Elect 20 20rc Rl Rlc

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Olivier GRANIER

Régimes transitoires dans les

circuits (RC), (RL) et (RLC)

Un lien vers le TP sur l’étude de ces circuits


1ère partie

Olivier GRANIER

Charge et décharge d’un condensateur

Etude du circuit (R,C)


� Description d’un condensateur :

Un condensateur est assimilable à deux plaques disposées face à face. Enrègle générale, on pourra dire qu'un condensateur est constitué de deuxconducteurs séparés par un isolant (appelé également diélectrique) ; cetisolant peut être l'air, du verre, du plastique … (tableau ci-dessous).

Olivier GRANIER

(relative)


L’intérieur d’un condensateur :

Ce modèle est représentatif de lastructure de la plupart descondensateurs. Il est constituéd’armatures métallisées.

On augmente sa capacité enbranchant en parallèle des plaques

Olivier GRANIER

branchant en parallèle des plaquestrès rapprochées mais qui ne setouchent pas.

Dans ce condensateur, c’est l’airqui joue le rôle de diélectrique.

Utilisation des condensateurs :

Ils sont utilisés dans pratiquementtous les montages électroniques.Par exemple, on utilise descondensateurs variables dans lescircuits d’accord de postes deradio.


Soumis à une tension U, un condensateurpossède la propriété de se charger et deconserver une charge électrique q,proportionnelle à U :

q = CU

C’est un réservoir d’énergie.

Olivier GRANIER

C’est un réservoir d’énergie.

Cette énergie est restituée lors de ladécharge du condensateur.

Ces phénomènes de charge et de décharge nesont pas instantanés ; ce sont des phénomènestransitoires.

On peut comparer le condensateur à un réservoir qui se remplit et se vide, ou àun poumon qui se gonfle et se dégonfle...


� Condensateur plan :

Deux plaques métalliques planes (de surface S) en regard sont distantes de e.Un diélectrique remplit l’espace entre les deux plaques.

+ + + + + + + + + + + +

+ qLa charge q acquise par l’armaturesupérieure est :

q = CU

Olivier GRANIER

Diélectrique (ε =εε =εε =εε =ε0εεεεr)e

Surface en regard : S

ddp U

+ + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - -- q

q = CU

C est la capacité du condensateurplan (exprimée en Farad, F, oumieux, en µµµµF ou nF) :

e

SC rεε0=

εεεε0 : permittivité du vide

εεεεr : permittivité relative du diélectrique


� Tension, puissance et énergie :

Avec les notations de la figure ci-contre :q C

i

uC

qdt

dqi

C

quC

&=== ;

Olivier GRANIER

La puissance reçue par le condensateur (de manière algébrique) est :

====

2

2

1.. C

CCCCC Cu

dt

d

dt

duCu

dt

dquiup

L’énergie EC emmagasinée par le condensateur s’en déduit :

C

qCuEsoit

dt

dEp CC

CC

22

2

1

2

1===

La charge portée par les armatures est une fonction continue du temps.


� Charge d’un condensateur par un échelon de tension :

A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :

q Ci

dt

duRCRiu

dt

dqi

C

qu C

RC ==== ;;

du

Olivier GRANIER

uCe(t) R uR

Edt

duRCusoitEuu C

CRC =+=+

)(111

RCEudt

duu

RCdt

duC

CC

C ==+=+ τττ

Si le condensateur est déchargé à t < 0 :

ττ //;)1(

tCR

tC EeuEueEu

−− =−=−=

Simulation Regressi

ττττ est la constante de temps du circuit (RC) : elle donne l’ordre degrandeur de la durée de charge du condensateur.


