Exercices Corriges Polynomes Fractions Rationnelles

Polynmes et fractions rationnelles Pascal Lain

1

Polynmes et fractions rationnelles

Exercice 1.

Factoriser dans [ ] et dans [ ] le polynme

Allez : Correction exercice 1

Exercice 2.

Soit

Factoriser dans [ ], puis dans [ ] et enfin dans [ ]


Exercice 3.

Soit ( ) . On note

1. Montrer que

2. Montrer que est une racine multiple de .

3. Trouver deux racines relles videntes de .

4. Factoriser en facteurs irrductibles dans [ ] et puis dans [ ].


Exercice 4.

Dterminer les racines relles et complexes du polynme :

( )

En dduire sa factorisation dans [ ] et dans [ ].


Exercice 5.

Soit

1. Factoriser dans [ ].




Exercice 6.

Dterminer les racines relles et complexes du polynme :

( )

En dduire sa factorisation dans [ ] et dans [ ].


Exercice 7.

Soit [ ] dfini par

1. Dterminer les racines de .

2. Factoriser dans [ ], puis dans [ ].



2

Exercice 8.

1. Soit un polynme.

Factoriser ce polynme dans [ ] et dans [ ].

2. Soit

( ) ( )

Dterminer les racines relles et complexes de .


Exercice 9.

Soit

On pose

1. Montrer que est une racine multiple de .




Exercice 10.

Soit [ ] dfini par

1. Montrer que

est une racine multiple de .

2. En remarquant que est un polynme pair, donner toutes les racines de ainsi que leur multiplicit.

3. Factoriser dans [ ], puis dans [ ].


Exercice 11.

Soit

1. Montrer que est une racine double de

2. Factoriser dans [ ]


Exercice 12.

1. Dterminer les racines relles et complexes de ( )

2. Soit et soit [ ] dfini par

( )

Dterminer pour que admette une racine relle multiple.


Exercice 13.

1. Le polynme , est-il irrductible dans [ ] ?

2. Le polynme , est-il irrductible dans [ ] ?


Exercice 14.

Dterminer les rels , et tels que soit factorisable par

( )( )



3

Exercice 15.

Pour , montrer que le polynme ( ) est divisible par


Exercice 16.

Soit

( )

On pose [ ] avec

Pour quelles valeurs de ,

est-il racine de ?

On pourra discuter selon les valeurs de .


Exercice 17.

Dterminer le reste de la division euclidienne de ( ) par .


Exercice 18.

Quel est le reste de la division euclidienne de par ( ) ?


Exercice 19.

Soit [ ] le reste de la division euclidienne de ( ) par ( ) .

Dterminer .


Exercice 20.

Quel est le reste de la division euclidienne de par ( ) , pour , .


Exercice 21.

Dterminer le reste dans la division euclidienne de par


Exercice 22.

1. Montrer que pour tout , est divisible par .

2. En dduire que le polynme avec , , et entiers naturels est

divisible par .


Exercice 23.

Soit un polynme de [ ], on note , et ses racines.

1. Calculer .

2. Calculer .

3. Calculer .

4. On pose

Calculer en fonction de .



4

Exercice 24.

Soit [ ] un polynme tel que ( ) ( ) ( )

1. Montrer que et sont racines de .

2. Soit une racine de . Si , montrer que est racine. Si , montrer que est racine.

3. On suppose que nest pas le polynme nul. Montrer que et sont les seules racines de .

Indication :

Sil existe une racine telle que ( ) diffrente de 0 ( ), montrer quil y a une infinit de

racines.

Sil existe une racine telle que ( ) diffrente de 1 ( ), montrer quil y a une infinit de

racines.

4. En dduire que est de la forme ( ) avec [ ], et .

5. Quel est lensemble des polynmes de [ ] tels que ( ) ( ) ( ).


Exercice 25.

Effectuer la division suivante les puissances croissantes de par lordre .


Exercice 26.

On considre le couple de polynme coefficients rels

1. Utiliser lalgorithme dEuclide pour calculer le ( ).

2. Dcomposer et en facteurs irrductibles dans [ ].

3. Retrouvez le rsultat de la question 1.

4. Dcomposer en facteur irrductible dans [ ].


Exercice 27.

