1

TRANSFERTS THERMIQUES - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE I. Diffusion de neutrons ; stabilité d'un réacteur 1. • Si les neutrons se déplacent (en moyenne) à la vitesse v et s'ils parcourent (en moyenne) la distance

λ avant d'être absorbés, alors la durée moyenne de ce parcours est : τ ≈

!

"

v (bien que, selon la répartition

des vitesses, la moyenne du quotient ne soit pas forcément exactement égale au quotient des moyennes). • Si la densité volumique des neutrons est n et si on considère qu'ils sont absorbés après une durée τ, alors le nombre d'absorptions par unité de volume dans la durée τ est n. Par conséquent, le nombre d'ab-

sorptions par unité de volume et par unité de temps est (en moyenne) : C =

!

n"

=

!

nv"

.

2. • Compte tenu des créations et des absorptions de neutrons, ainsi que de la diffusion, le bilan d'évolu-

tion de n peut s'écrire sous la forme :

!

"n"t

= S - C -

!

" jn"x

= S - C + D

!

"2n"x2

(compte tenu de l'invariance en y et

z), où D est le coefficient de diffusion. 3. • Dans un milieu sans source de neutrons (S = 0), limité au demi-espace x > 0, avec une source de neutrons en x = 0 délivrant N0 neutrons par unité de surface et par unité de temps, l'équation précédente

s'écrit :

!

"n"t

= - C + D

!

"2n"x2

.

• En régime stationnaire, on obtient donc :

!

"n"t

= 0 = -C + D

!

"2n"x2

, ce qui peut s'écrire (puisque n ne

dépend pas du temps) :

!

d2ndx2

=

!

CD

=

!

1D"

n ou encore :

!

d2ndx2

- α2 n = 0 en posant α =

!

1D"

=

!

v"D

. Les

solutions sont de la forme : n(x) = A eαx + B e-αx où A et B sont deux constantes d'intégration imposées par les conditions aux limites. • Compte tenu de l'invariance en y et z, le vecteur densité de courant de particules est parallèle à Ox

et tel que : jn = -D

!

"n"x

= -αDA eαx + αDB e-αx. Le terme A eαx ne correspond donc pas à une bonne solu-

tion physique : il décrit un flux de particules (amorti par l'absorption) diffusant vers les x < 0 ; or la source de N0 ne peut générer des neutrons que vers les x > 0. La solution est donc de la forme : n(x) = B e-αx.

• La densité de courant de particules est alors : jn = -D

!

"n"x

= αDB e-αx ; en particulier pour x = 0 :

jn(0)= αDB = N0. On en déduit : B =

!

N0"D

et finalement : n(x) =

!

N0"D

e-αx.

4. • Si chaque absorption libère K neutrons, alors : S = K C, c'est-à-dire : S(x) =

!

K"

n(x).

• Dans ces conditions, l'équation vérifiée par n peut s'écrire :

!

"n"t

=

!

K "1#

n + D

!

"2n"x2

; en régime

stationnaire :

!

d2ndx2

+

!

K "1D#

n = 0.

5.a. • L'équation peut s'écrire :

!

d2ndx2

- β2 n = 0 en posant β =

!

1"KD#

.

2

• Pour K < 1, les solution sont de la forme : n(x) = A eβx + B e-βx où la symétrie des conditions aux limites impose B = A, c'est à dlre : n(x) = A.(eβx + e-βx) = 2A ch(βx). Or, ce type de solution ne peut pas

s'annuler pour x = ±

!

a2

(sauf si A = 0, mais cela n'est pas une solution acceptable) ; donc l'existence d'un

régime stable est incompatible avec la condition K < 1.

• Pour K = 1, on peut écrire :

!

d2ndx2

= 0. Mais les solution sont de la forme : n(x) = A x + B où la

symétrie des conditions aux limites impose A = 0, c'est-à-dire : n(x) = B. Or, ce type de solution ne peut

pas s'annuler pour x = ±

!

a2

(sauf si B = 0, mais cela n'est pas une solution acceptable) ; donc l'existence

d'un régime stable est incompatible avec la condition K = 1.

