles et logarithmes de même base. Les fonctions étant

réciproques, leurs « effets s’annulent » (voir 1.2.4) :

𝒙 = log𝑎 𝑎𝒙 (propriété 1)

Pour utiliser cette propriété, on appliquera le logarithme de même base que

l’exponentielle aux 2 membres de l’équation :

log2 2𝑥 = log2 4096

Avec la propriété 1 𝑥 = log2 4096

Or puisque 212 = 4096, on a : 𝑥 = log2 212

Avec la propriété 1 𝑥 = 12

Il faudra donc 12 h pour avoir 4096 bactéries dans le récipient


2. Après combien de temps y aura-t-il plus de 15 bactéries dans le récipient ?

2𝑥 > 15

Il s’agit d’une inéquation exponentielle, appliquons le logarithme en base 2 aux deux membres de l’équation :

log2 2𝑥 > log2 15 Avec la propriété 1 :

𝑥 > log2 15 On calculera le second membre à la calculatrice car 15 n’est pas une puissance de 2, on a :

log2 15 =log 15

log 2= 3,9

Et on a, finalement : 𝑥 > 3,9

Il aura plus de 15 bactéries dans le récipient après 3,9 heures

3. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient après quatre heures ? Ici, on ne cherche plus à déterminer un temps, l’inconnue 𝑥 est le nombre de bactéries. On utilisera donc la fonction réciproque, c’est-à-dire le logarithme. Nous avons remarqué que le temps à attendre pour obtenir un nombre 𝑥 de bactéries valait log2 𝑥. On modélisera donc le problème par l’équation suivante :

log2 𝑥 = 4

Il s’agit d’une équation logarithmique, en effet, la variable 𝑥 apparaît dans le logarithme. Pour résoudre cette équation on utilisera une autre propriété illustrant la réciprocité des exponentielles et logarithmes de même base (voir 1.2.4) :

𝒙 = 𝑎log𝑎 𝒙 (propriété 2)

On utilisera cette propriété en appliquant l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation :

2log2 𝑥 = 24

Avec la propriété 2 : 𝑥 = 24

⇔ 𝑥 = 16 Il y aura 16 bactéries après 4 heures.

4. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient si on attend plus de 24 heures ?

log2 𝑥 > 24

Il s’agit d’une inéquation logarithmique. La variable 𝑥 apparaît dans le logarithme, on appliquera l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation :

2log2 𝑥 > 224

Avec la propriété 2 : 𝑥 > 224 c’est-à-dire : 𝑥 > 16 777 216

Il y aura plus de 16,77 millions de bactéries après 24 heures.


Exercice 6

(P3 : Transférer) Modélise les situations suivantes, décrites au point 1.2.1, avec des équations ou

des inéquations, et résous-les pour trouver la solution au problème posé :

« Tu décides d’aller placer 1€ à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte

pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de

chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve. »

a. Après combien d’années auras-tu plus de 2€ sur ton compte ?

b. A combien s’élève ton capital après 10 ans ?

c. Quelle somme auras-tu si tu attends plus de 50 ans ?


1.5.3 Résolution

Les méthodes de résolution s’appuient sur les différentes définitions et propriétés des

logarithmes énoncées dans les paragraphes 1.3 et 1.4. Dans les tableaux suivants, des résolutions

sont données pour les différents types d’équations ou d’inéquations rencontrées.

1.5.3.1 Equations exponentielles

Pas de CE (condition d’existence) car 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

égalité de 2 exponentielles de même base

égalité entre une exponentielle et un réel

égalité de 2 exponentielles de base différentes

35𝑥+1 = 32−4𝑥 22𝑥 =1

4 22𝑥+1 = 82−𝑥

on égale les exposants

⇔ 5𝑥 + 1 = 2 − 4𝑥 ⇔ 9𝑥 = 1

⇔ 𝑥 =1

9

on utilise les propriétés des puissances pour se ramener à une égalité de 2 exponentielles de même base

⇔ 22𝑥 = 2−2


⇔ 2𝑥 = −2 ⇔ 𝑥 = −1


⇔ 22𝑥+1 = 82−𝑥 ⇔ 22𝑥+1 = (23)2−𝑥

⇔ 22𝑥+1 = 26−3𝑥 on égale les exposants

⇔ 2𝑥 + 1 = 6 − 3𝑥 ⇔ 𝑥 = 1

ensemble solution ensemble solution ensemble solution

𝑆 = {1

9} 𝑆 = {−1} 𝑆 = {1}

Exercice 7

(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes.

