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Chapitre IX Intégrales de surface 1. SURFACE PARAMÉTRÉE - PLAN TANGENT - VECTEUR NORMAL........................................................ 2 1.1 SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 2 1.2 VECTEUR NORMAL ..................................................................................................................................................... 4 2. AIRE D'UNE SURFACE PARAMÉTRÉE ............................................................................................................ 6 2.1 SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 6 2.2 SURFACE EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES .............................................................................................................. 7 2.3 AIRE D'UNE SURFACE DE RÉVOLUTION. .................................................................................................................... 10 3. INTÉGRALE DE SURFACE. ............................................................................................................................... 11 4. FLUX D'UN CHAMP DE VECTEUR À TRAVERS UNE SURFACE. ............................................................ 12 4.1 DÉFINITION .............................................................................................................................................................. 12 5. THÉORÈME DE LA DIVERGENCE OU D'OSTROGRADSKI OU THÉORÈME DE GREEN DANS L’ESPACE ........................................................................................................................................... 15 5.1 PREMIER ÉNONCÉ..................................................................................................................................................... 15 5.2 ENONCÉ GÉNÉRAL.................................................................................................................................................... 18 6. THÉORÈME DE STOKES.................................................................................................................................... 19 7. MASSE, CENTRE D’INERTIE, MOMENT D’INERTIE ................................................................................. 24 7.1 MASSE DUNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................................... 24 7.1.1 Exemple ................................................................................................................................................................ 24 7.2 CENTRE DINERTIE DUNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................. 24 7.2.1 Exemple ................................................................................................................................................................ 25 7.2.2 Exemple ................................................................................................................................................................ 25 7.3 MOMENT DINERTIE DUNE PLAQUE GAUCHE ........................................................................................................... 26 7.3.1 Exemple ................................................................................................................................................................ 27

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Chapitre IX Intégrales de surface

1.  SURFACE PARAMÉTRÉE - PLAN TANGENT - VECTEUR NORMAL. ....................................................... 2 

1.1  SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 2 1.2  VECTEUR NORMAL ..................................................................................................................................................... 4 

2.  AIRE D'UNE SURFACE PARAMÉTRÉE ............................................................................................................ 6 

2.1  SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 6 2.2  SURFACE EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES .............................................................................................................. 7 2.3  AIRE D'UNE SURFACE DE RÉVOLUTION. .................................................................................................................... 10 

3.  INTÉGRALE DE SURFACE. ............................................................................................................................... 11 

4.  FLUX D'UN CHAMP DE VECTEUR À TRAVERS UNE SURFACE. ............................................................ 12 

4.1  DÉFINITION .............................................................................................................................................................. 12 

5.  THÉORÈME DE LA DIVERGENCE OU D'OSTROGRADSKI OU THÉORÈME DE GREEN DANS L’ESPACE ........................................................................................................................................... 15 

5.1  PREMIER ÉNONCÉ ..................................................................................................................................................... 15 5.2  ENONCÉ GÉNÉRAL .................................................................................................................................................... 18 

6.  THÉORÈME DE STOKES .................................................................................................................................... 19 

7.  MASSE, CENTRE D’INERTIE, MOMENT D’INERTIE ................................................................................. 24 

7.1  MASSE D’UNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................................... 24 7.1.1  Exemple ................................................................................................................................................................ 24 7.2  CENTRE D’INERTIE D’UNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................. 24 7.2.1  Exemple ................................................................................................................................................................ 25 7.2.2  Exemple ................................................................................................................................................................ 25 7.3  MOMENT D’INERTIE D’UNE PLAQUE GAUCHE ........................................................................................................... 26 7.3.1  Exemple ................................................................................................................................................................ 27 

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Part 1

1. Surface paramétrée - Plan tangent - Vecteur normal. 1.1 Surface paramétrée Rappelons qu’une courbe parametrée est une application de R dans R2 ou R 3 ;

C(t) =(x(t), y(t)) ou C(t)=(x(t), y(t), z(t)), t a b∈[ , ]