5.b. • Pour K > 1, on peut écrire :

!

d2ndx2

+ β2 n = 0 en posant ici β =

!

K "1D#

. Les solution sont de la

forme: n(x) = A cos(βx) + B sin(βx) où la symétrie des conditions aux limites impose B = 0, c'est à dire :

n(x) = A cos(βx). Or, ce type de solution ne peut s'annuler pour x = ±

!

a2

que si βa = π (les autres solutions

ne sont pas acceptables car il faut n ≥ 0). • La condition pour que le réacteur atteigne effectivement un régime stable (régime “critique”) peut

donc s'écrire : K = 1 + Dτ.

!

"

a# $ %

& ' ( 2

.

• La répartition est alors de la forme : n(x) = n(0) cos(βx), déterminée uniquement par les conditions (dépendant du temps) dans lesquelles le régime stable a été établi progressivement (en pratique : on relève progressivement des barreaux absorbants, pour laisser progressivement augmenter les réactions nucléaires; l'enfoncement plus ou moins important des barreaux absorbants permet de contrôler en permanence l'impor-tance des réactions). II. Diffusion et marche au hasard ; problème à une dimension • III. Équilibre de l'atmosphère isotherme et diffusion 1. • Si on considère le champ de pesanteur

!

g uniforme, les forces pressantes latérales, horizontales, se compensent forcément à l'équilibre puisque la composante horizontale du poids est nulle.

• L'équilibre vertical correspond à : S p(z) - S p(z + dz) - dm g = 0 ; ainsi : dp = -dm

!

gS

. La masse

dm de la tranche de gaz est par ailleurs : dm = µ dV = µS dz où µ est la masse volumique ; par suite : dp = -µg dz.

• La loi de gaz parfaits : p = RT

!

nV

(où n est le nombre de moles de molécules du gaz) ne peut pas

s'appliquer pour l'ensemble dont la pression n'est pas uniforme. Si on l'applique à la tranche de gaz :

p(z) = RT

!

dndV

=

!

RTM

!

dmdV

=

!

RTM

µ ; inversement : µ =

!

MRT

p.

• Par suite, la relation d'équilibre s'écrit : dp = -

!

MgRT

p dz, ou encore :

!

dpp

= -

!

dzH

avec H =

!

RTMg

.

• Compte tenu de la condition limite p(0) = p0, cette équation s'intègre en : p(z) = p0 e-z/H. 2.a. • Pour une molécule soumise à une force

!

F constante, l'équation du mouvement est de la forme :

m

!

a =

!

F d'où on déduit :

!

v =

!

v0 +

!

F

!

tm

.

3

2.b. • Pour la moyenne : <

!

v > ≈ <

!

v0 > +

!

vF avec

!

vF =

!

F

!

"

m.

• Dans un milieu homogène, on peut considérer que les directions des vitesses juste après les chocs sont aléatoires (distribution locale maxwellienne, si les forces lors des chocs sont très supérieures aux effets de pesanteur), alors : <

!

v0 > =

!

0 et <

!

v > =

!

vF . • Dans un milieu inhomogène, il faut par contre envisager <

!

v0 > ≠

!

0 car les effets des chocs ne sont pas symétriques. 2.c. • Si la force

!

F donne aux molécules une contribution

!

vF à la vitesse moyenne, elle contribue à la circulation de molécules selon une densité de courant :

!

jF = n

!

vF .

3. • L'inhomogénéité de n cause une densité de courant :

!

jn = n <

!

v0 > = -D

!

"n"z

!

uz ; la densité de

courant totale est :

!

jd =

!

jn +

!

jF = n <

!

v > =

!

0 à l'équilibre. Par suite, en projection verticale :

!

dndz

= -

!

g"D

n.

• La durée moyenne τ entre deux collision peut s'exprimer : τ ≈

!

< ! >

< v > avec le libre parcours moyen :

< ℓ > =

!

