LEILA RICHA

Chapitre VIII Intégrales triples

1  INTÉGRALE TRIPLE .................................................................................................................... 2 

1.1  DÉFINITION ...................................................................................................................................... 2 1.2  PROPRIÉTÉS ..................................................................................................................................... 2 Remarque ................................................................................................................................................. 3 1.2.1  Techniques de calcul .................................................................................................................... 4 1.3  CALCUL DE VOLUME ........................................................................................................................ 5 1.3.1  Domaine quelconque ................................................................................................................... 5 1.3.2  Volume de domaines dont la base est une surface connues ......................................................... 6 1.3.3  Volume d'un solide de révolution ................................................................................................. 7 

2  COORDONNÉES CYLINDRIQUES ............................................................................................ 8 

3  COORDONNÉES SPHÉRIQUES .................................................................................................. 9 

4  MASSE , CENTRE D’INERTIE, MOMENT D’INERTIE ....................................................... 10 

4.1  MASSE D’UN SOLIDE ...................................................................................................................... 10 4.1.1  Exemple ...................................................................................................................................... 11 4.1.2  Exemple ...................................................................................................................................... 12 4.2  CENTRE D’INERTIE D’UN SOLIDE .................................................................................................... 12 4.2.1  Exemple ...................................................................................................................................... 13 4.2.2  Exemple ...................................................................................................................................... 13 4.3  MOMENT D’INERTIE D’UN SOLIDE .................................................................................................. 14 

C H A P I T R E 8

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PART 1

1 Intégrale Triple 1.1 Définition Soit f une fonction continue sur une boite rectangulaire B de R 3 .

[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 3 3, , ,B a b a b a b= × ×

Le volume de B est donné par:

( ) ( ) ( )1 2 2 3 31V b a b a b a= − × − × −

Une partition P de B est déterminée par trois partitions P1, P2, P3 des trois intervalles

1 1[ , ]a b , 2 2[ , ]a b et 3 3[ , ]a b .

Cette partition partage B en des boites rectangulaires élémentaires S. Comme nous l'avons fait pour une intégrale double, définissons les sommes:

( ) ( ) ( ), minSS

I P f f Vol S= ∑

( ) ( ) ( ), maxSS

K P f f Vol S= ∑

f étant une fonction bornée sur B, elle est dite intégrable s'il existe un nombre et un seul plus grand que toutes les sommes I P f( , ) et plus petit que toutes les sommes K P f( , ) . Ce nombre s'il existe est dit "intégrale triple de f sur B" et est noté:

( ), ,B B

f f x y z dxdydz=∫∫∫ ∫∫∫

1.2 Propriétés Des théorèmes similaires à ceux donnant les propriétés des intégrales doubles sont établis:

( )B B B

f g f g+ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ; B B

kf k f=∫∫∫ ∫∫∫

Si B est une boite rectangulaire et si f est une fonction définie sur B, bornée et continue sauf peut-être sur un nombre fini de surfaces de classe C1, f est intégrable dans B.

Soit A une région bornée de R3 (comprise dans une boite rectangulaire B) et soit f une fonction définie sur A. Nous définissons

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*

*

( ) ( ) si ( ) 0 si

f X f X x Af X x B A

⎧ = ∈⎪⎨

= ∈ −⎪⎩

Alors

*

A B

f f=∫∫∫ ∫∫∫

1 2

1 2 1 2; ; Vol( ) 0V V V

f f f V V V V V= + = ∪ ∩ =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

Remarque On divisera l'espace à trois dimensions en 8 octants. La numérotation est dans le sens direct :

H1LH2L

H3LH4L

H5L

H6LH8L

Figure 1

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4 / 1 5

1.2.1 Techniques de calcul

C A S D ’ U N P A V É D R O I T

Soit 1 1 2 2 3 3[ , ] [ , ] [ , ]B a b a b a b= × ×

⇒ 31 2

1 2 3

( , , )bb b

B a a a

f f x y z dz dy dx⎡ ⎤⎛ ⎞

= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Figure 2

C A S G É N É R A L

Soient une fonction f définie dans un domaine B défini comme suit :

a et b deux réels tels que a < b

1 ( )g x et 2 ( )g x deux fonctions définies sur [a, b] telles que ( )1 2( )g x g x≤

1 ( , )h x y et 2 ( , )h x y deux fonctions définies sur [ ] [ ]1 2, ( ), ( )a b g x g x× telles

que: 1 2( , ) ( , )h x y h x y≤

alors

2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , )g x h x yb

B a g x h x y

f f x y z dz dy dx⎡ ⎤⎛ ⎞

= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫∫ ∫ ∫ ∫

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5 / 1 5

Nous pouvons facilement démontrer que :

2

1

( , )

( , )

( , , )h x y

B D h x y

f dxdy f x y z dz=∫∫∫ ∫∫ ∫

où D est la projection du domaine B sur le plan xOy.