( ) ( )( )2, cos ,3 2 ; 0 2C t t t t t π= + ≤ ≤

0

2

4

6 −1−0.5

00.5122.533.54

0

2

4

6

22

Figure 1

Une surface parametrée est par contre, une application de R 2 dans

R 3

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆. R 2

( ) ( )( )2 3, , cos 2 , 1 ; 0 ; 0 1X t v t v t v v t vπ= + + + ≤ ≤ ≤ ≤

01

23

4 −1

0

1

2

3

11.251.5

1.752

01

23

4

Figure 2

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E X E M P L E

L’équation de la sphère centrée à l’origine et de rayon ;avec 0a a > est en coordonnées sphériques:

( ) ( ), sin cos , sin sin , cos ; 0 ;0 2X a a aθ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ π θ π= ≤ ≤ ≤ ≤

P L A N T A N G E N T

Considérons une surface S, définie par:

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆. R 2 .

Pour chaque valeur fixée de u, la courbe :

C t X t u1 ( ) ( , )=

est une courbe appartenant à la surface S.

De même pour t fixée, la courbe:

C u X t u2 ( ) ( , )=

est aussi une courbe de S. Le vecteur

C tXt

t u1' ( ) ( , )=

∂∂

est le vecteur directeur de la tangente à la courbe C t1 ( ) et par contre celui de la tangente à la surface S au point X(t, u).

De même le vecteur

C uXu

t u2' ( ) ( , )=

∂∂

est le vecteur directeur de la tangente à la courbe C u2 ( ) et par contre celui de la tangente à la surface S au même point X(t, u). Nous pouvons énoncer:

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Définition

Pour une surface S définie comme ci-dessus, le plan passant par

le point X(t, u) et parallèle aux deux vecteurs ∂∂ Xt

t u( , ) et ∂∂ Xu

t u( , ) (lorsqu'il existe) est par définition le plan tangent à la

surface S au point (t, u)

1.2 Vecteur normal Le vecteur normal à la surface S au point X(t, u) est par définition le vecteur normal au plan tangent en ce point.

( , ) ( , ) X XN t u t ut u

∂ ∂= ∧∂ ∂

Le vecteur unitaire de cette normale est alors:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

X Xt u t ut unX Xt u t ut u

∂ ∂∧

∂ ∂=∂ ∂

∧∂ ∂

E X E M P L E

Soit la sphère donnée par son équation paramétrique:

( ) ( ), sin cos , sin sin , cos ;0 ;0 2X a a aθ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ π θ π= ≤ ≤ ≤ ≤

Nous avons alors:

( , ) ( cos cos , cos sin , sin ) sin ( , )

( , ) ( sin sin , sin cos ,0)

X a a aX X a X

X a a

ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕϕ ϕ ϕ θ

ϕ θϕ θ ϕ θ ϕ θ

θ

∂ ⎫= − ⎪ ∂ ∂∂ ⎪⇒ ∧ =⎬ ∂ ∂∂ ⎪= − ⎪∂ ⎭

2 sin ( , ) sinX X a X aϕ ϕ θ ϕϕ θ

∂ ∂∧ = =

∂ ∂ 1 ( , )n X

aϕ θ⇒ =

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∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑j

∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑q

∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ q

^ ∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑j

Figure 3

R E M A R Q U E 1

Trouvons la normale à cette sphère à l’aide du gradient. Posons :

2 2 2 2( , , ) 0f x y z x y z a= + + − =

2 2 2

2( , , ) 2( , , ) 12( , , ) ( , , )22

x y z x y zgradf x y z n x y za ax y z

= ⇒ = = =+ +

Or ( , )X ϕ θ et (x, y, z) ne sont autre que le rayon vecteur OM.

R E M A R Q U E 2

X Xθ ϕ

∂ ∂∧

∂ ∂ étant aussi un vecteur normal à la surface de même

direction que le premier, mais dans le sens opposé, nous choisissions pour n le vecteur dirigé vers l’extérieur de la surface. Si le contour de la surface est non fermé, et si il est parcouru dans le sens direct, n a la direction du bonhomme d’Ampère.