12 n"

(où σ est la section efficace de collision). Par suite τ dépend de z et il faut préciser les diffé-

rentes grandeurs avant d'intégrer. Mais d'autre part : D ≈

!

13

< ℓ > < v > et donc :

!

"

D ≈

!

3< v >2

est indépen-

dant de z.

• L'équation peut donc s'écrire :

!

dnn

= -

!

dz" H avec : Hʼ =

!

Dg"

≈

!

< v >2

3g. Compte tenu de la condition

limite n(0) = n0, cette équation s'intègre en : n(z) = n0 e-z/Hʼ.

4. • En appliquant le principe d'équipartition de l'énergie, pour l'énergie cinétique Ec =

!

12

mv2 dont la

dépendance en v est quadratique et avec trois degrés de liberté (vx, vy et vz), on obtient : < Ec > =

!

32

kT et

donc : < v2 > =

!

3kTm

=

!

3RTM

.

• Avec l'approximation : < v >2 ≈ < v2 > =

!

3RTM

on aboutit à : Hʼ ≈

!

RTMg

= H. Ce calcul, bien que

simplifié, montre donc que l'équilibre de l'atmosphère isotherme correspond effectivement à une compensa-tion de la pesanteur par le courant de diffusion, qui apparaît naturellement sous l'effet du gradient de la den-sité volumique n. IV. Équation de la chaleur et séparation des variables 1. • En considérant des fonctions de la forme : T(x, t) = f(t) g(x) + Tc on obtient : µcv

!

"T"t

= µcv f•(t) g(x)

et K

!

"2T"x2

= K f(t) g”(x). L'équation simplifiée est alors vérifiée si et seulement si : µcv

!

f• t( )f t( )

= K

!

" " g x( )g x( )

. Or,

puisque le membre de gauche est indépendant de x et que le membre de droite est indépendant de t, chacun de ces deux membres ne peut être qu'une constante A (indépendante de t et de x).

• Les solutions de l'équation : µcv

!

f• t( )f t( )

= A sont de laforme : f(t) = F e-αt avec α = -

!

Aµcv

et où F est

une constante d'intégration.

4

• Les fonctions de la forme : T(x, t) = f(t) g(x) + Tc décrivent forcément physiquement une température tendant exponentiellement vers une limite T(x, °) = Tc uniforme et indépendante du temps (par ”répartition” de l'énergie thermique dans le système considéré). Au contraire, une exponentielle croissante supposerait un apport d'énergie thermique extérieure augmentant exponentiellement, ce qui n'est pas physiquement réali-sable. On peut donc considérer que A < 0.

• L'équation K

!

" " g x( )g x( )

= A peut s'écrire : K g”(x) +

!

A g(x) = 0 ; les solutions sont des sinusoïdes :

g(x) = G sin(βx + φ) avec β =

!

AK

et où G et φ sont des constantes d'intégration.

• Au total, en posant ∪ = FG, on obtient : T(x, t) = ∪ e-αt sin(βx + φ) + Tc où α =

!

"2Kµcv

(en plus de Tc

il y a donc trois constantes d'intégration : ∪, β et φ).

2. • La répartition initiale : T(x, 0) = T0 + (T1 - T0) sin

!

"x!

# $ %

& ' ( est de la forme précédente, à condition de

poser : Tc = T0 = 0 °C ; ∪ = T1 - T0 = 50 °C ; β =

!

"

! = 31,4 m-1 ; φ = 0. Le bain thermostaté à la tempéra-

ture T0 impose par ailleurs logiquement une température limite uniforme T0. La loi d'évolution de la tempéra-

ture est donc de la forme : T(x, t) = T0 + (T1 - T0) e-αt sin

!

"x!

# $ %

& ' ( avec α =

!

"

!# $ %

& ' ( 2

!

Kµcv

= 99 s-1.

• À l'abscisse x =

!

!2

, la température est : T(

!

!2

, t) = T0 + (T1 - T0) e-αt. La température y atteint la

valeur : T0 +

!

