Exo Graphes Sopena

7/26/2019 Exo Graphes Sopena

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ric SOPENA - [email protected] mars 2002

lments de thorie des graphes - Quelques exercices dapplication page 1

LMENTS DE THORIE DES GRAPHESQUELQUES EXERCICES DAPPLICATION

Le but principal de cette srie dexercices est de servir de source dinspiration .Bon nombre de ces exercices peuvent tre lorigine de toute une famille dexercices

que lenseignant naura aucun mal gnrer

1. NOTIONS DE BASE

1.1. Modlisation

Exercic e 1. Construire un graphe orient dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 12 etdont les arcs reprsentent la relation tre diviseur de .

Exercic e 2. Une chvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive dun fleuve ; un passeur souhaite les

transporter sur lautre rive mais, sa barque tant trop petite, il ne peut transporter quun seul dentreeux la fois. Comment doit-il procder afin de ne jamais laisser ensemble et sans surveillance le loupet la chvre, ainsi que la chvre et le chou ?

Exercic e 3. Trois maris jaloux et leurs pouses souhaitent traverser une rivire. Ils disposent dunebarque qui ne peut transporter plus de deux personnes la fois. Comment doivent-ils procder,sachant quaucune femme ne doit rester en compagnie dun ou deux hommes sans que son mari soitprsent ?Montrez que ce problme na pas de solution si les couples sont au nombre de 4.

Exercic e 4. On souhaite prlever 4 litres de liquide dans un tonneau. Pour cela, nous avons notredisposition deux rcipients (non gradus !), lun de 5 litres, lautre de 3 litres... Comment doit-onfaire ?

Exercic e 5. (Jeu de Fan Tan) Deux joueurs disposent de 2 ou plusieurs tas dallumettes. A tour derle, chaque joueur peut enlever un certain nombre dallumettes de lun des tas (selon la rglechoisie). Le joueur qui retire la dernire allumette perd la partie. Modliser ce jeu laide dun graphe dans le cas o lon dispose au dpart de deux tas contenant

chacun trois allumettes, et o un joueur peut enlever une ou deux allumettes chaque fois. Que doit jouer le premier joueur pour gagner la partie coup sr ? Mmes questions avec 3 tas de 3 allumettes.

Exercic e 6. Essayez dexprimer (et non ncessairement de rsoudre) en termes de graphes lesproblmes suivants : Peut-on placer huit dames sur un chiquier sans quaucune delles ne puisse en prendre une

autre ? Un cavalier peut-il se dplacer sur un chiquier en passant sur chacune des cases une fois et une

seule ? Combien doit-on placer de dames sur un chiquier 5x5 afin de contrler toutes les cases ?

Exercic e 7. Le graphe ci-contre reprsente le plandes couloirs dun muse. Un gardien plac dansun couloir peut surveiller les deux carrefoursplacs ses extrmits. Combien de gardienssont ncessaires (et comment les placer) afin quetous les carrefours soient surveills ?Si lon place maintenant les gardiens auxcarrefours, en supposant quun tel gardien peur

surveiller tous les couloirs amenant ce carrefour,combien de gardiens sont ncessaires ?


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Exercic e 8. Sept lves, dsigns par A,B,C,D,E,F et G se sont rendus la bibliothque aujourdhui.Le tableau suivant prcise qui rencontr qui (la bibliothque tant petite, deux lves prsentsau mme moment se rencontrent ncessairement). Quel est lordre darrive des lves la bibliothque ? leur ordre de dpart ?

lve A B C D E F Ga rencontr D,E D,E,F,G E,G A,B,E A,B,C,D,F,G B,E,G B,C,E,F

Exercic e 9. Dans le graphe biparti ci-contre, les sommetsT1, , T6 reprsentent des travailleurs et les sommetsE1, , E6 des emplois.Une arte relie un travailleur un emploi si le travailleura les qualifications ncessaires pour occuper cet emploi.

Comment affecter les emplois aux travailleurs afin de

minimiser le nombre de sans-emploi ?

T1 T2 T5 T6T3 T4

E1 E2 E5 E6E3 E4

Exercic e 10. Chaque jour, un groupe de 12 enfants fait une promenade, par rang de deux. Combien dejours peuvent-ils se promener si lon souhaite quun enfant nait jamais deux fois le mme voisin ? Etsi maintenant la promenade se fait par rang de trois ?