0 0.5 1 1.5

11.5 22.530.5

1

1.5

2

Figure 4

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2. Aire d'une surface paramétrée 2.1 Surface paramétrée

0

2

4

6

0

12

34

0

1

2

3

4

θ

0

2

4

0

12

3

Figure 5

Considérons deux vecteurs non nuls et non colinéaires A et B de l’espace. Ces deux vecteurs engendrent un parallélogramme dont la surface est égale à:

sins A B θ= θ étant l’angle des deux vecteurs.

Or A B A B∧ = sinθ

Soit la surface parametrée suivante:

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆ R2.

Si A et B sont les tangentes et X Xt u

∂ ∂∂ ∂

à cette surface en un point

(t, u), alors :

X Xt u

∂ ∂∂ ∂

est égale à l’aire du parallélogramme engendré par et X Xt u

∂ ∂∂ ∂

;

Ce parallélogramme appartient au plan tangent.

Ajoutons alors la condition suivante:

1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )t u t u X t u X t u≠ ⇒ ≠

autrement dit la surface est injective ou dite " surface à deux faces".

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Alors si les composantes x(t, u), y(t, u), z(t, u), (t, u) ∈ A sont de classe C1 on définit l'aire de la surface S par:

( ) S A

X XAire S d dtdut u

σ ∂ ∂= = ∧

∂ ∂∫∫ ∫∫

On écrit symboliquement :

X Xd dtdut u

σ ∂ ∂= ∧

∂ ∂

E X E M P L E

Dans l’espace ( ), ,θ ϕ ρ la sphère est réduite au plan aρ = qui est

une surface à deux faces.

Calculons l’aire d’une sphère de rayon a. Nous savons que : 2

2 2 2 2

0 0

sin sin sin 4S R

X X a S d a d d a d d aπ π

ϕ σ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ πϕ θ

∂ ∂∧ = ⇒ = = = =

∂ ∂ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

{0 ; 0 2 }R ϕ π θ π= ≤ ≤ ≤ ≤

2.2 Surface en coordonnées cartésiennes Soit la surface donnée en coordonnées cartésiennes par z= f(x, y). Une représentation paramétrique de cette surface peut s'écrire:

X(x, y)=(x, y, f(x, y) )

d’où

( )'1,0, xX fx

∂=

∂ et ( )'0,1, y

X fy

∂=

∂⇒ ( )' ' , ,1

x yX X f fx y

∂ ∂∧ = − −

∂ ∂

⇒ '2 '2 1 x yX X f fx y

∂ ∂∧ = + +

∂ ∂

22 1 S A

f fd dxdyx y

σ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫∫ ∫∫

E X E M P L E 1

Calculer l’aire de la portion de paraboloïde définie par:

2 2 , 0 2z x y z= + ≤ ≤

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En appliquant la formule précèdent, on obtient: 2 2 2 21 4 4 {( , ) / 2}

D

S x y dxdy avec D x y x y= + + = + ≤∫∫

En passant en coordonnées polaires, on obtient: 2 2

2

0 0

131 43

S d r r drπ

θ π= + =∫ ∫

E X E M P L E 2

Calculer l’aire d’une sphère d'équation: 2 2 2 2x y z a+ + =

Dans l’espace ( ), ,x y z la sphère n’est pas une surface à deux

faces. Elle en a quatre, deux faces pour 2 2 2z a x y= + − − et deux

autres pour 2 2 2z a x y= − − − .

Nous calculerons l’aire de l’hémisphère 2 2 2z a x y= − − et nous multiplions le résultat par 2.

'

2 2 2x

xza x y

−=

− −; '

2 2 2y

yza x y

−=

− −;

' 2 ' 2

2 2 21 x y

az za x y

+ + =− −

' 2 ' 21 2 2 2

2 2

0 0 2 2

1

2

x yS R R

a

aS d z z dxdy dxdya x y

ard dr aa r

π

σ

θ π

= = + + =− −

= =−

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫

212 4S S aπ= =

R E M A R Q U E I M P O R T A N T E

Soit S une surface à deux faces et Dxy sa projection sur le plan

xOy. Supposons que l’équation de S soit donnée par :

z= f(x, y)

où f est une fonction continue et bijective. Soit n la normale à la surface en un point :