a. 33𝑥 – 3𝑥+1 = 0

b. 9𝑥 =1

3𝑥+2

c. 43𝑥 =1

16

d. 2 (

1

8)

4𝑥= 32

e. 32𝑥−5 = 3𝑥−2

f. 42𝑥+3 =1

4


1.5.3.2 Inéquations exponentielles

Pas de CE (condition d’existence) car 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

inégalité de 2 exponentielles de même base

inégalité entre une exponentielle et un réel

inégalité de 2 exponentielles de base différentes

(0,2)3𝑥+4 < (0,2)5𝑥+1 32𝑥+1 ≥1

9 3𝑥+1 < (

1

27)

1−𝑥

en égalant les exposants, on doit changer le sens de l’inégalité car la fonction 0,2𝑥 est décroissante, c’est-à-dire que si la valeur de l’exponentielle augmente, l’abscisse de la fonction (exposant) diminue :

⇔ 3𝑥 + 4 > 5𝑥 + 1 ⇔ −2𝑥 > 5

⇔ 𝑥 < −5

2


⇔ 32𝑥+1 ≥ 3−2


⇔ 2𝑥 + 1 ≥ −2 ⇔ 2𝑥 ≥ −3

⇔ 𝑥 ≥ −3

2


⇔ 3𝑥+1 < (3−3)1−𝑥 ⇔ 3𝑥+1 < 3−3+3𝑥


⇔ 𝑥 + 1 < −3 + 3𝑥 ⇔ −2𝑥 < −4

pour rappel ; en factorisant les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif (ici −2), on doit changer le sens de l’inégalité

⇔ 𝑥 > 2


𝑆 = ←, −5

2[ 𝑆 = [−

3

2, → 𝑆 = ]2, →

Exercice 8

(P2 : Appliquer) : Résous les inéquations suivantes :

a. 32𝑥+2 >1

9

b. 475𝑥+3 > 1

c. 4𝑥−4 − 45 ≥ 0

d. 0,22𝑥+1 − [1

0,04]

3≥ 0

e. 53𝑥+2 < 53𝑥+1

f. 53𝑥+2 < 52𝑥+3


1.5.3.3 Equations logarithmiques

On commence par déterminer les conditions d’existence (CE) car le domaine d’une fonction

logarithme est ℝ0+. Ainsi l’argument de la fonction logarithme doit être strictement positif.

égalité de 2 logarithmes de même base

égalité entre logarithme et un réel

cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes

log4(𝑥 − 2) = log4 5 log3(5 − 𝑥) = 2 log3 𝑥 + log3 2 = 1

conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence

𝑥 − 2 > 0 ⇔ 𝑥 > 2

5 − 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 < 5

𝑥 > 0

on trouve directement :

⇔ 𝑥 − 2 = 5

⇔ 𝑥 = 7

on passe à l’exposant de même base que le logarithme :

⇔ 3log3(5−𝑥) = 32

avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3) :

⇔ (5 − 𝑥) = 32

⇔ (5 − 𝑥) = 9

⇔ 𝑥 = −4

on utilise les propriétés des logarithmes pour se ramener à un cas décrit dans les colonnes de gauche :

⇔ log3 2𝑥 = 1 on est dans le cas de la colonne du milieu : on passe à l’exposant de même base que le logarithme :

⇔ 3𝑙𝑜𝑔3 2𝑥 = 31

avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3) :

⇔ 2𝑥 = 3

⇔ 𝑥 =3

2


𝑆 = {7} 𝑆 = {−4} 𝑆 = {3

2}

Exercice 9

(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence.

a. log2(x − 1) = log2 8 b. log3 (1 −2x

3) = 4

c. log3 x − log3 4 = 1 d. log4 2 − log4 3x = 4

e. log2(1 − 3x) = 2 f. log3 2x + log31

2= 2

g. log(x − 2) = log(x + 2) h. log3 2x − log3(x + 4) = 2


1.5.3.4 Inéquations logarithmiques

inégalité de 2 logarithmes de même base

inégalité entre logarithme et un réel

cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes

log0,4(5𝑥 − 1) > log0,4(3x+ 4)

log2(3𝑥 − 1) ≤ 5 ln 𝑥 − ln 2 ≤ ln(1 − 3𝑥)

conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence

{5𝑥 − 1 > 03𝑥 + 4 > 0

⇔ {𝑥 > 1 5⁄

𝑥 > −4 3⁄

en combinant les deux conditions :

