Exos 2

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dit le 21 octobre 2015 Enoncs 1

Sries numriquesNature de sries numriques

Exercice 1 [ 01020 ] [Correction]Dterminer la nature des sries dont les termes gnraux sont les suivants :

a) un = nn2+1b) un = ch(n)ch(2n)

c) un = 1n21 1n2+1d) un = e

(1 + 1n

)nExercice 2 [ 02353 ] [Correction]Dterminer la nature des sries dont les termes gnraux sont les suivants :

a) un =(

n

n+ 1

)n2b) un =

1n cos2 n c) un =

1(lnn)lnn

Exercice 3 [ 03195 ] [Correction]Dterminer la nature de la srie de terme gnral

un =(

1n

)1+ 1n


un ={

1/n si n est un carr1/n2 sinon

Exercice 5 [ 02789 ] [Correction]Nature de la srie de terme gnral

e (1 + 1n)nn3/2 n3/2+ n

Exercice 6 [ 02432 ] [Correction]a) Etudier

un o un =

10

dx1+x++xn .

b) Etudiervn o vn =

10

xndx1+x++xn .

Exercice 7 [ 03881 ] [Correction]Pour a > 0, tudier la convergence de

n>1

a

nk=1

1k

Exercice 8 [ 02376 ] [Correction]Soit (un) une suite de rels strictement positifs vrifiant

un+1un

= 1 n

+ O(

1n2

)avec R

a) Pour quelles valeurs de la srieun converge ?

b) Pour quelles valeurs de la srie

(1)nun converge ?

Exercice 9 [ 01029 ] [Correction][Rgle de Raabe-Duhamel]Soient (un)nN et (vn)nN deux suites de rels strictement positifs.a) On suppose qu partir dun certain rang

un+1un

vn+1vn

Montrer que un =n+O(vn).b) On suppose que

un+1un

=n+ 1

n+ o

(1n

)avec > 1

Montrer, laide dune comparaison avec une srie de Riemann, que la srieun converge.

c) On suppose cette fois-ci que

un+1un

=n+ 1

n+ o

(1n

)avec < 1

Montrer que la srieun diverge

Diffusion autorise titre entirement gratuit uniquement - dD


Exercice 10 [ 02800 ] [Correction]a) Soient (un)n>0 et (vn)n>0 deux suites relles, R. On suppose :

n N, un > 0 ;|vn| converge et un+1

un= 1

n+ vn

Montrer que (nun) converge.b) Nature de la srie de terme gnral

nn

n!en ?

Exercice 11 [ 02516 ] [Correction]Soient

un =1

3nn!

nk=1

(3k 2) et vn = 1n3/4

a) Montrer que pour n assez grand,un+1un

> vn+1vn

b) En dduire queun diverge. (on pourra utiliser unvn )

Exercice 12 [ 01040 ] [Correction]Donner la nature de la srie des j

n

n.

Nature de sries de signe non constant

Exercice 13 [ 01034 ] [Correction]Dterminer la nature de

un pour :

a) un = (1)n

n2+1

b) un = (1)n

n+1

c) un = ln(

1 + (1)n

n+1

)d) un = cos

(pin2 + n+ 1

)Exercice 14 [ 01035 ] [Correction]Dterminer la nature de

n>1

(1)nnn!


n>1sin(npi + pi

n

)

Exercice 16 [ 03772 ] [Correction]Donner la nature de la srie de terme gnral

un = cos(n2pi ln(1 1/n))

Exercice 17 [ 01045 ] [Correction]Dterminer la nature de la srie de terme gnral :

un =(1)nn

k=11k

+ (1)n1


un pour :

a) un =n+ (1)n n b) un = (1)

n

ln(n+ (1)n) c) un =(1)n

ln(n) + (1)n

Exercice 19 [ 02793 ] [Correction]Convergence de la srie de terme gnral un = sin

(pin2 + 1

).


un = sin(pi(2 +

3)n)

Exercice 21 [ 01335 ] [Correction]Etudier la srie de terme gnral

un = (1)n sin(lnn)n



Exercice 22 [ 03236 ] [Correction]Montrer la divergence de la srie cos(lnn)

n

Exercice 23 [ 01337 ] [Correction]Quelle est la nature de la srie de terme gnral

ein

n

?

Exercice 24 [ 03208 ] [Correction] dsigne un rel strictement positif.Dterminer la nature de la srie de terme gnral

un = (1)n/n

0

|x|1 + x dx

Convergence de sries termes positifs

Exercice 25 [ 03355 ] [Correction]Soient (un)nN une suite de rels positifs et (vn)nN la suite dtermine par

vn = u2n + u2n+1

Montrer : un converge

vn converge

Exercice 26 [ 01022 ] [Correction]Soient

un et

vn deux sries termes strictement positifs convergentes.

Montrer que les suivantes sont aussi convergentesmax(un, vn),

unvn et

unvnun + vn

Exercice 27 [ 01023 ] [Correction]Soit

un une srie termes positifs convergente.

Montrer que

unun+1 est aussi convergente

Exercice 28 [ 03411 ] [Correction]Soit a une suite de rels positifs. Comparer les assertions(i) la srie de terme gnral an converge ;(ii) la srie de terme gnral anan+1 converge.


un une srie termes positifs. On suppose que

nun ` R+

a) Montrer que si ` > 1 alorsun est divergente.

b) Montrer que si ` < 1 alorsun est convergente.

c) Observer que, lorsque ` = 1, on ne peut rien conclure.

Exercice 30 [ 01026 ] [Correction]Soient (un) une suite de rels positifs et

vn =un

1 + unMontrer que les sries

un et

vn sont de mme nature.

Exercice 31 [ 01027 ] [Correction]Soit (un) une suite de rels strictement positifs.a) Pour tout n N, on pose

vn =un

1 + unMontrer que

un et

vn sont de mme nature.

b) Mme question avecvn =

unu1 + + un

On pourra tudier ln(1 vn) dans le cadre de la divergence.

Exercice 32 [ 03119 ] [Correction]Soient (un)n>0 et (vn)n>0 dans (R+)N telles que

n N, vn = 11 + n2unMontrer que si la srie de terme gnral vn converge alors la srie de termegnral un diverge.



Exercice 33 [ 03235 ] [Correction]Soit (un)n>1 une suite de rels positifs. On considre la suite (vn) dfinie par

vn =1

n(n+ 1)

nk=1

kuk

Montrer que les sriesun et

vn ont mme nature et quen cas de convergence

+n=1

un =+n=1

vn


an une srie termes strictement positifs convergente.

Etablir la convergence de la sriea

11/nn .


an une srie termes positifs convergente.

Peut-on prciser la nature de la srie de terme gnral

un = a0a1 . . . an ?

Exercice 36 [ 03750 ] [Correction]Soit (un) une suite relle strictement positive et convergeant vers 0. On pose

vn =un+1Sn

avec Sn =nk=0

uk

Montrer que les sriesun et

vn ont mme nature.

Exercice 37 [ 02956 ] [Correction]Soit (un)n>1 une suite de rels strictement positifs.On pose, pour n N?,

vn = un/Sn o Sn = u1 + + unDterminer la nature de

vn.

Exercice 38 [ 02958 ] [Correction]Soit (un) une suite relle strictement positive telle que la srie de terme gnralun converge.On note le reste dordre n

Rn =+

k=n+1uk

Etudier la nature des sries de termes gnraux un/Rn et un/Rn1.

Exercice 39 [ 02959 ] [Correction]Soit (un)une suite relle strictement positive et strictement croissante.Nature de la srie de terme gnral

un+1 unun

Exercice 40 [ 03716 ] [Correction]Soient (an) une suite de rels strictement positifs et Sn =

nk=0 ak.

a) On suppose que la sriean converge, donner la nature de

an/Sn.

b) On suppose que la sriean diverge, montrer

n N, anS2n 1Sn1

1Sn

En dduire la nature dean/S

2n.

c) On suppose toujours la divergence de la sriean.

Quelle est la nature dean/Sn ?

Exercice 41 [ 03225 ] [Correction]Soit f : [1,+[ R de classe C1 strictement positive telle que

xf (x)f(x) x+ ` R

a) On suppose ` > 1 ou ` = 1+. Montrer la divergence de la srien>1

f(n)

b) On suppose ` < 1. Montrer la convergence de la srien>1

f(n)



Critre spcial

Exercice 42 [ 01038 ] [Correction]

a) Justifier lexistence, pour n N de

Rn =+

k=n+1

(1)kk

b) Montrer que

Rn +Rn+1 =+

k=n+1

(1)kk(k + 1)

c) Dterminer un quivalent de Rn.d) Donner la nature de la srie de terme gnral Rn.

Exercice 43 [ 01036 ] [Correction]Montrer que

+n=0

(1)n8n(2n)!

est un rel ngatif.

Exercice 44 [ 01037 ] [Correction]On rappelle la convergence de lintgrale de Dirichlet

I = +

0

sin tt

dt

En observant

I =+n=0

(1)n pi

0

sin tnpi + t dt

dterminer le signe de I.

Exercice 45 [ 04131 ] [Correction]On pose

sn =nk=1

(1)k+1k

et un = ln (esn 1)

a) noncer le thorme des sries spciales alternes, en faire la preuve.b) Prouver que les suites (sn)n>1 et (un)n>1 convergent.c) tudier la nature de

un.

Etude de sries termes positifs

Exercice 46 [ 01025 ] [Correction]Soit (un)nN une suite dcroissante relle. On suppose que la srie

un converge.

a) On pose Sn =nk=0 uk. Dterminer la limite de S2n Sn.

b) En dduire 2nu2n n+ 0.

c) Conclure que nun n+ 0.

Exercice 47 [ 03233 ] [Correction]Soient (un) une suite dcroissante de rels positifs et un rel positif.On suppose la convergence de la srie

nun

Montrern+1un 0

Exercice 48 [ 02957 ] [Correction]Soit (un) une suite relle strictement positive, dcroissante, de limite nulle.On suppose que la suite de terme gnral

nk=1

uk nun

est borne.Montrer que la srie de terme gnral un converge.



Sries dont le terme gnral est dfini par rcur-rence

Exercice 49 [ 01097 ] [Correction]Soit (un) la suite dfinie par u0 [0, pi] et pour tout n N,

un+1 = 1 cosunMontrer que un 0 et dterminer la nature de la srie de terme gnral un.

Exercice 50 [ 01098 ] [Correction]Soit (un) la suite dfinie par u0 > 0 et pour tout n N,

un+1 =

1 + un

Montrer que (un) converge vers un rel `.Quelle est la nature de la srie de terme gnral un ` ?

Exercice 51 [ 03371 ] [Correction]a) Dterminer la limite de la suite dfinie par

u0 > 0 et n N, un+1 = eun

n+ 1

b) Dterminer la limite de la suite dfinie par

vn = nun

c) Donner la nature de la srieun et celle de la srie

(1)nun

Exercice 52 [ 03012 ] [Correction]La suite (an)n>0 est dfinie par a0 ]0, pi/2[ et

n N, an+1 = sin(an)Quelle est la nature de la srie de terme gnral an ?

Exercice 53 [ 01099 ] [Correction]Soient u0 ]0 ;pi/2[ et un+1 = sin un pour tout n N.

a) Montrer que un 0+.b) Exploiter un+1 un pour montrer que

n0 u

3n converge.

c) Exploiter ln un+1 ln un pour montrer quen0 u

2n diverge.