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γ

γ

S

D Figure 6

coscos

D DSS

γγ

= ⇒ =

P= (x, y, f(x, y))

Considérons en ce point une surface élémentaireΔS . On a :

1 1cos cos

S D dxdyγ γ

Δ = Δ =

avec (cos ,cos ,cos )α β γ coefficient directeur du vecteur unitaire normal n:

(cos ,cos ,cos )n α β γ= => ( ). (cos ,cos ,cos ). 0,0,1 cosn k α β γ γ= =

γ étant l’angle que fait la normale à la surface avec l’axe des z, nous pouvons écrire:

'2 '2

' '

'2 '2

1 1 1 1cos . ( , ,1)

(0,0,1)1

x y

x y

x y

f fn K f f

f f

γ= = = + +

− −⋅

+ +

On peut donc conclure :

'2 '21 1cos

xy xy

x yD D

S dxdy f f dxdyγ

= = + +∫∫ ∫∫

Ainsi si nous projetons le domaine sur les plans yOz ou xOz, nous démontrons facilement que:

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1 0 / 2 8

' 2 ' 21 1cos

yz yz

y zD D

S dydz x x dydzα

= = + +∫∫ ∫∫

' 2 ' 21 1cos

xz xz

x zD D

S dxdz y y dxdzβ

= = + +∫∫ ∫∫

2.3 Aire d'une surface de révolution. Soit une courbe plane z= z(x), allant du point A x zo o= ( , ) au point B x z= ( , )1 1 Quand cette courbe tourne autour de l'axe des z, elle décrit une surface S.

A

B

x y

z

Figure 7

x y

z

Figure 8

Chaque point de cette courbe décrit un cercle de périmètre p(x)=2πx.

L'aire de cette surface, est donnée par:

2 B

AS x dsπ= ∫

ds étant la longueur élémentaire de la courbe z(x). Donc ' 21 xds z dx= +

Enfin

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1

0

22 1 'x

xxS x z dxπ= +∫

3. Intégrale de surface. Soit S une surface paramétrée déterminée par sa représentation paramétrique X t u t u A( , ), ( , ) ∈ Soit f une fonction définie sur S. On définit l'intégrale de surface de f sur S et on note:

X X( ( , )) t uS A

f d f X t u dtdu∂ ∂σ∂ ∂

= ∧∫∫ ∫∫

Lorsque f=1, l’intégrale de surface de f est l’aire de la surface S.

E X E M P L E

Soit S la surface definie par z x y= +2 avec {0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}. Calculer l’intégrale de surface de la fonction f(x, y, z) =x.

1 1' 2 ' 2 2

0 11

32 2

0

1 2 4

1 22(1 3 ) 63 3

x yS D

xd x z z dxdy x x dx dy

x

σ−

= + + = +

⎤= + = − +⎥⎦

∫∫ ∫∫ ∫ ∫

0 0.25 0.5 0.75 1

-1-0.5

00.5

1

-1

0

1

2-1-0.5

00.5

1

Figure 9

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4. Flux d'un champ de vecteur à travers une surface. 4.1 Définition Soit S une surface déterminée par sa représentation paramétrique X(t, u). Supposons que S est contenue dans un certain ouvert U de R3. Soit F un champ de vecteurs de R3 défini dans U.

Soit n le vecteur unitaire normal à la surface dirigé vers son extérieur. Le produit scalaire F . n est la composante normale du champ F.

On appelle flux du champ F à travers la surface S, la quantité

. S

flux F n dσ= Φ = ∫∫

Ce flux est donc égal à:

. ( ( , )). S A

X XF n d F X t u n dtdut u

∂ ∂σ∂ ∂

Φ = = ⋅ ∧∫∫ ∫∫

avec ( ),t u A∈

or

n

Xt

Xu

Xt

Xu

=∧

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

donc

. ( ( , )) S U

X XF n ds F X t u dtduu t

∂ ∂∂ ∂

Φ = = ⋅ ∧∫∫ ∫∫

. S U

F n ds F N dtduΦ = = ⋅∫∫ ∫∫

C’est ∂∂

∂∂

Xt

Xu

∧ ou ∂∂

∂∂

u

X Xt

∧ selon l'orientation de ce vecteur

normal.