Exercic e 11. Soit X un ensemble de lapins, et G un graphe orient ayant X pour ensemble desommets. On dit que G est un graphe de parent si les arcs de G codent la relation tre lenfantde Quelles conditions doit ncessairement vrifier G pour pouvoir tre un graphe de parent ?

1.2. Degr des sommets

Exercic e 12. On sintresse aux graphes dont tous les sommets sont de degr trois. Construisez de tels graphes ayant 4 sommets, 5 sommets, 6 sommets, 7 sommets. Quen dduisez-vous ? Prouvez-le !

Exercic e 13. La situation est-elle identique pour les graphes dont tous les sommets sont de degr 4 ?

Exercic e 14. Une suite dcroissante (au sens large) dentiers est graphiquesil existe un graphe dontles degrs des sommets correspondent cette suite (par exemple, le triangle trois sommetscorrespond la suite 2,2,2). Les suites suivantes sont-elles graphiques ? 3, 3, 2, 1, 1 3, 3, 1, 1

3, 3, 2, 2 4, 2, 1, 1, 1, 1

5, 3, 2, 1, 1, 1 5, 4, 3, 1, 1, 1, 1

Trouvez deux graphes distincts(cest--dire non isomorphes1) correspondant la suite 3, 2, 2, 2, 1.

Exercic e 15. Pour les graphes orients, il faut considrer des suites de couples dentiers (le premierlment dun couple correspond au degr entrant, le second au degr sortant). Les suites suivantessont-elles des suites graphiques ?

1 deux graphes G1 et G2 sont isomorphes sil existe une bijection f entre leurs ensembles de sommets qui prserve les artes(f(x)f(y) est une arte de G2 si et seulement si xy est une arte de G1).

(0,1), (1,1), (1,1), (1,1), (1,0) (1,1), (1,1), (1,1), (1,1), (1,1) (0,2), (1,1), (1,1), (1,1)

(0,2), (1,1), (1,1), (2,0) (1,2), (1,2), (2,1), (2,1) (1,2), (1,2), (2,1), (2,2), (1,1)

Exercic e 16. Essayez de construire un graphe non orient ayant au moins deux sommets et tel quetous les sommets ont des degrs distincts. Quen dduisez-vous ?


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Exercic e 17. Montrez que dans un groupe de six personnes, il y en a ncessairement trois qui seconnaissent mutuellement ou trois qui ne se connaissent pas (on suppose que si A connat B, Bconnat galement A).Montrez que cela nest plus ncessairement vrai dans un groupe de cinq personnes.

Exercic e 18. Montrez que dans un groupe de 9 personnes, 4 se connaissent mutuellement ou 3 ne seconnaissent pas.

Cela est-il toujours vrai dans un groupe de 8 personnes ?Exercic e 19. Montrez que dans un groupe de personnes, il y a toujours deux personnes ayant le mme

nombre damis prsents.

Exercic e 20. Un groupe de personnes est tel que(i) chaque personne est membre dexactement deux associations,(ii) chaque association comprend exactement trois membres,(iii) deux associations quelconques ont toujours exactement un membre en commun.

Combien y a-t-il de personnes ? dassociations ?

1.3. Graphes eulriens

Exercic e 21. Est-il possible de tracer les figures suivantes sans lever le crayon (et sans passer deuxfois sur le mme trait !) ? Pourquoi ?

Exercic e 22. Est-il possible de tracer une courbe, sans lever le crayon, qui coupe chacun des 16segments de la figure suivante ?

Exercic e 23. Est-il possible de traverser les sept ponts de la ville de Koenigsberg en empruntant deuxfois chaque pont, dans un sens puis dans lautre ?

Exercic e 24. Soit G un graphe non Eulrien. Est-il toujours possible de rendre G Eulrien en luirajoutant un sommet et quelques artes ?

Exercic e 25. On considre des dominos dont les faces sont numrotes 1, 2, 3, 4 ou 5. En excluant les dominos doubles, de combien de dominos dispose-t-on ? Montrez que lon peut arranger ces dominos de faon former une boucle ferme (en utilisant la

rgle habituelle de contact entre les dominos). Pourquoi nest-il pas ncessaire de considrer les dominos doubles ? Si lon prend maintenant des dominos dont les faces sont numrotes de 1 n, est-il possible de

les arranger de faon former une boucle ferme ?

2. PROBLMES DE COLORATION

Exercic e 26. Tout graphe contenant un triangle (K3) ne peut tre colori en moins de trois couleurs.