Figure 3

1.3 Calcul de volume 1.3.1 Domaine quelconque Lorsque 1f = l'intégrale triple de f sur un domaine D est égale au volume de D.

( )D

V D dxdydz= ∫∫∫

E X E M P L E 1

Calculer le volume du tétraèdre défini par x y z x y z a> > > + + <0 0 0, , et .

Méthode 1

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6 / 1 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 4

( )3

00 0 6

a a xa x y

A D

aV dxdydz dxdy dz dx a x y dy−

− −= = = − − =∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

Méthode 2

( )3

2

00 0 0

12 6

a y za a za

A

aV dxdydz dz dy dx a z dz− −−

= = = − =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

On remarque que ( )0

aV A z dz= ∫ avec ( )A z l'aire du triangle découpé à une

hauteur z.

1.3.2 Volume de domaines dont la base est une surface connues

Le volume d'un solide dont la section entre les un plans z = a et z = b a une aire )(zA , est :

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∫=b

adzzAV )(

E X E M P L E

Figure 5

Calculer le volume de la pyramide dont la base est le carré joignant les points {1,1,1} ; {1,-1,1} ; {-1,-1,1} ;{1,-1,1}

La base se situe à une hauteur z=1 avec une aire = 2×2=4. Si on coupe cette pyramide par un plan parallèle au plan xOy à une hauteur z, la section est aussi un carré de côté 2z et dont l’aire est ( ) 24A z z=

Le volume de la pyramide est donc ( )1 1 2

0 0

443

V A z dz z dz= = =∫ ∫

1.3.3 Volume d'un solide de révolution Le volume d'un solide obtenu en tournant la courbe {z=f(x) a < x < b}, autour de l'axe des x est :

2( )b

aV f x dxπ= ∫

E X E M P L E

Le volume obtenu en tournant la courbe sin ; 0z x x π= ≤ ≤ autour de l’axe des

x.

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

0.20.40.60.8

1z

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8 / 1 5

0

1

2

3

x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

0

1

2

3

x

Figure 6

0

1

2

3 -1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

Figure 7

2

2 2

0( ) sin

2b

aV f x dx xdx

π ππ π= = =∫ ∫

2 Coordonnées Cylindriques Un point M de l'espace à trois dimension défini par ses coordonnées cartésiennes ( , , )x y z , sera défini par des coordonnées cylindriques ( , , )r zθ en posant:

tr

8r Cos@tD,r Sin@tD,z<8r Cos@tD,r Sin@tD,z<

x

y

z

Figure 8

cos ; sin ; x r y r z zθ θ= = =

Ces coordonnées sont définies pour:

0; 0 2 ; r z quelconqueθ π≥ ≤ ≤

Le jacobien du changement de variable des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques est:

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9 / 1 5

r z

r z

r z

x x xJ y y y r

z z z

θ

θ

θ

′ ′ ′′ ′ ′= =′ ′ ′

3 Coordonnées Sphériques

θ

ϕ

ρ

xy

z

Figure 9

Un point M de l'espace à trois dimension défini par ses coordonnées cartésiennes ( , , )x y z , sera défini par des coordonnées sphériques ( , , )r θ ϕ en posant:

sin cos ; sin sin ; z= cosx yρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ= =

Ces coordonnées sont définies pour:

0 ; 0 ; 0 2ρ ϕ π θ π≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Le jacobien du changement de variable des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques est:

2 sinx x x

J y y yz z z

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ ϕ′ ′ ′′ ′ ′= =′ ′ ′

E X E M P L E 3

Calculer le volume compris entre le cône 2 2 2z x y= + et la sphère 2 2 2x y z z+ + = .

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1 0 / 1 5

S O L U T I O N

Cette sphère est centrée au point 10,0,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

et de rayon 12

;

22 2 2 2 2 1 1

2 4x y z z x y z⎛ ⎞+ + = ⇒ + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5

-0.5

-0.2500.250.5

0

0.25

0.5

0.75

1

-0.5-0.25 0 0.25 0.5

-0.5-0.25

00.25

0.5

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0

0

Figure 10

L'équation de la sphère en coordonnées sphériques est:

2 2 2 2 cos cosx y z z ρ ρ ϕ ρ ϕ+ + = ⇒ = ⇒ =

D'où

*

2 sinD D

V dxdydz d d dρ ϕ ρ ϕ θ= =∫∫∫ ∫∫∫

cos2 42

0 0 0

sin8

V d d d

πϕπ πθ ϕ ϕ ρ ρ= =∫ ∫ ∫

PART 2

4 Masse , Centre d’inertie, Moment d’inertie 4.1 Masse d’un solide On appelle solide tout couple ( ),S ρ où S est une partie cubable de 3R et : S Rρ +→

une application continue appelée la densité spatiale du solide ( ),S ρ .

