Exercices Corriges Suite de Fonctions

7/21/2019 Exercices Corriges Suite de Fonctions

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Suites de fonctions

Exercice 1. Convergence uniformeEtudier la convergence uniforme des deux suites de fonctions dfinies sur par :1. 2.

Allez :Correction exercice 1

Exercice 2. Autre outil pour la convergence uniformeEtudier la convergence uniforme de la suite de fonctions dfinies sur par :


Exercice 3. Convergence uniforme et drivation1. Soit la suite de fonction

sur

. Montrer que la suite

converge uniformment

vers une fonctiondrivable et constater que la suite ne converge pas.2. Soit dfinie par Montrer que chaqueest de classe et que la suite converge uniformment sur vers unefonctionqui nest pas .


Exercice 4. Convergence uniforme sur un ouvertOn pose

avec

. Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions

sur

puis sur

avec

.


Exercice 5. Convergence simple vers une fonction discontinueEtudier la convergence, ventuellement uniforme, des suites de fonctions dfinies par :

a) avec b) avec c) avec


Exercice 6. Un cas pathologiqueSoit une suite de fonction dfinies par :

{

1. Faire une figure pour quelques valeurs de .2. Dterminer la limite de

quand

tend vers linfini.

3. Prciser si la convergence est uniforme dans les trois cas suivants : Sur . Sur un segment contenant lorigine. Sur o .


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Exercice 7. Convergence uniforme et intgrationSoit dfinie par :

[ ] 1. Etudier la limite simple de la suite

.

2. Calculer :

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction ?3. Etudier la convergence uniforme sur avec .


Exercice 8. On considre la suite de fonctions relle dfinies par Cette suite est-elle ?

1. Simplement convergente sur ?2. Uniformment convergente sur ?3. Uniformment convergente sur ( ) ?4. Uniformment convergente sur

?


Exercice 9. On considre la suite de fonctions relles dfinies par

Cette suite est-elle ?

1. Simplement convergente sur ?2.

Uniformment convergente sur ?3. Uniformment convergente sur ( ) ?

4. Uniformment convergente sur ?Allez :Correction exercice 9

Exercice 10. On considre, pour tout , les fonctions dfinies par 1. Montrer que la suite

converge simplement sur

vers une fonction

que lon

dterminera.

2. Montrer que ne converge pas uniformment verssur .3. Montrer que , converge uniformment verssur .


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Exercice 11. Soit la suite de fonctions dfinies sur par

1. Etudier la converge simple de cette suite sur .2.

Pour , calculer Et la limite de lorsque .

3. En dduire que la suite nest pas uniformment convergente sur .Allez :Correction exercice 11

Exercice 12. Soit

la suite de fonctions dfinies sur

par

1. Montrer que converge uniformment sur vers .2. Etudier la convergence de sur .3. On considre la suite dfinie sur par

Montrer que

converge uniformment sur

vers

.


Exercice 13.Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions dfinies par :


Exercice 14.Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions dfinies par :


Corrections


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Correction exercice 1.1.

La suite de fonctions converge simplement vers

Soit on essaye de calculer le sup de la valeur absolue de cette fonction sur lintervalle , ce qui nesannonce pas joyeux parce que la principale mthode est dtudier la fonction, ou bien on cherche

majorer la valeur absolue de cette diffrence par une expression ne faisant plus apparatre de ensachant que

| | Car

| | || ||| | Car et On en dduit que

| | La suite de fonctions

converge uniformment sur

vers la fonction

.

Allez :Exercice 1

2.

La suite de fonction converge simplement sur vers

( )

( )

Aucune majoration claire en vue, on va tudier (en vain ou presque) la fonction | | ( )

Cette fonction sannule pour

Soit Le maximum de cette fonction est donc en et vaut


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Le maximum tend vers linfini et donc il ny a pas de convergence uniforme.

Si on na rien vu cest parfait, sinon

( )

Donc

Comme

| | Cela montre quil ny a pas convergence uniforme.

