Exercices Corriges Integration

Intgration Pascal Lain

1

Intgration

Exercice 1. Rpondre par vrai ou faux en justifiant votre rponse

On considre la fonction sur lintervalle [ ]. 1.

Est une somme de Riemann associe sur . 2.



Est une somme de Riemann associe sur . Allez : Correction exercice 1

Exercice 2. Rpondre par vrai ou faux en justifiant votre rponse Toutes les fonctions considres sont supposes intgrables sur lintervalle considr.

1. Lintgrale sur [ ] dune fonction ngative ou nulle est ngative ou nulle. 2. Lintgrale sur [ ] dune fonction paire est positive ou nulle. 3. Lintgrale sur [ ] dune fonction impaire est nulle. 4. Lintgrale sur [ ] dune fonction minore par est infrieure ou gale . 5. Lintgrale sur [ ] dune fonction majore par est infrieure ou gale . 6. Lintgrale sur [ ] dune fonction majore par est infrieure ou gale . 7. Si une fonction est telle que pour tout [ ], ( ) , alors son intgrale sur [ ] est

strictement ngative.

8. Si lintgrale sur [ ] dune fonction continue vaut , alors il existe [ ] tel que ( ) . 9. Si lintgrale sur [ ] dune fonction vaut , alors il existe [ ] tel que ( ) .

Allez : Correction exercice 2


1. Toute fonction intgrable sur [ ] est continue. 2. Si est une fonction continue sur [ ], sauf en un point, alors admet une primitive qui sannule en . 3. Toutes fonctions continue sur [ ] admet une primitive qui sannule en . 4. Toute primitive dune fonction continue sur [ ] sannule en un point de [ ]. 5. Toute primitive dune fonction continue sur [ ] est drivable sur ] [. 6. Toute primitive dune fonction continue sur ] [ est drivable droite en .




2

1. Toute primitive dune fonction positive ou nulle est positive ou nulle. 2. Toute primitive dune fonction ngative ou nulle est dcroissante. 3. Toute fonction continue est la primitive dune fonction continue.


Exercice 5.

1. Soit une fonction de classe sur lintervalle [ ]. Montrer que

( ) ( )

2. Soit une fonction en escalier sur lintervalle [ ]. Montrer que

( ) ( )

On pourra commencer par montrer que pour tout

( )

3. Soit une fonction continue sur lintervalle [ ]. Montrer que

( ) ( )

On rappelle que pour toute fonction continue sur [ ], pour tout , il existe une fonction en

escalier telle que

[ ]

( ) ( )


Exercice 6.

Soit la fonction indicatrice de .

( ) {

On rappelle que tout intervalle ouvert non vide de contient des rationnels et des irrationnels. Soit un

entier strictement positif. Pour , on pose

.

1. Montrer que pour tout , il existe et dans [ ] tels que ( ) et ( ) . 2. On considre les deux subdivisions pointes

{([ ] )} {([ ] )} Montrer que ( ) et ( ) On rappelle que

( ) ( )( )

Pour {([ ] )} 3. En dduire que nest pas intgrable.


Exercice 7. 1. Montrer que le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier.

2. La compose de deux fonctions en escalier est toujours une fonction en escalier. Est-ce vrai ou faux ?

(Justifier).


Exercice 8.

Montrer que si est intgrable, alors est galement intgrable.

On rappelle le thorme


3

Soit une fonction borne sur [ ].

Si pour tout il existe g Riemann-intgrable sur [ ] tel que

[ ]

( ) ( )

Alors est Riemann-intgrable.

Et on pourra utiliser une forme de lingalit triangulaire.


Exercice 9.

Soient et deux rels fixs, avec . On note ([ ]) lespace vectoriel des fonctions continues

de [ ] vers et lespace vectoriel des fonctions en escalier de [ ] vers nulles en .

1. Montrer que ([ ]) et sont en somme directe.

2. Montrer que lespace ([ ]) est gal lespace des fonctions continues par morceaux de [ ]

vers .


Exercice 10. Calculer la limite, si elle existe, des suites suivantes :

( )


Exercice 11. Calculer, si elle existe


Exercice 12.

Soit ( )

1. tablir une relation de rcurrence entre et . 2. Calculer . 3. En dduire

( )

( )


Exercice 13.

Soit ( )

1. tablir une relation de rcurrence entre et . 2. En dduire et .

3. Montrer que ( ) est dcroissante et strictement positive. 4. En dduire que . 5. Calculer .


4

6. Donner alors un quivalent simple de . Allez : Correction exercice 13

Exercice 14.

Soit

1. En majorant la fonction intgre, montrer que ( ) . 2. Calculer .

3. Dterminer (( )

)


Exercice 15. On pose pour tout

( ( ))

1. Calculer et

2. Pour tout trouver une relation entre et et pour tout en dduire une relation entre

et .

3. Dterminer pour tout .


Exercice 16. Calculer par rcurrence :

( )


Exercice 17. Calculer par rcurrence :

( ( ))


Exercice 18. Soit une fonction continue sur , priodique et impaire.

