RC RL Parallele

Circuits RL et RC parallles

Chapitre 16b Circuits RLC parallles

Sommaire Montage parallle en courant alternatif Conductance, admittance et suceptance Impdance Z Circuit RL et RC parallles Circuits bouchons Exercices

Introduction Circuits RC et RL parallleA l'inverse des circuits srie, les circuits parallles prsentent une grande impdance pour la frquence de rsonance. Lors de l'tude des circuits de rsistances en parallle, nous avons utilis la conductance G pour dterminer la rsistance quivalente du circuit. Cette mthode nous permet de simplifier les calculs et de mieux en comprendre le comportement.

Conductance, admittance et susceptanceContrairement aux circuits sries, dans les circuits parallles, la tension est commune tous les lments et le courant est rparti dans les diffrentes branches du circuit. Pour dterminer la conductance totale d'un circuit parallle, nous additionnons les conductances de chacune des branches. La rsistance quivalente du circuit sera gale l'inverse de la conductance totale. Cette mthode simplifie les calculs et nous pouvons l'appliquer aux circuits RC, RL et RLC parallle.

Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 2000

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Nous parlons de : Conductance G : facilit qu'a une rsistance (ou un ensemble de rsistances) de laisser passer le courant lorsqu'une tension lui est applique. Susceptance B : facilit qu'a un lment ractif (ou un ensemble de ractances) laisser passer le courant lorsqu'une tension alternative lui est applique. Admittance Y : facilit qu'a un circuit compos d'lments rsistifs et ractifs laisser passer le courant lorsqu'une tension alternative lui est applique, en tenant compte du dphasage entre U et I.

G=

1 R

[S][S ]

BL =

1 XL

BC =

1 XC

[S]

Y=

1 Z

[S]

Remarque :

G, B et Y s'expriment en siemens [S]

Circuits RL parallleSoit un circuit compos d'une rsistance et d'une bobine:

I ILU

IR L RUR

~

UL

Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer le diagramme vectoriel. Comme nous sommes en parallle, la valeur commune tous les lments est la tension et nous l'utiliserons comme rfrence pour le diagramme (il s'agit d'un choix arbitraire) .


2


IR U

IZ IL

Constations : la rsistance ne dphase pas le courant IR la bobine provoque un retard de 90 [] du courant IL par rapport la tension. le courant total Iz est en retard par rapport la tension.

Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant :

G U

Le courant tant inversement proportionnel la rsistance et la ractance, nous devons utiliser la conductance G et la susceptance B. Le vecteur rsultant du diagramme correspond l'admittance Y du circuit.

Y BLRelations :IR U

G U

IZ ILBL

Y

Par Pythagore :

I z = I R2 + I L2Nous savons que :

Y = G 2 + BL 2

Iz =

Uz Z

IR =

UR R

IL =

UL L

Y=

1 Z

G=

1 R

BL =

1 L


3

Circuits RL et RC parallles Nous pouvons donc crire :

U z2

U 2 U 2 = R + 2L 2 Z2 R2 L

1 Z2

=

1 R2

+

1

L22

La tension est commune sur les lments:

1 1 = 2+ 2 2 Z2 R LLa formule finale de l'impdance est :

1

1 1 = 2+ 2 2 Z2 R L

1

Z=

1 1 + R2 X L2 1

Z=

1 1 + R2 X L2 1

Calcul de l'angle de dphasage :

I cos = R Iz

cos =

G Y

1 cos = R 1 Z

cos =

Z R

= cos 1

IR Iz

G = cos1 Y

Z = cos 1 R

ExempleUn circuit est compos d'une rsistance de 220 [] et d'une bobine de 150[mH]. Il est raccord sur une source de 100 [V] dont la frquence est de 160 [Hz] Calculer l'impdance, tous les courants ainsi que l'angle de dphasage.