Allez :Exercice 1

Correction exercice 2.Si alors Car lexponentielle lemporte sur le Si

alors

La suite de fonction converge simplement vers la fonction nulle Etude de | | sur La drive est positive pour , nulle en et ngative pour Doncadmet un maximum en

Si alors | | Ne tend pas vers donc la suite de fonctions ne converge pas uniformment vers .Si alors

| |

Donc la suite de fonctions converge uniformment vers .Allez :Exercice 2Correction exercice 3.


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La suite de fonction converge simplement vers la fonction nulle Etude desur L on voit que lon ne va pas sen sortir, alors que

| |

Donc la suite de fonctions ne converge pas uniformment vers .Sur , la suite de fonctions converge simplement vers Comme sur ltude de la fonction ne va rien donner mais une simple majoration va nous permettre deconclure || Donc On en dduit que la suite de fonctions converge uniformment vers .

Allez :Exercice 4

Correction exercice 5.a) Si

alors

tend vers

et si

alors

, ce qui montre que la suite de fonction

converge simplement vers la fonctiondfinie par Si la convergence de la suite de fonctions continues convergeait uniformment versalorsseraitcontinue, ce qui nest pas le cas par consquent la convergence nest pas uniforme.

b) Si

Si alors Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction dfinie par Si la convergence de la suite de fonctions continues convergeait uniformment vers alors serait continue, ce qui nest pas le cas par consquent la convergence nest pas uniforme.

c) Si alors et Si alors

Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction dfinie par


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Si la convergence de la suite de fonctions continues convergeait uniformment vers alors seraitcontinue, ce qui nest pas le cas par consquent la convergence nest pas uniforme.

Allez :Exercice 5

Correction exercice 6.1.

Courbes pour et 2.

Si , Si , il existe tel que et pour tout Donc la suite de fonction converge simplement vers la fonction dfinie par

3. Sur la suite de fonctions converge simplement vers Comme

La convergence est uniformeSur un segment contenant lorigine la suite de fonctions converge vers une fonction qui est nulle si et qui vaut pour , cest--dire une fonction discontinue or les fonctionssont continues,en les limites gauche et droite valent et en les limites gauche et droite valent , ilny a pas convergence uniforme.

Sur

la suite de fonctions

converge simplement vers la fonction

qui vaut

pour tout

Comme Il y a convergence uniforme.

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2


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Allez :Exercice 6

Correction exercice 7.1. Pour , il existe tel que , alors pour tout

Pour alors Donc la suite de fonction

converge simplement vers

.

2.

Sil y avait convergence uniforme de la suite de fonctions on aurait Ce qui nest pas le cas, donc il ny a pas de convergence uniforme de la suite de fonctions

vers

.3. Sur la suite de fonctions converge simplement vers , pour tout , et pourtout donc Donc il y a convergence uniforme.

Allez :Exercice 7

Correction exercice 8.1. Pour tout

La suite de fonctions converge simplement vers la fonction sur .2. La suite de fonctions converge simplement vers la fonction sur .| |

On peut tudier cette fonction ( ) sur , on voit quelle est croissante et quelle atteint sonmaximum pour et alors

| |

Pour en dduire quil y a convergence uniforme sur Ou alors on peut majorer de faon liminer les | | Ainsi | | Pour en dduire quil y a convergence uniforme sur

3. La suite de fonctions

converge simplement vers

vers

sur

.

On peut faire les deux raisonnements de la question ci-dessus| |


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On peut tudier cette fonction ( ) sur , on voit quelle est croissante et quelle atteint sonmaximum pour et alors

| | Pour en dduire quil y a convergence uniforme sur Ou alors on peut majorer de faon liminer les

, attention ici, il y a une petite nuance

| | Mais on aurait aussi pu majorer par

.Ainsi

| | Pour en dduire quil y a convergence uniforme sur

4. Pour tout La suite de fonctions converge simplement vers la fonction sur .| | L, on va avoir un problme pour majorer cette expression indpendamment de par une expression quitend vers .Montrons quil ny a pas convergence uniforme, prenons

| || |

Ce ne peut pas tendre vers , il ny a pas convergence uniforme.Allez :Exercice 8Correction exercice 9.