On pose

( ) ( )

1. A laide du changement de variable calculer

( ) ( )

2. Montrer que est drivable sur et calculer ( ), que peut-on en dduire sur .

3. Calculer

( )


Exercice 19. Soit la fonction dfinie pour tout par


5

( )

( )

1. A laide de la formule de Taylor-Lagrange montrer que pour tout :

( )

2. En dduire que pour tout ] [:

( ) ( ) ( ) (

)

Puis

( )

3. Calculer, pour tout ( ).

4. En dduire que pour tout , ( ) ( ).


Exercice 20. Soit ] [. On dsigne par l'application de dans , dfinie, pour tout , par

( ) ( )

( )

Premire partie

Dans cette partie on ne cherchera pas exprimer laide de fonctions usuelles

1. Dterminer le signe de ( ).

2. Justifier la drivabilit de sur , et calculer ( ) pour tout , on exprimera ( ) de la manire la

plus simple possible.

3.

a) Montrer que pour tout ,

( )

( )

On pourra utiliser la formule de Taylor Lagrange entre et .

b) En dduire lexistence et la valeur de

( )

Deuxime partie

1. Dterminer une primitive de la fonction ( )

( ) laide dune intgration par parties.

2. Exprimer la fonction laide de fonctions usuelles de la faon la plus simple possible.


Exercice 21.

Soit [ ] et soient et deux fonctions continues de dans telles que:

est dcroissante et ( ) [ ]

et on pose ( )

, ( ) ( )

et ( ) ( )

( )

( ) ( )

1. Montrer que et sont de classe sur .

2. Montrer que pour tout , ( )

3. Etudier les variations de sur [ ].

4. En dduire l'ingalit


6

( ) ( )

( )


Exercice 22.

Soit une fonction drivable et strictement monotone sur [ ] telle que ( ) .

Soit une fonction dfinie sur [ ] par :

( ) ( )

( ) ( )

( )

1. Montrer que est drivable.

2. Calculer et en dduire .


Exercice 23.

Soit ] [. Les trois questions sont indpendantes.

Soient ( ) ( )

( )

, ( )

( )

( )

et ( )

( )

1. Calculer ( ).

2. Le but de cette question est de calculer ( ) laide dun changement de variable.

a) A laide des rgles de Bioche, dterminer le bon changement de variable .

b) Calculer ( ) laide de ce changement de variable.

3. Trouver une relation lmentaire entre ( ) et ( ) et en dduire ( ).


Exercice 24.

Soit dfinie par ( )

Soit , dfinie par ( ) (

)

1. Montrer que est dfinie, continue et drivable sur . On admettra que est impaire.

2. Calculer la drive de et en dduire les variations de .

Et montrer que

3. Donner le dveloppement limit de lordre 1 en 0 et en dduire une quation de la tangente au point

dabscisse 0.

4. Encadrer

, en dduire un encadrement de ( ), puis la limite de en .

5. Montrer que

, puis montrer que

( )

En dduire un quivalent de ( ) en .

6. Tracer sommairement le graphe de sur .


Exercice 25.

Soit lapplication dfinie par :

( )

1. Montrer que est dfinie, continue et drivable sur .

2. A laide du changement de variable , tudier la parit de .


7

3. Montrer que pour tout :

( )

En dduire la limite de en .

4. Calculer la drive de et rsoudre ( ) , pour .


Exercice 26.

Soit dfinie par

{ ( )

( ) ( )

1. Montrer que pour tout , est drivable.

2.

a) A laide de la formule de Taylor Lagrange, montrer que pour tout il existe ] [ tel que :

b) En dduire que pour tout [ ], .

c) Trouver un encadrement de et en dduire que est continue en .

3. Pour tout , calculer la drive de . est-elle drivable en ? que peut-on en dduire sur

lallure de le graphe de ?

4. Etudier les variations de .

5. Montrer que pour tout ,

, en dduire une majoration de et sa limite en .

6. En reprenant lgalit du 2. a), montrer que pour tout , en dduire que pour tout

( ) ( )

En dduire la limite de en .

7. Tracer lallure du graphe de .


Exercice 27.

Soit la fonction dfinie sur ] [ par ( ) ( )

pour et ( )

Soit , la fonction dfinie sur ] [ ( ) ( )

1. Montrer que est continue sur ] [.

2. Dterminer le signe de sur ] [ selon les valeurs de .

3. Dterminer le signe de sur ] [ selon les valeurs de .

4. Montrer que est de classe , calculer ( ) et en dduire les variations de sur ] [.


Exercice 28. (hors programme partir du 4.)

Soient ( )

et

( )

1. Calculer

2. A laide du changement de variable calculer

3. A laide dune intgration par parties, montrer que :


8

( ) ( )

( ) ( )) ( )

O est une constante relle.

4. Montrer que est une intgrale gnralise en et en .

5. Montrer que converge.

6. A laide dun dveloppement limit, lordre , au voisinage de , de :

Calculer la limite en de : ( ) ( ) ( ), puis de ( ).

7. Calculer . En dduire la valeur de .


Exercice 29.

Soit la fonction relle dfinie sur R par:

( ) et ( )

pour x non nul

et pour tout entier naturel nN , soit un la fonction relle dfinie par :

( )

( )

pour non nul

Premire partie

1. Prouver que:

( ) pour tout entier naturel

2. Montrer que est continue et drivable sur .

Montrer que la drive est continue et vrifie :

( ) et ( ) ( ) pour x non nul

En dduire la relation

( ) ( ) pour tout x rel (1)

3. Etudier les variations de et tracer sommairement sa courbe reprsentative, en prcisant les points

d'inflexion ventuels.