⇔ 𝑥 >1

5

3𝑥 − 1 > 0

⇔ 𝑥 >1

3

{𝑥 > 0

1 − 3𝑥 > 0

⇔ {𝑥 > 0

𝑥 < 1 3⁄

en combinant les deux conditions :

⇔ 0 < 𝑥 <1

3

on doit changer le sens de l’inégalité

car la fonction log0,4 𝑥 est

décroissante, c’est-à-dire que si la

valeur du logarithme augmente,

l’argument de la fonction diminue :

⇔ 5𝑥 − 1 < 3𝑥 + 4

⇔ 2𝑥 < 5

⇔ 𝑥 < 5

2

on passe à l’exposant de même base que le logarithme :

⇔ 2log2(3𝑥−1) ≤ 25

avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3):

⇔ 3x − 1 ≤ 25

⇔ 3x − 1 ≤ 32

⇔ 3𝑥 ≤ 33

⇔ 𝑥 ≤ 11

on utilise les propriétés des logarithmes pour se ramener à un cas décrit dans les colonnes de gauche :

⇔ ln𝑥

2≤ ln (1 − 3x)

on est dans le cas de la colonne de gauche : on trouve directement :

⇔ ln𝑥

2≤ ln(1 − 3𝑥)

⇔ 𝑥

2≤ 1 − 3𝑥

⇔ 7𝑥

2≤ 1

⇔ 𝑥 ≤2

7

ensemble solution ensemble solution (en tenant compte des CE)

ensemble solution (en tenant compte des CE)

𝑆 = ←,5

2[ 𝑆 = ]

1

3, 11] 𝑆 = ]0,

2

7]

Exercice 10

(P2 : Appliquer) Résous les inéquations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence.

a. log2(2𝑥 − 2) > log2 3 b. log2(1 − 2𝑥) ≤ 3

c. log3 𝑥 − log3 5 < 2 d. log2(3𝑥 + 3) − log2 3 ≥ 0

e. log (2𝑥 + 4) < log 4𝑥 f. log5(1 − 2𝑥) > 0

g. log 3𝑥 + log (1

3) < 2 h. log 3𝑥 − log (

1

3) < 2


Exercice 11

(P3 : Transférer) La fonction suivante 𝑠(𝑥) donne le niveau sonore exprimé en décibels, où 𝑥 est

l’intensité du son mesuré (en 𝑊

𝑚2) :

𝑠(𝑥) = 10 log(𝑥

10−12)

a. Si le niveau sonore est de 100 décibels, quelle est l’intensité du son ? Modélise la

situation à l’aide d’une équation logarithmique et résous-la pour trouver l’intensité du son.

b. Mon cousin déclare que quand il met ses deux enceintes de 85 décibels ensemble,

il produit 170 décibels, il se trouve qu’il se trompe car ce sont les intensités sonores qui

s’additionnent, pas le niveau sonore exprimé en décibels. Détermine combien de décibels

sont réellement produits, en utilisant les propriétés des logarithmes.

c. Un mégaphone permet de multiplier par 10 l’intensité de la voix, calcule

l’augmentation en décibels


Exercice 12

(P3 : Transférer) La fonction suivante 𝑚(𝑥) donne la magnitude d’un tremblement de terre selon l’échelle de Richter, où 𝑥 est l’amplitude maximale mesurée sur un sismographe :

𝑚(𝑥) = log(𝑥

2.48)

a. En décembre 2004, Sumatra en Indonésie a subi un tremblement de terre, la

magnitude du séisme était de 9.3 sur l’échelle de Richter. Modélise la situation à l’aide

d’une équation logarithmique et résous-la pour trouver l’amplitude au sismographe.

b. Ton cousin, qui ne s’y connaît pas plus en sismographie qu’en matériel sonore,

déclare qu’une augmentation de 2 degré sur l’échelle multiplie l’amplitude par 1000. A-t-

il raison ?

c. Le plus gros séisme enregistré a eu lieu en 1960 au Chili, la magnitude a atteint 9.5

sur l’échelle de Richter. En utilisant uniquement les propriétés des logarithmes, détermine

quelle est la magnitude d’un séisme dont l’amplitude est 100 fois plus petite.