Soient et

Dterminer le de et et en dduire les racines communes de et .


Exercice 28.

Dterminer une identit de Bzout entre les polynmes ( ) et .


Exercice 29. 1. Dterminer une identit de Bzout entre les polynmes

2. En dduire les racines communes de et .


Exercice 30.

Soit

1. Calculer le PGCD de et .

2. Quelles sont les racines communes et ?

Quelles sont les racines multiples de dans ?

3. Montrer que ( ) divise .



5


Exercice 31.

Soit un entier strictement positif. 1. Dterminer le pgcd des polynmes et ( ) . 2. Pour dmontrer qu'il existe un couple de polynmes ( ) tel que :

( ) ( ) Donnez-en un.


Exercice 32.

1. Dterminer le et une identit de Bzout des polynmes et .

( )( )

( )( )

2. Factoriser et .


Exercice 33.

Soit

( ) ( ) ( )

1. Trouver une solution particulire [ ] de ( ).

2. En dduire toutes les solutions de ( ).

3. Dterminer tous les polynmes tels que soit un multiple de ( ) et que soit un

multiple de ( ) .


Exercice 34.

Soient et deux polynmes dfinis par :

( ) et ( )

Dterminer le PGCD de et et en dduire les racines communes de et ainsi que leur multiplicit.


Exercice 35.

Quels sont les polynmes de [ ] tels que divise .


Exercice 36.

Soit ( )

On pose

1. Montrer quil existe un polynme , de degr tel que ( ) ( )

.

2. Calculer les racines de .

3. En dduire les racines de , puis la factorisatistion de dans [ ] et dans [ ].


Exercice 37.

Soit , on suppose que ( ) .

1. Dterminer toutes les racines du polynme


6

( ) ( )

2. Montrer que toutes les racines sont relles.


Exercice 38.

Dcomposer en lments simples la fraction rationnelle dans ( ) :

( )


Exercice 39.

Dcomposer en lments simples la fraction rationnelle :

( )

( )( )


Exercice 40.

Dcomposer en lments simples la fraction rationnelle :

( )

1. Dans ( )

2. Dans ( )


Exercice 41.

Soit

( )( )

Dcomposer en lments simples dans ( ), dans ( ).


Exercice 42.

Dcomposer la fraction rationnelle suivante dans ( ).

( )


Exercice 43.

Dcomposer la fraction rationnelle suivante en lments simples.

( )


Exercice 44.

Dcomposer la fraction suivante en lments simples dans ( ).

( )


7


Exercice 45.

Dcomposer la fraction rationnelle suivante dans ( ) et dans ( )

( )


Exercice 46.

1. Soit

. Si est une racine simple de , montrer que le coefficient de llment simple

est

( )

( ).

2. Dcomposer dans ( ) la fraction


CORRECTIONS

Correction exercice 1.

Dans [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dans [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

Allez : Exercice 1


Premire mthode

( ) ( )( ), ( ) se dcompose facilement en

( )( )( )( ) ( )( )( )( ), mais pour dcomposer ,

cest beaucoup plus dlicat, il faut utiliser une bonne ruse, allons-y

( ) ( ) ( )( )

et sont deux polynmes irrductibles

dans [ ] car leur discriminant sont ngatifs. Donc la dcomposition de ( ) dans [ ] est :

( ) ( )( )( )( )( )

Pour la dcomposition dans [ ] il suffit de trouver les racines complexes de et

Le discriminant de est ( ) ( )

, ses racines sont

et

.

Le discriminant de est ( ) ( )

, ses racines sont

et

.

( ) ( )( )( )( ) (

) (

) (

) (

)

Deuxime mthode

On cherche les racines relles et complexes de

avec


8

Ce qui donne ,

,

,

, ,

,

,

La dcomposition dans [ ] est :

( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

Pour la dcomposition dans [ ], on regroupe les conjugus

( ) ( )( )( )( ) ( ) (

) (

) (

)

( ) ( )( )( ) ( (

)

) ( (

)

)

( )( )( ) ( (

) ) ( (

) )

( )( )( ) (

) (

)

( )( )( )( )( )

Dans [ ] on regroupe les deux derniers polynmes

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( ) (( ) ( ) )

( )( )( )( )

Allez : Exercice 2


1.

