Exos Prepa Maths CU1

5/11/2018 Exos Prepa Maths CU1 - slidepdf.com

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Voici une série d’exercices de mathématiques, du premier cycle universitaire.

Ceratins ont été déjà proposés au concours d’entrée au CPR du Maroc. D’autressont proprement élaborés par l’auteur en vue d’aider les candidats dans leur

préparation aux concours et examens nécessitant un niveau équivalent au

DEUG ou CUES.Bien entendu, cette série ne couvre pas tout le programme du premier cycle

universitaire. L’étudiant est donc censé retravailler ses « anciens » exercices etinvité à chercher d’autres séries de problèmes en lien avec les thèmes essentiels

de son programme.

Exercice 1 :

On considère f , une fonction numérique d’une variable réelle, définie pour

tout V x∈ , V étant un voisinage ouvert de 0, par :

)()(33

32

21 x x xa xa xa x f α +++= réelsnombresdessontaet,où 321 aa

.0pointaunullelimiteuneadmettantetsurdéfinienumériquefonctionuneestet V α

1) Montrer que f est dérivable en 0 et préciser son nombre dérivé f’(0).

Ecrire une équation cartésienne de la tangente à la courbe représentative de f au point

d’abscisse 0.

2) Dans cette question, et seulement cette question 3, on prend :

réel.paramètreunestoù4et)1(),1( 2321 mmammamma −=−=+=

a) Etudier suivant m, la nature de l’origine O par rapport à la courbe représentative de f .

b) Esquisser dans chaque cas, l’allure de cette courbe au voisinage de O.

3) On suppose maintenant, que f est de classe C1 sur I , un intervalle ouvert contenant 0 et

que 01 a .

a) Montrer qu’il existe J et K , deux intervalles ouverts contenant 0 tels que I J ⊂ et f réalise une bijection de J vers K .

b) Montrer qu’on peut trouver trois réels 321 et, bbb et une fonction définie sur W, un

voisinage ouvert de 0, de limite nulle en 0, tels que :

)()(33

32

211

y y yb yb yb y f β +++=

−

pour tout W y∈ .

4) Calculer les six nombres 321321 et,,a ,, bbbaa pour la fonction définie par

)1ln()( x x x f ++= où ln désigne la fonction logarithme de base e.



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Exercice 2 :

On pose 30 += i z et 164)(24

0 +−= X X X P .

(On rappelle que pour tout corps K , K [ X ] désigne l’anneau des polynômes à une seule

indéterminée X à coefficients dans K. Ainsi, K peut être Q, R ou C, le corps de nombres

rationnels, réels ou complexes respectivement).

Partie A :

1. Calculer et,z,, 3

0

2

003

02

0 z z z z ( 0 z étant le nombre conjugué de 0 z ).

2. Déterminer un polynôme [ ] X Q X P ∈)( , unitaire de degré 4 tel que .0)( 0 = zP

3. Chercher dans C , les racines de )(0 X P et en déduire la décomposition de ce

polynôme en polynômes irréductibles successivement sur C [ X ], R[ X ] et Q[ X ].

Partie B : Soit un polynôme .0)(quetel][)( 0 =∈ zP X Q X P

1. Est-il possible d’avoir P(X) non nul de degré < 4 ?

2. Soit R(X), le reste de la division euclidienne de P(X) par )(0 X P sur Q[ X ].

Montrer que R( 0 z )=0. Conclure.

3. En déduire qu’il existe un polynôme ][)( X Q X Q ∈ tel que )().()( 0 X Q X P X P =

.

Partie C : On considère { }][)( / )( 0 X Q X P zP E ∈= .

1. Montrer que ( E , +, x ) est un sous-anneau de (C , +, x ).

2. Montrer que ( E , +, . ) est un sous-espace vectoriel sur Q de (C , +, . ).

3. Vérifier que3

02

00 et,,1 z z z sont bien des éléments de E et qu’ils sont

linéairement indépendants sur Q.

4. Soient [ ] X Q X P ∈)( et R( X ), le reste de la division euclidienne de P( X ) par

)(0 X P sur Q[ X ].

a. Comparer P( 0 z ) et R( 0 z ).

b. En déduire une base et la dimension de E relativement à Q.

5. Soit [ ] X Q X P ∈)( tel que .0)( 0 ≠ zP

c. Montrer que P(X) n’est pas divisible par )(0 X P sur Q[ X ].

d. En déduire qu’il existe Q(X) et ][)( X Q X R ∈ tels que

.1)().()().( 0 =+ X R X P X P X Q

e. Montrer qu’alors .))((1

0 E zP ∈−

Conclure.

f. Vérifier que 3et,, 01

0 i z z−

sont des éléments de E .



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g. Montrer que (1 , i , 3 , 3i ) est une base de E sur Q.

