Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique forcé 1

Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Diana Campos-Garcia

Petra Marčanová

Anne Boutin


Présentation & généralités

Objectif: acquérir les connaissances de base sur les circuits RLC.

Modélisation mathématique de la réponse d'un circuit.


Sujets abordés

Généralités sur les circuits électriques Étude d'un circuit série en régime forcé:

résonance en courant Application du circuit: les filtres


Définition des conditions de l'étude: régime de courant

Régime transitoireLors de l'établissement du courant le régime propre du circuit se superpose au régime de la source de courant. Ce régime est appelé régime transitoire : il est amorti et disparaît plus ou moins rapidement dans le temps.

Régime forcéLorsque tous les signaux sont stabilisés, i.e lorsqu'ils suivent le régime imposé par la source, le circuit est alors en régime permanent ou harmonique forcé.


Définition des conditions de l'étude: régime de courant (2)

Résolution de l'équation différentielle

On va obtenir certains termes qui seront amortis par des exponentielles négatives, et d'autres pas.

Le régime transitoire est donné par les termes de la solution qui sont amortis exponentiellement,les autres termes définissent le régime permanent.


Mise en équation d'un circuit

Dipôles passifs soumis à une tension V(t)Soit s(t) la variable étudiée. L'équation du circuit peut se mettre de façon générale sous la forme:

a0s+a1s'+a2s"+…+ans (n) =k V(t) ai constants

La solution de l'équation est de la forme s(t)=s1(t)+s2(t)

s1(t) solution de l'EHA : régime transitoire (amorti)

s2(t) SPEC: régime forcé de même nature que la stimulation(V(t))


Grandeurs et notations

Modélisation mathématique des grandeurs en régime sinusoïdal

U & I sont des fonctions sinusoïdales du temps qui peuvent se mettre sous la forme : s(t)=Sm cos(ωt+φ)

ω est la pulsation du signal. Elle est liée à la période selon la relation T=2π/ω.

Sm est l'amplitude du signal. Celui-ci peut varier de –Sm à +Sm. φ est la phase à l'origine, ωt+φ la phase à l'instant t. φ indique qu'à

t=0 le signal peut avoir une valeur quelconque comprise entre –Sm et +Sm.


Grandeurs et notations (2)

Notations relatives aux complexes

La grandeur complexe associée au signal sinusoïdal s(t) sera notée s(t)

j²=-1 L'amplitude complexe associée au signal sera notée S


Représentation complexe

Signification

Une grandeur sinusoïdale peut être représentée par un vecteur tournant de vitesse angulaire ωt. Or, un vecteur est aussi une représentation géométrique d’un nombre complexe.


Représentation complexe (2)

Ainsi, la valeur instantanée complexe d’un signal sinusoïdal est donnée par la relation suivante:

forme cartésienne: s(t)=Sm (cos(ωt+φ)+ j sin(ωt+φ))

forme complexe: s(t)= Sm e j(ωt+φ)

Amplitude complexe : S=Sm e jφ



Pertinence de l'utilisation des complexesL'utilisation des complexes en régime sinusoïdal s'avère très utile lors de la résolution de l'équation différentielle, les opérations sur les exponentielles étant plus aisées que celles sur les fonctions sinus et cosinus.



Représentation graphique: diagramme de Fresnel


Circuit RLC série

Présentation du circuit Problème de la résistance équivalente

ZR

AC

ZC

ZL

UC

ULUR

V(t)


Circuit RLC série en régime harmonique

Définition du problème

Régime: harmonique forcé Objet de l'étude: variations du courant

Mise en équation du circuitloi des mailles:

en dérivant on obtient: dt

dv

Li

LCdt

di

L

R

dt²

d²i 11


Circuit RLC série en régime harmonique (2)

v(t)=Vm cos(ωt) (origine des phases)

i(t)=Im cos(ωt+φ)

Ce qui revient à :

Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec une solution de la forme i(t)=i1(t)+i2(t). L'étude se limitant au régime harmonique forcé on cherche seulement la SPEC.

La résolution de cette équation sous cette forme ne permet pas une étude aisée du circuit. La méthode la plus évidente consiste à la résoudre à l'aide des complexes les opérations de dérivation et intégration étant plus simples.

)sin(11

tL

iLCdt

di

L

R

dt²

d²i



Résolution par les complexes

On définit les amplitudes complexes:

Devient

dt

vd

Li

LCdt

id

L

R

dt²

id² 11

)()()( tjm

tjm eItieVtv

vjL

iLC

ijL

Rij 11)²(

jmm eIIVV



En divisant par on a

Utilité des impédances complexesLes impédances complexes sont intéressantes dans le cas du régime harmonique puisqu'elles permettent un accès facile aux phases. Elles simplifient en outre la résolution de l'équation du circuit.

tje VjL

ILC

IjL

RIj 11)²(

jm

m eI

CLjR

VIoùd

)1

('


Équation du circuit par les impédances complexes

Les impédances complexes donnent directement accès aux valeurs complexes de i et u. L'équation n'apparaît plus sous sa forme différentielle.

On en déduit aisément la valeur du courant.

viCj

iLiR

1

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