(

)

(

)

(

)

Ou mieux

Car (

)

.

2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) Donc est au moins racine double.

3. ( ) ( ) et ( ) ( ) ( ) ( ) Donc et sont deux racines videntes.

4. Le dbut de la formule du binme de ( ) est (il y a plein dautre terme mais il est inutile de les calculer) donc est un polynme de degr et son coefficient dominant est .

Dautre part, est racine double (au moins) donc est aussi racine double (au moins) car est un polynme coefficients rels. et sont aussi racine, cela donne racine (au moins), comme on a toutes les racines. La factorisation dans [ ] est :

( )( ) ( )

Dans [ ] : ( )( ) ( )( ) ( )

Donc

( ) (( )( )) ( )( )


9

Allez : Exercice 3


( ) {

{

{

Or

avec

Ce qui donne ,

,

, ,

,

Les 5 racines de sont , , ,

et .


( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )


( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ( ) )( ( ) )

( )( )( )

Allez : Exercice 4


1.

Pour

Les racines de vrifient {

{

,

,

, ,

,

et

Donc

( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

2. On rappelle que

( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) (

) (

) (

)

( )( ) ( (

) ) ( (

) )

( )( )( )( )

3.

( )( )( )( ) ( )( ) (( ) ( ) )

( )( )( ) ( )( )( )

Allez : Exercice 5


10


( ) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

{

(

)

{ (

)

{(

)

Or (

)

avec donc

Ce qui donne ,

,

, ,

,

Les 5 racines de sont , , ,

et . On a enlev .


( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )


( )

( )( )( )( )( )

( )( ( ) )( ( ) )

( )( )( )

Allez : Exercice 6


1.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Pour

Les racines vrifient

{

{| | | |

( )

{| |

( ) ( )

{

| |

( )

{

On limine

2. Dans [ ]

( ) (

) (

) (

)

Dans [ ]

( (

) ) ( (

) )

Allez : Exercice 7


11


1. ( ) ( ) ( )( ) dans [ ]

( )( )( ) dans [ ]

2. Si .

( )

( )( )

( )

( )

Les racines de vrifie ( ) et .

( ) {( )

{

{

Allez : Exercice 8


1.

( )

( )

( )

( )

Donc est racine double, comme est un polynme coefficients rels, est aussi racine double.

On peut essayer de voir si ne serait pas racine triple (mais cela ne marche pas).

2. Soit on a lintuition de voir que est racine (et que donc est aussi racine), soit on ne le voit pas et il

faut diviser par

( ) ( ) (( )( ))

( )

( ) ( ) ( )( )

3.

( ) ( )

Allez : Exercice 9


1.

( ) ( )

est une racine de

( ) ( )

est racine au moins double, est donc une racine multiple.

2. Comme est pair, est aussi une racine double, ce polynme est coefficients rels donc est

racine double et est aussi racine double, cela fait racines en tout (en comptant la multiplicit


12

de racines), comme ce polynme est degr , on les a toutes. Le coefficient dominant est , on en dduit

la factorisation dans [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

Dans [ ]

[( )( )] [( )( )] [ ] [ ]

Allez : Exercice 10


1.

( ) ( )

( ) ( )

Donc est une racine double de .

2. La somme des racines de est

, si on appelle la troisime racine on a

(

)

Donc

( ) (

)

Allez : Exercice 11


1.

( ) (

)

Il est clair que nest pas racine. Mais attention ( ) est un polynme de degr

( ) (

)

La racine en trop est celle qui aurait vrifi

qui na pas de solution, on enlve donc .

( ) (

)

Les cinq racines sont

( ) (

)

(

) (

)

( )

2. Pour que admette une racine multiple relle (donc au moins double), et ont une racine relle

commune.

( )

Les racines relles et complexes de vrifient ( )

On cherche les racines relles donc (

) ce qui quivaut (mais on a limin ce cas) et


13

( )

( )

ademt une racine double si et seulement si (

) .