12

(T1 - T0) à l'instant t1 tel que : e-αt =

!

12

c'est-à-dire : t1 =

!

ln 2( )"

= 7,0 s. On obtient de

même : t2 =

!

ln 10( )"

= 23s.

V. Résolution numérique de l'équation de la chaleur • VI. Chauffage d'une maison 1. • Le transfert de chaleur vers l'extérieur d'un volume V délimité par une surface fermée S peut s'écrire :

-

!

"Qdt

= IQsortant =

!

jQ"" • dS ; donc dans le cas ne dépendant que de x, en considérant comme volume V

une tranche d'épaisseur dx : -

!

"Qdt

= lOsortant = {jQ(x + dx) - jQ(x)} S =

!

"jQ"x

dx.

• Mais par ailleurs δQ = dU = mcv dT ; donc, pour un transfert selon un axe Ox : -µcv

!

"T"t

=

!

"jQ"x

.

◊ remarque : ceci suppose qu'il n'y a pas de variation d'énergie interne par transformation d'autres formes d'énergie. • Compte tenu de la relation de Fourier :

!

jQ = -K

!

"T, ceci aboutit à l'équation de la chaleur (en sup-

posant que le milieu est homogène, pour sortir K de la dérivée) : µcv

!

"T"t

= K

!

"2T"x2

.

• Dans le cas stationnaire, pour un système ne dépendant que d'une coordonnée x, alors

!

"T"t

= 0 et

la variation de T(x) est nécessairement affine :

!

"2T"x2

= 0 implique : T(x) = Ax + B.

• Ceci peut aussi s'écrire :

!

"jQ"x

= 0, ce qui correspond à une densité de courant uniforme (et cons-

tante).

5

2. • La densité de courant de chaleur est (algébriquement) : jQ = -K

!

"T"x

=

!

KeΔT avec ΔT = Ti - Te.

Compte tenu de l'uniformité de comportement des parois, le débit de chaleur est : IQ = jQ S =

!

KSeΔT où

S = 2 (Lh + ℓh + Lℓ) est la surface totale (en négligeant les “bords” par rapport à l'ensemble des parois). • Ainsi : IQ = 44 kW (à comparer avec la puissance des appareils ménagers usuels ≈ 1 kW et à la puissance du chauffage d'une habitation bien isolée ≈ 3 kW). 3. • Soit C = 5.104 kJ.K-1 la capacité thermique de la maison ; dans le cas où le chauffage est arrêté, on

peut écrire : IQ = -

!

"Qdt

= -C

!

dTdt

avec IQ =

!

KSe

.(Ti - Te).

• L'intégration de l'équation :

!

dTiTi " Te

= -

!

KSeC

dt, compte tenu de la condition initiale Ti0 = 20 °C,

donne : Ti = Te + (Ti0 - Te).e-t/τ avec τ =

!

eCKS

= 23000 s = 6,4 h.

• Deux heures après l'arrêt du chauffage, la température intérieure est donc : Ti = 14,6 °C. VII. Chauffage par le sol 1.a. • D'après l'équation de la chaleur en régime stationnaire unidirectionnel, partout où il n'y a ni création

ni absorption de chaleur : µcp

!

"T"t

= K

!

"2T"z2

= 0 ; ainsi la température varie de façon affine en fonction de

l'altitude z. • La densité de courant de chaleur est alors uniforme (sinon il y aurait accumulation, ce qui contredi-

rait l'hypothèse stationnaire) : jQ = -K

!

"T"z

= -

!

Ke

ΔT a la même valeur dans chaque “tranche” (mais pas

forcément la même valeur pour les tranches au dessus et au dessous).

• Dans la partie supérieure (au dessus des éléments chauffants : ΔT1 = jQ

!

e1K1

; ΔT2 = jQ

!

e2K2

; de

même dans la partie inférieure : ΔTʼ2 = jʼQ

!

" e 2K2

; ΔT3 = jʼQ

!

e3K3

. Les écarts de températures entre les limites

des différentes couches sont donc, dans chaque partie, proportionnels aux quotients

!

eiKi

.