1. Pour tout Il faut bien distinguer le cas (cest la limite des termes de plus haut degr) et le cas o ,auquel cas

La suite de fonctions converge simplement vers la fonction constante sur 2. | | Etude de la fonction sur , sa drive est la fonction est dcroissante, donc Cette expression ne tend pas vers donc il ny a pas convergence uniforme sur .Autre mthode

| | Donc le ne peut pas tendre vers et il ny a pas convergence uniforme sur


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3. La suite de fonctions converge simplement vers la fonction constante gal . Reprenons ltudede la fonction | | Elle est dcroissante donc elle atteint son pour | |

Dans ce cas il y a convergence uniforme de la suite de fonction

vers la fonction constante gal

.

4. La suite de fonctions converge simplement vers la fonction constante gal sur .Reprenons ltude de la fonction | | Elle est dcroissante donc elle atteint son pour | | Dans ce cas il y a convergence uniforme de la suite de fonction vers la fonction constante gal sur

.

Allez :Exercice 9

Correction exercice 10.1. et pour tout

Donc la suite de fonctions converge simplement vers 2. la suite de fonctions converge simplement vers , ltude de la fonction na rien de rjouissant

priori, prenons la suite

| | || ||Ce ne peut pas tendre vers , il ny a pas convergence uniforme sur .3. la suite de fonctions converge simplement vers , ||

Donc La suite de fonctions converge uniformment vers sur .

Allez :Exercice 10

Correction exercice 11.1. Pour tout

La suite de fonctions converge simplement vers sur 2.

[ ] ( )


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Donc

3. Si la suite de fonctions

convergeait uniformment vers

on aurait

Ce qui nest pas le cas donc la suite de fonctions ne converge pas uniformment sur .

Allez :Exercice 11

Correction exercice 12.1. Avant la convergence uniforme il faut montrer que la suite de fonctions converge simplement vers. et pour tout la limite deest bien nulle, tout va bien.

On ne voit pas de majorations simple qui permettrait de majorer

par une expression

indpendante de qui tendrait vers , on va donc tudier la fonction || La fonction tant paire, on va faire ltude sur ainsi on se dbarrasse de la valeur absolue.

1 On en dduit que le de La suite de fonctions converge uniformment vers sur .

2. En rutilisant le calcul ci-dessus

Pour tout


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Pour , donc la suite de fonctions converge simplement vers la fonction dfinie

par : Ce qui permet de dire que la convergence de la suite de fonctions continues ne converge pasuniformment sinon la limite simple serait continue ce qui nest pas le cas.

3. Calculons , pour voir. Ah bah alors quelle surprise !!!!

La suite de fonctions converge uniformment sur . Pour donc la suite determe gnral converge simplement car la suite de fonction converge simplement vers, on en dduit daprs le thorme de drivation que la suite de terme gnral convergeuniformment vers .

Allez :Exercice 12

Correction exercice 13.

Si alors

Comme Si La suite de fonctions converge simplement vers la fonction dfinie par :

Les fonctionssont continues, si la convergence tait uniforme la fonction serait continue ornestpas continue en Allez :Exercice 13

Correction exercice 14.Convergence simple

Pour tout il existe tel que donc pour tout , , il faut donc trouver la limitelorsque tend vers linfini de

La suite de fonction converge simplement versdfinie sur par Convergence uniforme


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On pose

Donc pour tout , , ce qui montre que ( ) On pourrait se passer davoir montr cela.

On pose et on va chercher les extrmums de cette fonction continue et drivablesur le ferm born , ces extrmums sont soient sur les bords en

, cest un minimum, soit en

,

, soit en un point o la drive est

nulle. Supposons quil existe (ce qui impose que tel que , rien nest moinssr, il se peut que ce nexiste pas (par exemple si garde un signe constant) soit que ce soitsuprieur , mais peu importe. Puis calculons

Deux cas se prsentent

Soit Dans ce cas

Soit Dans ce cas Dans tous les cas, que existe ou pas le maximum ventuel tend vers

Et pour tout

, comme

| | Finalement | | Allez :Exercice 14

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