On appelle masse d’un solide ( ),S ρ le réel m défini par ( ), ,S

m x y z dxdydzρ= ∫∫∫ ,

où ( ), ,x y z décrit S

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1 1 / 1 5

4.1.1 Exemple Calculer la masse du solide de densité 3rρ = défini par:

; cos ; 03 3

r z rπ πθ θ− ≤ ≤ = ≤ ≤

E T U D E D U S O L I D E : :

2 2 0 0z r z x y≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ + ⇒ le cône est la frontière supérieure

2

2 2 2 21 1 cos cos 0 2 4

r r r x y x x yθ θ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ + − = ⇒ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ la

partie du cylindre circulaire de base 2

21 12 4

x y⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

avec 3 3π πθ− ≤ ≤

est la frontière latérale 0 0.2 0.4

-0.20

0.2

0

0.2

0.4

0

0 0.2 0.4

-0.20

0.2

0

0.2

0.4

0

Figure 11

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Figure 12

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1 2 / 1 5

S O L U T I O N

La masse M est donnée par:

cos cos3 3 33 4

0 0 03 3 3

33 3 cos4

r

M d rdr rdz d r dr d

π π πθ θ

π π π

θ θ θ θ− − −

= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Or 4 3 cos 2 cos 4cos8 2 8

θ θθ = + +

⇒

3

0

3 sin 4 3 2 1 4 3 7 33 2sin 2 2sin sin16 4 16 3 4 3 16 8

Mπ

θ π πθ θ π π⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + + = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4.1.2 Exemple Calculer la masse d’une boule S de centre O et de rayon R, la densité étant définie par

( ) 2 2 2, ,x y z x y zρ = + +

En passant en coordonnées sphériques :

( )2 4

3 4

0 0 0

, , sin 2 24

R

S

Rm x y z dxdydz d d d Rπ π

ρ θ ϕ ϕ ρ ρ π π= = = × × =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

4.2 Centre d’inertie d’un solide Le centre d’inertie d’un solide ( ),S ρ est le point G de 3R défini par :

( )

( )

( )

1 , ,

1 , ,

1 , ,

GS

GS

GS

x x x y z dxdydzm

y y x y z dxdydzm

z z x y z dxdydzm

ρ

ρ

ρ

⎧=⎪

⎪⎪

=⎨⎪⎪

=⎪⎩

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

où ( ), ,x y z décrit S et m la masse de ( ),S ρ .

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1 3 / 1 5

4.2.1 Exemple Trouver le centre de gravité de l’hémisphère :

z a x y= − −2 2 2

de densité constante 1. On vérifie facilement, par symétrie, que x y= = 0 .

( )

( )

2 2 2

0

22 2 2

2 22 2 5

0 0

1 32

343 4

4 5

a x y

GD D

D

a

z zdxdydz dxdy zdzm

a x y dxdy

a r drd aπ

π

π

θπ

− −

= =

= − − =

= − =

∫∫∫ ∫∫ ∫

∫∫

∫ ∫

4.2.2 Exemple Déterminer le centre d’inertie G du solide homogène ( ),S ρ où S est la tranche de la

sphère centrée à l’origine de rayon 1 définie en coordonnées sphériques par :

;0 ;0 14 4π πθ ϕ π ρ− ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

00.250.50.751

-0.5

0

0.5 -1

-0.5

0

0.5

1

Figure 13

A la forme d'une tranche d'orange.

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1 4 / 1 5

S O L U T I O N

En appliquant la proportionnalité, la masse m est donnée par :

4 232 4 3S

m dxdydzπ π πρρ ρπ

= = × =∫∫∫

Par raison de symétrie 0G Gy z= = Puis :

( )( )12 340 0

4

3

3 cos

3 28

GS

x xdxdydz

d sin d dπ

π

π

ρπρ

θ θ ϕ ϕ ρ ρπ −

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

∫∫∫

∫ ∫ ∫

4.3 Moment d’inertie d’un solide Soit H un point ou une droite ou un plan de 3R ; pour tout point M de 3R , on note ( ),d M H la distance de M à H.

Le moment d’inertie d’un solide ( ),S ρ par rapport à H est le réel HI défini par :

( ) ( )( )2,H

S

I M d M H dxdydzρ= ∫∫∫

où ( ), ,M x y z décrit S.

EN PARTICULIER :

Les moments d'inertie d’un solide par rapport aux trois axes de coordonnés sont donnés par:

I y z x y z dxdydz

I z x x y z dxdydz

I x y x y z dxdydz

xA

yA

zA

= +

= +

= +

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

( ) ( , , )

( ) ( , , )

( ) ( , , )

2 2

2 2

2 2

ρ

ρ

ρ

LEILA RICHA

C

centre d’inertie d'un solide · 11

Coordonnées Cylindriques · 6 Sphérique · 7

I

intégrale triple · 2

M

masse d'un solide · 9

Moment d’inertie d'un solide · 12

O

octants · 3