Olivier GRANIER


Olivier GRANIER

La charge est continue à t = 0 ; l’intensité est discontinue (passe de 0à E/R de t = 0- à t = 0+)


Aspect énergétique :

Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation del’énergie, on va montrer que :

CRG EEE +=

Olivier GRANIER

Energie fournie par le générateur

Energie dissipée par effet Joule

dans R

Energie emmagasinée

par C

CRGC

tR

tG

EEEoùdCEE

CER

Edte

R

EdttRiE

CER

Edte

R

EdttEiE

+==

====

====

∫∫

∫∫∞

−∞

∞−

∞

'2

1

2

1

2)(

)(

2

22

0

/22

0

2

22

0

/2

0

τ

τ

τ

τ


� Décharge du condensateur :

)(/τt

C Eeu−=

Olivier GRANIER

)(/τt

C Eeu−=

)(/τt

CR Eeuu−−=−= Continuité de la charge

Discontinuité du courant


� Condensateur soumis à une tension créneau :

Tension créneau E/-E :

Olivier GRANIER

Tension créneau E/0 :


� Associations de condensateurs :

En série :21 CCC uuu +=

qC

qCC

qC

qC

uéq

C

11111

2121

=

+=+=

q C1i

uc1

q C2

uc2

i

Olivier GRANIER

En parallèle :

21

111

CCCéq

+=uc

uc

q1 C1i1

q2 C2i2

2

2

1

1

11q

Cq

CuC ==

i

( )dt

duCC

dt

duC

dt

duCiiii CCC

212121 ; +=+=+=

21 CCCéq +=


2ème partie

Olivier GRANIER

Bobine d’auto-induction

Etude du circuit (R,L)


� Bobine d’auto-induction :

Br

Tout bobinage parcouru par un courant crée un champmagnétique proportionnel à l’intensité i.

Lorsque l’intensité i dépend du temps, il apparaît auxbornes de la bobine une fém d’auto-induction (phénomèned’induction).

Olivier GRANIER

Le rôle d’une bobine d’auto-induction est de s’opposer à toute modification du courantdans un circuit (loi de Lenz). En particulier, l’intensité du courant dans une bobineest nécessairement continue.

Bi

i

d’induction).

En convention récepteur, cette fém s’écrit (en supposantla bobine idéale, c’est-à-dire sans résistance) :

dt

diLe =


� Tension, puissance et énergie :

Avec les notations de la figure ci-contre :

L,ri

uLridt

diLuL +=

La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici,

Olivier GRANIER

La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici,soit r = 0) :

====

2

2

1. Li

dt

di

dt

diLiup LL

L’énergie EL emmagasinée par la bobine s’en déduit :

2

2

1LiEsoit

dt

dEp L

LL ==

L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue du temps.


� Réponse à un échelon de tension : (bobine idéale)

A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :

Li

uLdt

du

R

L

dt

diLuRiu R

LR === ;

duL

Olivier GRANIER

uL

e(t) R uREu

dt

du

R

LsoitEuu R

RRL =+=+

)(1

R

LEu

dt

duu

L

R

dt

duR

RR

R ==+=+ ττ

Si l’intensité du courant est nulle à t < 0 :

ττ //;)1(

tRL

tR EeuEueEu

−− =−=−=

ττττ est la constante de temps du circuit (RL) : elle donne l’ordre de grandeur de ladurée d’établissement du régime permanent (i=E/R). La bobine se comporte ensuitecomme un simple fil.


uR,uL,E

Circuit (RL)

Circuit (RC)

Olivier GRANIER

L’intensité (et la tension uR) est continue à t = 0 ; la tension uL est discontinue(passe de 0 à E de t = 0- à t = 0+)

En bleu : la tension uLEn vert : la tension uR

En rouge (horizontal) : la tension E

RL

CR

uu

qi

uu

⇔

⇔

⇔



Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation del’énergie, on va montrer que :

LRG EEE +=

Olivier GRANIER



dans R


par L

+=+=+=+= 222

2

1Li

dt

dRi

dt

diLiRiEidonc

dt

diLRiuuE RL

)(2

1 2

0

2

0 R

EIavecLIdtRidtEi permperm =+= ∫∫

∞∞

En effet :


� Associations d’inductances :

En série :21 LLL uuu +=

( )dt

diL

dt

diLL

dt

diL

dt

diLu éqL =+=+= 2121

L1i

uL1

L2

uL2

u

i

Olivier GRANIER

En parallèle :