Construire un graphe sans triangle qui ncessite galement trois couleurs. Comment, partir du graphe prcdent, construire un graphe sans K4ncessitant 4 couleurs ? un graphe sans K5ncessitant 5 couleurs ?


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Exercic e 27. Dterminer le nombre chromatique des graphes suivants :

Exercic e 28. Le schma ci-contre reprsente un carrefour.Le tableau suivant prcise les franchissements possibles de ce carrefour.

En arrivant par A B C D E

Il est possible daller en C,E A,E,D A,D C,A C,D

Les franchissements A-C et B-E ne peuventnaturellement pas tre autoriss simultanment

A

B

C

D

E

Modlisez ces incompatibilits laide dun graphe dont les sommets reprsentent les

franchissements possibles et les artes les incompatibilits entre franchissements. Proposez une coloration du graphe ainsi obtenu. Que peut-on dire dun ensemble de sommets ayant mme couleur ? quoi peut correspondre le nombre chromatique de ce graphe ?

Exercic e 29. On cherche colorier le graphe ci-contre en utilisant des entierspositifs de faon telle que deux sommets voisins ont des couleurs dont ladiffrence, en valeur absolue, est au moins gale trois. Proposez une coloration de ce graphe. Quel est le plus grand entier

utilis ? Peut-on faire mieux ?

Maintenant, on souhaite que, de plus, deux sommets distance deux aient des couleurs dont ladiffrence, en valeur absolue, est au moins gale deux. Quelle est la meilleure colorationpossible de ce graphe ?

Exercic e 30. Sept lves, dsigns par A,B,C,D,E,F et G se sont rendus la bibliothque aujourdhui.Le tableau suivant prcise qui rencontr qui (la bibliothque tant petite, deux lves prsentsau mme moment se rencontrent ncessairement).

lve A B C D E F G

a rencontrD,E D,E,F,G E,G A,B,E A,B,C,D,F,G B,E B,C,E,F

De combien de places assises doit disposer la bibliothque pour que chacun ait pu travaillercorrectement au cours de cette journe ?

3. PROBLMES DE CHEMINS

Exercic e 31. Un tournoiest un graphe orient tel que toute paire de sommets est relie par un arc,dans un sens ou dans lautre (mais pas dans les deux sens). Pourquoi, selon vous, appelle-t-on de tels graphes des tournois ? Montrez que si un tournoi contient un circuit de longueur k, alors il contient galement des circuits

de longueur k, pour tout k < k(une preuve laide dun dessin suffit). Dessinez un tournoi 6 sommets ne possdant pas de circuit de longueur 4.


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Exercic e 32. Un robot se promne sur le graphe ci-contre. Partant dun sommet quelconque s, appelsommet de stockage, il doit dposer un cube sur chacun des autres sommets. Il possdesuffisamment de cubes sur le sommet de stockage, mais ne peut transporter quun cube la fois (ildoit donc repasser par le sommet de stockage avant de livrer un autre cube). Calculer, pour chacundes sommets du graphe, le trajet minimum que doit parcourir le robot si ce sommet est sommet destockage.

Quel est le meilleur sommet de stockage ?

Exercic e 33. Considrons le graphe ci-contre. Combien de cycles simples (sans rptition dartes) de

longueur 5 ce graphe contient-il ?

De longueur 6 ? De longueur 8 ? De longueur 9 ?

Exercic e 34. Construire le graphe orient dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 24 etdont les arcs relient x ylorsque xdivise y. De plus, les arcs sont valus par le quotient y/x(ainsi,larc allant de 3 vers 15 a la valeur 5). Comment reconnat-on dans ce graphe un nombre premier ? Comment retrouver dans ce graphe la dcomposition dun nombre en facteurs premiers ?

Exercic e 35. Remplir le tableau ci-dessous qui, pour legraphe valu ci-contre, donne la valeur du plus court

chemin dun sommet un autre.

A B C D E F G

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C

DE

F

G

8

112

9

62

14

5

3

7

Exercic e 36. Excutez lalgorithme de Dijkstra sur le graphe prcdent, partir du sommet C, puis partir du sommet F.

Exercic e 37. La compagnie EuropAir dessert diffrentesvilles europennes. Le tableau ci-contre donne lesdures de vol entre ces diffrentes villes. Comment dterminer le trajet le plus rapide entre

deux villes ? Comment modifier la mthode prcdente afin de

prendre en compte la dure des escales dans les

diffrentes villes ?

A B C D E

A 1h30 2h00 2h15

B 1h40 3h00

C 2h20 2h55

D 3h20 1h05

E 2h25 3h10 1h10


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4. PROBLMES DORDONNANCEMENT

Exercic e 38. La mise en exploitation dun nouveau gisement minier demande la ralisation dun certainnombre de tches. Le tableau suivant reprsente ces diffrentes tches avec leurs relationsdantriorit.

Tche Description Dure

(en jours)

Tches

antrieuresA obtention dun permis dexploitation 120 -B tablissement dune piste de 6 km 180 AC transport et installation pied duvre de 2 sondeuses 3 BD cration de btiments provisoires pour le bureau des plans, le

logement des ouvriers sondeurs30 B

E goudronnage de la piste 60 BF adduction deau 90 DG campagne de sondage 240 C,DH forage et quipement de trois puits 180 E,F,GI transport et installation au fond du matriel dexploitation 30 J,HJ construction de bureaux et logements, ouvriers et ingnieurs 240 E,F,G

K traage et amnagement du fond 360 J,HL construction dune laverie 240 J,H

Dterminez les dates au plus tt et les dates au plus tard de chaque tche. Dterminez le temps minimum de ralisation de lensemble.(On pourra utiliser ici la mthode des potentiels mtra (MPM), puis la mthode PERT).

Exercic e 39. Tout ensemble de tches peut faire lobjet dun exercice similaire : construction dunlogement, rnovation dune salle de bains, rvisions pour le baccalaurat, etc.

5. PROBLMES DAUTOMATES

5.1. automates simplesExercic e 40. Proposez un automate dterministe permettant de reconnatre un entier positif infrieur ou

gal 138.

Exercic e 41. Proposez des automates dterministes permettant de reconnatre : les multiples de 3, les multiples de 9, les multiples de 10,

les multiples de 100, les multiples de 1000, les multiples de 25,

les multiples de 50, les multiples de 250, les multiples de 6

Exercic e 42. Proposez un automate dterministe permettant de reconnatre un horaire donn sous laforme 12:15.

Exercic e 43. Proposez un automate dterministe permettant de reconnatre une date donne sous laforme 03/02 (pour le 3 fvrier), en se limitant lanne en cours

5.2. automates avec actions

Exercic e 44. Un lve peut tre considr comme un systme trs particulier : lorsquil est interrog oralementpar un enseignant, il rpond sil est en forme et ne rpond pas sil est fatigu. Aprs avoir t interrog, unlve en forme devient fatigu. Lorsquune interrogation surprise se prsente, llve en forme remet une bonnecopie, llve fatigu une copie plutt moyenne. Aprs une interrogation surprise, tous les lves sont fatiguspour le reste de la journe ! Le soir, tous les lves se reposent et arrivent en forme le lendemain matin. Modlisez cette situation laide dun automate avec actions (on pourra dans un premier tempstablir la liste des vnements subis par un lve et la liste des actions ralises par celui-ci enrponse ces vnements)

Exercic e 45. Un tlphone portable est finalement un objet assez simple Quand vous le sortez deson emballage, il est teint et toutes les touches sont sans effet sauf la touche ON , qui met un


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bip sympathique et voici votre tlphone allum Dornavant, toutes les touches mettent un bip (cest amusant ;-) mme la touche OFF qui, pourtant, teint votre tlphone Modlisez le fonctionnement de ce tlphone portable laide dun automate avec actions.

Exercic e 46. On narrte pas le progrs Votre tlphone est galement muni dune touche MUTE qui, naturellement, na aucun effet si votre tlphone est teint, mais qui peut faire passer votretlphone (allum en mode normal) en mode silencieux (aprs avoir mis cependant un bip ;-).

En mode silencieux, les touches nmettent plus de bip , sauf la touche MUTE qui, du coup,fait repasser votre tlphone en mode normal L o lon prend vraiment conscience du progrsaccompli, cest que lorsque vous rallumez un tlphone qui a t teint en mode normal, il se rallumeen mode normal, alors que sil a t teint en mode silencieux, il se rallume en mode silencieux (enmettant cependant un bip ). tonnant, non ? Proposez un nouvel automate avec actions pour ce tlphone moderne ...