1.6 Les graphes à échelle semi-logarithmique Le choix d'une échelle logarithmique est nécessaire pour représenter un phénomène qui a une

évolution très rapide ou très faible sur une partie de son domaine. On peut prendre comme

exemple l’évolution de la population de la Terre :

An

née

-10

00

0

-65

00

-50

00

40

0

10

00

12

50

15

00

17

00

17

50

18

00

18

50

19

00

19

10

19

20

19

30

19

40

Population (millions) 5 7.5 12.5 190 254 400 425 600 691 810 1120 1550 1750 1860 2070 2300

An

née

19

50

19

55

19

60

19

65

19

70

19

75

19

80

19

85

19

90

19

95

20

00

20

05

20

10

20

15

Population (millions) 2525 2758 3018 3322 3682 4061 4439 4852 5309 5735 6126 6519 6929 7349

On se rend compte que ce graphique ne permet :

• ni de bien percevoir l’évolution de la population avant -2000 car l’évolution est trop lente

(et donc le graphe est quasiment plat),

• ni de bien percevoir l’évolution de la population après l’an 1800 car l’évolution est trop

rapide (et donc la pente du graphe est presque verticale).


On peut donc imaginer représenter en ordonnée non pas directement la population, mais

l’exposant en base 10 de la population, c’est-à-dire le logarithme en base 10 de la population. A

nn

ée

-10

00

0

-65

00

-50

00

40

0

10

00

12

50

15

00

17

00

17

50

18

00

18

50

19

00

19

10

19

20

19

30

19

40

Population (millions) 5 7.5 12.5 190 254 400 425 600 691 810 1120 1550 1750 1860 2070 2300

log de la population 6.70 6.88 7.10 8.28 8.40 8.60 8.63 8.78 8.84 8.91 9.05 9.19 9.24 9.27 9.32 9.36

An

née

19

50

19

55

19

60

19

65

19

70

19

75

19

80

19

85

19

90

19

95

20

00

20

05

20

10

20

15

Population (millions) 2525 2758 3018 3322 3682 4061 4439 4852 5309 5735 6126 6519 6929 7349

log de la population 9.40 9.44 9.48 9.52 9.57 9.61 9.65 9.69 9.73 9.76 9.79 9.81 9.84 9.87

On peut désormais se rendre compte de l’évolution de la population à toutes les époques.

Néanmoins, avec cette méthode, la valeur de la population ne peut pas directement être retrouvée sur le graphique, en effet, on ne retrouve que le logarithme.

Il serait plus facile d’utiliser un graphique dont l’axe des ordonnées présente la valeur de population et non son logarithme, en gardant l’allure du graphe précédent pour encore percevoir l’évolution de la population.


Pour ce faire, on utilise un graphique à échelle semi-logarithmique. Il s’agit d’un graphique où l’allure de la courbe est identique à celle du graphe précédent, mais où on a uniquement changé la numérotation d’un des axes. Au lieu de donner la valeur du logarithme de la population sur l’axe vertical, on donne ici la valeur de la population, mais en conservant la graduation du graphe précédent. On dira donc que l’axe des ordonnées, n’est plus gradué linéairement (proportionnellement à l’unité) mais logarithmiquement (proportionnellement à une puissance d’un nombre, ici 10).

Les lignes horizontales représentent les unités entre 1 et 10, les dizaines entre 10 et 100, les centaines entre 100 et 1000, …, c’est-à-dire :

2

800

3

800

4

800

5

800

6

800

7

800

8

800

9

800

800

20

800

30

800

40

800

50

800

60

800

On remarque qu’il est impossible de

représenter les nombres inférieurs à 1 avec

cette graduation. En effet, l’échelle

logarithmique commence avec le nombre

pour lequel le logarithme vaut 0. Or, log(1)=0,

donc le premier nombre représenté sur l’axe

y est égal à 1 (voir aussi propriétés des

logarithmes au point 1.4.)


