Elaboration d'une séquence

Thème choisi : le théorème de PythagoreRéflexe 1 : consulter les programmes

Connaissances : Triangle rectangle : théorème de Pythagore

Capacités : - Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.

- Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.

Commentaires : On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle.

Elaboration d'une séquence

Réflexe 2 : repérer ce qui relève du socle commun

Thème choisi : le théorème de Pythagore

Connaissances : Triangle rectangle : théorème de Pythagore

Capacités : - Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.

- Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.

Commentaires : On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle.

Elaboration d'une séquence

Réflexe 3 : s'approprier la notion N'ouvrir aucun manuel

Ecrire les propriétés et leurs démonstrations (être au clair d'un point de vue mathématique)

Choisir l'approche qui semble la plus naturelle (pour soi)

S'inspirer de l'histoire

Distinguer l'objet de l'outil

Faire la liste de toutes les situations possibles

Ne garder que les basiques

Mettre les autres de côté pour y revenir plus tard (spirale)

Concevoir l'activité de départ

Mettre en place les pré-requis

Enfin, consulter les manuels

Finaliser sa progression

Mettre en place l'évaluation

Compétences du socle

Thème choisi : le théorème de Pythagore

La confusion entre les concepts d'aire et de longueur

Le lien entre l'aire d'un carré et son côté (davantage dans ce sens-là)

La notation carrée

La distinction entre l'hypoténuse et les autres côtés

Les conditions d'application du théorème

La rédaction des calculs

La démonstration du théorème

Les difficultés constatées au fil des années ...

1. Tracer à main levée des carrés de différentes tailles, et dans différentes positions.

2. Tracer à main levée des triangles rectangles de différentes tailles, et dans différentes positions.

3. Tracer à main levée un triangle rectangle, puis les trois carrés formés sur ses côtés ; recommencer plusieurs fois.

4. Reprendre la consigne 3 avec les instruments, en prenant comme dimensions des côtés perpendiculaires 6 cm et 8 cm.

Mise en place des pré-requis, activité faite en séance de contruction géométrique

Tracer un carré de 6 cm de côté, et un deuxième de 8 cm de côté, nommé ABCD.

Tracer, à l'intérieur du carré ABCD, des segments comme sur la figure, où AE = 1 cm.

Analyse de la figure obtenue : description, observation, conjectures

Construction du puzzle : avec les 5 pièces obtenues, obtenir un carré

Comparaison avec le carré formé sur l'hypoténuse (collage dans le cahier).

Formulation par les élèves, orale, puis écrite dans le cahier, la plus précise possible.

Généralisation par le professeur (propriété admise)

Activité de départ (puzzle de Perigal)

En tois orthogôniois trigônois to apo tês tên orthên gônian hupoteinousês pleuras tetragônon ison esti tois apo tôn tên orthên gônian periechousôn pleurôn tetragônois.

Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté tendu sous l'angle droit est égal aux carrés sur les côtés qui soutiennent l'angle droit.

Dans un triangle rectangle, le carré formé sur l'hypoténuse a pour aire la somme des carrés formés sur les côtés de l'angle droit.

Trace écrite

Premiers exercices, pour s'approprier le théorème

I - Les triangles verts ci-dessous peuvent-ils être rectangles?

Premiers exercices, pour s'approprier le théorème

I bis - Les triangles verts ci-dessous peuvent-ils être rectangles ?

Premiers exercices, pour s'approprier le théorème

II - Trouver l'aire manquante

Premiers exercices, pour s'approprier la propriété

III - Trouver la longueur manquante

Premiers exercices, pour s'approprier la propriété

III - Trouver la longueur manquante

Activité qui semble n'avoir aucun rapport !!!

Construire deux carrés de côté 5 cm chacun.

Peut-on trouver un moyen de les découper et de reconstituer les morceaux autrement, de façon à obtenir un carré ?

Quelle est l'aire du carré obtenu ?

Quel est le côté du carré obtenu ?

S'ensuit un cours magistral sur ...

Le carré d'un nombre

définition

liste des carrés des 15 premiers entiers (+25) à apprendre par coeur

la notation «carré»

lien avec l'aire d'un carré

transition avec le nombre dont le carré est 50

Ce nombre n'est pas dans la liste (entre 49 et 64)

touche «»

n'est pas un nombre décimal ; il est irrationnel.

La racine carrée d'un nombre positif

définition (compliqué)

Lien avec la longueur d'un côté du carré

quelques exercices basiques d'entraînement

50

Retour à la propriété de Pythagore

IV - Trouver la longueur manquante

P

I

R

28

75ou bien : Le triangle RIP est rectangle en I ; IR = 28 ; PI = 75 ; calculer PR.

ou bien : Le triangle RIP est rectangle en I ; IR = 28 ; PR= 75 ; calculer IP.

N'imposer aucune rédaction-type a priori,mais faciliter au fur et à mesure celles des élèves selon leur propre degré

d'avancement

On va un peu plus loin...

C B

D

24 10

10?

C

D

A

B

E2 m

5 m

8 m3 m

V- Problèmes à rédiger

Résolution orale en classe

Rédaction individuelle

Correction individuelle

Synthèse à propos de la propriété de Pythagore

Reformulation du théorème, si nécessaire - Relation de Pythagore à écrire sous la forme classique

A quoi sert-il ? A quelle(s) condition(s) ?

Résolution d'un exercice-type, avec une proposition de rédaction correcte, en distingant les deux sens.

Evaluation, quelques temps plus tard.

Retours réguliers

en calcul mental sur les carrés, racines carrées et calculs de longueurs

en utilisation de Pythagore dans différents problèmes

plus tard, après le travail sur la démonstration, travail sur des rédactions plus abouties.

Organisation et gestion de données : reconnaître des situations de proportionnalité, utiliser des pourcentages, des tableaux, des graphiques. Exploiter des données statistiques et aborder des situations simples de probabilité

Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un calcul mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur

Géométrie : connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l’espace. Utiliser leurs propriétés

Grandeurs et mesure : réaliser des mesures (longueurs, durées, …), calculer des valeurs (volumes, vitesse, …) en utilisant différentes unités

Savoir utiliser des compétences et des connaissances Savoir utiliser des compétences et des connaissances mathématiquesmathématiques

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Organisation et gestion de données : reconnaître des situations de proportionnalité, utiliser des pourcentages, des tableaux, des graphiques. Exploiter des données statistiques et aborder des situations simples de probabilité

Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un calcul mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur

Géométrie : connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l’espace. Utiliser leurs propriétés

Grandeurs et mesure : réaliser des mesures (longueurs, durées, …), calculer des valeurs (volumes, vitesse, …) en utilisant différentes unités

Savoir utiliser des compétences et des connaissances Savoir utiliser des compétences et des connaissances mathématiquesmathématiques

Savoir utiliser des compétences et des connaissances Savoir utiliser des compétences et des connaissances mathématiquesmathématiques

Rechercher, extraire et organiser l'information utile

Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes

Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale

ou technologique, démontrer

Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus,

communiquer à l'aide d'un langage adapté.

Pratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmesPratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmesPratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmesPratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmes