EXERCICES SUR LES INTEGRALES · 4 TABLE DES MATIÈRES Les exercices

download EXERCICES SUR LES INTEGRALES  · 4 TABLE DES MATIÈRES Les exercices

of 219

  • date post

    04-Nov-2018
  • Category

    Documents

  • view

    213
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of EXERCICES SUR LES INTEGRALES · 4 TABLE DES MATIÈRES Les exercices

  • EXERCICES SUR LES INTEGRALES

    MULTIPLES

  • Table des matires

    I INTEGRATION DANS R2

    5

    1 THEOREME DE FUBINI 7

    2 CHANGEMENT DE VARIABLES 69

    2.1 Coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2 Coordonnes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.3 Isomtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.4 Changements de variables divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    II INTEGRATION DANS R3

    141

    3 THEOREME DE FUBINI 143

    4 CHANGEMENT DE VARIABLES 161

    4.1 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.2 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.3 Changements de variables divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    III INTEGRATION DANS Rp

    205

    5 THEOREME DE FUBINI 207

    6 CHANGEMENT DE VARIABLES 213

    3

  • 4 TABLE DES MATIRES

    Les exercices proposs dans ce qui suit illustrent diffrents moyens pratiques de

    calculer des intgrales multiples

    D

    f(x1, . . . , xp) dx1 dx2 dxp

    dans le cas de 2, de 3 puis de p variables.

    Tous les domaines dintgration D considrs sont limits par des courbes simples

    dans R2, des surfaces simples dans R3 et des hypersurfaces simples dans Rp.

    Les fonctions f intgres sont continues sur D.

    Lorsque le domaine D nest pas ferm ou nest pas born, on appliquera les m-

    thodes gnrales ds que la fonction f est positive sur D.

    On ne soulvera pas de difficults pour les changements de variables proposs.

    Les exercices sont indpendants les uns des autres.

  • Premire partie

    INTEGRATION DANS R2

    5

  • Chapitre 1

    THEOREME DE FUBINI

    1) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le rectangle de sommets O, A(, 0), B(0, 1), C(, 1) et

    f(x, y) = 2y sinx .

    1

    D

    Comme on intgre sur un rectangle une fonction dont les variables se sparent, on a immdiatement

    I =

    0

    sinx dx

    1

    0

    2y dy

    =[

    cosx]

    0

    [

    y2]1

    0= 2 .

    7

  • 8 CHAPITRE 1. THEOREME DE FUBINI

    2) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le triangle de sommets O, A(1, 0), B(1, 1) et

    f(x, y) = x y .

    1

    1

    D

    x

    La droite OB a pour quationy = x .

    Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de 0 x. Donc

    Iy(x) =

    x

    0

    (x y) dy =[

    (x y)2

    2

    ]y=x

    y=0

    =x2

    2.

    On a alors

    I =

    1

    0

    Iy(x) dx =1

    2

    1

    0

    x2 dx =

    [

    x3

    6

    ]1

    0

    =1

    6.

  • 9

    3) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    oD = {(x, y) | |x| a , |y| b} .

    etf(x, y) = (x+ y)exy .

    aa

    b

    b

    x

    D

    On intgre sur un rectangle. Lorsque x est compris entre a et a, lordonne y varie de b b. Donc

    Iy(x) =

    b

    b

    (x+ y)exy dy .

    En intgrant par parties

    Iy(x) =[

    (x+y)exy]y=b

    y=b+

    b

    b

    exy dy =[

    (x+y+1)exy]y=b

    y=b= (x+b+1)exb+(xb+1)ex+b .

    On a alors

    I =

    a

    a

    Iy(x) dx =

    a

    a

    [

    (x b+ 1)ex+b (x+ b+ 1)exb]

    dx .

    En intgrant de nouveau par parties

    I =[

    (x b+ 1)ex+b]+a

    a

    a

    a

    ex+b dx

    [

    (x+ b+ 1)exb]+a

    a

    a

    a

    exb dx

    =[

    (x b)ex+b]+a

    a[

    (x+ b)exb]+a

    a

    = (a b)ea+b + (a+ b)eba (a+ b)eab + (b a)e(a+b)

    = (a b)(ea+b e(a+b)) + (a+ b)(eba eab)= 2(a b) sh(a+ b) + 2(a+ b) sh(b a) .

  • 10 CHAPITRE 1. THEOREME DE FUBINI

    4) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le triangle de sommets O, A(1, 0), B(0, 1) et

    f(x, y) = x2y .

    1

    1

    D

    x

    La droite AB a pour quationy = 1 x .

    Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de 0 1 x. Donc

    Iy(x) =

    1x

    0

    yx2 dy = x2[y2

    2

    ]y=1x

    y=0=

    x2(x 1)22

    .

    On a alors

    I =

    1

    0

    Iy(x) dx =1

    2

    1

    0

    (x4 2x3 + x2) dx = 12

    [

    x5

    5 x

    4

    2+

    x3

    3

    ]1

    0

    =1

    2

    (

    1

    5 1

    2+

    1

    3

    )

    =1

    60.

  • 11

    5) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le triangle de sommets O, A(2, 0), B(0, 2) et

    f(x, y) = xex sin y .

    2

    2

    D

    x

    La droite AB a pour quationy = 2 x .

    Lorsque x est compris entre 0 et 2, le nombre y varie de 0 2 x. Donc

    Iy(x) =

    2x

    0

    xex sin y dy = xex[

    cos y]y=2x

    y=0= xex (1 cos(x 2)) .

    Alors

    I =

    2

    0

    Iy(x) dx =

    2

    0

    xex dx2

    0

    xex cos(x 2) dx .

    En intgrant par parties, on obtient tout dabord

    2

    0

    xex dx =[

    xex]2

    0

    2

    0

    ex dx =[

    (x 1)ex]2

    0= e2 + 1 .

    Dautre part

    2

    0

    xex cos(x 2) dx = Re2

    0

    xexei(x2) dx = Re

    e2i2

    0

    xe(1+i)x dx

    .

    On intgre de nouveau par parties ce qui donne

    2

    0

    xe(1+i)x dx =

    [

    xe(1+i)x

    1 + i

    ]2

    0

    2

    0

    e(1+i)x

    1 + idx =

    [

    xe(1+i)x

    1 + i e

    (1+i)x

    (1 + i)2

    ]2

    0

    .

  • 12 CHAPITRE 1. THEOREME DE FUBINI

    Mais1

    1 + i=

    1 i2

    et1

    (1 + i)2=

    [

    1 i2

    ]2

    = i2,

    do

    2

    0

    xe(1+i)x dx =1

    2

    [

    x(1 i)e(1+i)x + ie(1+i)x]2

    0=

    1

    2

    [

    (

    (1 i)x+ i)

    e(1+i)x]2

    0=

    1

    2

    (

    (2 i)e2+2i i)

    .

    Alors

    e2i2

    0

    xe(1+i)x dx =1

    2

    (

    (2 i)e2 ie2i)

    ,

    et

    Re

    e2i2

    0

    xe(1+i)x dx

    = e2 sin 22

    .

    Finalement

    I = e2 + 1(

    e2 sin 22

    )

    = 1 +sin 2

    2.

  • 13

    6) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le triangle de sommets A(1, 0), B(0, 1), C(0,1) et

    f(x, y) = x+ 2y .

    1

    1

    1

    D

    x

    Les droites AB et AC ont pour quations respectives

    y = 1 x et y = 1 + x .

    Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de x 1 1 x. Donc

    Iy(x) =

    1x

    x1

    (x+ 2y) dy =[

    xy + y2]y=1x

    y=x1= x(1 x) + (x 1)2

    (

    x(x 1) + (x 1)2)

    = 2x(1 x) .

    On a alors

    I =

    1

    0

    Iy(x) dx =

    1

    0

    (2x 2x2) dx =[

    x2 2x3

    3

    ]1

    0

    = 1 23=

    1

    3.

  • 14 CHAPITRE 1. THEOREME DE FUBINI

    7) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le carr de sommets O, A(, 0), B(0, ), C(, ) et

    f(x, y) = (x+ y) sinx sin y .

    D

    x

    Lorsque x est compris entre 0 et , le nombre y varie de 0 . Donc

    Iy(x) =

    0

    (x+ y) sinx sin y dy .

    On intgre par parties

    Iy(x) = sinx

    [

    (x+ y) ( cos y)]y=

    y=0+

    0

    cos y dy

    = sinx[

    (x+y)( cos y)+sin y]y=

    y=0= (2x+) sin x .

    On a alors

    I =

    0

    Iy(x) dx ,

    et on intgre de nouveau par parties

    I =

    0

    (2x+ ) sin x dx =[

    (2x+ )( cos x)]

    0+ 2

    0

    cos x dx =[

    (2x+ )( cos x) + 2 sinx]

    0= 4 .

  • 15

    8) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le triangle de sommets O, A(1, 0), B(0, 2) et

    f(x, y) = (2x+ y)2 .

    1

    2

    D

    x

    La droite AB a pour quationy = 2 2x .

    Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de 0 2 2x. Donc

    Iy(x) =

    22x

    0

    (2x+ y)2 dy =

    [

    (2x+ y)3

    3

    ]y=22x

    y=0

    =8 8x3

    3.

    Alors

    I =

    1

    0

    Iy(x) dx =8

    3

    1

    0

    (1 x3) dx = 83

    [

    x x4

    4

    ]1

    0=

    8

    3

    (

    1 14

    )

    = 2 .

  • 16 CHAPITRE 1. THEOREME DE FUBINI

    9) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le triangle de sommets O, A(1, 0), B(0, 1) et

    f(x, y) = ln(x+ y + 1) .

    1

    1

    D

    x

    La droite AB a pour quationy = 1 x .

    Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de 0 1 x. Donc

    Iy(x) =

    1x

    0

    ln(x+ y + 1) dy .

    En posant u = x+ y + 1, on obtient

    Iy(x) =

    2

    x+1

    lnu du =[

    u lnu u]u=2

    u=x+1= 2 ln 2 2 (x+ 1) ln(x+ 1) + (x+ 1) .

    On a alors

    I =

    1

    0

    Iy(x) dx =

    1

    0

    [2 ln 2 2 (x+ 1) ln(x+ 1) + (x+ 1)] dx .

    En posant v = x+ 1, et en intgrant par parties on obtient

    I = 2 ln 2 22

    1

    (v ln v v) dv = 2 ln 2 2[

    v2

    2ln v

    ]2

    1

    +

    2

    1

    3

    2v dv ,

    do

    I = 2 ln 2 2[

    v2

    2ln v 3

    4v2]2

    1

    =1

    4.

  • 17

    10) Calculer I =

    D

    f(x, y) dx dy

    o D est le trapze dont la base est le segment de laxe des x dont les abscisses sont comprises entre1 et 1 et dont les trois autres cts sont situs dans le demi-plan des y positifs et de longueur 1, et

    f(x, y) = y .

    1

    A

    A

    B

    B

    O1

    32

    D

    y

    Si lon note A(1, 0), B(1, 0) et A et B les autres sommets du trapze, on a AA = AB = BB = 1.Les triangles