Exercice 13

(P1 : Connaître) Lire un axe logarithmique

On étudie l’augmentation du nombre N de bactéries dans un bouillon de culture. Au lieu de

représenter directement le nombre de bactéries, le graphe ci-dessous donne le logarithme en base

10 du nombre de bactéries.

Complète le tableau ci-dessous en déduisant le nombre de bactéries (N) du logarithme du nombre

de bactéries (log N) représenté sur le graphe :

x (h) 0 1 2 3 4 5 6

log N

N

Estime graphiquement le nombre de bactéries après 7 h :

log N après 7h = ……………………………………………………………………………………………

N après 7h = ……………………………………………………………………………………………

Estime graphiquement après combien de temps il y aura 100 bactéries dans le bouillon de culture,

représente la construction graphique utilisée sur le graphique ci-dessus :

N=100, donc log N = ……………………………………………………………………………………………

Pour obtenir 100 bactéries, il faut attendre …………………heures.


Exercice 14

(P2 : Appliquer) Représenter des données avec une échelle semi-logarithmique

On étudie l’augmentation du nombre de véhicules en Belgique depuis 1930. Les données sont

fournies sous la forme d’un graphique.

Complète le tableau ci-dessous en tirant les données du graphe. Ensuite, calcule les logarithmes

en base 10 de ces données et place-les sur le graphe ci-dessous:

Année 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

N

log N


1

10

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

N: Nombre de véhicules en Belgique

Année

Retranscris ces données sur le graphe à échelle semi-logarithmique ci-dessous :


1.7 Dérivation En cinquième année, nous avons étudié les dérivées, elles permettent de caractériser la croissance

et la décroissance des fonctions. Dans la section 1.2.1, nous avons introduit les exponentielles en

remarquant que pour une augmentation d’une unité de la variable, la valeur renvoyée par fonction

exponentielle était multipliée par un nombre appelé base. Ainsi il est intéressant de caractériser

leur croissance des fonctions exponentielles et de leurs réciproques, les fonctions logarithmiques.

Pour ce faire, nous étudions ici leurs fonctions dérivées.

1.7.1 Croissance et décroissance

Dans les paragraphes 1.2.2 et 1.2.5, nous avons observé que les fonctions exponentielles et

logarithmiques dont la base est comprise entre 0 et 1 étaient décroissantes sur tout leur domaine.

Nous avons vu en cinquième que cela se traduisait par une dérivée partout négative.

D’autre part, nous avons remarqué que les fonctions exponentielles et logarithmiques dont la base

est supérieure à 1 étaient croissantes. Leurs fonctions dérivées devront donc être positives

partout sur leur domaine.

1.7.2 Le nombre 𝒆

Il existe une base qui a des propriétés particulières. La fonction exponentielle définie dans cette

base a la particularité d’être égale à sa dérivée. Parmi toutes les fonctions, c’est la seule à avoir

cette propriété (tout en valant 1 en 0) et elle occupe de ce fait une place toute particulière dans

les mathématiques et dans de nombreux domaines scientifiques.

Cette base est égale au nombre appelé 𝑒 , c’est un nombre irrationnel qui vaut 2,71828...§

𝑒 peut se calculer à l’aide de la limite suivante :

𝑒 = lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

𝑛

La fonction exponentielle en base 𝑒 se note 𝑒𝑥, et comme indiqué plus tôt, elle a la particularité

d’être égale à sa dérivée, on notera donc :

(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥

C'est John Neper qui publia les premières tables logarithmiques (voir page 1), et on donnera plus

tard son nom à un logarithme particulier, dont la base vaut 𝑒. Au lieu d’être noté log𝑒 𝑥, ce

logarithme est appelé logarithme népérien et est noté ln 𝑥

Les fonctions exponentielle et logarithme de même base étant réciproques, on a la relation suivante :

𝑦 = ln 𝑥 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑒𝑦 = 𝑥

§ Il sera calculé de plus en plus précisément à partir du XVIIème siècle. En 1748, on en connaissait 18 décimales, 205 en 1871, 2010 en 1949, plus de 100000 en 1961, 10 millions en 1994, 50 milliards en 2003 et on en est à 5000 milliards à l’heure actuelle. Il est à noter que la précision de 1748 est largement suffisante pour la plupart des calculs faits à l’heure actuelle. L’intérêt de calculer un nombre faramineux de décimales est plus algorithmique que calculatoire, autrement dit, on cherche à développer la méthode de calcul sans vraiment s’intéresser au résultat du calcul. Ce n’est pas aussi vain qu’il pourrait y paraître, en effet de nombreuses découvertes mathématiques majeures ont été réalisées en essayant de trouver une solution à un problème d’importance mineure. Le nombre 𝑒 tient une place particulière dans la culture geek. Par exemple, pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir non pas capitaliser une somme ronde comme c'est le habituellement le cas, mais 2 718 281 828 $, soit 𝑒 milliards $.