1.b. • Le flux thermique à travers une section S est dans ce cas : IQ = -

!

KSe

ΔT ; ceci peut s'écrire sous la

forme : ΔT = -

!

eKS

IQ.

• Pour la loi d'Ohm électrocinétique : U = R I, la résistance peut s'écrire (dans le cas géométrique

analogue) : R =

!

e" S

où γ est la conductivité électrique.

• Par analogie, on peut écrire ici : ΔT = -R ΔT (avec une convention de signe contraire), en notant la

“résistance thermique” R =

!

eKS

.

• En électrocinétique, pour un assemblage de résistances en série, le principe du pont diviseur de tension indique que les tensions sont proportionnelles aux résistances. En considérant la loi analogue pour des différences de températures, la simplification par la section S commune redonne la proportionnalité obtenue précédemment.

6

1.c. • Ceci s'écrit dans la région du bas :

!

K2" e 2

(T1 - TA) =

!

K3e3

(TA - T0).

• On en déduit : TA =

!

K2e3T1 + K3 " e 2T0K2e3 + K3 " e 2

= 88,6 °C.

• De même dans la région du haut :

!

K2e2

(T1 - TB) =

!

K12e1

(TB - T0).

• On en déduit : TB =

!

2K2e1T1 +K1e2T02K2e1 +K1e2

= 42,8 °C.

• Enfin (en simplifiant) : TC =

!

TB + T02

= 31,4 °C.

2. • La densité de courant thermique vers le bas (perdue puisqu'elle ne sert pas à chauffer le local) est

arithmétiquement : jʼQ =

!

K3e3

(TA - T0) = 171 W.m-2.

◊ remarque : la surface est la même partout donc se simplifie.

• La densité de courant vers le haut est de même : jQ =

!

K2e2

(T1 - TB) = 1430 W.m-2 ; la fraction per-

due est donc :

!

" j QjQ + " j Q

= 10,6 %.

3. • Puisque l'énoncé ne demande pas les tempéra-tures intermédiaires, on peut calculer directement le flux thermique en ajoutant les résistances en série (en simpli-

fiant par la surface) : T1 - T4 =

!

" e 2K2

+e3K3

+e4K4

#

$ %

&

' ( j”Q.

• On en déduit inversement :

j”Q =

!

K2K3K4K3K4 " e 2 + K2K4e3 + K2K3e4

#

$ %

&

' ( (T1 - T4) = 31,6 W.m-2.

• La fraction perdue devient donc :

!

" " j QjQ + " " j Q

= 2,15 %.

◊ remarque : il est peu plausible de considérer dans le sous-sol un flux thermique uniforme... puis nul (l'énergie thermique s'accumulerait à la limite, dont la température ne serait pas constante) ; on peut par contre envisager un “étalement” progressif en largeur (de part et d'autre du local) et un flux thermique décroissant progressivement (de façon ressemblant à une exponentielle) ; la modélisa-tion de la “couche limite” peut alors être simplifiée (on modélise la courbe par sa tangente à l'origine).

7

VIII. Structure réfractaire composite 1. • En représentant schématiquement la couche comportant des alvéoles avec une partie d'air occupant 70 % de la surface du mur, on peut proposer le schéma suivant.

• Dans le schéma électrique équivalent, les différentes couches peuvent être représentées par les résistances en série. Pour l'air des aspérités, la résistance équivalente R de l'air est par contre en parallèle avec celle Rʼb des portions de brique équivalentes (ne représentant que 30 % de la surface).

2. • D'après la loi de Fourier, on peut écrire la densité de flux thermique jQ = -K

!

"T"x

analogue à la loi

d'Ohm (locale) j = -γ

!

"V"x

. Ceci permet de définir une notion de “résistance thermique” : R =

!

"xKS

.