(

) (

)

(

)

Et alors

( )

Allez : Exercice 12


1. La rponse est non car les seuls polynmes irrductibles sont les polynmes de degr et les polynmes

de degr qui nont pas de racines relles. La question ne demande pas de factoriser ce polynme.

2. Les limites de la fonction polynmiale dfinie par ( ) en vaut et en vaut

, cette fonction est continue, donc le thorme des valeurs intermdiaires entraine quil existe tel

que ( ) . admet une racine relle. Ceci dit le mme raisonnement quau 1) est valable aussi.

Allez : Exercice 13


est factorisable par ( )( ) si et seulement si ,

et sont racines de .

{

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

{ ( )

{

entraine que donc

Et entraine que donc :

On remplace dans : donc :

entraine que donc et donc

Finalement

Allez : Exercice 14


est divisible par si et seulement si les racines de sont aussi des racines de .

Le discriminant de est donc les deux racines de sont :

Remarque : ( ) ( )

Donc les racines du polynme vrifient

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Comme est un polynme coefficients rels, est aussi racine.

On conclut que divisise ( ) .

Allez : Exercice 15


14


( ) ( ) ( ) ( )

Si

( )

Si

( )

Si

( )

Si

( )

Si

( )

Si

( )

Allez : Exercice 16


Il existe [ ] tels que

( ) ( )

Avec donc il existe tels que , ce qui entraine que

Prenons

( )

On drive ( )

( ) ( )

On prend

On en dduit que

( )

Et finalement

( )

Allez : Exercice 17


( ) ( )

Or et donc .

On pose .

( ) ( (

))

( ) (

)

( )

( ) ( (

) (

)) {

( ) (

)

( ) (

)

Donc

( ) (

) ( )

(

)

Allez : Exercice 18


15


Il existe un unique couple ( ) de polynmes, avec tels que :

( ) ( )

Il existe et rels tels que

( ) ( ) ( )

On pose

On drive ( )

( ) ( ) ( )

On pose

Donc

Finalement

Allez : Exercice 19


Il existe et tels que :

( )

Avec . Donc il existe et tels que :

( ) ( )

En drivant on trouve

( )[ ( )

] ( )

On fait dans ( ) et dans ( ).

{

{

( ) ( )

Donc

( ) ( )

Allez : Exercice 20


Il existe et tels que et donc degr de est infrieur ou gal 1 on a

alors o et sont des rels.

( ) ( ) ( ) ( ) car ( )

Si ( )

{

( )

Donc ( )

Si

( )

{ ( )

Donc ( )

Allez : Exercice 21


16


1. Les quatre racines de , cest--dire vrifie donc

( ) donc ces racines sont des racines de , on peut mettre en

facteur dans ce polynme.

2.

Premire mthode :

Daprs la premire question il existe , , et tels que :

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

Donc

( ( ) ) ( (

) ) ( ( ) ) (

)

( )[

]

( )( )[

]

( )(( )(

) )

Deuxime mthode :

[ ] [ ]

Donc

[ ] [ ]

Donc il existe tel que

( )

( )(( ) )

Allez : Exercice 22


1. On rappelle que , et

( ) ( )

Donc

2. entraine que , idem pour et .

( )

3.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Allez : Exercice 23


1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Donc 0 et 1 sont des racines de .


17

2. Soit tel que ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

est une racine de .

Soit tel que ( ) .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Donc ( ) , est une racine de .

3. Supposons que admette une racine telle que ( ) diffrente de 0 alors est racine,

est diffrent de 0, donc est aussi racine, on en dduit aisment que pour tout , est

racine de , ce qui voudrait dire que admettrait une infinit de solution or un polynme non nul admet

un nombre fini de solutions.

Supposons que admette une racine telle que ( ) diffrente de 1 alors est racine,

est diffrent de 1, donc est aussi racine, on en dduit aisment que pour tout , est

racine de , ce qui voudrait dire que admettrait une infinit de solution or un polynme non nul admet

un nombre fini de solutions.

0 et 1 sont les deux seules racines de si nest pas le polynme nul.