Deuxime partie

Soit la fonction relle dfinie sur par:

( ) et ( )

( )

4. Montrer que est impaire.

5. Montrer que pour , on a :

( )

(2)

6. En dduire que est continue sur .

7. Pour tout non nul, montrer que est drivable et calculer sa drive ( ).

8. En utilisant (1), montrer que pour tout , on a la relation:

( )

( )

( )

(3)

En dduire que est drivable en et que ( )

9. Pour non nul, calculer la limite de ( )

lorsque tend vers . (On pourra appliquer la rgle de

l'Hospital au quotient ( )

( ) o ( ) ( )

et ( ) ( )).

En dduire le dveloppement limit de f l'ordre 3 en 0.


CORRECTIONS


9

Correction exercice 1. Remarque :

Si on coupe lintervalle en partie gale, une somme de Riemann associe sur [ ] est

(

)

Si , et ( ) . De plus

( )

1. Cela ne semble pas tre bon, vrifions le

( )

Cette somme ne tend pas vers , ce nest pas une somme de Riemann de sur . 2. Vu ainsi cela ne ressemble pas la remarque prliminaire, pourtant, en utilisant le 1), la somme est

quivalente celle-ci-dessus diviser par et donc tend vers . Cela ne suffit pas dire quil sagit dune somme de Riemann de sur , mais on va regarder de plus prs. On coupe lintervalle en partie gale

(

)

(

)

Cest bon. 3. Daprs la remarque prliminaire

Donc

nest pas une somme de Riemann de sur .

Remarque :

On aurait aussi pu calculer la limite de

et voir quelle valait .

4. Oui, voir la remarque prliminaire. Allez : Exercice 1

Correction exercice 2. 1. Le rsultat du cours est :

si est une fonction positive ou nulle, intgrable sur [ ] avec , alors ( )

est une fonction positive ou nulle sur [ ] donc ( ( ))

, ce qui quivaut ( )

, do lon dduit que ( )

.

2.

[

]

Cest faux. 3. Dans lintgrale

( )

On fait le changement de variable

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )


10

La premire galit est le changement de variable, la seconde vient du fait que est impair, la troisime est la simplification du produit de deux signes ngatifs, la quatrime vient de linterversion des bornes et la cinquime vient du fait que la variable dintgration est une variable muette (on peut lui donner nimporte quel nom). Do lon dduit que

( )

( )

Cest vrai.

4. Prenons la fonction constante gale .

[ ]

Cest faux

5. Prenons la fonction constante gale

[

]

(

)

Cest faux. 6.

[ ] ( ) ( )

( )

[ ] ( )

Cest vrai. 7.

( )

Car est impair et daprs la question 3). Rien nempche de faire le calcul directement. Cest vrai.

8. Daprs la formule de la moyenne il existe [ ] tel que

( )

( )

( )

Cest vrai.

9. Daprs la formule de la moyenne il existe [ ] tel que

( )

( ) ( )

( )

Cela ne marche pas. On va chercher un contre-exemple, cherchons un truc simple, la fonction constante

gale

,

[

]

(

) et pourtant

sauf pour , cest encore rat.

Prenons ( )

[

]

(

(

))

Si [ ] alors [ ] et donc |

|

ce qui montre que

( )

,

[ ] ( ) . Il a fallu faire intervenir la valeur absolue car on ne sait pas si est positif ou ngatif.

Allez : Exercice 2

Correction exercice 3. 1. Une fonction en escalier non continue est intgrable. Cest faux.

2. Si , , ( ) pour [

[ ]

] et (

) .

Supposons quil existe une primitive de sur [ ] qui vrifie, ( ) .

Sur lintervalle [

[, les primitives de la fonction continue sont les constantes, ( ) .

Sur lintervalle ]

] , les primitives de la fonction continue sont les constantes, ( ) .


11

Pour que ( ) on doit prendre .

Le problme est en

, on veut que

( ) ( )

(

)

Si tend vers

avec

,

( ) ( )

(

)

Lorsque tend vers

, avec

, le dnominateur tend vers , comme le numrateur est constant

donc la limite ne peut pas tre gale . (on aurait pu faire le mme raisonnement sur [

[).

Cest faux.

3. Soit dfinie par

( ) ( )

( ) ( ( )) ( )

est une primitive de . De plus ( ) ( )

Cest vrai.

4. Soit une primitive de sur [ ], Soit [ ] ( ) dfinie par ( ) ( ) est aussi une primitive de

( ) ( ) ( ) ( ) nest jamais nulle, cest faux.

5. Par la dfinition une primitive de sur [ ] est une fonction qui vrifie [ ] ( ) ( ) Cest vrai, et mme sur [ ].

6. Soit dfinie par ( )

sur ] [. est continue. Les primitives de sont de la forme

( ) ( ) Ces fonctions ne sont mme pas dfinies en , donc certainement pas continues.

Allez : Exercice 3

Correction exercice 4.

1. Soit une primitive de sur [ ], Soit [ ] ( ) dfinie par ( ) ( ) est aussi une primitive de

( ) ( ) ( ) Donc cest faux.

Remarque :

Il ne faut pas confondre avec le rsultat suivant : Si et si ( ) sur [ ] alors

( )

2. Soit une primitive de sur un intervalle . ( ) ( ) donc est dcroissante. Cest vrai.

3. Si pour toute fonction continue sur [ ], il existe continue telle que [ ] ( ) ( ) cela pose un problme cela voudrait que toutes les fonctions continues sont de classes , ce qui est faux, trouvons un contre-exemple.

Soit ( ) sur [ ], autrement dit ( ) sur [ ] et ( ) sur [ ], cette fonction est continue, si , ( ) et si , ( ) . Les limites gauche et droite de ( ) en sont diffrentes donc nest mme pas drivable en , ce nest pas la primitive dune fonction continue.

Allez : Exercice 4



12

1.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[

( ) ( )]

(

( )) ( )

( ) ( )

[

( ) ( )]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

|

( ) ( )

|

( ) ( )

( )

Car est continue donc intgrable.

( )

Par consquent

( ) ( )

Comme

(

( ) ( )

( ) ( ))

On a

( ) ( )

2.

( )

[

( )]

( )

( )

Soit une fonction en escalier sur [ ], il existe et tels que

Les valeurs de en nont pas dimportance. Et

{ } ] [ ( ) Par consquent

( ) ( )

( )

( )

(

( )

( ))

Car une somme finie de termes qui tendent vers tend vers . 3. Pour tout , il existe une fonction en escalier telle que [ ] ( ) ( )

| ( ( ) ( )) ( )

| ( ) ( ) ( )

( )

Comme

( ) ( )

Pour le choisit ci-dessus, il existe tel que pour tout


13

| ( ) ( )

|

or

( ) ( )

( ( ) ( ) ( )) ( )

( ( ) ( )) ( )

( ) ( )

Donc

| ( ) ( )

| | ( ( ) ( )) ( )

| | ( ) ( )

| ( )

Cela montre bien que

( ) ( )

Allez : Exercice 5


1. Pour tout , ] [ est un intervalle non vide de , il contient des rationnels donc un rationnel que lon nomme , par consquent ( ) et des irrationnels donc un irrationnels (cest--dire des lments de ) que lon nomme par consquent ( ) .

2.

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

3.

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

nest pas intgrable.

Allez : Exercice 6


1. Soit { } avec

Soit { } avec

Soient et

On dfinit deux fonctions en escalier

{ } ] [ ( )

{ } ] [ ( )

Et peu importe les valeurs de pour et de pour

Soit , il sagit dun ensemble fini donc il existe tels que { } et


14

Sil existe { } et { } tels que il y a une contradiction car cela

signifie que or . De mme il nexiste pas de entre deux .

Par consquent pour tout { } , il existe { } ] [ ] [ et il existe

{ } tel que ] [ ] [.

On dduit de cela que pour tout { } et pour tout ] [, ( ) et ( ) et

donc

( ) ( )

Cela montre que est une fonction en escalier.

2. Cest faux, si on prend la fonction constante gale sur [ ], [ ] ( )

( ) ( ( )) ( )

Mais nest pas dfinie pour .

Allez : Exercice 7


est intgrable (donc borne), pour tout , il existe une fonction en escalier telle que

[ ]

( ) ( )

Daprs lingalit triangulaire

| |

Donc

| ( ) ( ) | ( ) ( )

Ce qui entraine que pour tout , il existe une fonction en escalier (donc intgrable) telle que

[ ]

| ( ) ( ) | [ ]

( ) ( )

Ce qui montre que est intgrable.

Allez : Exercice 8


Remarque :

Une combinaison linaire de fonctions continues et nulle en est videmment une fonction continue

nulle en donc ([ ]) est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel des fonctions continues par

morceaux sur [ ] (on aurait pu dire des fonctions dfinies sur [ ]).

Une combinaison linaire de fonction en escalier est videmment une fonction continues par morceaux

donc est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur

[ ].

Cest ce qui justifie la question 1.

1. Il ny a qu montrer que lintersection est rduite au vecteur nulle (donc lapplication nulle sur [ ]

note [ ]). Soit ([ ])

Cette fonction est continue sur [ ] et ( ) dune part et est une fonction en escalier dautre

part.

Une fonction continue et en escalier sur [ ] est constante (Cest assez vident pour pouvoir

laffirmer), comme ( ) cette constante est nulle, par consquent [ ], on a bien

([ ]) { [ ]}

2. On appelle lespaces de fonctions continues par morceaux, il faut montrer que ([ ])

Remarque :

On ne peut pas utiliser le rsultat sur les dimensions de ([ ]) et de car ces espaces vectoriels sont de dimension infini.


15

On va montrer que toute fonction dans se dcompose en une somme dune fonction dans ([ ]) et dune fonction dans pour montrer que

([ ]) Comme

([ ]) { [ ]} On aura bien

([ ]) Allez : Exercice 9

Premire partie

On va dabord considrer une fonction qui nadmet quun point de discontinuit en [ ]. Si ] [. On appelle

( )

( ) ( )

( )

[ ] {

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ [ ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) est continue en , et pour [ [ ] ] est continue car est continue sur [ [ et sur ] ]. Bref est continue sur [ ] et ( ) , autrement dit ([ ]). Soit

[ ] {

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

est une fonction en escalier, .

[ ] ( ) ( ) {

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

On a montr lexistence de deux fonctions dans ([ ]) et dune fonction dans telles que . Cest bien ce que lon voulait.

Pour ou la mthode prcdente ne marche pas tout--fait mais on peut ladapter facilement. Allez : Exercice 9

Deuxime partie

On considre maintenant une fonction discontinue en deux points et , on appelle ( )

( ) ( )

( )

[ ]

{

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Et

[ ]

{

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )


16

Je laisse au lecteur qui me lit encore le soin de vrifier que ( ) , que est continue sur [ ], que est une fonction en escalier ( cest trivial) et que . Faire cela pour points de discontinuits me parait bien compliqu crire, alors je vais faire une rcurrence

Allez : Exercice 9

Troisime partie

Soit une fonction discontinue en points nots , avec et , on note [ [ ] [ ] [ ] ]

{ } [ ] ( ) { ( )

Et est nulle aux points de discontinuits (cest juste pour simplifier la fin du raisonnement, on pourrait donner nimporte quelle valeurs aux points de discontinuits). Toutes ces fonctions sont continues par morceaux.