Exercice 54 [ 02961 ] [Correction]Soit (un) une suite relle telle que u0 > 0 et pour tout n > 0,

un = ln(1 + un1)

Etudier la suite (un) puis la srie de terme gnral un.

Exercice 55 [ 02440 ] [Correction]Soit (an)n>0 une suite dfinie par a0 R+? et pour n N,

an+1 = 1 ean

a) Etudier la convergence de la suite (an).b) Dterminer la nature de la srie de terme gnral (1)nan.c) Dterminer la nature de la srie de terme gnral a2n.d) Dterminer la nature de la srie de terme gnral an laide de la srie

ln(an+1an

)

Exercice 56 [ 01101 ] [Correction]Soit (un) la suite dfinie par u0 ]0, 1[ et pour tout n N,

un+1 = un u2na) Existence et ventuellement calcul de

+n=0

u2n et+n=0

ln(1 un)

b) Nature de la srie de terme gnral un ?



Exercice 57 [ 02951 ] [Correction]Soit (un)n>0 la suite dfinie par u0 [0, 1] et

n N, un+1 = un u2na) Quelle est la nature de la srie de terme gnral un ?b) Mme question lorsque un est dfinie par la rcurrence un+1 = un u1+n (avec > 0).

Exercice 58 [ 01100 ] [Correction]Soient (an) une suite positive et (un) la suite dfinie par u0 > 0 et pour tout n N

un+1 = un + an/unMontrer que la suite (un) est convergente si, et seulement si, la srie de termegnral an est convergente.

Exercice 59 [ 02960 ] [Correction]Soit u RN telle que u0 ]0, 1] et que, pour un certain > 0 et pour tout n N,

un+1 = sin unEtudier la nature de la srie de terme gnral un.

Exercice 60 [ 02433 ] [Correction]Soit > 0 et (un)n>1 la suite dfinie par :

u1 > 0 et n > 1, un+1 = un + 1nun

a) Condition ncessaire et suffisante sur pour que (un) converge.b) Equivalent de un dans le cas o (un) diverge.c) Equivalent de (un `) dans le cas o (un) converge vers `.

Comparaison sries intgrales


laide dune comparaison avec une intgrale, donner la nature de la srien2

1n lnn


un =1

(ln 2)2 + + (lnn)2

Exercice 63 [ 00664 ] [Correction]Soit a ]0, 1[. Dterminer la nature de la srie

n>0an.


un =+

k=n+1

1k2

Exercice 65 [ 01066 ] [Correction]Pour > 1, on pose

SN =Nn=1

1n

et RN =+

n=N+1

1n

tudier, selon , la nature de la srien1

RnSn

.


n>0

un une srie divergente de rels strictement positifs. On note Sn =nk=0

uk.

Montrer, laide dune comparaison intgrale que pour tout > 1, il y aconvergence de la srie

n>1

unSn

converge


Pour > 1 on pose

() =+n=1

1n

Dterminer la limite de ( 1)() quand tend vers 1+




En exploitant une comparaison avec des intgrales, tablir :

a)nk=1k 23n

n b) ln(n!) n lnn c) nk=2 1k ln k ln(lnn)

Exercice 69 [ 01069 ] [Correction]En exploitant une comparaison srie-intgrale, dterminer

lima+

+n=1

a

n2 + a2

Exercice 70 [ 02431 ] [Correction]Soit a > 0, b > 0 et pour n N?,

An =1n

nk=1

(a+ bk), Bn =nk=1

(a+ bk)1/n

Trouver limn

BnAn

en fonction de e.

Exercice 71 [ 02434 ] [Correction]Soit, pour x R,

f(x) =cos(x1/3

)x2/3

a) Nature la srie de terme gnral

un = n+1n

f(x) dx f(n)

b) Nature de la srie de terme gnral f(n).(indice : on pourra montrer que sin

(n1/3

)nadmet pas de limite quand n +

c) Nature de la srie de terme gnral

sin(n1/3

)n2/3

Exercice 72 [ 02810 ] [Correction]On pose f(x) = sin(ln x)x pour tout x > 1 et un =

nn1 f(t) dt f(n) pour tout

entier n > 2.a) Montrer que f est intgrable sur [1,+[.b) Montrer que la srie de terme gnral un est absolument convergente.c) Montrer que la suite (cos(lnn)) diverge.d) En dduire la nature de la srie de terme gnral f(n).

Exercice 73 [ 03449 ] [Correction]Soit f : [1 ; +[ C une fonction de classe C1 telle que f est intgrable sur[1 ; +[.a) Montrer que la srie numrique

f(n) converge si, et seulement si, la suite( n

1 f(t) dt)converge.

b) Application : tudier la convergence de+n=1

sinn

n

Exercice 74 [ 03045 ] [Correction]Pour n N?, soit

fn : x ]n,+[nk=1

1x k

Soit a > 0. Montrer quil existe un unique rel, not xn tel que fn(xn) = a.Dterminer un quivalent de xn quand n +.

Exercice 75 [ 03086 ] [Correction]Etudier

limn+n

+k=n

(1k2

enk)

Exercice 76 [ 04069 ] [Correction]Soit f : [0,+[ R continue, positive et croissante.Etablir que les objets suivants ont mme nature +

0f(et)

dt,

f(en

)et 1

nf

(1n

)



Comportement asymptotique de sommes

Exercice 77 [ 01032 ] [Correction]Montrer la convergence de

+k=0

1k!

puis la majoration du reste+

k=n+1

1k! 6

1n.n!

Exercice 78 [ 01059 ] [Correction]Soit < 1. Dterminer un quivalent de

nk=1

1k

Exercice 79 [ 01060 ] [Correction]Soit > 1. Donner un quivalent simple

RN =+

n=N+1

1n


Sn =nk=1

1k +k

a) Donner un quivalent simple de Sn.b) Montrer que

Sn =n+ lnn+ C + o(1)


Sn =nk=1

1k2 +

k

a) Montrer que (Sn)n1 converge vers une constante C.b) tablir que

Sn =n+C

1n

+ o(

1n

)

Exercice 82 [ 03070 ] [Correction]Former un dveloppement asymptotique deux termes de

+k=n+1

1k2


a) Sous rserve dexistence, dterminer pour 1

limn+

2nk=n+1

1k

b) Sous rserve dexistence, dterminer

limn+

2nk=n+1

sin(

1k

)


un =nk=1

3k 13k

a) Montrer quil existe des constantes et telles que

ln un = lnn+ + o(1)

En dduire un quivalent de un.b) Dterminer la nature de

n>1

un.



Exercice 85 [ 03882 ] [Correction]Dterminer

limn+

1n

nk=1

(3k 1)1/n

Exercice 86 [ 01092 ] [Correction]Dterminer un quivalent simple de :

a)+k=1

1k(nk + 1) b)

+k=1

1k(n+ k)

Exercice 87 [ 03226 ] [Correction]Pour n N?, on pose

Hn =nk=1

1k

Pour p N, on posenp = min {n N/Hn > p}

Dterminer un quivalent de np quand p +

Exercice 88 [ 01325 ] [Correction]Soit j N. On note j le plus petit entier p N? vrifiant

pn=1

1n> j

a) Justifier la dfinition de j .b) Dmontrer que j

j++.

c) Dmontrer j+1j j+ e.

Exercice 89 [ 02950 ] [Correction]Soit (un)n>1 une suite dlments de R+?.On pose

vn =1nun

(nk=1

uk

)et wn =

1n2un

(nk=1

kuk

)On suppose que (vn) tend vers a R+?.Etudier la convergence de (wn).


Hn =nk=1

1k

a) Montrer la convergence de la srie 1k

+ ln(

1 1k

)On pose

= 1 ++k=2

[1k

+ ln(

1 1k

)]b) tablir

Hn = lnn+ + navec n quon exprimera laide du reste dune srie convergente.

c) En dduire

Hn =n+ lnn+ +

12n + o

(1n

)

Nature de sries dpendant dun paramtre

Exercice 91 [ 01082 ] [Correction]tudier en fonction de R la nature de

n2

1n lnn


un =1

n(lnn)


un =

1 +

2 + +nn

(avec R)

Mme question avec la srie de terme gnral (1)nun.



Exercice 94 [ 02795 ] [Correction]Soit R?. On pose, pour n N?

un =1

nk=1

k

Nature de la srie de terme gnral un ?


n

nk=2

ln2 k

o est rel.

Exercice 96 [ 01081 ] [Correction]Dterminer en fonction du paramtre R la nature des sries de termesgnraux :

a) un = en

b) un =lnnn

c) un = exp((lnn))

Exercice 97 [ 01083 ] [Correction]Soient a, b R. Dterminer la nature de la srie

n1lnn+ a ln(n+ 1) + b ln(n+ 2)

Calculer la somme lorsquil y a convergence.

Exercice 98 [ 01084 ] [Correction]Soient a, b R. Dterminer la nature de la srie

n>1

n+ a

n+ 1 + b

n+ 2

Calculer la somme lorsquil y a convergence.

Exercice 99 [ 01085 ] [Correction]Dterminer une condition ncessaire et suffisante sur les rels a, b, c pour quil yait convergence de la suite de terme gnral

a1

+ b2

+ c3

+ a4

+ b5

+ c6

+

Exercice 100 [ 01086 ] [Correction]Soit un rel. Etudier la nature des sries de terme gnral

un =n

1 + 2n , vn =2n

1 + 2n , wn =1

1 + 2n

Exercice 101 [ 01088 ] [Correction]Dterminer en fonction de R+, la nature de (1)n

n + (1)n

Exercice 102 [ 01087 ] [Correction]Soit > 0. Prciser la nature de la srie

n>2

un avec

un =(1)n

n + (1)n

Exercice 103 [ 02515 ] [Correction]Etudier la nature de la srie de terme gnral

un = ln(

1 + sin (1)n

n

)pour > 0.


un = ln(

1 + (1)n

na

)o a > 0.




un = ln(

n+ (1)nn+ a

)o a R.

Exercice 106 [ 02430 ] [Correction]On note un =

pi/40 (tan t)

n dt.a) Dterminer la limite de un.b) Trouver une relation de rcurrence entre un et un+2.c) Donner la nature de la srie de terme gnral (1)nun.d) Discuter suivant R, la nature de la srie de terme gnral un/n.

Exercice 107 [ 02798 ] [Correction]Soient R et f C0([0 ; 1],R) telle que f(0) 6= 0. tudier la convergence de lasrie de terme gnral

un =1n

1/n0

f(tn) dt

Exercice 108 [ 02799 ] [Correction]Soient > 0 et (un) une suite de rels strictement positifs vrifiant

u1/nn = 11n

+ o(

1n

)La srie de terme gnral un converge-t-elle ?

Exercice 109 [ 02802 ] [Correction]Soient (a, ) R+ R et, pour n N? :

un = a

nk=1

1/k

a) Pour quels couples (a, ) la suite (un) est-elle convergente ? Dans la suite, onsuppose que tel est le cas, on note ` = lim un et on pose, si n N?,

vn = un `b) Nature des sries de termes gnraux vn et (1)nvn.

Exercice 110 [ 03429 ] [Correction]Soient p N et > 0. Dterminer la nature des sries de termes gnraux

vn =(n+ pp

)et wn = (1)n

(n+ pp

)

Exercice 111 [ 03704 ] [Correction]a) En posant x = tan t, montrer pi/2

0

dt1 + a sin2(t)

= pi2

1 + a

b) Donner en fonction de > 0 la nature de la srie pi0

dt1 + (npi) sin2(t)

c) Mme question pour (n+1)pinpi

dt1 + t sin2(t)

d) Donner la nature de lintgrale +0

dt1 + t sin2(t)


un =+p=n

1(p+ 1) et vn =

+p=n

(1)p(p+ 1)

a) Dterminer la nature de la srie de terme gnral un selon .b) Dterminer la nature de la srie de terme gnral vn selon .

Exercice 113 [ 03104 ] [Correction]On note an le nombre de chiffres dans lcriture dcimale de lentier n > 1. Pourquelles valeurs de x R y a-t-il convergence de la srie xan

n3?



Calcul de somme

Exercice 114 [ 01049 ] [Correction]Existence et valeur de

+n=0

1(2n+1)2 sachant

+n=1

1n2 =

pi2

6 .

Exercice 115 [ 01048 ] [Correction]Nature puis somme de la srie

n1

1n(n+ 1)(n+ 2)


On donne+k=1

1k2 =

pi2

6 . Calculer

+k=1

1k2(k + 1)2

aprs en avoir justifi lexistence.

Exercice 117 [ 03895 ] [Correction]Existence et valeur de

+n=2

ln(

1 + (1)n

n

)

Exercice 118 [ 03633 ] [Correction]Existence et calcul de

+n=2

ln(

1 1n2

)

Exercice 119 [ 01058 ] [Correction]En utilisant la formule de Stirling, calculer

+n=1

(1)n ln(

1 + 1n

)


Sachant+n=0

1n! = e, calculer

+n=0

n+ 1n! et

+n=0

n2 2n!

Exercice 121 [ 02806 ] [Correction]Nature et calcul de la somme de la srie de terme gnral

+k=n

(1)kk2

Exercice 122 [ 02426 ] [Correction]Calculer pour x ]1, 1[

+n=1

xn

(1 xn)(1 xn+1)

Exercice 123 [ 03448 ] [Correction]Existence et valeur pour m > 1 de

Sm =+n=1

1n(n+ 1) . . . (n+m)

Exercice 124 [ 03622 ] [Correction]Calculer la somme de la srie de terme gnral

un = arctan1

n2 + 3n+ 3

Exercice 125 [ 01057 ] [Correction]Pour p N, on pose

ap =+n=0

np

2n

a) Montrer que ap existe puis exprimer ap en fonction de a0, . . . , ap1.b) En dduire que ap N.



Exercice 126 [ 02801 ] [Correction]Soient dans R?, a et b dans R\N. On pose

u0 = et n N, un+1 = n an b un

Etudier la nature de la srie de terme gnral un et calculer ventuellement sasomme.


un = 1

0xn sin(pix) dx

Montrer que la srieun converge et que sa somme vaut pi

0

sin tt

dt

Exercice 128 [ 03796 ] [Correction]Convergence et somme de la srie

k>2

1k21 .

Convergence et somme de

k>2

k + 1

kk

Exercice 129 [ 02803 ] [Correction]Etudier

limn limm

ni=0

mj=0

(1)i+jti+j+1

Calcul de somme par la constante dEuler

Exercice 130 [ 01055 ] [Correction]Justifier et calculer

+n=1

1n(2n 1)


+n=1

5n+ 6n(n+ 1)(n+ 2)


+n=1

1n(n+ 1)(2n+ 1)

Exercice 133 [ 01054 ] [Correction]On rappelle lexistence dune constante telle quon ait

nk=1

1k

= lnn+ + o(1)

a) Calculer la somme de la srie de terme gnral un = (1)n1/n.b) Mme question avec un = 1/n si n 6= 0 [3] et un = 2/n sinon.

Exercice 134 [ 02804 ] [Correction]Convergence puis calcul de

+n=1

112 + 22 + + n2

Exercice 135 [ 02964 ] [Correction]Calculer

n=0

(1

4n+ 1 3

4n+ 2 +1

4n+ 3 +1

4n+ 4

)

Exercice 136 [ 01056 ] [Correction]a) Donner un dveloppement asymptotique deux termes de

un =np=2

ln pp



On pourra introduire la fonction f : t 7 (ln t)/t.b) A laide de la constante dEuler, calculer

+n=1

(1)n lnnn


f(x) = ln xx

a) Nature des sries de termes gnraux f(n) puis (1)nf(n).b) Montrer la convergence de la srie de terme gnral

f(n) nn1

f(t) dt

c) Calculer+n=1

(1)nf(n)

Indice : On pourra sintresser la quantit

2nk=1

f(2k)2nk=1

f(k)

Calcul de somme par drivation ou intgration

Exercice 138 [ 01052 ] [Correction]Soit > 0. Montrer

+k=0

(1)kk + =

10

x1

1 + x dx

Exercice 139 [ 01051 ] [Correction]Soit x ]1, 1[. Calculer

+k=0

kxk


+n=0

(1)n4n+ 1


+n=0

1(4n+ 1)(4n+ 3)

Application ltude de suites

Exercice 142 [ 01070 ] [Correction]Calculer la limite de

un = 1 +12 + +

1n(

1n+ 1 +

1n+ 2 + +

1n2

)


an =1

n+ 1 +1

n+ 2 + +1

3na) Montrer que la suite (an) converge et trouver sa limite .b) Trouver un quivalent simple de an .

Exercice 144 [ 01072 ] [Correction]Pour tout n N, soit

un =(2n)!

(2nn!)2

a) Dterminer un quivalent de

ln un+1 ln unEn dduire que un 0.

b) En sinspirant de ce qui prcde, tablir quenun C > 0 (on ne cherchera

pas expliciter la valeur de C).



Exercice 145 [ 01073 ] [Correction]Pour tout n N, on pose

un =(2n)!

(2nn!)2

a) Dterminer un quivalent de ln un+1 ln un. En dduire que un 0.b) Montrer que nun +. En dduire la nature de la srie

un.

c) On pose vn = unn+1 . En observant et en sommant les galits(2k + 4)vk+1 = (2k + 1)vk calculer Tn =

nk=0 vk en fonction de n et vn+1.

En dduire la valeur de+n=0

unn+ 1

Exercice 146 [ 01078 ] [Correction]Soient 0 < a < b et (un)nN une suite strictement positive telle que pour toutn N,

un+1un

= n+ an+ b

a) Montrer que un n+ 0. On pourra tudier ln(un).

b) Soient R et vn = nun. En tudiant (vn)n1, montrer quil existe A > 0tel que

un n+

A

nba

c) On suppose b a > 1. En crivant

(n+ 1)un+1 nun = aun + (1 b)un+1donner la valeur de la somme

+n=0

un

Exercice 147 [ 01080 ] [Correction]Soit (un) une suite de rels strictement positifs telle que

un+1un

= 1 + n

+O(

1n2

), avec R

a) Pour quel(s) R y a-t-il convergence de la srie de terme gnral

vn = ln(n+ 1)un+1

nun?

b) En dduire quil existe A R+ pour lequelun An

Exercice 148 [ 01079 ] [Correction]Pour R\Z?, on considre (un)n>1 dfinie par

u1 = 1 et un+1 = (1 + /n)un

a) Pour quel(s) R y a-t-il convergence de la srie de terme gnral

vn = ln(

(n+ 1)un+1nun

)?

b) En dduire quil existe A R+? pour lequel un An.

Exercice 149 [ 01074 ] [Correction]Montrer que

un =n!ennn+1/2

a une limite non nulle.

Exercice 150 [ 01077 ] [Correction]Etudier la limite de

un = 1

0

(1 u)n 1u

du+ lnn


Pn =nk=2

(1 + (1)

k

k

)Montrer quil existe R tel que

Pn e

n



Exercice 152 [ 01071 ] [Correction]Soit a > 0.a) Dterminer la limite de la suite de terme gnral

un =a(a+ 1) . . . (a+ n 1)

n!

b) Quelle est la nature de la srie de terme gnral un ?

Exercice 153 [ 02429 ] [Correction]On fixe x R+?. Pour n N?, on pose

un =n!xn

nk=1

ln(

1 + xk

)a) Etudier la suite de terme gnral ln(un+1) ln(un).En dduire que la suite (un)n>1converge et prciser sa limite.b) Etablir lexistence de R tel que la srie de terme gnral :

ln(un+1) ln(un) ln(

1 + 1n

)converge.c) Etablir lexistence de A R? tel que un An.d) Etudier la convergence de la srie de terme gnral un.

Exercice 154 [ 02784 ] [Correction]Soit u0 ]0, 2pi[ puis

n N, un+1 = sin (un/2)a) Montrer que (un) tend vers 0.b) Montrer que lim(2nun) = A pour un certain A > 0.c) Trouver un quivalent simple de (un A2n).

Exercice 155 [ 03047 ] [Correction]Soit (un) une suite complexe telle que pour tout p N?, upn un 0. Peut-onaffirmer que la suite (un) converge ?

Exercice 156 [ 02418 ] [Correction]Former un dveloppement asymptotique trois termes de la suite (un) dfinie par

u1 = 1 et n N?, un+1 = (n+ un1n )1/n

Exercice 157 [ 02949 ] [Correction]Etudier la limite quand n + de

nk=1

(k

n

)n

Exercice 158 [ 03057 ] [Correction]On note (zn)n>1 la suite de terme gnral

zn = 2n exp(itn

)Etudier

limn+

2n 1zn 1 2n 2zn 2 2n nzn n = limn+

nk=1

2n kzn k

Etude thorique

Exercice 159 [ 01033 ] [Correction]Montrer que la somme dune srie semi-convergente et dune srie absolumentconvergente nest que semi-convergente.

Exercice 160 [ 02962 ] [Correction]Donner un exemple de srie divergente dont le terme gnral tend vers 0 et dontles sommes partielles sont bornes.

Exercice 161 [ 03097 ] [Correction]On dit que la srie de terme gnral un enveloppe le rel A si, pour tout entiernaturel n, on a :

un 6= 0 et |A (u0 + u1 + + un)| 6 |un+1|



On dit quelle enveloppe strictement le rel A sil existe une suite (n)n>1dlments de ]0, 1[ telle que pour tout entier naturel n :

A (u0 + u1 + + un) = n+1un+1a) Donner un exemple de srie divergente qui enveloppe A > 0.Donner un exemple de srie convergente qui enveloppe un rel.Donner un exemple de srie convergente qui nenveloppe aucun rel.b) Dmontrer que, si la srie de terme gnral un enveloppe strictement A, alorselle est alterne.Dmontrer que A est alors compris entre deux sommes partielles conscutives.c) Dmontrer que, si la srie de terme gnral un est alterne et que, pour toutentier n N?A (u0 + u1 + + un) est du signe de un+1, alors, elle enveloppe strictement A.d) Dmontrer que, si la srie de terme gnral un enveloppe A et si la suite determe gnral |un| est strictement dcroissante, alors, la srie est alterne etencadre strictement A.

Exercice 162 [ 03207 ] [Correction]Soit E lensemble des suites relles (un)n>0 telles que

un+2 = (n+ 1)un+1 + un

a) Montrer que E est un espace vectoriel de dimension 2.b) Soient a et b deux lments de E dtermins par{

a0 = 1a1 = 0

et{b0 = 0b1 = 1

Montrer que les deux suites (an) et (bn) divergent vers +.c) Calculer

wn = an+1bn anbn+1d) On pose cn = an/bn lorsque lentier n est suprieur ou gal 1. Dmontrerlexistence de

` = limn+ cn

e) Dmontrer lexistence dun unique rel r tel que

limn+ (an + rbn) = 0

Exercice 163 [ 02538 ] [Correction]Soit f de classe C2 sur [0,+[ telle que f est intgrable sur [0,+[ et telle quelintgrale

+0 f(t) dt soit convergente.

a) Montrer quelim

x+ f(x) = 0 et lim

x+ f(x) = 0

b) Etudier les sries f(n) et

f (n)

Exercice 164 [ 03917 ] [Correction]Soit e = (en)nN une suite dcroissante termes strictement positifs telle que lasrie

en converge.

On pose

s =+n=0

en et rn =+

k=n+1ek pour n N

On introduit

G ={+n=0

dnen/(dn) {1, 1}N}

On dit que la suite e est une base discrte lorsque G est un intervalle.a) Montrer que G est bien dfini. Dterminer son maximum et son minimum.b) On suppose dans cette question que (en) est une base discrte. Montrer queen 6 rn pour tout n N.c) On suppose que en 6 rn pour tout n N. Soit t [s, s]. On dfinit la suite(tn) par

t0 = 0 et tn+1 ={tn + en si tn 6 ttn en sinon

Montrer que|t tn| 6 en + rn

et conclure.d) Dans cette question, on suppose en = 1/2n pour tout n N.Dterminer G. Quelles suites (dn) permettent dobtenir respectivement 0, 1, 1/2, 2et 1/3 ?Pour x G, y a-t-il une unique suite (dn) {1, 1}N telle que

x =+n=0

dnen ?



Transformation dAbel

Exercice 165 [ 01043 ] [Correction]Pour n N?, on pose

n =nk=1

sin k et Sn =nk=1

sin kk

a) Montrer que (n)n>1 est borne.b) En dduire que (Sn)n>1 converge.

Exercice 166 [ 02352 ] [Correction]Soit R non multiple de 2pi. On pose

Sn =nk=0

cos(k) et un =cos(n)

n

a) Montrer que la suite (Sn)nN est borne.b) En observant que cos(n) = Sn Sn1, tablir que la srie de terme gnral

un converge.c) En exploitant lingalit |cosx| cos2 x, tablir que la srie de terme gnral|un| diverge.

Exercice 167 [ 01041 ] [Correction]Soient (an) une suite positive dcroissante de limite nulle et (Sn) une suite borne.a) Montrer que la srie

(an an+1)Sn est convergente.

b) En dduire que la sriean(Sn Sn1) est convergente.

c) Etablir que pour tout x R\2piZ, la srie cos(nx)n est convergente.Exercice 168 [ 02582 ] [Correction]a) Montrer lexistence, pour ]0, pi[, dun majorant M de la valeur absolue de

Sn =nk=1

cos(k)

b) Montrer que x 7x

x1 est dcroissante sur [2,+[.

c) En remarquant de cos(n) = Sn Sn1, tudier la convergence de la srie determe gnral

un =n

n 1 cos(n)

d) En utilisant |cos(k)| > cos2(k), tudier la convergence de |un|.Exercice 169 [ 01042 ] [Correction]Soit zn le terme gnral dune srie complexe convergente. Etablir la convergencede la srie

n>1

znn

Exercice 170 [ 03684 ] [Correction]Soit zn le terme gnral dune srie complexe convergente. Etablir

+k=n

zkk

= o(

1n

)

Exercice 171 [ 03685 ] [Correction]Soit (an) une suite complexe. On suppose que la srie

ann diverge.

Etablir que pour tout ], 1], la srie ann diverge aussi.Exercice 172 [ 01028 ] [Correction]Soit (un)n>1 une suite dcroissante de rels strictement positifs.a) On suppose que

un converge. Montrer que la srie de terme gnral

vn = n(un un+1) converge et+n=1

vn =+n=1

un

b) Rciproquement, on suppose que la srie de terme gnral n(un un+1)converge. Montrer que la srie de terme gnral unconverge si, et seulement si, lasuite (un) converge vers 0.c) Donner un exemple de suite (un) qui ne converge pas vers 0, alors que la sriede terme gnral n(un un+1) converge.



Exercice 173 [ 03673 ] [Correction]Soit (un)n>1 une suite dcroissante de rels de limite nulle.Montrer que les sries

un et

n(un un+1) ont mme nature et que leurs

sommes sont gales en cas de convergence.

Exercice 174 [ 03879 ] [Correction]On donne une suite relle (an).On suppose que les sries

an et

|an+1 an| convergent. Montrer que la sriea2n converge.

Thorme de Cesaro

Exercice 175 [ 00307 ] [Correction]Soit (un)n>1 une suite relle convergeant vers ` R. On dsire tablir que la suite(vn)n>1 de terme gnral

vn =u1 + u2 + + un

n

converge aussi vers `. Soit > 0.a) Justifier quil existe n0 N tel que pour tout n N, n > n0 entrane

|un `| 6 /2b) Etablir que pour tout entier n > n0 on a :

|vn `| 6 |u1 `|+ + |un0 `|n

+ n n0n

2c) En dduire quil existe n1 N tel que pour tout n N, n > n1 entrane

|vn `| 6 d) Application : Soit (un) une suite relle telle que un+1 un 6= 0.Donner un quivalent simple de un.

Exercice 176 [ 00308 ] [Correction]Soit (un) une suite relle.a) On suppose que (un) converge vers ` et on considre

vn =u1 + 2u2 + + nun

n2

Dterminer limn+ vn.

b) On supposeun un1

n `

Dterminerlimn

unn2

Exercice 177 [ 00309 ] [Correction]Soit (un) une suite de rels strictement positifs.On suppose

un+1un

` ]0,+[

Montrernun `

Exercice 178 [ 03219 ] [Correction]La suite (un)n0 est dfinie par u0 > 0 et

n N, un+1 = ln(1 + un)a) Dterminer la limite de la suite (un)n0b) Dterminer la limite de

1un+1

1un

c) En dduire un quivalent de (un)n0


La suite (un)n0 est dfinie par u0 ]0 ;pi/2[ etn N, un+1 = sin(un)

a) Dterminer la limite de la suite (un)n0b) Dterminer la limite de

1u2n+1

1u2n

c) En dduire un quivalent de (un)n0




un une srie termes positifs convergente. On note

Rn =+

k=n+1uk

et on supposeun R2n

Dterminer un quivalent de un.

Condensation

Exercice 181 [ 02796 ] [Correction]Soit (un) une suite relle dcroissante et positive. On pose

vn = 2nu2n

Dterminer la nature devn en fonction de celle de

un.

Exercice 182 [ 03676 ] [Correction][Critre de condensation de Cauchy]a) Soient (un)nN une suite relle dcroissante, positive et p N tel que p > 2. Onpose

vn = pnupnMontrer que

un converge si, et seulement si,

vn converge

b) Application : Etudier la convergence des sries 1n lnn et

1n lnn ln(lnn)

Exercice 183 [ 03677 ] [Correction]Soit (un)nN une suite relle dcroissante et positive. On pose

vn = nun2

Montrer que un converge si, et seulement si,

vn converge

Exercice 184 [ 02797 ] [Correction]Soit (un) une suite dcroissante dlments de R+, de limite 0. Pour n > 1, on pose

vn = n2un2

Y a-t-il un lien entre la convergence des sries de termes gnraux un et vn ?


[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dit le 21 octobre 2015 Corrections 22

Corrections

Exercice 1 : [nonc]

a) un 1n donc par comparaison de sries termes positifs, la srie estdivergente.

b) un ene2n en donc par comparaison de sries termes positifs, la srie estconvergente.

c) un = O( 1n3

)donc la srie est absolument convergente.

d) un e2n donc par comparaison de sries termes positifs, la srie estdivergente.

Exercice 2 : [nonc]a) un = exp(n2 ln(1 + 1/n)) = exp(n+ o(n))donc n2un 0 et la srie estabsolument convergente.b) un > 1/n donc par comparaison de sries termes positifs, la srie estdivergente.c) n2un = n

2

(lnn)lnn = e2 lnnlnn ln lnn 0 donc la srie est absolument convergente

Exercice 3 : [nonc]On a

nun =(

1n

)1/n= exp

[ 1n

lnn] 1

donc pour n assez grandun >

12n

et par comparaison de srie termes positifs on peut affirmer queun diverge.

Exercice 4 : [nonc]Cest une srie termes positifs aux sommes partielles majores car

nk=1

uk 2nk=1

1k2

< +

donc la srie converge.


e(

1 + 1n

)n= O

(1n

)et

n3/2 n3/2

+ n = n+O(1) n

donce (1 + 1n)n

n3/2 n3/2+ n = O(

1n2

)ce qui permet de conclure une absolue convergence.

Exercice 6 : [nonc]a) Lintgrale dfinissant un est bien dfinie car elle porte sur une fonction sur lesegment [0, 1]. On peut aussi la comprendre comme une intgrale impropreconvergente sur [0, 1[

un = 1

0

dx1 + x+ + xn =

[0,1[

dx1 + x+ + xn

et par sommation gomtrique[0,1[

dx1 + x+ + xn =

[0,1[

1 x1 xn+1 dx

Posonsfn(x) =

1 x1 xn+1

Sur [0, 1[, la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonctionf : x 7 1 x.Les fonctions fn et f sont continues par morceaux et 1 x1 xn+1

6 1 x1 x = 1 = (x)avec intgrable. Par convergence domine

un 1

0(1 x)dx = 12

et donc la srieun diverge grossirement.



b) On amorce les calculs comme au dessus pour crire

vn = 1

0

xndx1 + x+ + xn =

10

xn

1 xn+1 (1 x)dx

Par intgration par parties impropre justifie par deux convergences 10

xn

1 xn+1 (1 x)dx =[ 1n+ 1 ln(1 x

n+1)(1 x)]1

0 1n+ 1

10

ln(1 xn+1)dx

Le terme entre crochet est nul (il suffit dcrire x = 1 h avec h 0, pour tudierla limite en 1)Il reste

vn = 1n+ 1

10

ln(1 xn+1)dx

Par dveloppement en srie entire de la fonction u 7 ln(1 u)

vn = 1

0

+k=1

1kx(n+1)kdx

Posonsgk(x) =

1kx(n+1)k

La srie de fonctionsgk converge simplement sur [0, 1[ en vertu de la

dcomposition en srie entire prcdente.

Les fonctions gk et la fonction somme+k=0

gk : x 7 ln(1 xn+1) sont continuespar morceaux.Enfin, les fonctions gk sont intgrables sur [0, 1[ et

+k=1

10

1kx(n+1)kdx = +

k=1

1k((n+ 1)k + 1) < +

On peut donc intgrer terme terme pour criredonc

vn =1

n+ 1

+k=1

1k

10x(n+1)kdx = 1

n+ 1

+k=1

1k((n+ 1)k + 1)

Or+k=1

1k((n+ 1)k + 1) 6

1(n+ 1)

+k=1

1k2

puis finalement

vn 6C

(n+ 1)2

La srie termes positifsvn est donc convergente.

Exercice 7 : [nonc]On sait

nk=1

1k

= lnn+ + o(1)

et donc

a

nk=1

1k

= eln a lnn+ ln a+o(1) e ln a

n ln a

Par quivalence de sries termes positifs

n>1

a

nk=1

1k

converge ln a > 1

ce qui fournit la condition a < e1.

Exercice 8 : [nonc]

a) Posons vn = nun.

ln vn+1 ln vn = ln(

1 + 1n

)+ ln

(1

n+ O

(1n2

))= O

(1n2

).

La srie

(ln vn+1 ln vn) est donc absolument convergente et parconsquent la suite (ln(vn)) converge.Ainsi, vn e` > 0 avec ` = limn+ ln vn puis

un n+

e`n.

Par quivalence de sries termes positifs,un converge si, et seulement si,

> 1.



b) On reprend ce qui prcde en lapprofondissant. . .Puisque le reste dune srie dont le terme gnral est en O

(1/n2

)est en

O (1/n), on a

ln vn = `+ O(

1n

)puis

un =e`n

+ O(

1n+1

).

Pour que

(1)nun converge, il est ncessaire que un 0 et donc > 0.Inversement, si > 0 alors la srie

(1)n e`n converge par le critre spcial

et la srie

O( 1n+1

)converge absolument.

Finalement, la srie

(1)nun converge.

Exercice 9 : [nonc]

a) Via tlescopage, on obtient pour tout n N

0 < un uNvN

vn

donc un = O(vn).b) Soit 1 < < et vn = 1n .

vn+1vn

= 1(1 + 1n

) = 1 n + o(

1n

)

partir dun certain rangun+1un

vn+1vn

donc un = O(vn) orvn converge absolument donc

un aussi.

c) Pour n assez grand

un+1un

1 1n+ 1 =

1/(n+ 1)1/n

donc1n

= O (un)

Puisque la srie

1/n est divergente, un argument de comparaison de sries termes positifs permet de conclure que

un est aussi divergente.

Exercice 10 : [nonc]a) Le rapport un+1un tend vers 1 donc la suite (un) est de signe constant partirdun certain rang ; quitte passer loppos on peut supposer un > 0 pour nassez grand.Posons

wn = ln((n+ 1)un+1) ln(nun)On a

wn = ln(

1 + 1n

)+ ln

(1

n+ vn

)est le terme gnral dune srie absolument convergente. Par consquent la suite(ln(nun)) converge et donc (nun) aussi.b) Posons un = n

n

n!en . On a

un+1un

= 1 12n +O(

1n2

)En reprenant ltude qui prcde on peut affirmer que n1/2un ` > 0 donc

un

diverge.Ce rsultat peut tre confirm par la formule de Stirling.

Exercice 11 : [nonc]a)

un+1un

= 3n+ 13(n+ 1) = 123

1n+ 1 = 1

23n + o

(1n

)et

vn+1vn

= 1(1 + 1/n)3/4

= 1 34n + o(

1n

)donc pour n assez grand,

un+1un

> vn+1vn

b) La suite de terme gnral unvn est positive et croissante partir dun certainrang donc il existe > 0 et N N tel que pour tout n > N , un > vn. Or

vn

diverge doncun aussi.

Exercice 12 : [nonc]On peut crire

j3n3n

+ j3n+1

3n+ 1

+ j3n+2

3n+ 2

= j3n(1 + j + j2)

3n+O

(1

n3/2

)= O

(1

n3/2

)Diffusion autorise titre entirement gratuit uniquement - dD


donc la srie des termes

j3n3n

+ j3n+1

3n+ 1

+ j3n+2

3n+ 2

est absolument convergente et puisque les termes

j3n+13n+ 1

,j3n+23n+ 2

sont de limite nulle, la srie des jn

nest convergente.

Exercice 13 : [nonc]

a) |un| 1/n2 donc la srieun est absolument convergente donc convergente.

b) On applique le critre spcial et on conclut queun converge.

c) un = (1)n

n+1 + O( 1n2

)et on peut conclure que

un converge.

d)

un = cos(npi + pi2 +

3pi8n + O

(1n2

))= (1)

n+1.3pi8n + O

(1n2

)donc

un converge.

Exercice 14 : [nonc]Il sagit dune srie alterne.

ln nn! = 1

n

nk=1

ln k

et ainsi ln nn! est la moyenne arithmtique de ln 1, ln 2, . . . , lnn et donc

ln nn! 6 ln n+1

(n+ 1)!

puis1nn> 1

n+1

(n+ 1)!De plus par la croissance de la fonction x 7 ln x,

1n

nk=1

ln k > 1n

n1

ln xdx = lnn 1 +

et donc1nn! 0

Finalement on peut appliquer le critre spcial des sries alternes et conclure.


sin(npi + pi

n

)= (1)n sin pi

n= (1)

npi

n+O

(1n3

)donc la srie est semi-convergente.


ln(1 1n

) = 1n 12n2

13n3 +O

(1n4

)donc

un = cos(npi + pi2 +

pi

3n +O(

1n2

))puis

un = (1)n+1 sin(pi

3n +O(

1n2

))= (1)

n+1pi

3n +O(

1n2

)Le terme gnral un est somme dun terme dfinissant une srie convergente par lecritre spcial et dun terme dfinissant une srie convergeant absolument.

Exercice 17 : [nonc]Par comparaison avec une intgrale :

nk=1

1k 2n

On a alors

un =(1)nnk=1

1k

11 + (1)n1n

k=11k

= (1)nn

k=11k

+ 1(nk=1

1k

)2 + o 1(n

k=11k

)2



La srie de terme gnral(1)nnk=1

1k

converge en vertu du critre spcial.On a

1(nk=1

1k

)2 + o 1(n

k=11k

)2 14n

donc par comparaison de srie termes positifs il y a divergence de la srie determe gnral

1(nk=1

1k

)2 + o 1(n

k=11k

)2

Par sommation dune srie convergente et dune srie divergente la srie de termegnral diverge.

Exercice 18 : [nonc]a) On a

un =(1)n2n

+O(

1n3/2

)donc

un converge.

b) On a

un =(1)n

lnn+ (1)nn + o( 1n

) = (1)nlnn 1n ln2 n + o(

1n ln2 n

)Or la srie de la srie de terme gnral 1

n ln2 n est absolument convergente (utiliserune comparaison avec une intgrale) donc

un est convergente.

c) On a

un =(1)nlnn +

1(lnn)2 + o

(1

(lnn)2

)La srie de terme gnral (1)

n

lnn est convergente alors que la srie de terme gnral1

(lnn)2 + o(

1(lnn)2

)est divergente par quivalence de sries termes positifs. On

conclut queun est divergente.

Exercice 19 : [nonc]n2 + 1 = n+ 12n +O

( 1n2

)donc un = (1)

npi2n +O

( 1n2

)est terme gnral dune

srie convergente.

Exercice 20 : [nonc]En dveloppant par la formule du binme de Newton

(2 +

3)n =nk=0

(n

k

)2nk

3k

puis en simplifiant les termes dindices impairs

(2 +

3)n + (2

3)n = 2bn/2cp=0

(n

2p

)2n2p3p 2Z

On en dduitun = sin

((2

3)npi

)Puisque

23 < 1,un (2

3)npi

est terme gnral dune srie absolument convergente.

Exercice 21 : [nonc]Puisque un 0, il revient au mme dtudier la nature de la srie de termegnral

vn = u2n + u2n+1Or

vn =sin(ln 2n)

2n(2n+ 1) +sin(ln(2n+ 1)) sin(ln 2n)

2n+ 1Dune part

sin(ln 2n)2n(2n+ 1) = O

(1n2

)et dautre part en vertu du thorme des accroissements finis, il existe c comprisentre ln 2n et ln(2n+ 1) tel que

sin(ln(2n+ 1)) sin(ln 2n)2n+ 1 =

cos(c) (ln(2n+ 1) ln 2n)2n+ 1 = O

(1n2

)On en dduit que vn = O

(1/n2

)et donc la srie de terme gnral vn est

absolument convergente donc convergente.



Exercice 22 : [nonc]Posons

Sn =nk=1

cos(ln k)k

Pour les entiers k appartenant lintervalle[epi/4+2npi, epi/4+2npi

]on a

cos(ln k)k

> 12

1epi/4+2npi

Posonsan = E

(epi/4+2npi

)et bn = E

(epi/4+2npi

)On a

San Sbn =bn

k=an+1

cos(ln k)k

> bn an2

1epi/4+2npi

Or, par encadrement,bn anepi/4+2npi (1 e

pi/2)

donc (San Sbn) ne tend pas vers 0. Or an, bn + donc la srie tudie nepeut converger.

Exercice 23 : [nonc]Montrons que la srie tudie est divergente. Notons Sn la somme partielle de rangn de cette srie. Nous allons construire deux suites (an) et (bn) de limite + tellesque Sbn San ne tend pas zros ce qui assure la divergence de la srie tudie.Soit n > 1 fix. Les indices k vrifiant

2npi pi4 6k 6 2npi + pi4

sont tels queRe(ei

k) > 1

2Posons alors

an = E ((2npi pi/4)2) et bn = E ((2npi + pi/4)2)

On a

Sbn San =bn

k=an+1

eik

k

et donc par construction

Re (Sbn San) >12

bnk=an+1

1k

Puisque la fonction t 7 1/t est dcroissante, on a la comparaison intgrale

Re (Sbn San) >12

bnk=an+1

k+1k

dtt

=

2(

bn + 1an + 1

)Or

bn + 1an + 1 =

bn anbn + 1 +

an + 1

2npi2

4npi pi

2donc Sbn San ne tend par 0 et lon peut conclure que la srie tudie diverge.

Exercice 24 : [nonc]Quand x 0, on a |x|

1 + x =|x| x

|x|+ o

(x3/2

)On en dduit

un = (1)n/n

0

|x|dx

(1)n/n0

x|x|dx+ o

(1

n5/2

)Par parit

un =(1)n23n3/2

25n5/2 + o

(1

n5/2

)Par le critre spcial des sries alternes, la srie de terme gnral (1)n/n3/2converge et par quivalence de sries termes de signe constant, la srie de termegnral

25n5/2 + o(

1n5/2

) 25n5/2

converge si, et seulement si, 5/2 > 1.On en dduit que la srie de terme gnral un converge si, et seulement si, > 2/5.




Supposons la convergence de la srieun.

Pour tout n Nnk=0

vk =nk=0

(u2k + u2k+1) =2n+1k=0

uk +k=0

uk

Puisquevn est une srie termes positifs dont les sommes partielles sont

majores, celle-ci converge.Supposons la convergence de la srie

vn. Pour tout n N

nk=0

uk bn/2ck=0

vk +k=0

vk

Puisqueun est une srie termes positifs dont les sommes partielles sont

majores, celle-ci converge. En substance, on observe aussi+n=0

un =+n=0

vn

Exercice 26 : [nonc]On exploite les comparaisons

max(un, vn) 6 un + vn,unvn 6

12(un + vn)

(obtenue par 2ab 6 (a2 + b2))et

unvnun + vn

= unun + vn

vn 6 vn

Par comparaison de srie termes positifs on peut alors conclure.

Exercice 27 : [nonc]Puisque 2ab 6 a2 + b2 on a

unun+1 6

12(un + un+1)

orun et

un+1 convergent donc, par comparaison de sries termes positifs,

unun+1 converge.

Exercice 28 : [nonc]On a immdiatement (i)(ii) par comparaison de srie termes positifs sachant

anan+1 6

12 (an + an+1)

La rciproque est fausse, il suffit pour lobserve de considrer la suite a donne par

a2p = 1 et a2p+1 =1p4

Exercice 29 : [nonc]a) Si ` > 1 alors partir dun certain rang nun > 1 et donc un > 1. Il y adivergence grossire.b) Si ` < 1 alors, en posant = (1 + `)/2, on a ` < < 1 et partir dun certainrang

nun <

doncun 6 n

Or la srie de terme gnral n est convergente car [0, 1[ et donc un estabsolument convergente.c) Pour un = 1/n, n

un = n1/n 1 et pour un = 1/n2, nun = n2/n 1 alors

que dans un cas la srie diverge et dans lautre la srie converge.

Exercice 30 : [nonc]Puisque

vn =un

1 + un [0, 1[ et un = vn1 vn

on a un 0 si, et seulement si, vn 0.Si un 6 0 alors vn 6 0 et les deux sries divergent.Si un 0 alors vn un et donc les deux sries sont de mme nature.Dans les deux cas, les sries sont de mme nature.

Exercice 31 : [nonc]a) Si

un converge alors un 0 et vn un donc

vn converge par quivalence

de srie termes positifs. Sivn converge alors vn 0 et aisment un 0 donc

vn un et on conclut comme ci-dessus.b) Si

un converge et est de somme S alors vn un/S et on peut conclure.



Siun diverge alors

Nn=2

ln(1 vn) = ln u1u1 + + un

Si vn 0 , ln(1 vn) vn doncvn diverge car les sries sont de signe

constant.Si vn 6 0,

vn diverge grossirement.

Exercice 32 : [nonc]Supposons la srie

vn convergente. On a vn 0+ donc 1 + n2un + et on

en dduitvn 1

n2un

puisunvn 1

n

Par comparaison de sries termes positifs, il y a divergence de la srie

unvn.Or, par lingalit de Cauchy-Schwarz(

nk=0

ukvk

)26

nk=0

un

nk=0

vk 6nk=0

un

+k=0

vk

On en dduit la divergence de la srieun.

Exercice 33 : [nonc]Par permutation de sommes

Nn=1

vn =Nk=1

Nn=k

kukn(n+ 1)

doncNn=1

vn =Nk=1

kuk

Nn=k

(1n 1n+ 1

)=

Nk=1

N + 1 kN + 1 uk

et doncNn=1

vn =Nk=1

uk NvN

Supposons que la srieun converge

Puisquevn est une srie termes positifs et que ses sommes partielles sont

majore carNn=1

vn 6Nk=1

uk 6+k=1

uk

la srievn converge.

Supposons que la srievn converge.

On a

nvn =nk=1

uk nk=1

vk

donc par croissance des sommes partielles dune srie termes positifs, la suite(nvn) admet une limite ` R {+}.Si cette limite est non nulle, la srie

vn diverge ce qui est contraire

lhypothse initiale. On en dduit

nvn 0

doncNk=1

uk =Nn=1

vn +Nun +n=1

vn

Ainsiun converge et

+n=1

un =+n=1

vn

Exercice 34 : [nonc]Pour n > 2, on observe

a11/nn 6 2an an >12n

et donca11/nn 6 max(2an,

1(2n)11/n ) 6 2

(an +

12n

)Par comparaison de sries termes positifs, on peut conclure la convergence dea

11/nn .



Exercice 35 : [nonc]La srie de terme gnral un est convergente.En effet, puisque

an converge, an 0 et donc il existe un rangN N tel que

n > N, an 6 1En posant M = a0a1 . . . aN1, on peut crire pour tout n > N

0 6 un 6MaN . . . an1an 6Man

Par comparaison de srie termes positifs, on obtient la convergence voulue.

Exercice 36 : [nonc]Puisque la suite (Sn) est croissante

0 6 vn 6un+1S0 0

et donc vn 0. On en tire

vn ln(1 + vn) = ln Sn+1Sn

= ln(Sn+1) ln(Sn)

La srieun converge si, et seulement si, la suite ln(Sn) converge et donc si, et

seulement si, la srie tlescopique

(lnSn+1 lnSn) converge. Par quivalencede srie termes positifs, cela quivaut affirmer la convergence de la srie

vn.

Exercice 37 : [nonc]Siun converge alors en notant S sa somme (strictement positive), vn un/S

et doncvn converge.

Supposons dsormais queun diverge et montrons quil en est de mme de

vn.

Par la dcroissante de t 7 1/t, on a SnSn1

dtt6 Sn Sn1

Sn1= unSn1

En sommant ces ingalits SnS1

dtt6

nk=2

ukSk1

Or SnS1

dtt

= lnSn lnS1 +

car Sn + donc par comparaison un

Sn1diverge.

PuisqueunSn1

= unSn un = vn

11 vn

Si vn 6 0 alorsvn diverge.

Si vn 0 alors vn unSn1 et nouveauvn diverge.

Finalementun et

vn ont la mme nature.

Exercice 38 : [nonc]un = Rn1 Rn et la dcroissance de t 1/t, Rn1

Rn

dtt6 Rn1 Rn

Rn= unRn

On a Rn1Rn

dtt

= lnRn1 lnRn

donc la srie termes positifs Rn1

Rndtt diverge car lnRn puisque

Rn 0.Par comparaison de sries termes positifs,

un/Rn diverge.

unRn

= unRn1 un =

unRn1

11 un/Rn1

Si un/Rn1 6 0 alorsun/Rn1 diverge.

Si un/Rn1 0 alors unRn1 unRn et doncun/Rn1 diverge encore.

Dans tous les cas,un/Rn1 diverge.


vn =un+1 un

un

Si (un) converge alors, en posant ` sa limite,

vn 1`

(un+1 un)

et puisque la srie termes positifs

(un+1 un) converge, il en est de mme devn.

Si (un) diverge alors un +.



Par la dcroissance de t 1/t,un+1 un

un> un+1un

dtt

= ln(un+1) ln(un)

Puisque ln(un) +, la srie terme positif

(ln(un+1) ln(un)) diverge etdonc

vn aussi.

Finalement, la nature de la srievn est celle de la suite (un).


a) Puisque la sriean converge, on peut introduire sa somme

` =+n=0

an

Les termes somms tant strictement positifs, on a ` > 0 et Sn ` donnealors Sn `.On en dduit

anSn an

`

La sriean converge, donc

an/` converge aussi et par quivalence de

sries termes positifs, on peut conclure la convergence de la sriean/Sn.

b) Comme les termes sont positifs, on a Sn Sn1 et doncanS2n Sn Sn1

SnSn1= 1Sn1

1Sn

La srie termes positifsan tant suppose divergente, la suite (Sn) tend

vers + et donc 1/Sn 0.La nature de la srie

un un1 tant celle de la suite (un), on peut

affirmer la convergence de la srie 1Sn1

1Sn

puis celle dean/S

2n par comparaison de sries termes positifs.

c) On peut crireanSn

= Sn Sn1Sn

= 1 Sn1Sn

Si (Sn1/Sn) ne tend pas vers 1, la srie tudie diverge grossirement.Si (Sn1/Sn) tend vers 1 alors

ln Sn1Sn

Sn1Sn

1

et doncanSn lnSn lnSn1

La suite (lnSn) diverge, donc la srie

lnSn lnSn1 diverge aussi et,enfin,

an/Sn diverge par argument de comparaison de sries termes

positifs.

Exercice 41 : [nonc]a) Pour x assez grand, on a

xf (x)f(x) > 1

doncf (x)f(x) >

1x

En intgrant, il existe une constante tel que

ln f(x) > ln x+

et alorsf(x) > C

xavec C = e > 0

Par comparaison de sries termes positifs, on peut affirmer la divergence den>1

f(n)

b) Soit un rel > 1 tel que ` < . Pour x assez grand, on axf (x)f(x) 6

et doncf (x)f(x) 6

x

En intgrant, il existe une constante tel que

ln f(x) 6 ln x+



et alorsf(x) 6 C

xavec C = e > 0

Par comparaison de sries termes positifs, on peut affirmer la convergence den>1

f(n)


a) Rn est le reste de rang n de la sriek1

(1)kk qui converge en vertu du

critre spcial.b) Par dcalage dindice sur la deuxime somme

Rn +Rn+1 =+

k=n+1

(1)kk

++

k=n+1

(1)k+1k + 1 =

+k=n+1

(1)kk(k + 1)

c) Puisque

Rn Rn+1 = (1)n+1

n+ 1on a

2Rn =(1)n+1n+ 1 +

+k=n+1

(1)kk(k + 1)

Or par le critre spcial

+k=n+1

(1)kk(k + 1) = O

(1n2

)

doncRn (1)

n+1

2n

d) Comme

Rn =(1)n+1

2n + O(

1n2

)la srie

Rn est convergente.

Exercice 43 : [nonc]A partir du rang n = 2, on peut applique le critre spcial des sries alternes. Lereste tant majore par la valeur absolue du premier terme

x =+n=0

(1)n8n(2n)! = 1 4 + r

avec |r| 6 6424 donc x < 0.

Exercice 44 : [nonc]Par dcoupage

I =+n=0

(n+1)pinpi

sin tt

dt

donc par translations

I =+n=0

pi0

sin(npi + t)npi + t dt

puis la relation propose.I se peroit alors comme somme dune srie vrifiant le critre spcial des sriesalternes, sa somme est donc du signe de son premier terme savoir positif.

Exercice 45 : [nonc]a) Si (vn) est une suite alterne dont la valeur absolue dcrot vers 0 alors la srievn converge.

Ce rsultat sobtient en constatant ladjacence des suites extraites de rangs pairset impairs de la suite des sommes partielles.b) La suite (sn)n>1 converge en vertu du critre spcial nonc ci-dessus. En fait,il est connu que (sn)n>1 tend vers ln 2 et donc (un)n>1 tend vers 0.c) On peut crire

sn = ln 2 rnavec

rn =+

k=n+1

(1)k+1k

On a

rn rn+1 = (1)n

n+ 1 et rn + rn+1 =+

k=n+1

(1)k+1k(k + 1) = O

(1n2

)



car par, application du critre spcial la srie (1)k+1

k(k+1) , on peut majorer lereste par la valeur absolue du premier terme qui lexprime. On en dduit

rn =(1)n

2n +O(

1n2

)On sait

ln(x) =x1

x 1 +O ((x 1)2)et donc

un = esn 2 +O((esn 2)2)

avecesn 2 = 2 (ern 1) = 2rn +O(r2n) = (1)n+1n +O

(1n2

)Ainsi,

un =(1)n+1

n+O

(1n2

)La srie

un converge car cest la somme dune srie vrifiant le critre spcial et

dune autre absolument convergente.


a) En notant S la somme de la srie, S2n Sn n+ S S = 0.

b) On a

S2n Sn =2n

k=n+1uk nu2n

De plus nu2n 0 car la suite (un) dcrot et tend vers 0 (car la srieconverge).Par encadrement nu2n

n+ 0 puis 2nu2n n+ 0c) De plus

0 (2n+ 1)u2n+1 2nu2n + u2n n+ 0

donc on a aussi (2n+ 1)u2n+1 n+ 0 et finalement nun n+ 0.


Sn =nk=1

kuk

Par la dcroissance de la suite (un), on a

S2n Sn =2n

k=n+1kuk >

2nk=n+1

nu2n = n+1u2n > 0

Puisque la suite (Sn) converge, S2n Sn 0 et on en dduit (2n)+1u2n 0.Puisque

0 6 (2n+ 1)+1u2n+1 6(2n+ 1)+1

(2n)+1 (2n)+1u2n

on a aussi (2n+ 1)+1u2n+1 0 et on peut donc conclure n+1un 0.

Exercice 48 : [nonc]Posons vn =

nk=1

uk nun. On a

vn+1 vn = n(un un+1) > 0

La suite (vn) est croissante et majore donc convergente. Posons ` sa limite.On a

un un+1 = 1n

(vn+1 vn)

donc+k=n

(uk uk+1) =+k=n

1k

(vk+1 vk) 6 1n

+k=n

(vk+1 vk)

ce qui donne

un 61n

(` vn)

On en dduit 0 6 nun 6 ` vn et donc nun 0 puisnk=1

uk `.Finalement

un converge.



Exercice 49 : [nonc]La fonction x 7 1 cosx x est ngative sur [0,+[ et ne sannule quen 0. Parconsquent, la suite (un) est dcroissante, or elle est clairement minore par 0donc elle converge. Sa limite annulant la prcdente fonction ne peut tre qutre0. Puisque

un+1 = 2 sin2un2

on aun+1 6

12u

2n

Par suite un = O (1/2n) et donc la srieun converge.

Exercice 50 : [nonc]Par tude de point fixe de la relation de rcurrence, la valeur

` =(

1 +

5)/2

est la seule limite possible de la suite (un) qui est clairement termes positifs.

|un+1 `| = |un `|1 + un +

1 + `6 12 |un `|

donc un = O(1/2n) et ainsi la srie converge.

Exercice 51 : [nonc]a) La suite tudie est bien dfinie et termes tous positifs. On en dduit

0 6 un+1 =eunn+ 1 6

1n+ 1

et donc par encadrement un 0.b) Pour n > 1, on peut crire vn = eun1 et alors vn 1 par composition delimites.c) On en dduit

un 1/nLa srie

un est alors divergente par quivalence de sries termes positifs.

On a aussi

un =eun1n

= 1 un1 + o(un1)n

= 1n 1n2

+ o(

1n2

)

donc(1)nun = (1)

n

n+O

(1n2

)La srie

(1)n/n converge en vertu du critre spciale et O(1/n2) est

absolument convergente par argument de comparaison. Par opration sur lessries convergentes, la srie

(1)nun converge.

Exercice 52 : [nonc]La suite (an) est dcroissante et minore par 0 donc convergente. En passant larelation de rcurrence la limite, on obtient que (an) tend vers 0.Puisque

1a2n+1

1a2n

=a2n a2n+1a2na

2n+1

13on obtient par le thorme de Csaro

1n

n1k=0

(1

a2k+1 1a2k

) 13

puis1n

1a2n 13

Finalement an

3net la srie tudie est divergente.


a) Aisment la suite est strictement positive, dcroissante et de limite` [0 ;pi/2] vrifiant sin ` = `.

b) un+1 un est le terme gnral dune srie tlescopique convergente. Orun+1 un 16u3n donc par quivalence de suite de signe constant, onconclut.

c) ln un+1 ln un est le terme gnral dune srie tlescopique divergente. Orln un+1 ln un ln

(1 16u2n

) 16u2n donc par quivalence de suite de signeconstant, on conclut.



Exercice 54 : [nonc]La suite (un) est terme strictement positifs car u0 > 0 et la fonctionx 7 ln(1 + x) laisse stable lintervalle ]0,+[.Puisque pour tout x > 0, ln(1 + x) 6 x, la suite (un) est dcroissante.Puisque dcroissante et minore, la suite (un) converge et sa limite ` vrifieln(1 + `) = ` ce qui donne ` = 0.

1un+1

1un

= un un+1unun+1

12u

2n

u2n 12

Par le thorme de Cesaro,

1n

n1k=0

(1

uk+1 1uk

) 12

et donc1nun

12On en dduit un 2n et donc la srie de terme gnral un diverge.

Exercice 55 : [nonc]a) La suite (an) est bien dfinie et termes positifs puisque pour tout x > 0,1 ex > 0.Puisque pour tout x R, ex 6 1 + x, on a an+1 6 an et la suite (an) est doncdcroissante.Puisque dcroissante et minore, (an) converge et sa limite ` vrifie ` = 1 e`.On en dduit ` = 0.Finalement (an) dcrot vers 0.b) Par le critre spcial des sries alternes,

(1)nan converge.

c) Puisque an 0, on peut crire an+1 = 1 ean = an 12a2n + o(a2n).Par suite a2n 2(an+1 an).Par quivalence de sries termes positifs, la nature de la srie de terme gnrala2n est celle de la srie de terme gnral an+1 an qui est celle de la suite determe gnral an. Finalement

a2n converge.

d) La nature de la srie de terme gnral ln(an+1/an) est celle de la suite determe gnral ln(an). Cest donc une srie divergente. Or

ln(an+1an

)= ln

(1 12an + o(an)

) 12an

Par quivalence de srie de terme de signe constant, on peut affirmeran

diverge.

Exercice 56 : [nonc]a) un+1 un 6 0 et un ]0, 1[ pour tout n N donc (un) converge et la seulelimite possible est 0.

Nn=0

u2n =Nn=0

un un+1 = u0 uN+1 u0

doncu2n converge et

+n=0

u2n = u0

On aNn=0

ln(1 un) = ln(

Nn=0

un+1un

)= ln uN+1

u0

donc la srie numrique

ln(1 un) diverge.b) Puisque

ln(1 un) unPar quivalence de sries termes de signe constant,

un diverge.

Exercice 57 : [nonc]Dans le cas o u0 = 0, la suite est nulle.Dans le cas o u0 = 1, la suite est nulle partir du rang 1On suppose dsormais ces cas exclus.a) La suite (un) est termes dans ]0, 1[ car lapplication x 7 x x2 laisse stablecet intervalle.La suite (un) est dcroissante et minore donc convergente. Sa limite ` vrifie` = ` `2 et donc ` = 0.Finalement (un) dcrot vers 0 par valeurs strictement suprieures.

1un+1

1un

= un un+1unun+1

= u2n

u2n u3n 1

Par le thorme de Cesaro,

1n

n1k=0

(1

uk+1 1uk

) 1

et donc 1nun 1.On en dduit que un 1n et donc

un diverge.



b) Comme ci-dessus, on obtient que (un) dcrot vers 0 par valeurs strictementsuprieures.

1un+1

1un

=un un+1(unun+1)

un

un+1

Par le thorme de Cesaro, 1nun et donc

un n1/

avec > 0.Si ]0, 1[, un converge et si > 1, un diverge.Exercice 58 : [nonc]La suite (un) est croissante.Si (un) converge alors sa limite ` est strictement positive et

an `(un+1 un)est le terme gnral dune srie convergente par quivalence des termes gnrauxde signe constant.Sian converge alors

0 6 un+1 un 6 an/u0donc par comparaison la srie de terme gnral un+1 un converge et donc (un)converge.

Exercice 59 : [nonc]Posons vn = un. La suite (vn) vrifie vn ]0, 1] et vn+1 = sin(vn) pour tout n N.Puisque la fonction sinus laisse stable lintervalle ]0, 1], on peut affirmer que pourtout n N, vn ]0, 1].De plus, pour x > 0, sin x 6 x donc la suite (vn) est dcroissante.Puisque dcroissante et minore, (vn) converge et sa limite ` vrifie sin ` = ` ce quidonne ` = 0.Finalement (vn) dcrot vers 0 par valeurs strictement suprieures.On a

1v2n+1

1v2n

= (vn vn+1)(vn+1 + vn)v2nv

2n+1

16v

3n 2vnv4n

13Par le thorme de Cesaro,

1n

n1k=0

(1

v2k+1 1v2k

) 13

et donc 1nv2n 13 . On en dduit vn

3

n1/2puis

un n1/(2)

avec > 0.Pour ]0, 1/2[, vn converge et pour > 1/2, vn diverge.Exercice 60 : [nonc]a) Notons la suite (un) est bien dfinie, strictement positive et croissante.Si > 1, on a

un+1 6 un +1

nu1

puis par rcurrence

un 6nk=1

1ku1

Ainsi (un) converge.Si (un) converge. Posons ` = lim un, on observe ` > 0. On a

un+1 un = 1nun

1n`

or la srie de terme gnral un+1 un est convergente donc > 1.b) On suppose 6 1. On a

u2n+1 u2n =2n

+ 1n2u2n

2n

donc par sommation de relation de comparaison de sries termes positifsdivergentes

u2n 2nk=1

1k

or par comparaison srie-intgrale,nk=1

1k n

1

1 quand < 1

etnk=1

1k lnn quand = 1



On conclut alors

un

2n11 si < 1 et un

2 lnn si = 1

c) On suppose > 1. Posons vn = un `. On a

vn+1 vn = 1nun

1n`

donc par sommation de relation de comparaison de sries termes positifsconvergentes

+k=n

vk+1 vk = vn +k=n

1`n 1 1

1`n1

puisvn =

11

1`n1


On a (1

x ln x

)= ln x+ 1(x ln x)2

La fonction x 7 1/x ln x est dcroissante sur ]1 ; +[.On en dduit

Nn=2

1n lnn

N+12

dtt ln t = ln ln(N + 1) ln ln 2 +

Exercice 62 : [nonc]Par comparaison avec une intgrale n

1(ln t)2 dt 6

nk=1

(ln k)2

Or par une intgration par parties on obtient n1

(ln t)2 dt n(lnn)2

donc 0 6 un 6 vn avecvn 1

n(lnn)2

On peut alors conclure que la srie des un converge absolument par comparaisonavec une srie de Bertrand.

Exercice 63 : [nonc]Notons que les termes somms sont positifs.La fonction x 7 a

x est dcroissante donc

an 6

nn1

axdx

puisnk=0

ak 6 1 +

n0axdx = 1 + 2

n0

uaudu

or +

0 uaudu est dfinie donc

n>0an < +

Exercice 64 : [nonc]Puisque x 7 1x2 est dcroissante k+1

k

dxx2

6 1k2

6 kk1

dxx2

donc +n+1

dxx2

6+

k=n+1

1k2

6 +n

dxx2

do lon obtient : un 1/n.Il y a donc divergence de la srie de terme gnral un.


Puisque x 7 1x est dcroissante n+1n

dxx 1n nn1

dxx



donc +N+1

dxx RN

+N

dxx

do lon obtient :Rn 1( 1)n1

puisRnSn 1( 1)Sn1

La srien1

RnSn

converge si, et seulement si, > 2.


unSn

6 SnSn1

dtt

doncp

n=1

unSn

6 SpS0

dtt

= 1 1

[1

t1

]SpS0

6 1 1 < +

La srie termes positifs est convergente car ses sommes partielles sont majores.


Puisque x 7 1x est dcroissante +1

dxx

+k=1

1k 1 +

+1

dxx

donc1

1 () 1 +1

1Par suite ( 1)()

1+1.


a) Par croissance de la fonction . kk1

tdt

k

k+1k

tdt

donc n0

tdt

nk=1

k

n+11

tdt

et on conclut aisment.b) On a

lnn! =nk=1

ln k

et, par croissance de la fonction ln kk1

ln tdt ln k k+1k

ln tdt

donc n1

ln tdt lnn! n+1

1ln tdt

puis on peut conclure.c) Par dcroissance de la fonction x 7 1/x ln x sur [1/e ; +[, k+1

k

dtt ln t

1k ln k

kk1

dtt ln t

donc n+12

dtt ln t

nk=2

1k ln k

n1

dtt ln t

puis on conclut via dtt ln t = ln(ln t) + C

te +


Notons que an2+a2 an2 donc+n=1

an2+a2 existe.



La fonction x 7 ax2+a2 est dcroissante sur [0,+[ donc par comparaisonsrie-intgrale N+1

1

a

x2 + a2 dx 6Nn=1

a

n2 + a2 6 N

0

a

x2 + a2 dx

puis sachant a

x2 + a2 = arctanx

a+ Cte

on obtient

arctan N + 1a arctan 1

a6

Nn=1

a

n2 + a2 6 arctanN

a

Quand N +,pi

2 arctan1a6

+n=1

a

n2 + a2 6pi

2

Par le thorme des gendarmes,

lima+

+n=1

a

n2 + a2 =pi

2


An = a+b(n+ 1)

2 , lnBn =1n

nk=1

ln(a+ bk)

Posons f(t) = ln(a+ bt) fonction croissante.A laide dune comparaison srie-intgrale

nk=1

f(k) = n ln(a+ bn) n+ o(n)

doncln BnAn

= lnBn lnAn = ln(

a+ bna+ bn/2

) 1 + o(1) ln 2 1

puisBnAn 2e

Exercice 71 : [nonc]a) a) Une comparaison srie intgrale est inadapte, f nest pas monotone commeen tmoigne ses changements de signe. En revanche :

un = n+1n

f(x) f(n) dx

Or par le thorme des accroissements fini,

f(x) f(n) = f (cx)(x n)avec cx ]n, x[.Aprs calcul de f (x), on en dduit

|f(x) f(n)| 6 13n4/3 +2

3n5/3

puis un = O( 1n4/3

).

b) La srie de terme gnral n+1n

f(t) dt diverge car n

0 f(t) dt = 3 sin(n1/3

)diverge. En effet si sin

(n1/3

)convergeait vers ` alors par extraction sin(n) aussi et

il est classique dtablir la divergence de (sin(n)). On en dduit que cos(n1/3)

n2/3

diverge.c) Il suffit de reprendre la mme tude pour parvenir lammeun =

n+1n

f(x) dx f(n) conclusion.

Exercice 72 : [nonc]a) La fonction f est bien dfinie et continue par morceaux sur [1,+[.On a

f (x) = cos(ln x) sin(ln x)x2

et donc|f (x)| 6 2

x2

La fonction x 7 1/x2 tant intgrable sur [1,+[, il en est de mme de f pardomination.b) Par intgration par parties n

n1f(t) dt = [(t (n 1)f(t)]nn1

nn1

(t (n 1))f (t) dt

donc|un| 6

nn1

(t (n 1)) |f (t)| dt 6 nn1|f (t)| dt



Lintgrabilit de f permet dintroduire +

1 |f (t)| dt et daffirmer que lessommes partielles de la srie

|un| sont majores viaNn=1|un| 6 |u1|+

N1|f (t)| dt 6 |u1|+

+1

|f (t)| dt

La srieun est alors absolument convergente.

c) Par labsurde, supposons que la suite (cos(lnn)) converge. La suite extraite(cos(ln 2n)) = (cos(n ln 2)) aussi. Notons ` sa limite.Puisque

cos((n+ 1) ln 2) + cos((n 1) ln 2) = 2 cos(n ln 2) cos(ln 2)on obtient la limite 2` = 2` cos(ln 2) et donc ` = 0.Puisque

cos(2n ln 2) = 2 cos2(n ln 2) 1on obtient aussi la limite ` = 2`2 1 ce qui est incompatible avec ` = 0.d) Puisque n

n1f(t) dt = cos(lnn) + cos(ln(n 1))

La divergence de la suite (cos(lnn)) entrane la divergence de la srie nn1 f(t) dt.

Enfin, puisque la srieun converge, on peut alors affirmer que la srie

f(n)

diverge.


a) Posons

un = n+1n

f(t) dt f(n)

On a|un|

n+1n

|f(t) f(n)|dt

Or pour tout t [n ;n+ 1]

|f(t) f(n)| = tn

f (u) du t

n

|f (u)|du n+1n

|f (u)|du

et donc|un|

n+1n

|f (u)|du

Sachant que la suite( n

1 |f (u)|du)converge, la srie

n+1n|f (u)|du

converge et, par comparaison de sries termes positifs, on peut affirmer quela srie

un est absolument convergente.

Puisquenk=1

f(k) =nk=1

k+1k

f(t) dt uk = n+1

1f(t) dt

nk=1

uk

la convergence de la srief(n) quivaut celle de la suite

( n1 f(t) dt

).

b) Introduisons

f : t 7 sint

t

La fonction f est de classe C1 sur [1 ; +[ et

f (t) =1

2t

cos(t) sin (t)t2

=t+O

(1t2

)est intgrable sur [1 ; +[.La convergence de la srie tudie quivaut alors la convergence quandn + de n

1

sint

tdt

En posant u =t n

1

sint

tdt =

n1

2sin uu

du

dont la convergence quand n + est bien connue (cf. intgrale deDirichlet).

Exercice 74 : [nonc]La fonction fnest continue, strictement dcroissante et de limites + et 0 en n et+. On en dduit que fn ralise une bijection de ]n,+[ vers ]0,+[. Ainsi,pour tout a > 0, il existe un unique xn > n vrifiant fn(xn) = a.On a

fn(n+1+y) =nk=1

1n+ 1 + y k =

nk=1

1k + y 6

nk=1

kk1

dtt+ y =

n0

dtt+ y = ln

(1 + n

y

)Pour y = nea1 ,

f(n+ 1 + y) 6 ln (1 + (ea 1)) = a



et par suitexn 6 n+ 1 +

n

ea 1Aussi

f(n+ y) =n1k=0

1y + k >

n0

dtt+ y = ln

(1 + n

y

)Pour y = nea1 , f(n+ y) > a et par suite

xn > n+n

ea 1On en dduit

xn n+ nea 1 =ean

ea 1

Exercice 75 : [nonc]On remarque

n

+k=n

(1k2

enk)

= 1n

+k=n

(k

n

)avec : x 7 1x2 e1/x.La fonction est dcroissante en tant que produit de deux fonctions dcroissantespositives. Par suite (k+1)/n

k/n

(t) dt 6 1n

(k

n

)6 k/n

(k1)/n(t) dt

En sommant et en exploitant lintgrabilit de au voisinage de + +1

1t2

e1/t dt 6+k=n

1n

(k

n

)6 +

(n1)/n

1t2

e1/t dt

Or +1

1t2

e 1t dt =[e1/t

]+1

= e 1 et +

(n1)/n

1t2

e 1t dt =[e1/t

]+(n1)/n

e 1

Par encadrement

limn+n

+k=n

(1k2

enk)

= e 1

Exercice 76 : [nonc]La fonction t 7 f(et) est dcroissante et positive donc, par thorme decomparaison srie intgrale, lintgrale

+0 f (e

t) dt et la srief (en) ont

mme nature.Par le changement de variable C1 bijectif u = et, lintgrale +0 f (et) dt mme nature que

+1

1uf( 1u

)du.

La fonction u 7 1uf( 1u

)est dcroissante et positive donc, par thorme de

comparaison srie intgrale, lintgrale +

11uf( 1u

)du et la srie

1nf( 1n

)ont

mme nature.


La convergence de+k=0

1k! sobtient entre autre par le critre dAlembert puisque1/(k + 1)!1/k!

= 1k + 1 k+ 0 < 1On peut alors majorer le reste de la srie en prenant appui sur une sommegomtrique

+k=n+1

1k! 6

1n!

(1

n+ 1 +1

(n+ 1)2 + )

= 1n!

1n+ 1

11 1/n+ 1 =

1n.n!

Notons que raisonner par rcurrence ne marche pas.

Exercice 78 : [nonc]Selon que < 0 ou > 0, on encadre 1/k en exploitant la monotonie dex 7 1/x.Sachant que dt

t= 11 t

1 + Cte t+ +

on obtientnk=1

1k n

1

1

Exercice 79 : [nonc]Puisque la fonction x 7 1x est dcroissante n+1

n

dxx

6 1n

6 nn1

dxx



donc +N+1

dxx

6 RN 6 +N

dxx

do lon obtientRn 1( 1)n1


a) 1k+k 1k et

k1

1k est une srie terme positif divergente donc

Sn n+

nk=1

1k lnn

b) Pour tre plus prcis,

Sn nk=1

1k

=nk=1

(1

k +k 1k

)=

nk=1

k

k2 + kk

or k

k2 + kk 1k3/2

et est donc le terme gnral dune srie convergente.Ainsi, Sn

nk=1

1k n+ oC

do

Sn =n+ lnn+ ( + C

) + o(1) = lnn+ C + o(1)


a) 1k2+k 1k2 donc la srie de terme gnral 1k2+k est absolument

convergente. Par suite (Sn) converge vers une certaine constante C.b)

C Sn =+

k=n+1

1k2 +

k

n+

+k=n+1

1k2

cark1

1k2 est une srie termes positifs convergente.

Par comparaison srie intgrale+k=n+1

1k2 n+ 1n et on peut conclure

comme annonce.

Exercice 82 : [nonc]Par une comparaison avec une intgrale, on sait dj

+k=n+1

1k2 1n

Il reste dterminer un quivalent simple de la diffrence

dn =+

k=n+1

1k2 1n

Sachant que 1n est le reste de rang n de la srie convergente( 1k1 1k

)= 1

k(k1)

dn =+

k=n+1

1k2(k 1)

Par quivalence de reste de sries termes positifs convergentes

dn +

k=n+1

1k3

Par comparaison avec une intgrale

dn 12n2Finalement

+k=n+1

1k2

= 1n 12n2 + o

(1n2

)


a) Pour > 1, la srie de terme gnral 1/n converge et si lon pose

Sn =nk=1

1k

on observe2n

k=n+1

1k

= S2n Sn +k=1

1k

+k=1

1k

= 0



Pour = 1, on introduit les sommes partielles harmoniques

Hn =nk=1

1k

En notant la constante dEuler, on peut crire

Hn = lnn+ + o(1)

et alors2n

k=n+1

1k

= H2n Hn = ln 2 + o(1) ln 2

b) Par lgalit de Taylor avec reste intgral, on peut crire

sin

Exos 2

Documents

Transcript of Exos 2