4. Si nest pas le polynme nul, comme 0 et 1 sont les seules racines de il existe tels que

( ) , et si alors ( ) (cest--dire que ).

5. Si vrifie ( ) ( ) ( ) alors est de la forme ( ) , il faut tudier la

rciproque, cest--dire chercher parmi ces polynmes lesquels sont effectivement solution.

On remplace ( ) dans ( ) ( ) ( ), on trouve que :

( ) ( ) ( ) ( )

Les puissances en sont les mmes donc .

Les puissances en sont les mmes donc

On vrifie qualors les puissances en sont les mmes, finalement

( )

Allez : Exercice 24


( )( ) ( )

Allez : Exercice 25


1.

( ) ( )


18

( )( )

( )

2. est un diviseur de (et de bien sur) donc on peut mettre en facteur dans .

Comme est irrductible dans [ ], la factorisation de est :

( )( )

Et il est vident daprs la deuxime division de lalgorithme dEuclidienne

( )( )

3. Il est alors clair que

( )

4. Les deux racines complexes de sont

et

Donc

( )( )( )

Allez : Exercice 26


On peut liminer le dans

Donc le de et est

Les racines communes de et sont celles de , cest--dire et .

Allez : Exercice 27


19


( ) ( )

(

)

( ) ( ) (

) ( ) (( ) ( )) (

)

(

) ( ) (

) ( )

Allez : Exercice 28


1.

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

2. Les racines communes de et sont celles de leur , cest--dire celles de

soit

et

.

Allez : Exercice 29


20


1.

Pour viter les fractions on remarque que

( )

Pour viter les fractions on remarque que

( )

Le PGCD de et est .

2. Les racines communes et sont et , les racines multiples de sont et . Ce sont au moins

des racines doubles. Ce ne sont pas des racines triples car sinon auraient 6 racines en comptant leurs

multiplicits.

3. est divisible par ( ) ( ) [( )( )] [ ] .

4. il reste diviser par ( ) et on trouve, aprs calculs, , donc

( ) ( )

Allez : Exercice 30


1. ( ) na quune racine , or est racine simple de donc

(( ) ( ) )

2. Daprs le thorme de Bzout il existe ( ) tels que :

( ) ( )

Cette quation quivaut :

( ) ( )

Car ( )( ) et ( ) ( )( )

Donc


21

( ) ( )

Donc

( ) (

)

On en tire que :

( ) ( ) (

)

(( ) ( )) (

)

(

) ( ) ( (

)) ( )

(

) ( ) (

) ( )

Donc

Et

Allez : Exercice 31


1.

( ) ( )

( ) (

)

( ) (

)


22

Donc

( )

On trouve une identit de Bzout de la faon suivante :

( ) (

)

( ( ) ) (

)

( ) ( (

))

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

Puis il reste diviser par

( ) (

) ( ) (

)

2. En divisant par , on trouve :

( )( )

Il reste factoriser , ce polynme a deux racines relles et donc

( )( )( )

En divisant par , on trouve :

( )( )

Il reste factoriser , ce polynme a deux racines relles et donc

( )( )( )

Allez : Exercice 32


1. Je vais juste crire les rsultats des divisions successives de lalgorithme dEuclide

( )

(

)

On en dduit une identit de Bzout

( ) (

) ( ) (

) (( ) ( ) )

(

) ( ) (

) ( )

On note

2. On a

{( ) ( )

( ) ( )

En faisant la soustraction de ces deux quations

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


23

( ) divise ( ) ( ) comme ( ) et ( ) sont premiers entre eux (ils nont

aucune racine en commun), daprs le thorme de Gauss ( ) divise ( ), il existe

[ ] tel que

( ) ( ) ( )

On remplace dans ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Lensemble des couples ( ( ) ( )

) avec [ ] quelconque sont les

solutions de ( ).

3. On cherche les polynmes qui sont de la forme

{ ( ) ( )

O et sont deux polynmes.