Supposons que pour tout { }, est la somme dune fonction ([ ]) et dune fonction telles que , on appelle ( ) cette proposition est une fonction continue par morceaux, avec un seul point de discontinuit en , daprs la premire partie il existe deux fonctions dans ([ ]) et dune fonction dans telles que . Montrons que ( ) entraine ( )

( ) Daprs ( ) o fonction ([ ]) et dune fonction .

( ) est la somme dune fonction continue et dune fonction continue par morceaux, cest donc une fonction continue par morceaux, est discontinue en et en , donc aussi, daprs la deuxime partie, on en dduit que est la somme dune fonction continue sur [ ], nulle en , et dune fonction en escalier,

( ) La rcurrence est montre, on lapplique

On a presque fini, pour tout [ ], avec on a

( ) ( ) ( ) Soit la fonction dfinie par

{ ( ) ( ) ( )

Donc pour tout [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

est une fonction en escalier et est continue sur [ ] et nulle en . Cest fini, il ne reste plus qu conclure. On vient de montrer que

([ ]) Comme

([ ]) { [ ]} On a bien

([ ]) Allez : Exercice 9


Remarque prliminaire, si est intgrable

(

)

( )

(

)

( )

(

)

Avec ( )

donc


17

[ ( )] ( ) ( ) ( )

( )

( )

(

)

Avec ( )

( ) , donc

( )

[

]

Dans cet exercice ne varie pas de (ou ) (ou ), il faut faire attention. On pose

( )

Ensuite rien nempche de renommer en .

( )

( )

( )

( )

(

)

Avec ( )

donc

[

( )]

( )

( ) ( )

Dans cet exercice ne varie pas de (ou ) (ou ), il faut faire attention.

(

)

Allez : Exercice 10

Premire mthode :

Attention cette dernire expression ne donne rien, si on coupe lintervalle [ ] en segments gaux la somme doit aller de (ou ) (ou ) cela ne va pas, si on coupe lintervalle [ ] en segments

gaux le pas de la subdivision est

cela ne va pas non plus car on devrait voir apparaitre (

) dans la

somme , si on coupe lintervalle [ ] en segments gaux le pas de la subdivision le pas est

et la

somme va de (ou ) (ou ), cest mieux mais le

devant la somme devient

,

[ ( )]

( )

( ) ( )

Allez : Exercice 10

Deuxime mthode

On coupe lintervalle [ ] en segments gaux, le pas de la subdivision est

, il faut arranger la

forme de cette somme :


18

( )

Le

devant la somme devient

( )

( )

[ (

)]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) ( )

(

)

( )

( )

(

)

Avec ( )

On fait le changement de variable.

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

On dcompose cette fraction en lments simples

( )

( )

Une petite ruse permet de ne pas se fatiguer

( )

( ) (

( ) )

(

( ) )

[ ( )]

( )

( )

Dans cette dernire intgrale on fait le changement de variable ( ) ( ) ( ( ))

( )

( )

( )

( ( ))

(( ( )))

( )

( )

( ( ))

[

( )]

(

(

)

( ))

Et enfin


19

(

)

Allez : Exercice 10


Pour [ [, donc

mais on na pas le droit dcrire

Mais on va essayer de le montrer, cest un peu technique.

Pour tout

|

| | (

)

| |

|

|

| |

| |

|

Dans la premire intgrale on majore par (

)

, par et au dnominateur on minore

par .

|

| (

)

(

)

Dans la seconde intgrale on majore par , par et au dnominateur on minore par

|

|

( (

))

Ensuite on choisit telle que

(

)

Comme

(On a choisit pour quil soit aussi petit que possible donc on peut sarranger

pour que

) par consquent

(

)

Ensuite on choisit telle que pour tout

(

)

On reprend les majorations et pour tout , il existe , tel que pour tout

|

|

Cest la dfinition de la limite

[ ]

Allez : Exercice 11


1. ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

[ ( ) ]

( ( ) )

Pour , [ ( ) ]


20

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

Donc

( )

Cest rat, cela donne une relation de rcurrence entre et , ce nest pas grave, pour :

2.

Montrons par rcurrence que pour tout { }

Or

( )

( )

Donc

On prend

Et

( )

Pour faire joli :

[ ( ) ( ) ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( )

( )

( )

En multipliant en haut et en bas par :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.

( )

( ) ( )

(( ) ( )

)

(( ) ( )

)

(( ) ( ) [

]

)

(( )

( ))

( )

( )

Daprs 2.