R E M A R Q U E

Il n’est pas toujours possible d’orienter la surface de manière à avoir un extérieur et un intérieur. Nous nous limiterons dans ce cours aux cas où cette orientation est possible géométriquement.

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E X E M P L E 1

Calculer le flux du champ de vecteurs : F(x, y, z) = (x, y, 0)

à travers l’hémisphère z a x y= − −2 2 2

Figure 10

2 2 23 3 3 2 3

0 0 0

4. . sin 2 sin (1 cos )3S D

F nd F Nd d d a d a d aπ π

π

σ ϕ θ θ ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ πΦ = = = = − =∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫E X E M P L E 2

Calculer le flux du champ de vecteurs : F x y z y x z( , , ) ( , , )= − 2

à travers le paraboloïde z x y z= + ≤ ≤2 2 0 1;

Figure 11

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Paramétrisons cette paraboloïde:

X x y x y x y x y D x y x y( , ) ( , , ); ( , ) {( , ) / }= + ∈ = + ≤2 2 2 2 1

( )'(1,0, 2 ); (0,1, 2 ); ( 2 , 2 ,1) ', ,1x yX X X Xx y x y f fx y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= = ⇒ ∧ = − − = − −

Ce vecteur est dirigé vers l'intérieur de la paraboloïde, nous prenons alors pour vecteur normal:

∂∂

∂∂

Xy

Xx

x y∧ = −( , , )2 2 1

Ainsi le flux est égal: 2 2 2

2 15

0 0

( )

3

S D D

F nd F Ndxdy x y dxdy

d r drπ

σ

πθ

Φ = ⋅ = ⋅ = − +

= − = −

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫

Part 2 R A P P E L 1

On appelle divergence d’un champ de vecteurs F de composantes: ( )1 2 3, ,f f f le scalaire:

31 2 ff fdivF

x y z∂∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

R A P P E L 2

On appelle rotationnel d’un champ de vecteurs U de composantes: U P Q R= ( , , ) le scalaire:

, ,Q QR P R ProtUy z z x x y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

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5. Théorème de la divergence ou d'Ostrogradski ou Théorème de Green dans l’espace 5.1 Premier énoncé

Soit U une région de l'espace R3 formant l'intérieur d'une surface fermée S de classe C1 à l'exception peut-être d'un nombre fini de surfaces de classe C1 .

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert A contenant S.

Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S.

Alors le flux du champ F à travers la surface S est donné par:

. S U

F n d divF dVσΦ = =∫∫ ∫∫∫

Figure 12

D E M O N S T A R T I O N

Soit S une surface fermée telle que toute parallèle à l’un ou à l’autre des axes de coordonnées, coupe S en deux point tout au plus. Considérons le champ de vecteurs

1 2 3( , , )F f f f=

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Supposons que les équations des parties inférieures et supérieures soient: 1 1 2 2( , ); ( , )z g x y z g x y= = et que D, la projection de la surface sur le plan xOy.

-1 01

-1 0 1

0

0.5

1

1.5

2

z1=g1Hx,yL

z2=g2Hx,yL

D0

Figure 13

Nous avons alors:

2

1

3 3

3 2 3 1[ ( , , ( , )) ( , , ( , ))]

z

U D z

D

f fdxdydz dxdy dz

z z

f x y g x y f x y g x y dxdy

∂ ∂∂ ∂

=

= −

∫∫∫ ∫∫ ∫

∫∫

Pour la portion supérieur S2 la normale n2 à S2 fait un angle aigu γ 2 avec k.

2 2cosdxdy dsγ= ⇒ 2 2.dxdy k n ds=

Pour la portion inférieur S1 :

1 1cosdxdy dsγ= − ⇒ 1 1.dxdy k n ds= −

puisque la normale n1 à S1 fait un angle obtus γ 1 avec k.

Alors:

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2 1

33 2 2 3 1 1

3

( , , ) . ( , , ) .

( , , ) .

U S S

S

fdxdydz f x y z k n ds f x y z k n ds

z

f x y z k nd

∂∂

σ

= +

=

∫∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

33 ( , , ) .