Partie D : Soit E E f : → vérifiant :

o )'()()'(et)'()()'(:))',((2 z f z f zz f z f z f z z f E z z =+=+∈∀ .

o 0)(/ )( 11 ≠∈∃ z f E z .

1. ..

a. Calculer f (0) et f (1).

b. Montrer que ).()(:))(( znf nz f E z N n =∈∀∈∀

c. En déduire que .)(:)( r r f Qr =∈∀

2. Montrer que f est un endomorphisme de E dont on déterminera le noyau noté Ker

f . Conclure.

3. ..

a. Etablir que )).(())((:])[)(( 00 z f P zP f X Q X P =∈∀

b. En déduire que )( 0 z f est une racine de )(0 X P dans C .

c. Combien y’a-t-il alors de telles applications f ?

d. Calculer, suivant les cas, ).3(puis)(,)3( i f i f f

Exercice 3 :

Soit Nnn )(f ∈ , la suite de fonctions numériques définies sur ]2

,0[π

par x x ncos)(f n = .

1. ..

a. Montrer que Nnn )(f ∈ converge uniformément sur tout segment inclus

dans ]2

,0]π

.

b. Nnn )(f ∈ converge-t-elle uniformément sur ]2

,0[π

?

On définit, pour tout Nn∈ , xdxu = 20

nn cos

π

.

2. Etablir que , pour tout Nn∈ , on a : n2n2n

1nuu

+

+=+ .

3. ..

a. Montrer que la suite Nnn )( ∈u est convergente.



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b. En partant de +=a

a xdx xdxu

02

nnn coscos

π

où ]2

,0]aπ

∈ , calculer

nnlim u+∞→

.

c. Vérifier que le terme 1nn .1).n( ++ uu est indépendant de n.

d. Calculern

1nnlim

u

u+

+∞→.

e. En déduire quen2

n

π ≈u (quand +∞→n ).

4. ..

a. Démontrer par récurrence que :

1)!2p(

)!p(4et

2)p!(4

2p)!( :N)p(

2p

12p2p2p+

==∈∀ +uuπ

b. En déduire que )p(quand p

4

)(p!

(2p)! p

2+∞→≈

π (Formule de Wallis)

5. Soit, pour tout *Nn∈ , )

nn

en!ln(

n

n

n =S .

a. Montrer que l’on peut considérer nS comme la somme partielle d’une

série numérique de terme général na que l’on déterminera.

b. Etablir que )nquand(n12

12n +∞→−≈a .

c. En déduire que *Nnn )(∈

S est convergente.

d. En utilisant la formule de Wallis, calculer nnlim S+∞→

.

e. En déduire enfin, que )n(quand n2nn!nn

+∞→≈− π e (Formule de

Stirling)

Exercice 4 :

Soit Nnn )( ∈u , la suite définie par :3

nn1n1 2:Nnet1,0 uuuu −=∈∀= + .

1. ...

a. Etudier la monotonie de Nnn )( ∈u .

b. Montrer que la suite Nnn )( ∈u est convergente et calculer sa limite.

Soit *Nnn )(∈

v , une suite convergente vers un réel l. On définit, pour tout

*Nn∈ ,

n

... n21n

vvv M

+++= (la moyenne arithmétique des n premiers

termes de la suite *Nnn )(∈

v ).

2. Soient n et p, deux entiers naturels non nuls tels que np .



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a. Montrer que : lvlvl M −+−≤−≤

=

=

k nk p

pk

1k

k n maxn

1

.

b. En déduire que *Nnn )(∈

M converge aussi vers l.

3. Application à la recherche d’un équivalent de nu au voisinage de ∞+ .

a. Déterminer la limite de 223

1

)2(

1

x x x −−

quand x tend vers 0.

b. En déduire la limite de la suite *Nnn )(∈

w définie par :2

n2

1n

n

11

uuw −=

+

.

c. Utiliser tous les résultats précédents pour donner un équivalent au

voisinage de ∞+ de Nnn )( ∈u .

Exercice 5 :

On considère N, une norme sur R2 et ( ){ }1y)(x,N / Ry)(x,B 2 ≤∈= .1. Montrer que :

a. B est une partie convexe de R2

.

b. ( ) [ ]( ) By)x,.(:1,1-By)(x, ∈∈∀∈∀ λ λ .

c. ( )( ) k yetk x:By)(x,Rk *

≤≤∈∀∈∃+

.

d. ( ) Φ≠

∈∈∈∀+

By)(x,1

/ R:Ry)(x, *2

α α .

e. ( ) ( )

∈∈=∈∀+

By)(x,1

/ Rinf y)(x,N:Ry)(x, *2

α α .

Dans la suite de l’exercice, on note S, le sous-ensemble de R définipar : ( ) By)(x, / RySx ∈∈∃⇔∈ .

2. Montrer que S est un segment de R, symétrique par rapport à 0.

3. Pour tout Sx∈ , on pose { }By)R/(x,yIx ∈∈= . Montrer que :

a. ( ) I:Sx x∈∀ est un segment de R,

b. ( ) -II:Sx xx- =∈∀ .

4. Pour tout Sx∈ , on considère Iinf (x)etIsupx)( xx == ψ ϕ . Montrer que :

a. ( ) (-x)-(x):Sx ϕ ψ =∈∀ ,

b. ( ) ( ) 1 (x))(x,N:Sx =∈∀ ϕ ,

c. ϕ est une fonction concave,

d. { }(x)y(x)etS / xRy)(x,B2 ϕ ψ ≤≤∈∈= .



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Exercice 6 :

Soit x un nombre réel strictement positif, arbitraire. On considère la série de terme

général ,)(quetel)( * N nne xu xu

nxnn ∈=

− .

1. Montrer que la série de terme général )( xun converge pour toute valeur strictement

positive de x.

On pose )()( +∞

= x

nn dt t u xv , pour tout entier n de N *

et tout x de R*+

.

2. Démontrer que l’intégrale )( xvn est convergente.

3. Démontrer que la série de terme général )( xvn est convergente et calculer sa somme que

l’on notera S( x).

4. Trouver une expression simple de la somme )()(1

=

=

=

n p

p

pn xv xT , en déduire la somme

)()(

1

=

=

=

n p

p

pn xu xU et la somme S de la série de terme général nne−

.

5. En utilisant les questions précédentes, démontrer que pour tout entier naturel non nul n et

pour tout réel y tel que 0< y<1, on a :)1(

...22

2

y

yny y y n

−+++ .

Exercice 7 :

Soient a un nombre réel strictement positif et f une fonction numérique de classe C1

sur [-a, a]

telle que f(a)=f(-a)=0 sans que f soit identiquement nulle sur [-a, a].

1. Soit K, un nombre réel tel que2

Ka

π . On pose

( )( )dx x x x x x I a

a − +−−= )tg(K)Kf()('f )(f K)('f 2222

.

a. Justifier l’existence de I .

b. Démontrer que I =0.

c. Démontrer que ( ) 0)tg(K)Kf()('f 2

dx x x xa

a − + .

d. En déduire que2

2

2

2

2

2

2

4)(f

)('f queetK

)(f

)('f

a x

dx x

x

dx x

a

a

a

aa

a

a

a π

−

−

−

− .

2. On prenda2

Kπ

= . Donner un exemple de fonction f satisfaisant aux conditions

posées au début de l’exercice telle que

( )( )dx x x x x x I a

a − +−−= )tg(K)Kf()('f )(f K)('f 2222

converge.



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Exercice 8 :

Soient f et g deux fonctions numériques définies continues sur I, un intervalle ouvert, borné

centré en 0. On considère la suite de fonctions numériques ( ) N ∈nn F définie par :

( ) ( ) ( ) +=∈∀=∈∀ +

xdt t t gt t f x N x x

0nn1n0 ))(sin(F)())(cos(F)()(F:net0)(F:I .

1. Montrer que pour tout segment S inclus dans I, il existe une constante réelle K

vérifiant : ( )( ) )(F)(FK)(F)(F:S0 n1n1n2n dt t t x x N n x x

−≤−∈∀∈∀ +++ et

( )( ))!1(

K )(F)(F:S

11n

n1n+

≤−∈∀∈∀

++

+n

x x x N n x

n

.

2. En déduire que, pour tout x de l’intervalle I, la suite ( ) )(F nn N x

∈converge vers F( x)

où F est une fonction numérique définie sur I, que cette convergence est uniforme sur

tout segment S inclus dans I et que F vérifie :

( ) ( ) +=∈∀ x

dt t t gt t f x x0

))sin(F()())cos(F()()(F:I .

3. Démontrer que F est de classe C1sur I.

Exercice 9 :

Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et U un endomorphisme de E

vérifiant : 02IdU3U E2

=+− (*).

1. Montrer que U est bijective et préciser U-1

en fonction de U.

2. On pose Id-UV E= et 2IdUW E−= .a. Montrer que E=ImV+ImW

b. Déterminer VoW et WoV

c. En déduire que KerVImWetKerWImV ⊂⊂

d. Montrer que KerWKerVE ⊕=

e. Montrer qu’il existe une base de E, )f ,...,f ,(f B n21= telle

que : { } iiii f ) / U(f )2,1n)(i1 / i( λ λ =∈∃≤≤∀ .

3. …

a. Montrer qu’il existe deux suites réelles ( ) ( ) NnnNnn beta∈∈

telles que :

)IdU(avec IdbUaU:N)n( E0

Ennn

=+=∈∀ .

b.