1.7.3 Dérivées des fonctions exponentielles

La dérivée d’une fonction exponentielle 𝑎𝑥 de base quelconque 𝑎 est calculée à partir de la dérivée

de la fonction 𝑒𝑥 en utilisant les propriétés des exponentielles et logarithmes. Elle se calcule

comme suit :

(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎

Nous en faisons ici la démonstration. Puisque le logarithme et l’exponentielle de même base sont

des fonctions réciproques, « leurs effets se compensent ». Autrement dit, l’application successive

des deux fonctions sur une variable renvoie cette variable (voir 1.2.4), on a donc en base 𝑒, avec

une variable quelconque 𝑦 :

𝒚 = eln 𝒚

En prenant comme variable 𝑦 la fonction exponentielle de base 𝑎, c’est-à-dire 𝑦 = 𝑎𝑥, on obtient :

𝒂𝒙 = eln 𝒂𝒙 (équation 1)

Nous cherchons ici à déterminer la dérivée de la fonction 𝑎𝑥, notée (𝑎𝑥)′.

(𝑎𝑥)′ = (eln 𝑎𝑥)′

Avec la propriété du logarithme d’une puissance on a :

ln 𝑎𝑥 = 𝑥 ln 𝑎 (équation 2)

D’où :

(𝑎𝑥)′ = (e𝑥 ln 𝑎)′

Et en utilisant la formule de la dérivée d’une composée de fonctions vue en cinquième :

(𝑓(𝑔(𝑥)))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)

Avec :

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 𝑥 ln 𝑎

On a, avec la propriété de l’exponentielle en base, (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥,

et, avec la formule vue en cinquième, (𝑘𝑥)′ = 𝑘 :

𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑒𝑡 𝑔′(𝑥) = ln 𝑎

D’où

(𝑎𝑥)′ = (e𝑥 ln 𝑎)′ = e𝑥 ln 𝑎 . ln 𝑎

Avec les équations 1 et 2, on a finalement :

(𝑎𝑥)′ = (e𝑥 ln 𝑎)′ = e𝑥 ln 𝑎 . ln 𝑎 = eln 𝑎𝑥. ln 𝑎 = 𝑎𝑥 . ln 𝑎


On peut ainsi vérifier les déductions du point 1.7.1 :

Type de fonction strictement croissante strictement décroissante

Base 𝑎 0 < 𝑎 < 1 𝑎 > 1

Signe de la fonction 𝑎𝑥 positif : toute puissance d’un nombre positif est positive

Signe de la constante ln 𝑎 négatif positif

Signe de la fonction dérivée 𝑎𝑥 . ln 𝑎 négatif positif

Exemples

a. (3x)′ = 3x. ln 3

b. (42x+1)′

Il s’agit d’une fonction composée 𝑓(𝑔(𝑥)), avec 𝑓(𝑥) = 4𝑥 et 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1

Or (𝑓(𝑔(𝑥))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

𝑓′(𝑥) = (4𝑥)′ = 4𝑥. ln 4 et 𝑔′(𝑥) = (2𝑥 + 1)′ = 2

On a donc

(42𝑥+1)′ = 4𝑔(𝑥). ln 4 . 2 = 42𝑥+1. ln 4 . 2

c. (ex2)

′

Il s’agit d’une fonction composée 𝑓(𝑔(𝑥)), avec 𝑓(𝑥) = e𝑥 et 𝑔(𝑥) = x2


= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

𝑓′(𝑥) = (e𝑥)′ = ex et 𝑔′(𝑥) = (x2)′ = 2x

On a donc

(𝑒𝑥2)