Donnes :

R = 220 []

L = 150 [mH]

U = 100 [V]

f = 160 [Hz]

Inconnues :

Z

I

IR

IL


4


Relations :

G=

1 R

BL =

1 L

Y = G 2 + BL 2

Z=

1 1 + R2 X L2 1

IR =

UR R

IL =

UL L

I z = I R2 + I L2 Z = cos 1 R

= cos 1Diagrammes vectoriels :

IR I

IR UG U

I =I z ILB

Y

Calcul de la conductance et de la susceptance :

G=

1 1 = = 4.54 [mS] R 220

BL =

1 1 = = 6.63 [mS] L 2 160 150 10 3

Calcul de l'admittance :

Y = G 2 + BL 2 = ( 4.54 10 3 )2 + ( 6.63 10 3 )2 = 8.037 [mS]Calcul de l'impdance :

Z=Vrification du rsultat :

1 1 = = 124.43 [ ] Y 8.037 10 3

Z=

1 1 R2 + 1 X L2

=

1 1 2202 +

(2 160 150 103)2I Z = U Y = 100 8.037 103 = 803.7 [mA]

1

= 124.38 [ ]

Calcul du courant total :

IZ =

U 100 = = 803.67 [mA] Z 124.43


5

Circuits RL et RC parallles Calcul des courants IR et IL :

IR =

U R 100 = = 454.55 [mA] 220 R

IL =

100 UL = = 663.15 [mA] L 2 160 150 10 3

Vrification du calcul des courants :

I=

I R 2 + I L 2 = ( 454.55 10 3 )2 + ( 66315 10 3 )2 = 803.97 [mA] .

Calcul de l'angle de dphasage

= cos1

454.55 10 3 IR = cos1 3 = 55.56 [ ] I 803.67 10

Z 124.43 = cos1 = cos1 = 55.56 [ ] 220 R

Circuits RC parallle :Soit un circuit compos d'une rsistance et d'un condensateur :

I ICU

IR C RUR

~

UC

Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer le diagramme vectoriel. Comme nous sommes en parallle, la valeur commune tous les lments est la tension et nous l'utiliserons comme rfrence pour le diagramme (il s'agit d'un choix arbitraire) .

IC I

IR U


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Constations :

la rsistance ne dphase pas le courant IR le condensateur provoque une avance de 90 [] du courant IL par rapport la tension. le courant total Iz est en avance par rapport la tension.

Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant :

BC Y

Le courant tant inversement proportionnel la rsistance et la ractance, nous devons utiliser la conductance G et la susceptance B. Le vecteur rsultant du diagramme correspond l'admittance Y du circuit.

G U

Relations : IC Iz BC Y

IR U

G U

Par Pythagore

I z = I R2 + IC2Nous savons que :

Y = G 2 + BC 2

Iz =

Uz Z

IR =

UR R

IC =

UC = UC C 1 C

Y=

1 Z

G=

1 R

BC =

1 = C 1 C

Nous pouvons donc crire :

U z2

U 2 = R + U C 2 ( C )2 Z2 R2

1 Z2

=

1 R2

+

1 1 ( C )2

=

1 R2

+ ( C )2


7

Circuits RL et RC parallles La tension est commune sur les lments:

1

Z

2

=

1

R

2

+ ( C )2

1

Z

2

=

1

R

2

+ ( C )2

La formule finale de l'impdance est :

Z=

1 1 R2

Z=

1 1 R2 + ( C )2

+ ( C )2


I cos = R Iz

cos =

G Y cos = Z R

1 cos = R 1 Z

= cos1

IR Iz

G = cos1 Y

Z = cos1 R

ExempleUn circuit est compos d'une rsistance de 220 [] et d'un condensateur de 6.8 [F]. Il est raccord sur une source de 100 [V] dont la frquence est de 160 [Hz] Calculer l'impdance, tous les courants ainsi que l'angle de dphasage. Donnes : Inconnues : Relations : R = 220 [] Z I IR C = 10 [F] IC U = 100 [V] f = 160 [Hz]

G=

1 R UR R

BC =

1 = C 1 C

Y = G 2 + BC 2

Z=

1 1 R2

+ ( C )2

IR =

IC =

UC = UC C 1 C Z = cos1 R

I z = I R2 + IC2

I = cos1 R Iz


8

Circuits RL et RC parallles Diagrammes vectoriels : IC I =I z BC Y

IR U

G U

Calcul de la conductance et de la susceptance :

G=

1 1 = = 4.54 [mS] R 220

BC = C = 2 160 6.8 106 = 6.84 [mS]


Y = G 2 + BC 2 = ( 4.54 10 3 )2 + ( 6.84 10 3 )2 = 8.21 [mS]Calcul de l'impdance :

Z=Vrification du rsultat :

1 1 = = 121.81 [ ] Y 8.21 10 3

Z=

1 1

=2 2

1 1 2202

R2

+ C

+ ( 2 160 ) ( 6.8 102

6 2

= 121.81 [ ]