En faisant la soustraction de ces deux galits

( ) ( ) (

) ( )

(

) ( )

Daprs la deuxime question, il existe [ ] tel que

{

( )

( )

{ ( )

( )

Ce qui entraine que

( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( )

( ) (

) ( ) (

) ( )

On pose aussi . Par consquent

( ) [ ]

Il faut faire une rciproque

admet comme racine double (cest facile vrifier) et comme racine simple.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [

( ) ( ) ]

admet comme racine double (cest facile vrifier) et comme racine simple.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [

( ) ( ) ]

La rciproque est vrifie

Allez : Exercice 33


24


( ) ( ) ( )

Donc ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

Les racines complexes communes et sont 1 de multiplicit 1 et de multiplicit 2.

Allez : Exercice 34


On pose .

divise si et seulement si il existe un polynme tel que :

Donc admet une racine complexe .

On pose et (avec ) alors

En identifiant les coefficients dominant on trouve que :

Premire mthode :

La formule de Taylor pour le polynme en donne

( )

( ) ( ) ( )

Donc

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

En changeant en .

Comme est un polynme de degr dont est une racine donc

( )

On remplace ces deux expressions dans .


25

( ) ( ) ( )

( )[ ( ) ( ) ]

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

{

{

Donc

( )

Deuxime mthode :

En drivant , et on rappelle que

(

)

Donc

En drivant (

)

(

)

(

)

Donc

( )( )

Pour tout . On montre par rcurrence que

(

) ( ) ( )

Et que

( )( ) ( ) ( )

On drive (

) ( ) ( )

(

) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )( ( )) ( )

Cette relation tant vraie au rang , elle est vraie pour tout .

On lapplique au rang :

( )( ) ( ( )) ( )


26

( ) ( ) (ce qui est important cest que cest une constante).

Peu importe la constante, il est clair que , comme est un polynme de degr 1, on peut crire

ce polynme sous la forme :

( )

Allez : Exercice 35


1.

( )

Comme

On a

( )

(

) (

) ( )

Les racines de sont et

Donc les racines de vrifient

{

{

{

Les racines de sont

Et celles de

sont

On en dduit la factorisation de dans [ ]

( ) (

) ( )( )

Et dans [ ]

( ) (

) ( )( )( )

Allez : Exercice 36


1. Comme ( ) , .

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)

(

)

(

) ( )

(

) ( )

( )

( )

Les racines de vrifient

( )

( )

( )

( )

(

)


27

( )

( )

Il faut quand mme vrifier que

( )

Ce qui nest pas possible daprs lnonc.

( )

Les racines de sont les complexes

avec

2.

(

)

(

)

Donc ces complexes sont des rels.

Allez : Exercice 37


( )

( )( )( )

Je multiplie par puis

[

( )( )]


[

( )( )]

Je multiplie par , puis tend vers linfini.

, donc

donc

Donc

( )

( )( )( )

Allez : Exercice 38


28


Le degr du numrateur est suprieur au degr du dnominateur, il faut diviser par

( )( )

( )

( )( )

( )( )

On pose

( )

( )( )

( ) ( )

( )

Je multiplie par ( ) puis

[

]


[

( ) ]

Je multiplie par puis tend vers linfini.

donc .

Donc

( )

( )

Allez : Exercice 39


1.

( )

( )( )( )


[

( )( )]


[

( )( )]

Je multiplie par , puis tend vers linfini.

, donc

donc

Donc

( )

( )( )( )

2. Il reste dcomposer dans [ ]

( )( )


29

Je multiplie par , puis .

[

]

( )( )

Donc

( )

( )( )( )

Allez : Exercice 40


( )( )

( ) ( )

On multiplie par ( ) , puis

[

]

Premire mthode

On multiplie par , puis

[

( ) ]

( )

Donc et

On prend dans ( )

Et donc

( )( )

( )

Deuxime mthode

dans ( )


dans ( )

( )

Et donc

( )( )

( )

Pour la dcomposition dans ( ), il suffit de dcomposer

, comme

( )( )

Il existe tel que

( )( )


[

]

(

)


30

( )( )

( )

Allez : Exercice 41


( )

( )

( )

( )

( )

Allez : Exercice 42


Il faut dabord diviser le numrateur par le dnominateur.