U S

fdxdydz f x y z k nd

z∂

σ∂

=∫∫∫ ∫∫ (1)

De la même façon, en projetant S sur les autres plans de coordonnées on obtient:

22 ( , , ) .

U S

f dxdydz f x y z j ndy

∂σ

∂=∫∫∫ ∫∫ (2)

11( , , ) .

U S

f dxdydz f x y z i ndx

∂ σ∂

=∫∫∫ ∫∫ (3)

En additionnant (1), (2) et (3), nous obtenons:

1 2 3 [ ). . U S S

divF dV f i f j f k nd F n dσ σ= + + =∫∫∫ ∫∫ ∫∫

Notons que ce flux peut s’écrire:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

. [ ).

. . .

cos cos cos

S S

S

S

S

F n d f i f j f k nd

f i nd f j nd f k nd

f d f d f d

f dydz f dxdz f dxdy

σ σ

σ σ σ

α σ β σ γ σ

= + +

= + +

= + +

= + +

∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫

E X E M P L E 1

Calculer le flux du champ:

( )2 2 2( , , ) , ,F x y z x y z=

sortant à travers le cube de côté 1 (rép. 3)

E X E M P L E 2

Calculer le flux du champ:

F(x, y, z) = (x, y, z)

à travers la sphère de rayon 1 centrée à l’origine. (rép. 4π)

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5.2 Enoncé général Soit U une région de l'espace R3 dont la frontière est la réunion d'un nombre fini de surfaces orientées de sorte que U se trouve à l'intérieur (dans le sens opposé à la normale) de chacun d'elle.

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant U et S . Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S. Alors:

Φ = =∫∫ ∫∫∫F n d divF dVS U

. σ

E X E M P L E

Soit U la région comprise entre deux sphères concentriques, S1 et S2 , et soit F un champ de vecteurs vérifiant : div F=0

S1

S2

Alors

divF dV F nd F nd F nd F ndU

S S S S

∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫= ⇒ + = ⇒ = −0 01 2 1 2

. . . .σ σ σ σ

Si on change l’orientation de n dans S2 nous aurons:

F nd F ndS S

. .σ σ1 2

∫∫ ∫∫=

D’où le corollaire suivant:

Corollaire

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Si S1 et S2 sont deux surfaces fermées telle que S1 est dans l'intérieur de S2 . Si F est un champ vectoriel tel que: divF=0, alors le flux de F à travers S1 est égal au flux de F à travers S2 .

rotF n d F dCS C

. σ∫∫ ∫=

6. Théorème de Stokes Enoncé

Soit S un domaine superficiel à deux faces, limité par une courbe fermée C.

Orientons C de sorte que S soit située à sa gauche.

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant S et sa frontière .

Alors :

. S CrotF n d F dCσ

+=∫∫ ∫

F I G U R E 1 4

D E M O N S T R A T I O N

Soit une surface “à deux faces” S donnée par

z = f(x, y)

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Supposons que S est comprise à l’intérieur d’un domaine U de l’espace, et que C est sa frontière.

Rappel

La normale à cette surface étant donnée par le gradient de “z - f(x, y)=0”, on a:

' '

'2 ' 2

( , ,1)

1x y

x y

f fn

f f

− −=

+ + ⇒

'

'2 ' 2.

1x

x y

fn i

f f

−=

+ + et

'

'2 ' 2 .

1y

x y

fn j

f f

−=

+ +

Comme

'2 ' 2

1 .1 x y

n kf f

=+ +

⇒ '. . ; xn i f n k= − et '. - .yn j f n k=

D’autre part, nous savons que :

1.S D

d dxdyn k

σ =∫∫ ∫∫ autrement dit .D S

dxdy n kdσ=∫∫ ∫∫

Fin du rappel

Considérons alors un champ de vecteurs de classe C1 défini dans U.

( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , ,F x y z X x y z Y x y z Z x y z=

Nous voulons montrer que:

rotF n d F dCS C

. σ∫∫ ∫=

C’est à dire:

. . .S C

Z Y X Z Y Xi n j n k n d Xdx Ydy Zdzy z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + − = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫∫ ∫

Soit D la projection de S sur le plan xOy et L le contour de D.