′= 𝑒𝑔(𝑥). 2𝑥 = 𝑒𝑥2

. 2𝑥

Exercice 15

(P2 : Appliquer) Calcule la dérivée des fonctions décrites par leurs expressions analytiques :

a. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 b. 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥

c. 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥2+5𝑥+2 d. 𝑓(𝑥) = (𝑒𝑥 + 2)2

e. 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 f. 𝑓(𝑥) = 𝑒cos(𝑥)


1.7.4 Dérivées des fonctions logarithmes

1.7.4.1 Dérivée du logarithme népérien ln x

La dérivée de la fonction ln 𝑥 est calculée ici à partir à partir de la dérivée de la fonction 𝑒𝑥 en

utilisant les propriétés des exponentielles et logarithmes. Elle se calcule comme suit :

(ln 𝑥)′ =1

𝑥

Nous en faisons ici la démonstration. Nous utiliserons ici encore la propriété de réciprocité des

logarithme et exponentielle de même base. Ce sont des fonctions réciproques et l’application

successive des deux fonctions sur une variable renvoie cette variable (voir 1.2.4), on a donc en

base 𝑒, avec une variable quelconque 𝑥 :

𝒙 = eln 𝒙 (équation 1)

Deux fonctions étant égales, leurs dérivées sont égales. Dérivons les deux membres de cette

équation, on a :

(𝑥)′ = (eln 𝑥)′

Le premier membre se dérive aisément, on a en appliquant la formule (𝑘𝑥)′ = 𝑘 avec 𝑘 = 1 :

1 = (eln 𝑥)′ (équation 2)

Le second membre est la composée de deux fonctions : 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 et 𝑔(𝑥) = ln (𝑥) puisqu’on

cherche à dériver 𝑒𝑔(𝑥), c’est-à-dire 𝑓(𝑔(𝑥)). On en calcule la dérivée en utilisant la formule de la

dérivée d’une composée de fonctions vue en cinquième :

(𝑓(𝑔(𝑥)))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) avec 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 et 𝑔′(𝑥) = (ln 𝑥)′

Repartons de l’équation 2

1 = (eln 𝑥)′

= 𝑒ln 𝑥 . (ln 𝑥)′

Avec l’équation 1, on a :

1 = 𝑒ln 𝑥 . (ln 𝑥)′ = 𝑥. (ln 𝑥)′

Et donc, finalement :

1 = 𝑥. (ln 𝑥)′

(ln 𝑥)′ =1

𝑥

Il est à noter que la variable 𝑥 se trouvant au dénominateur, elle ne peut pas être nulle, cette

condition est automatiquement satisfaite, en effet, on ne peut calculer le logarithme que d’une

variable positive (voir 1.2.6) d’où 𝑥 > 0.


1.7.4.2 Dérivée du logarithme en base 𝑎

La dérivée d’une fonction logarithme log𝑎 𝑥 de base quelconque 𝑎 est calculée à partir de la

dérivée de la fonction ln 𝑥. Elle se calcule comme suit :

(log𝑎 𝑥)′ =1

𝑥. ln 𝑎

Nous en faisons ici la démonstration en utilisant la formule de changement de base :

log𝑎 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑎=

1

ln 𝑎 . ln 𝑥

Dérivons les deux membres de cette équation, on a :

(log𝑎 𝑥)′ = (1

ln 𝑎 . ln 𝑥)

′

1

ln 𝑎 est une constante, on utilise la formule (𝑘. 𝑓(𝑥))′ = 𝑘. 𝑓′(𝑥) avec 𝑘 =

1

ln 𝑎 et 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) :

(log𝑎 𝑥)′ = (1

ln 𝑎 . ln 𝑥)

′

=1

ln 𝑎 ∙ (ln 𝑥)′ =

1

ln 𝑎 ∙

1

𝑥=

1

𝑥 ln 𝑎

On peut ainsi vérifier les déductions du point 1.7.1 :

Type de fonction strictement croissante strictement décroissante

Base 𝑎 0 < 𝑎 < 1 𝑎 > 1

Signe de la fonction 1

𝑥

positif : on ne peut calculer le logarithme que d’une

variable positive (voir 1.2.6) d’où 𝑥 > 0, et donc 1

𝑥> 0

Signe de la constante 1

ln 𝑎 négatif positif

Signe de la fonction dérivée 1

𝑥 ln 𝑎 négatif positif

Exemples

a. (log1/4 𝑥)′ =1

𝑥.ln 1/4

b. (log2(𝑥2 − 5𝑥 + 4))′

Il s’agit d’une fonction composée 𝑓(𝑔(𝑥)), avec 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4


= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

𝑓′(𝑥) = (log2 𝑥)′ =1

𝑥.ln 2 et 𝑔′(𝑥) = (𝑥2 − 5𝑥 + 4)′ = 2𝑥 − 5

On a donc :(log2(𝑥2 − 5𝑥 + 4))′ =1

𝑔(𝑥).ln 2. (2𝑥 − 5) =

2𝑥−5

(𝑥2−5𝑥+4).ln 2

c. (ln 𝑥3)′ Cet exemple peut être résolu plus facilement en utilisant les propriétés des logarithmes qu’en utilisant la dérivée d’une composée de fonctions :

1. En utilisant la propriété du logarithme d’une puissance :

(ln 𝑥3)′ = (3 ln 𝑥)′ = 3(ln 𝑥)′ =3

𝑥

2. En utilisant la dérivée d’une fonction composée 𝑓(𝑔(𝑥)), avec 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥3

(𝑓(𝑔(𝑥))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) , avec 𝑓′(𝑥) = (ln(𝑥))′ =1

𝑥 et 𝑔′(𝑥) = (𝑥3)′ = 3𝑥2

On a donc :(ln 𝑥3))′ =1

𝑔(𝑥). (3𝑥2) =

3𝑥2

𝑥3 =3

𝑥


Exercice 16

(P2 : Appliquer) Calcule la dérivée des fonctions décrites par leur expression analytique :

a. 𝑓(𝑥) = log3(2𝑥 + 2) b. 𝑓(𝑥) = log (3 + 𝑥3)

c. 𝑓(𝑥) = ln2(𝑥 + 4) d. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 4)2

e. 𝑓(𝑥) = log3 √133

f. 𝑓(𝑥) = ln 𝑒𝑥


1.7.5 Règle de l’Hospital

La règle porte le nom d'un mathématicien français du XVIIe siècle, le marquis de l'Hospital, qui a publié l’« analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696) », premier livre de calcul différentiel à avoir été écrit en français. L'auteur de la règle est sans doute Jean Bernoulli, car l'Hospital payait à Bernoulli une pension de 300 francs par an pour le tenir informé des progrès du calcul infinitésimal, et pour résoudre les problèmes qu'il lui posait. Ils avaient en outre signé un contrat autorisant l'Hospital à utiliser les découvertes de Bernoulli à sa guise.**

Cette règle permet de résoudre des calculs de limite de quotients menant à des formes

indéterminées du type 0

0 ou

∞

∞, en utilisant la dérivation. Elle s’énonce comme suit :

Avec 𝑎 réel ou infini, si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions telles que :

• lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) mène à une indétermination du type

0

0 ou

∞

∞

• 𝑔′(𝑥) ≠ 0 à gauche ou a droite de 𝑎

• lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥) existe ou est égale à ±∞

Alors lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)

La règle est aussi valable pour le calcul de limites à gauche lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) et à droite lim

𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

Exemples

a. lim𝑥→1

𝑥2−2𝑥−1

𝑥3+3𝑥2−4=

0

0

Avec la règle de l’Hospital : lim𝑥→1

𝑥2+2𝑥−3

𝑥3+3𝑥2−4= lim

𝑥→1

(𝑥2+2𝑥−3)′

(𝑥3+3𝑥2−4)′ = lim𝑥→1

2𝑥+2

3𝑥2+6𝑥=

4

9

b. lim𝑥→+∞

𝑒𝑥

5𝑥=

+∞

+∞

Avec la règle de l’Hospital : lim𝑥→+∞

𝑒𝑥

5𝑥= lim

𝑥→+∞

(𝑒𝑥)′

(5𝑥)′ = lim𝑥→+∞

𝑒𝑥

5=

+∞

5= +∞

Exercice 17

(P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes

a. lim𝑥→1

𝑥3+4𝑥2−12𝑥+7

𝑥4−5𝑥3+𝑥2+21𝑥−18=

b. lim𝑥→1

ln 𝑥

𝑥2−1=

c. lim𝑥→+∞

𝑥

ln 𝑥=

** https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L%27H%C3%B4pital

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