)

Calcul du courant total :

IZ =

Uz 100 = = 820.96 [mA] 12181 . Z

I Z = U Y = 100 8.21 103 = 821 [mA]

Calcul des courants IR et IL :

IR =

U 100 = = 454.55 [mA] R 220

I C = U C = 100 2 160 6.8 106 = 683.61 [mA]


I=

I R 2 + I L 2 = ( 454.55 10 3 )2 + ( 663.61 10 3 )2 = 820.93 [ mA]


454.55 10 3 I = cos1 R = cos1 3 = 56.38 [ ] I 820.96 10. Z 12181 = cos1 = cos1 = 56.38 [ ] 220 RElectrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 2000

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Circuits bouchonsLes circuits RLC parallle, sont souvent appels circuits bouchons, car ils prsentent une grande impdance pour fo et ils "empchent" les signaux cette frquence d'accder une partie de circuit. En lectronique, les circuits bouchons sont utiliss pour "trier" diffrentes frquences dans les chanes audio (galiser) ou dans les tlviseurs couleur (sparation des frquences son, chrominance et luminance). En lectricit, les circuits bouchons sont utiliss dans les tlcommandes centralises pour viter une dispersion des frquences pilotes sur le rseau.

Caractristiques d'un circuit bouchon :

N [dB]

fPour mieux comprendre le fonctionnement des circuits bouchons, il est pratique de raliser une mesure au laboratoire. Le traceur de Bode nous permet de visualiser la tension de sortie du filtre bouchon en fonction de la frquence du gnrateur. Nous constatons que pour une certaine frquence, le circuit oppose une grande impdance, ce qui cre la forte attnuation au milieu de la courbe.


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Etude du circuit bouchon RLC parallle :IC BC

IR

G U

U

I =Iz IC

Y BC

IL

BL

Remarque :

Cette dmonstration est ralise avec un circuit comportement inductif. Ce choix est arbitraire et la thorie qui est applicable n'importe quel circuit RLC parallle,

Par Pythagore

I z = I R 2 + ( I L I C )2Nous savons que :

Y = G 2 + ( BL BC )2

I=

U Z

IC = U C

U R U IL = L IR =

Y=

1 Z

BC = C

1 R 1 BL = L G=

Nous pouvons donc crire :

U R2

U2 = 2 + U 2 ( C )2 2 2 Z R ( L ) U R2

1 1 2 = 2 + 2 2 ( C ) Z R ( L )

1

La tension est commune sur les lments:

1 Z

2 =

1 R

2 +

1

( L )

2 2 ( C )

1 Z

2 =

1 R

2 +

1

( L )

2 2 ( C )

La formule finale de l'impdance est :

Z= 1

1 1 2 + 2 2 ( C ) R ( L )

Z=

1 1 + ( C )2 R 2 ( L )2 1


I cos = R Iz

cos =

G Y

cos =

Z R

= cos1

IR Iz

G = cos1 Y

Z = cos1 R11



ExempleUn circuit bouchon doit tre intgr dans un appareil pour empcher une frquence de 38 [kHz] de perturber son fonctionnement. Pour raliser ce filtre, une rsistance de 56 [k] , un condensateur de 4.7 [nF] et une bobine de 3 [mH] sont monts en parallle. La tension prsente cet endroit est de 2.2 [V]. Calculer l'impdance du circuit bouchon, tous les courants ainsi que l'angle de dphasage pour la frquence de 30 [kHz]. Donnes : Inconnues : Relations : R = 56 [k] Z I L = 3 [mH] IR IC C = 4.7 [nF] IL UZ = 2.2 [V] f = 38 [kHz]

I=

UZ Z Y= 1 Z

IR = G=

UR R 1 R

IC = U C C BC = C BL =

IL = 1 L

UL L

I z = I R 2 + ( I L I C )2 Z= 1 R2

Y = G 2 + ( BL BC )2

1 + 1 ( L )2 ( C )2

= cos1

IR Iz

G = cos1 Y

Calcul de la conductance et des susceptances :

G=

1 1 = = 17.86 [ S] R 56 103

BC = C = 2 38 103 4.7 109 = 1.12 [mS] BL = 1 1 = = 1.39 [mS] L 2 3 10 3


Y = G 2 + ( BL BC ) = ( 17.86 10 6 )2 + ( 139 10 3 112 10 3 )2 = 270.6 [ S] . .2Calcul de l'impdance :

Z=

1 1 = = 3.696 [k ] Y 270.6 10 6

Vrification du rsultat : (pour simplifier le calcul, nous utilisons XC et XL

XC =

1 1 = = 892.86 [ ] BC 112 10 3 .