( )

( )

( )

( )

Allez : Exercice 12

Correction exercice 13. 1. Le problme est quapparemment il ny a quune fonction, si on fait comme dhabitude cest--dire

que lon intgre le on va faire apparatre un qui ne donnera rien de bon, la bonne ide cest dcrire de la faon suivante :


21

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ( ) ( )]

( ( ))( ) ( ) ( )

[ ( ) ( )]

( ) ( ) ( )

(

) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Donc

( ) ( )

2. On pose ,

En fait il faudrait faire une rcurrence (mais cest assez vident). Et

( )

On pose

Et

( )

[ ( )]

(

) ( )

3. Pour [

]

( ) ( ) ( )

En intgrant entre et

( )

( )

Ce qui montre que ( ) est strictement positive et dcroissante. 4. On dduit de la question prcdente que la suite ( ) est convergente (dcroissante et minore par

). Si cette limite est non nulle, cest fini, et entraine que , seulement voil pour linstant rien nempche cette limite dtre nulle, auquel cas on ne peut pas conclure que , et au point o jen suis jai bien limpression que la limite est nulle (mais rien ne me permet de laffirmer !).

Reprenons lgalit


22

En faisant tendre vers linfini on trouve que :

Autrement dit Remarque :

On ne connait toujours pas la valeur de la limite.

5. On ne connait que et , alors on va envisager deux cas, , puis .

(

) (

)

( )

( ) (

) (

)

Donc

6.

Donc

Car . Remarque :

Jai bien eu raison de me mfier parce que la limite de est bien nulle. (En fait, je le savais mais je ne vous lavais pas dit pour mnager le suspense).

Commentaires :

Ces intgrales sont connues sous le nom de intgrales de Wallis

Allez : Exercice 13


1. Il faut majorer

, il y a deux options, soit majorer le numrateur, soit minorer le dnominateur, et on

doit pouvoir trouver une primitive du majorant. , je ne vois pas mieux, et alors

[ ( )] ( )

Et l on est coinc, il ny a plus de , et la valeur gauche et droite sont distinctes cela ne donne rien.

On va minore le dnominateur

, il y a deux possibilits :

Pour tout

[

]

Donc Ou

Pour tout

[

]


23

Donc Je prfre la premire possibilit, mais les deux marchent.

2.

( )

[

]

3.

( )

( ) ( )

( )

En intgrant entre et .

( )

(

( )

)

( )

( )

( ) [

]

[ ( )] ( )

( )

( ) ( )

Or

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Donc

( )

( ) ( ) ( )

Allez : Exercice 14

Correction exercice 15. 1.

( )

A laide dune intgration par partie

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

[ ( )]

( ) ( ) ( )

2. pour

( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

( ( ))


24

( ( ))

[ ( ( )) ]

( ( ))

Pour

( ( ) ) ( ) ( )

3.

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) )

( ( )) ( )( )

( ( )) ( )

( )

Montrons par rcurrence sur que

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )

( ( ))

( ( ) ( ) ( ) ( ))

( )

( ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ))

( )

( ( )) ( ) ( )

( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ))

( )

( ( )) ( ) ( )

Allez : Exercice 15


Il faut crire

( ) en produit de deux fonctions donc on connait une primitive de lune de ces

fonctions. Pour .

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ))

[ ( )

( )]

( )( )

( ) ( ( ))


25

[ ( )

( )]

( )( ) ( ) ( ( ))

(

)

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) [

( )

( )

]

( )

( )[ ] ( )

( ) ( ) Donc

( ) ( )

( ) Par rcurrence approximative

( )

( )

(( )

)

( )

( )

Si , par une rcurrence (que je nai pas envie de faire)

( )

( )

( )

Avec

Si , par une rcurrence (que je nai pas envie de faire)

( )

( )

( )

Avec les rgles de Bioche on voit que lon peut faire le changement de variable ( )

( )

( )

( )

( )

( )

On pose ( ) ( ) ( )

(

)


26

( )

( )

(

)

[ ( ) ( )]

[ (

)]

( (

) (

))

(

)

Allez : Exercice 16


( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

( ( ))

[ ( ( )) ]

( ( ))

[ ( ( )) ]

( ( ))

( ( )) ( ( ))

( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ( )) ( )( )

(

) ( ) ( )( )

(

( )

( ) ) ( )

( )

Montrons par rcurrence sur que :

( )

( )

( )

( )

Pour , cest lgalit . Si

( )

( )

( )

( )

Alors, comme ( )

( )

( )

( )

( ) ( ( ) )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( )) ( )

La relation est vrifie donc elle est vraie pour tout , appliquons ce rsultat

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Avec


27

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Allez : Exercice 17


1.

( ) ( ) ( )

( )

( ( ))( )

( )

( )

( )

Par consquent

( )

( )

2. est continue et est drivable donc est drivable.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

est nulle sur lintervalle donc est constante.

3.

( )

( ) ( ) ( )

La seconde galit vient du fait que est constante, la troisime vient du 1.

Allez : Exercice 18


1. On pose ( ) ( ) pour tout . Cette fonction est sur , on peut appliquer la formule

de Taylor-Lagrange nimporte quel ordre, donc avec un reste lordre 2.

( )

( )

( )

Il existe ] [ tel que

( ) ( ) ( )

( )

( )

Il est clair que ( ) et dautre part

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Lingalit de droite montre que ( )

. On a donc montr les deux ingalits.

2. Pour tout ] [

Comme

( ) est le produit de deux rels positifs ( et ),

( )


28

( )

( )

[ ( )] ( )

( )

( ) ( ) ( ) (

)

(

) ( ) [ ( ) ]

( ) ( ) ( ) ( ) (

)

Ce qui est bien lingalit demande.

(

) (

) ( )

( ) ( )

Par consquent

( ) ( )

3. Pour tout

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4. entraine que et que ( ) , donc ( ) , est une fonction strictement

croissante sur ] [ et ( ) ( ), par consquent, pour tout , on a ( ) ( ).