Calcul de C

Xdx∫

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( , , ) ( , , ( , ))C L

X x y z dx X x y f x y dx=∫ ∫

Posons P =X et Q =0, et appliquons le théorème de Green:

C D D

Q P PXdx dxdy dxdyx y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫∫ ∫∫

Or

( ) ( )( ), , , ,P x y X x y f x y= ⇒ P X X zy y z y

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

Alors

C D

fX XXdx dxdyy z y

∂∂ ∂∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫∫ ;

.D S

dxdy n kdσ=∫∫ ∫∫ ⇒ .C S

X X fXdx n kdy z y

σ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫

'- . .yf n k n j= ⇒ . . .S S S

X X f X Xn kd n kd n jdy z y y z

σ σ σ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫

⇒ . .C S S

X XXdx n kd n jdy z

σ σ∂ ∂= − +

∂ ∂∫ ∫∫ ∫∫

Calcul de C

Ydy∫

( , , ) ( , , ( , ))C L

Y x y z dx Y x y f x y dx=∫ ∫

Posons Q=Y et P(x, y)=0, et appliquons le théorème de Green:

C D D

Q P QYdy dxdy dxdyx y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫∫ ∫∫

Or

( ) ( )( ), , , ,Q x y Y x y f x y= ⇒ Q Y Y zx x z x

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

Alors

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C D

Y Y fYdy dxdyx z x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫∫

.D S

dxdy n kdσ=∫∫ ∫∫ ⇒

.C S

Y Y fYdy n kdx z x

∂ ∂ ∂ σ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫∫

' . .xf n k n i− = ⇒

. . .S S S

Y Y f Y Yn kd n kd n idx z x x z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫

⇒ . .C S S

Y YYdy n kd n idx z

∂ ∂σ σ∂ ∂

= − +∫ ∫∫ ∫∫

Calcul de C

Zdz∫

' '( , , ( , )) ( , , ( , ))( )x yC L L

Zdz Z x y f x y dz Z x y f x y f dx f dy= = +∫ ∫ ∫

Posons

'

'

( , ) ( , , ( , )) ( , )

( , ) ( , , ( , )) ( , )x

y

P x y Z x y f x y f x y

Q x y Z x y f x y f x y

=

=

et appliquons le théorème de Green:

' ' '' ' ' ''

' '

C D

x y xy y x xyD

y xD

Q PZdz dxdyx y

Z Z Z Zf f Zf f f Zf dxdyx z y z

Z Zf f dxdyx y

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= + + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫∫

∫∫

∫∫

. .C D

Z ZZdz n j n i dx y

∂ ∂ σ∂ ∂

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫∫

Faisons la somme C

Xdx Ydy Zdz+ +∫

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. . .

.C S

S

Z Y X Z Y XF n i n j n k dy z z x x y

rotF nd

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

σ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫ ∫∫

∫∫c.q.d.f.

E X E M P L E

Vérifier le théorème de Stokes pour le champ:

F(x, y, z) = (z - y, x + z, -x - y)

sur le domaine

2 24 ; 0z x y z= − − =

(rép. 8π)

−1−0.500.51

−1 −0.5 0 0.5 11

1.25

1.5

1.75

2

R E M A R Q U E

Le théorème de Stokes peut être appliqué à une surface contenant plusieurs trous (comme dans le gruyère). L’intégrale de surface de rotF.n, est alors égale à l’intégrale curviligne le long de TOUTES les frontières de S.

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Part 3

7. Masse, Centre d’inertie, Moment d’inertie 7.1 Masse d’une plaque gauche On appelle plaque gauche tout couple ( ),S ρ où S est une surface de 3R et

: S Rρ +→ une application continue appelée densité superficielle de la plauqe gauche ( ),S ρ

On appelle masse d’une plaque gauche ( ),S ρ de 3R le réel m défini par :

( )S

m M dρ σ= ∫∫

où M désigne le point courant de S et dS est l’élément de surface.