Exercic e 47. Le Kidor-Dyn est un animal fabuleux que peu dentre nous ont eu le loisir de croiser surleur chemin... sa naissance (vers 7h00 du matin), le Kidor-Dyn a faim et soif. Lorsquil passe prsdune rivire, il boit, et cela lui suffit pour la journe. Lorsquil croise une belette, il la croque, et cela luisuffit pour la journe. Il peut cependant, au hasard des rencontres, croquer une seconde belette maisjamais trois dans la mme journe. Lorsque le soleil se couche, le Kidor-Dyn fait sa toilette et

sendort, quil ait crois ou pas de rivire ou de belette dans la journe... Le lendemain, il a nouveaufaim et soif, moins quil nait rv, au cours de la nuit, de pluie (auquel cas il na pas soif) ou debelette (auquel cas il na pas faim). Par ailleurs, chaque fois quun enfant passe proximit de luidans la journe, le Kidor-Dyn chante une chanson... Modliser la vie trpidante du Kidor-Dyn laide dun automate avec actions.

6. PROBLMES DIVERS

6.1. Arbres, arbres couvrants

Exercic e 48. Combien darbres diffrents existe-t-il avec 5 sommets ? avec 6 sommets ? avec 7sommets ?

Exercic e 49. Larbre ci-contre code un dictionnaire compos des cinq mots ABAT, ABIME, ACTE,ACTUEL et SOUTE. On souhaite inclure dans ce dictionnaire le mot

SORT. Que devient larbre ? On souhaite maintenant inclure le mot SOU. Or, le

mot SOUTE tant dj prsent, le mot SOU est dj construit dans cet arbre Commentdistinguer alors le mot SOU du mot ABI qui, lui,nappartient pas au dictionnaire ?

Expliquez comment, laide dun tel arbre, il est

possible de dterminer si un mot donn appartientou non au dictionnaire.

A

B C

A I

T M

E

T

E U

E

L

S

O

U

T

E

Exercic e 50. Le schma ci-contre reprsente lacarte dun groupe de villages. Les sommets sontdes villages et les artes des chemins reliant lesvillages. Pour chaque village, la valeur du sommetcorrespond au nombre denfants du village en gedtre scolaris. Pour chaque chemin reliant deuxvillages, la valeur correspond au nombre derivires que doivent traverser la nage les pitonsempruntant ce chemin.On souhaite choisir lun de ces villages pour yconstruire une cole. Le critre de choix principal

est la scurit : on veut minimiser le nombrede traverses la nage ! Dans quel village doit-on construire cette

cole ?

8

3

5

9

2

3

2

2

1

1

25

0


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Exercic e 51. Combien darbre couvrantsdiffrents les graphes ci-contrepossdent-ils ?

6.2. Graphes hamiltoniensExercic e 52. Un groupe de 9 lves se runit chaque jour autour dune table ronde. Combien de jours

peuvent-ils se runir si lon souhaite que personne nait deux fois le mme voisin ?Mme question avec 10 lves, lves, nlvesToujours avec 9 lves, mais cette fois avec 2 tables, lune de 4 places, lautre de 5 Avec troistables de 3 places ?

Exercic e 53. Cette fois, ces runions quotidiennes concernent un groupe de 12 lves, 6 filles et 6garons. On souhaite toujours que personne nait deux fois le mme voisin, mais, cette fois, onsouhaite galement que chaque fille soit entoure de deux garons Combien de jours peuvent-ilsse runir ?

Exercic e 54. Est-il possible de parcourir legraphe ci-contre en passant une et une seule fois par

chacun des sommets et en revenant sonpoint de dpart ?

sans revenir ncessairement son pointde dpart ?

Exercic e 55. Un groupe de huit personnes seretrouve pour dner. Le graphe ci-contre prciseles incompatibilits dhumeur entre lespersonnes de ce groupe (une arte reliant deux

personnes indique que celles-ci sentendent trsmodrment). Proposez un plan de table (la table est ronde)

pour ce groupe en vitant de placer cte cte deux personnes incompatibles .

Combien y a-t-il de solutions possibles ?

A B

C

DG

H

EF

7. BIBLIOGRAPHIE

BERGE, Claude. Graphes et Hypergraphes. d. Dunod, Paris (1970).

GONDRAN, Michel, et MINOUX, Michel. Graphes et Algorithmes. d. Eyrolles, Paris (1979).

LABELLE, Jacques. Thorie des graphes. d. Modulo, Qubec (1981).

ROY, Bernard.Algbre moderne et thorie des graphes orientes vers les sciences conomiques etsociales. Tome 1 : Notions et rsultats fondamentaux. d. Dunod, Paris (1969).

ROY, Bernard.Algbre moderne et thorie des graphes orientes vers les sciences conomiques etsociales. Tome 2 : Applications et problmes spcifiques. d. Dunod, Paris (1970).

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