Allez : Exercice 19


Premire partie

1. Si alors et si alors ( ) donc ( )

2.

( )

( )

Est continue et est drivable donc est drivable.

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ( ) )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

3.

a) La formule de Taylor Lagrange pour la fonction entre et dit quil existe ] [ tel que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )


29

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Comme ( )

, on a bien

( )

( )

b) On divise par ( )

( )

( )

Comme on intgre

(

)

( )

[ ( )

]

( ) [ ( )]

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

On fait tendre vers et on trouve que

( ) ( )

Allez : Exercice 20

Deuxime partie

1.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ( )

]

( )

( )

( ) [

( )

]

( )

( )

( )

Or

( )

On multiplie par , puis

[

]

On multiplie par , puis

[

]

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

2.


30

( ) [ ( )

( ) ( )]

( )

( ) ( ) (

( )

( ) ( ))

( )

( )

( ) ( ) (

)

( )

( )( )

( )

( ) (

( )( )

)

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Allez : Exercice 20


1. est continue sur donc est de classe sur . Comme et sont continues sur , est

continue sur et et ( ) ( )

est de classe sur , de plus est continue sur et

( ) est de classe sur par consquent est de classe sur .

2. Comme , ( ) alors ( )

, autrement dit

( )

Ce qui entraine que ( )

3.

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ( )) ( ))

[ ] ( )

Dautre part, comme est dcroissante ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) , de plus pour

[ ] ( ) donc ( ) ( ) ( ( ( )) ( )) .

On en dduit que est croissante sur .

4.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Et est croissante donc ( )

Donc

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Allez : Exercice 21


1. est continue donc ( )

est drivable, est strictement monotone et continue donc admet

une bijection continue et est drivable donc ( ) ( )

est drivable et enfin ( )

est drivable, ce qui fait de une fonction drivable.

2. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )


31

est donc constante sur un intervalle donc pour tout [ ],

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Allez : Exercice 22


1. ( ) ( )

( )

[ ( ( )]

( ( )) ( )

2.

a)

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

On doit faire le changement de variable (

)

b) ( ) donc

, ( )

(

)

(

)

, si alors (

) et si

alors (

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

[ ( )] (

) (

)

( (

)) (

)

(

) (

)

( (

))

car

]

[

3. ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Donc ( ) ( ) (

)

Allez : Exercice 23


1.

est continue sur , est de classe sur . Donc est de classe sur , donc

drivable.

2. Pour tout .

( )

( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )


32

Donc ( ) a le mme signe que .

Si ] [ est dcroissante.

Si ] [ est croissante.

Si ] [ est dcroissante.

En intgrant entre 1 et 2, on trouve que

( )

3. ( ) , ( )

donc ( )

( ) et une quation de la tangente est

4.

et donc

On en dduit que ( ) [

]

et que ( )

5.

( )

( )

( )

Et il est clair que

( )

Comme , on a

(

)

[

]

On multiplie tout cela par

( )

Do ( )

Dautre part, ( ) (

( )) [

]

( )

( )

Donc ( )

, o encore ( )

.

6. Daprs la question 2)

( )

, ( ) est en gros compris entre

et

si on approxime

avec 2.

Allez : Exercice 24


1.

est dfinie et continue sur , est drivable sur donc est dfinie, continue et

drivable sur .

2.


33

( )

( )

( ) ( )

( )

est impaire.

3.

Et entraine que

[

]

Par consquent

( )

4.

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Donc

{ ( )

{

{

Allez : Exercice 25


1. Si , et pour tout [ ],

est continue donc est de classe .

Si , et pour tout [ ],

est continue donc est de classe .

Donc pour tout , est drivable.

2.

a) est suffisamment drivable pour admettre une formule de Taylor Lagrange lordre .

Il existe dans lintervalle , cest- dire ] [ si et ] [ si (donc dans ] [ tel

que

( ) ( ) ( ) ( )

b) Comme on a : et donc

Dautre part


34

Ce qui entraine que

c) Si alors

(

)

( )

( ) ( )

[ ( )]

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Lorsque tend vers ,

et tendent vers donc ( ) tend vers ( ) ( ) ce qui montre

que est continue droite.

Si alors

(

)

( )

( )

[ ( )]

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Lorsque tend vers ,

et tendent vers donc ( ) tend vers ( ) ( ) ce qui montre

que est continue gauche.

Finalement est continue en .

3.

( )

( )

( )

( ( ) )

( ( ))

( ( ))

( )

( ( ))

Le graphe de admet une tangente oblique en de pente .

4. Si alors et donc ( )

Si alors et donc ( )

Si alors ( )

est dcroissante sur

5.

Donc, puisque si ,

[ ] ( )

( )

6. Il existe ] [ tel que

Car , puis on rajoute de chaque ct pour obtenir

On multiplie cette ingalit par

Ensuite on intgre entre et , car pour ,


35

(

)

( ) [ ( ) ] ( )

( ) ( ( ) ) ( ) (

) ( ) ( )

(

) ( )

Comme

( )

On a

( )

7.

Allez : Exercice 26


1. Si et , est le quotient de fonctions continues donc est continue.

Pour , on fait le changement de variable , ,

( ) ( )

( )

( )

( ) donc ( ) ( ( )) ( )

est continue, lintgrale est faussement impropre.

2. Si , ( ) et donc ( )

Si , ( ) et donc ( ) .

Si , ( )

Donc pour tout , ( ) .