7.1.1 Exemple Calculer la masse de la plauqe gauche ( ),S ρ où S est le morceau de cône défini par :

2 2 ;0 1;0 1z x y x y= + ≤ ≤ ≤ ≤ et ( ) 2, ,x y z xρ =

00.2

0.40.6

0.81 0

0.2

0.4

0.6

0.81

00.5

1

00.2

0.40.6

0.8

2 2

2 ' 2 ' 2 2 22 2 2 21 1 2x yD D D

x ym x z z dxdy x dxdy x dxdyx y x y

= + + = + + =+ +∫∫ ∫∫ ∫∫

1 12

0 0

223

m x dx dy= =∫ ∫

7.2 Centre d’inertie d’une plaque gauche Le centre d’inertie d’une plaque gauche ( ),S ρ est le point G de 3R défini par :

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( )

( )

( )

1 , ,

1 , ,

1 , ,

GD

GD

GD

x x x y z dm

y y x y z dm

z z x y z dm

ρ σ

ρ σ

ρ σ

⎧=⎪

⎪⎪

=⎨⎪⎪

=⎪⎩

∫∫

∫∫

∫∫

Pour une plaque gauche homogène, on emploie le terme centre de gravité au lieu de centre d’inertie.

7.2.1 Exemple Trouver le centre de gravité de l’hémisphère : z a x y= − −2 2 2 de densité constante 1. On vérifie facilement, par symétrie, que G Gx =y 0= .

G 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 22

1 1 z

1

2 2

S S

S

D

az d z dxdym m a x y

aa x y dxdym a x ya a a adxdy a am m a

ρ σ

π ππ

= =− −

= − −− −

= = = =

∫∫ ∫∫

∫∫

∫∫

7.2.2 Exemple Déterminer le centre de gravité de la plaque homogène ( ),1S où S est la surface définie par :

( ) [ ] [ ]cos ; sin ; ; , 0,1 0,1v v vx ue v y ue v z e u v= = = ∈ × 0 0.5 1 1.5

0 0.5 1 1.5 2

1

1.5

2

2.5

1

1.5

2

2.5

Figure 15

On a :

cossin0

v

v

e vX e vu

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

; ( )( )cos sinsin cos

v

v

v

ue v vX ue v vv

e

⎛ ⎞−∂ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

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2

sincosv

vX X e vu v

u

⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟∧ = −⎜ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ 2 21vX X e uu v

∂ ∂∧ = +

∂ ∂

La masse m est donnée :

( )( )( )( )( )

1 12 2

0 0

2

1

1 2 ln 1 2 1 3.6674

v

S

X Xm dudv u du e dvu v

e

∂ ∂= ∧ = +

∂ ∂

= + + − ≅

∫∫ ∫ ∫

7.3 Moment d’inertie d’une plaque gauche Soit H un point ou une droite ou un plan de 3R ; pour tout point M de 3R , on note ( ),d M H la distance de M à H.

Le moment d’inertie d’une plaque gauche ( ),S ρ par rapport à H est le réel HI défini par :

( ) ( )( )2,H

S

I M d M H dρ σ= ∫∫

où ( ), ,M x y z décrit S.

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7.3.1 Exemple Calculer le moment d’inertie par rapport à l’axe z’z dela plauqe homogène ( ),1S où

S est la surface définie par { }; 0 1; 0 1S z xshy x x= = ≤ ≤ ≤ ≤

00.20.40.60.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.25

0.5

0.75

1

00.20.40.60.8 1

0

0.25

0.5

0.75

1

Figure 16

' 2 ' 2 2 2 2 21 1 1x yz z sh y x sh y x chy+ + = + + = +

( ) ( )( )1 12 2 2 2 2' 0 0

1 1z zS

I x y x chydxdy x x dx chydyρ= + + = +∫∫ ∫ ∫

' 1.59z zI =

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A

Aire d'une surface de révolution · 10 d'une surface paramétrée · 6

C

centre d’inertie d'une plaque gauche · 24

F

flux · 12

I

Intégrale de surface · 11

M

masse plaque gauche · 24

moment d’inertie d'une plaque gauche · 26

O

Ostrogradski Théorème · 16

P

parametrée courbe · 2 surface · 2

plan tangent · 4

S

Stokes Théorème · 20

V

vecteur normal · 4