21 LLLéq +=uL

uL

L1i1

L2i2

dt

diL

dt

diLuL

22

11 ==

i

LLL uLL

uL

uLdt

diiii

+=+=+=

2121

21

1111;

21

111

LLLavec

dt

diLu

éq

éqL +==


3ème partie

Olivier GRANIER

Etude du circuit (R,L,C)


� Equation différentielle du circuit (RLC) :

iL

uL

)(1

teqC

Ridt

diLuuu CRL =++=++

dt

duCidonc

C

quqi C

C === ;&

Olivier GRANIER

qC

uC

e(t) R uR

dtC

)(2

2

teudt

duRC

dt

udLC C

CC =++

)(11

2

2

teLC

uLCdt

du

L

R

dt

udC

CC =++

L

Ret

LCavecteu

dt

du

dt

udC

CC ===++ 020

20

2002

2

21

)(2 σωωωωσω


� Les différents régimes : (voir cours sur les oscillateurs en mécanique)

On recherche des solutions de l’équation homogène de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :

)(220

20

0

2

22002

2

teudt

du

Qdt

udu

dt

du

dt

udC

CCC

CC ωωω

ωσω =++=++

Olivier GRANIER

appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :

02200

2 =++ ωσω rr

Dont le discriminant est : )1(422

0 −=∆ σω

),(:10

),(:10

),(:10

0

21

21

ωσ

σ

σ

−===∆

∈>>∆

∈−<<∆

runiqueracinecritiqueeapériodiqurégimesoit

Rrreapériodiqurégimesoit

Crrpériodiquepseudorégimesoit

Il faut ensuite rajouter une solution particulière, qui dépend de la forme de e(t).


� Réponse du circuit (RLC) à un échelon de tension :

La solution de l’équation différentielle précédente est alors :

Pour t>0 : Eudt

du

dt

udC

CC 20

2002

2

2 ωωσω =++

Olivier GRANIER

[ ] EBtAeu

EBeAeeu

EtBtAeu

tC

tttC

tC

++==

+

+=>

+

−+−=<

−

−−−

−

0

20

200

0

:1

:1

)1sin()1cos(:1

)1()1(

20

20

ω

σωσωσω

σω

σ

σ

σωσωσ

,5

0σω≈tAu bout de le régime permanent est atteint (uC = E)


Simulation Cabri géomètre :

Résistance critique

(σσσσ=1)

Olivier GRANIER

C

LRc 2=

Simulation Java (JJ.Rousseau) :

Simulation Regressi :

(σσσσ=1)



L’état final est : i=0 et uC=E (le condensateur est chargé). Montrons que le bilanfinal énergétique s’écrit :

CRG EEE +=

Olivier GRANIER



dans R


par C

En effet :

+

+=++= 222

2

1

2

1;

1Li

dt

dCu

dt

dRiEi

dt

diLq

CRiE C

CRG EEEsoitCEdtRiEidt +=++= ∫∫∞∞

02

1 2

0

2

0


On peut calculer l’énergie fournie par le générateur :

On en déduit que l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut :

[ ] 2

0000

. CEuCEdtdt

duCEdtqEEidt C

C ==

==

∞∞∞∞

∫∫∫ &

Olivier GRANIER

222

2

1

2

1CECECEEEE CGR =−=−=

Par conséquent :

GCR ECEEE2

1

2

1 2 ===

La moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. Onretrouve le même résultat que dans le cas du circuit (RC) : ce n’est passurprenant puisque l’inductance n’a aucune influence sur les états initial et final ducircuit.


� Réponse à une tension créneau :

Animation Java :

Olivier GRANIER

Animation Regressi :


� Analogies électromécaniques :

Oscillateurs mécaniques Oscillateurs électriques

1

k

xv

x

= &

L

C

qi

q

= &

Olivier GRANIER

0

0

2

2

2

2

1

2

1

ωσ

ω

h

m

k

kxE

xmE

hm

m

k

P

C

=

=

=

= &

0

0

2

2

2

1

2

1

2

1

ωσ

ω

L

R

LC

C

qE

LiE

R

L

P

C

=

=

=

=

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