3. Si alors , comme ( ) , ( ) .

Si alors , comme ( ) , ( ) .

4. est continue et est de classe donc est de classe

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Comme ( ) et que car , ( ) a le mme signe que .

Si

, ( ) et est dcroissante.

Si

, ( ) et est croissante.

Allez : Exercice 27

( )


36


1.

( )

( )( )

( )

Je multiplie par , puis

[

]

Je multiplie par , puis

[

]

Donc

( )( )

|

|

2.

donc

( )

|

|

|

|

3.

( ) ( )

[ ( )]

( ) ( ) |

|

( ) ( ) ( ) ( )

a chang en cours de route, est-ce bien grave ? Jai enlev les valeurs absolues parce que jen ai le

droit.

4. ( )

nest pas dfinie en et , donc cette fonction nest pas continue, il sagit dune intgrale

gnralise en et en .

5. En . ( )

( ),

( ) et

, donc lintgrale converge en .

En , on pose , , ( )

( )

, lintgrale est faussement impropre

(gnralise) en donc lintgrale converge en .

6. ( ) ( ) ( ))


37

( ) ( )(

( )) ( (

( )))

( ) ( ) ( ( )) (

( ))

( ) ( ) ( ( )) ( (

( )))

( ) ( ) ( ( )) ( ) (

( ))

( ) ( ( )) (

( ))

Comme ( ) , ( )

( (

( ))) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

7.

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( )

( ) ( )

Clairement ( ) et ( ) ( ) ( )

Donc ( ) ( ) ( )

Allez : Exercice 28


Premire partie

1. On pose

, Pour , ( )

( )

Car lexponentielle lemporte sur les fonctions polynmes.

2. On peut faire le mme changement de variable qu la question 1) ou remarquer que ( ) ( )

do lon dduit que : ( ) ( ) ( )

Donc est continue en , pour , est continue en tant que compose de fonctions continues.

( )

( )

Donc, en utilisant la premire question ( ) , comme de plus est continue en , on en

dduit que est drivable en et ( ) ( ) . (Et mme de classe ). Pour ,

est drivable en tant que compose de fonctions drivable.

Pour , ( )

( ) donc ( ) ( )

Pour , ( ) et ( ) , il y a aussi galit.

3. Pour , ( ) donc est dcroissante.

Pour , ( ) donc est croissante.

Ltude des points dinflexion nest plus vraiment au programme, mais je rappelle que le graphe dune

fonction deux fois drivable admet un point dinflexion si et seulement si la drive seconde sannule en

changeant de signe.

Pour , ( )

(

)

( )


38

Pour , ( ) ( ) ( ) donc sa limite en est nulle.

Il y a trois valeurs qui annulent ( ),

, et

,

Pour proche de et non nul, il est clair que ( ) donc il ny a pas de points dinflexion en .

Par contre change de signe en

, donc admet un point dinflexion en chacun de ces

points.

Allez : Exercice 29

Deuxime partie

4.

( )

( ) ( )

( )

Je fais le changement de variable dans lintgrale, , ( ) ( )

( ) ( )

Si alors et si alors donc

( )

( ) ( )

( )( )

( )

est impaire.

5.

Pour , est croissante donc entraine ( ) ( ) ( )

Jintgre entre et :

( )

( )

( )

( )

6. Je multiplie ces ingalits par

:

( )

( )

Je fais tendre vers , jen dduis que ( ) ( ), est continue en .

Comme est impaire la limite en est ( ).

Pour , continue entraine ( )

est drivable donc continue. Pour

est

continue, est le produit de deux fonctions continues, est continue.

7. ( )

est drivable (on la dj vu) et

est drivable pour , donc est drivable.

On calcule ( ) pour , ( )

( )

( )

( )

8. (1) est ( ) ( ) en changeant en .

Donc ( )

( )

Jintgre la seconde intgrale par partie (en intgrant ( ) et en drivant )

( )

[ ( )] ( )

( ) ( )

Cest bien ce quil fallait montrer. (il reste diviser par )

Je vais tenter quelque chose de classique mais qui ne permet pas de conclure.

( )

( )

( ( ) ( )

)

( )

( )

Jaurais aim pouvoir calculer la limite de ( ) en mais la limite de

( )

na rien de simple,

si javais trouv cette limite jaurais conclu de la faon suivante :

( ) admet une limite en et est continue en donc est drivable en (et mme ).

Dans ce cas la bonne solution est de revenir la dfinition de la drive, cest--dire au taux de

variation.


39

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Il reste calculer la limite en de ( )

( )

( ), on pourrait appliquer la rgle de lHospital,

mais on a vu que pour on a ( ) ( ), donc pour , ( )

( )

( )

Par consquent : ( )

( )

, do lon dduit que la limite en de

( ) ( )

est nulle, tant

impaire, on en dduit quen la limite est aussi nulle.

On en dduit que est drivable et que ( ) .

Remarque :

On ne peut pas conclure que est en .

9. ( )

( ) est une forme indtermine lorsque , si

( )

( ) admet une limite en cest la mme que celle

de ( )

( ).

( ) ( ) et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Donc ( )

( ) admet une limite en qui est la mme que celle de

( )

( )

( )

( )

Or ( )

( )

( )

( )

( )

( )

, donc

( )

Cette limite scrit aussi ( )

( ) avec ( )

En multipliant par on obtient : ( )

( )

Cest le dveloppement limit de lordre .

Allez : Exercice 29

Exercices Corriges Integration

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