Donner les valeurs de betb,a,a 1010 .c. Etablir que : 2a-a3a:N)n( n1n2n ++ =∈∀ .

d. Exprimer alors En IddeetUden,defonctionenU .

4. Soit )e,e,(eB 321= la base canonique de R3, et soit U l’endomorphisme de R

3défini

par 333212311 e2)et U(e ee2e)U(e,ee)U(e =++=−= .

a. Montrer que U vérifie l’équation (*).

b. Déterminer )2Id-Ker(Uet)Id-Ker(U EE .



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c. En déduire une base )f ,f ,(f B 3210 = de R3

vérifiant la propriété de la question

2.e.

Exercice 10 :

1. Définition de la fonction Gamma :

a. Pour quelles valeurs réelles de l’intégrale1

0 dt t β est-elle convergente ? Justifier.

b.Soit x un réel strictement positif. Montrer que l’intégrale0

1 +∞ −−

dt t e xt est

convergente.

On peut donc définir sur ] [ ,0 ∞+ , la fonction Gamma d’Euler notée Γ par

)(0

1 +∞ −−

=Γ dt t e x xt .

2. Relation fondamentale de la fonction Gamma :

a. Calculer )1(Γ .b.Montrer que : ] [ )(1)(:,0 x x x x Γ =+Γ ∞+∈∀ (*).

c. En déduire )2(Γ puis une expression simple de )(nΓ pour tout entier naturel n non

nul.

3. Dérivabilité de la fonction Gamma :

Soient a et b des réels tels que 0<a<b.

a. Discuter selon les valeurs strictement positives du paramètre t , les variations de la

fonction ht définie sur ] [ ,0 ∞+ par .h1−

= x

t t (x)

b. En déduire que [ ]( ) ] [( ) 1110:,0 ,

−−−+≤≤∞+∈∀∈∀

ba x t t t t ba x

c. Montrer que pour tout α réel strictement positif, l’intégrale dt t t et

ln0

1 +∞ −− α

est

convergente.

d. Montrer avec soin que la fonction Γ est dérivable sur [a,b] et déterminer )(' xΓ sous

forme d’intégrale.

e. On admet que Γ est de classe∞

C sur ] [ ,0 ∞+ . Ecrire, sans justifier la dérivée p-

ième de Γ sous forme d’intégrale.

4. Etude de la fonction Gamma :

a. Utiliser la relation fondamentale (*) pour déterminer un équivalent de Γ au

voisinage de 0+. En déduire la limite de T en 0

+.

b.Justifier que 'Γ est strictement croissante sur ] [ ,0 ∞+ .

c. Montrer qu’il existe un unique ] [ 0)('quetel2,1 =Γ ∈ cc . En déduire le signe de'Γ et enfin, les variations de Γ .

Exercice 11 :

On note )( IR M n l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.



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Soient A et R, deux éléments de )( IR M n . On dit que R est une racine carrée de A dans

)( IR M n si R2=A.

Dans tout cet exercice, on suppose que A admet n valeurs propres réelles distinctes,

notées nλ λ λ

...21 et on note D =

nλ

λ

λ

...00

............

0...0

0...0

2

1

1. Justifier l’existence d’une matrice carrée P d’ordre n à coefficients réels inversible telle

que A=PDP-1

, puis montrer que R est une racine carrée de A si et seulement si la matrice

S=P-1

RP est une racine carrée de D.

2. En supposant que D admet une racine carrée S,

a. Montrer que DS=SD

b.En déduire que la matrice S est diagonale.

c. Montrer qu’alors : A admet une racine carrée dans )( IR M n si et seulement si les

valeurs propres de A sont positives ou nulles.

d.Déterminer dans ce cas, toutes les racines carrées de la matrice D.

3. Ecrire toutes les racines carrées de A dans )( IR M n à l’aide de P. Combien de racines

carrées A admet-elle ?

Exercice 12 :

1. Montrer que la suite définie par :1

0

=

=+

=

nk

k

nk n

S est décroissante et qu’elle admet une

limite finie qui sera notée S.

2.

Soit f une fonction numérique continue sur [ 0, 1 ] telle que f d’(0) existe dans IR et que

f(0)=0. Montrer que la suite de terme général : 1

f f)(0

=

=

+=

nk

k

nk n

σ tend vers f d’(0). S.

3. Calculer f)(nσ lorsque f( x)=ln ( x+1) et en déduire que S=ln 2.

4. Plus généralement, quelle est la limite, lorsque n tend vers ∞+ , de

1 f f),(

0

=

=

+=

pnk

k

nk n

pσ ? ( p entier naturel donné)

5. Application : Limite de la suite définie par :1

sin0

=

=

+=

nk

k

nk n

σ .

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