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

On pose alors

( )

( )

est un ple dordre du dnominateur on effectue alors la division suivant les puissances croissantes

de

par ( ) lordre

(Le est le de )

On en tire


31

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

On pose alors

( )

( )

( )

On multiplie par ( ) , puis .

[ ]


,

Donc

( )

( )

( )

Et alors

( )

( )

Allez : Exercice 43


Le degr du numrateur est strictement infrieur celui du dnominateur, pas de division.

La forme de la dcomposition est :

( )

( )

On multiplie par , puis .

[

( ) ]

On multiplie par ( ) , puis .

[

]

Donc et .

Ensuite ce nest pas simple, il manque encore coefficients.

On pourrait multiplier par puis faire tendre vers linfini, mais ensuite il faudra prendre deux valeurs

et bonjour les fractions pnibles, alors on va inaugurer une nouvelle technique qui sert dans des cas un

peu compliqus.


32

( )

( )

( )

( )

Jappelle

( )

( )

Cest une fraction rationnelle, daprs lunicit de sa dcomposition en lment simple, qui est, daprs

la ligne ci-dessus,

, on doit pouvoir, en rduisant au mme dnominateur, trouver que le

dnominateur de est ( ). On y va.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

( )

( )

On a donc

( )


[

]

On multiplie par , puis .

[

]

Donc et

Finalement

( )

( )

Allez : Exercice 44


Ensuite je diviserai par

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Avec , , et rels et et complexes.

Il est facile de trouver , et .

Je multiplie par ( ) , puis

[

( ) ( ) ( ) ]

[

( ) ( ) ]


[

( ) ( ) ( ) ]

[

( ) ( ) ]



33

[

( ) ( ) ( ) ]

[

( ) ( ) ]

( ) ( )

( )

est impaire donc ( ) ( ), soit encore : ( ) ( )

( ) (

( )

( )

( )

( ) )

( )

( )

( )

( )

( )

En identifiant les coefficients avec ceux de ( ), on a :

, , et

, on le savait dj, donc est rel et entraine que est un imaginaire pur, ce

que lon savait dj.

donne

( ) ( )

Car et

Cela donne ( ) ( ( ) ( )

Or donc ( ) autrement dit est rel.

Je multiplie par , puis je fais tendre vers .

Donc

Comme , , et

On a :

( )

( )

( )

( )

( )

Ceci tant vrai pour tout , je prends .

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Donc

( )

( )

( )

( )

( )

Il reste diviser par :

( )

( )

( )

( )

( )

Ensuite pour dcomposer dans [ ] il faut runir les conjugus.

( )

( )

( )

(

)

(

( )

( ) )


34

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Je vais maintenant dcomposer directement cette fraction dans [ ].

Comme dans [ ] je vais dcomposer

( )

( )

( )

( )

( )

De la mme faon, on trouve que et

Je multiplie par ( ) , puis je prends

[

( ) ]

( )

Donc et .

est impaire donc ( ) ( )

( ) (

( )

( )

( ) )

( )

( )

( )

( ) ( ) {

On savait dj que et que .

Pour linstant on en est :

( )

( )

( )

( )

Je multiplie par , puis on fait tendre vers .

Comme , on a .

On peut essayer mais cela redonne .

Pour linstant on en est :

( )

( )

( )

( )

Comme dans [ ], je vais prendre .

( )

( )

( )

( )

( )

( )

On divise par et voil.

A partir de l, on peut retrouver la dcomposition dans [ ], pour cela il suffit de dcomposer

Et


35

( )

( )

( )

A faire.

Troisime mthode

On repart de

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

On va calculer

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(( ) ( ) )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Donc

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )


[

( )( )]


[

( )( )]


[

]


36

Donc

Et enfin

( )

( )

( )

( )

Il ne reste qu diviser par

Allez : Exercice 45


1. est une racine simple de donc il existe tel que ( ) avec ( )

( )

En multipliant par , puis en faisant , on trouve (classiquement)

( )

( )

Dautre part

( ) ( )

En faisant dans cette dernire expression on trouve que ( ) ( )

Par consquent

( )

( )

2.

( )

Donc il existe tels que :

En appliquant le rsultat du 1), avec et

( )

( ( ))

( )

Donc

Allez : Exercice 46

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