• On obtient ainsi pour une surface S = 1 m2 : Ra = 0,338.10-4 kJ-1.h.°C ; Rb = 80,4.10-4 kJ-1.h.°C ; Rʼb = 4,29.10-4 kJ-1.h.°C (pour 0,3 S) ; R = 87,9.10-4 kJ-1.h.°C (pour 0,7 S).

• La résistance totale est ainsi : Rtot = 2 Ra + 2

!

R " R bR + " R b

+ Rb = 89,3.10-4 kJ-1.h.°C.

• On peut remarquer que la contribution principale est celle de la brique : l'acier est meilleur conduc-teur et la couche d'air est très résistive mais de faible épaisseur (donc le flux de chaleur passe sans trop de difficulté par la partie de brique des aspérités, qui est en parallèle). ◊ remarque : on peut préciser qu'en l'absence des aspérités la résistance ne serait pas énormément plus faible : Rtot = 2 Ra + 2 (0,3 Rʼb) + Rb = 83,7.10-4 kJ-1.h.°C. 3. • La densité de flux thermique par unité de surface du mur est :

jQ = K

!

"T"x

=

!

T1" T0SRtot

= 38000 kJ.h-1.m-2 = 10,6 kW.m-2.

B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT IX. Diffusion dans un tuyau poreux • X. Diffusion et marche au hasard ; problème à trois dimensions

1. • On obtient :

!

"n"t

=

!

r2

4Dt2"32t

#

$ %

&

' (

!

N04"Dt( )3/ 2

exp(-

!

r2

4Dt2).

8

• Par ailleurs :

!

" r n( )"r

=

!

1"r2

2Dt#

$ %

&

' (

!

N04"Dt( )3/ 2

exp(-

!

r2

4Dt2) ;

!

"2 r n( )"r2

=

!

rD

!

r2

4Dt2"32t

#

$ %

&

' (

!

N04"Dt( )3/ 2

exp(-

!

r2

4Dt2).

• Ceci correspond à :

!

"n"t

=

!

Dr

!

"2 r n( )"r2

= D Δn ; la fonction proposée est donc effectivement solution.

2.a. • Le nombre total de particules est : N =

!

n dV""" =

!

N04"Dt( )3/ 2

!

exp "r2

4Dt2#

$ %

&

' ( ) r2 dr

!

sin "( ) d"#

!

d"# .

• Or, avec α =

!

14Dt

:

!

exp "r2

4Dt2#

$ %

&

' ( ) r2 dr = -

!

"

"#exp $

r2

4Dt2%

& '

(

) * + dr = -

!

"

"#

$

4#%

& '

(

) * =

!

"

4#3/ 2 et finale-

ment : N = N0.

• D'une façon analogue, on peut écrire : N < r2 > =

!

r2 n dV""" = 4π

!

N04"Dt( )3/ 2

!

exp "r2

4Dt2#

$ %

&

' ( ) r4 dr

avec :

!

exp "r2

4Dt2#

$ %

&

' ( ) r4 dr =

!

"2

"#2exp $

r2

4Dt2%

& '

(

) * + dr =

!

3 "

8#5/ 2 et finalement : < r2 > = 6Dt.

2.b. • On peut en déduire une interprétation de la solution considérée : cette solution représente un en-semble de N0 particules, initialement situées à l'origine (< r2 > = 0) et se répartissant ensuite par diffusion, proportionnellement à

!

t (< r2 > = 6Dt).

3.a. • À un instant t >> τ, le nombre de pas est m ≈

!

t"

.

3.b. • La position est :

!

r (t) =

!

! i" où la somme comporte m termes.

3.c. • On peut ensuite calculer :

!

r t( )2=

!

! i2

i" +

!

! i • ! jj"i#i# , ce qui donne < r2 > = m ℓ2 = ℓ2

!

t"

compte

tenu de la compensation moyenne des produits scalaires, pour des directions aléatoires. On retrouve donc bien < r2 > proportionnel au temps.

3.d. • Par comparaison des deux expressions : D ≈

!

!2

6" ; ceci peut aussi s'écrire : D ≈

!

!6

< v >.

XI. Échauffement dans un réacteur nucléaire •