XL =

1 1 = = 719.42 [ ] BL 1.39 10 3

Z= 1 R2

1 + 1 1 XC X L2

=

1 12 1 2 1 1 + 892.86 719.42 56 103

= 3.965 [k ]


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Circuits RL et RC parallles Calcul du courant total :

IZ =

Uz 2.2 = = 595.32 [ A] Z 3965

I Z = U Y = 2.2 270.6 106 = 595.32 [ A]

Calcul des courants IR , IC et IL :

IR =

UR 2.2 = = 39.29 [ A] R 56 10 3

I C = U C C = 2.2 2 38 103 4.7 109 = 2.47 [mA]

IL =

2.2 UL = = 3.07 [mA] L 2 38 103 3 10 3


Iz =

I R 2 + ( I C I L ) = ( 39.29 10 6 )2 + ( 2.47 10 3 3.07 10 3 )2 = 601.28 [ A]2


= cos

1 I R

Iz

= 86.21 [ ] = cos 595.32 10 6

1 39.29 10

6

Z 3965 = cos1 = cos1 = 85.94 [ ] 56 103 R


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Entranement1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Qu'est-ce qu'un circuit bouchon ? Qu'est-ce que l'interconnexion et pourquoi est-elle ralise ? De quoi se compose un circuit bouchon ? Que faut-il pour que nous obtenions la condition de rsonance ? Quel est le genre de couplage d'un circuit bouchon ? Dessinez la courbe de l'impdance en fonction de la frquence pour un circuit parallle Quel est le genre de couplage d'un point d'injection ? Dessinez la courbe de l'impdance en fonction de la frquence pour un circuit srie.

1.

Un circuit est compos d'une rsistance de 1.5 [k] , d'un condensateur de 560 [nF] et d'une bobine de 1.25 [H] monts en parallle et raccords sur un gnrateur dont la frquence vaut 18 [kHz] .Calculer la conductance, les susceptances des trois lments Une bobine et une rsistance sont montes en parallle sur un gnrateur 130 [V] 50 [Hz]. Pour les lments, nous connaissons les valeurs suivantes : R = 15 [] et XL = 10 [] Tracer le diagramme vectoriel et calculer les valeurs de la bobine, de l'impdance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de dphasage.

2.

3.

Un condensateur et une rsistance sont monts en parallle sur un gnrateur 130 [V] / 50 [Hz]. Pour les lments, nous connaissons les valeurs suivantes : R = 15 [] et XC = 22 [] Tracer le diagramme vectoriel et calculer la valeur du condensateur, de l'impdance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de dphasage.

4.

Une source de tension de 60 [V] alimente un circuit parallle constitu d'un condensateur de 2.5 [F] et d'une bobine dont l'inductance et la rsistance sont respectivement, 260 [mH] et 15 []. Calculer la frquence de rsonance du circuit.


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5.

Calculer pour quelle frquence de rsonance est dimensionn un rcepteur de TC dont le montage du circuit RLC srie est compos des lments suivants :.

R = 4 []

L = 45 [mH]

C = 16 [F].

Calculer la tension que devra supporter la capacit si le courant de tlcommande est de 400 [mA].

6.

Un circuit bouchon d'un distributeur doit tre install provisoirement sur un autre rseau. Ses caractristiques sont : XL = 20 [] fo = 317 [Hz] Quelles solutions proposez-vous ?

7.

Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit propos est en rsonance pour la frquence donne.

L = 150 [mH]L C R b

Rb = 5 [] C = 6000 [pF] f = 50 [Hz]

8.

Calculer les courant circulant dans les diffrents composants du circuit de l'exercice 7, 50 [Hz], 1000 [Hz], 0 [Hz] et la frquence de rsonance fo , si le courant IC = 829.4 [A] 100 [Hz]. Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit propos est en rsonance pour la frquence donne.

5.

Rb = 5 []Rb L C

C = 6000 [pF]

f = 50 [Hz] L = 150 [mH]

Rponses :

1.

G = 666.67 [S]

BC = 63.34 [mS]

BL = 7.08 [mS]


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