AP – Pythagore

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Utilité : si dans un triangle rectangle on connaît la longueur de 2 côtés,alors on peut calculer la longueur du 3ème côté.

A - On cherche l'hypoténuse.ABC est rectangle en A, AB = 6 cm et AC= 8 cm.

Calculer BC.Comme ABC est rectangle en A alors d'après le théorème de Pythagore :BC² = AB² + AC² BC² = 6² + 8²BC² = 36 + 64BC ² = 100Donc BC = √100 = 10 cm.

Remarque : la valeur trouvée est un résultat exact, mais ce n'est pas toujours le cas ( voir B )

B - On cherche un côté de l'angle droit. DEF est rectangle en E, DE = 10 cm , DF = 13 cm . Calculer EF

Comme DEF est rectangle en E alorsd'après le théorème de Pythagore :DF² = DE² +EF²13² = 10² + EF²169 = 100 + EF²EF² = 169-100 = 69Donc EF = √69EF ≈ 8,3 cm.

Remarques: 8,3 est une valeur approchée, la valeur exacte est √69 .

C – Prouver qu'un triangle est rectangle

Réciproque du théorème de Pythagore :Si un triangle vérifie l'égalité de Pythagore , alors il est rectangle.

Utilité : cette propriété permet de montrer qu'un triangle est rectangle. Ilfaut connaître la longueur des 3 côtés.

Exemple : FGH est un triangle tel que FG = 3,6 cm FH = 6 cm, et GH = 4,8cm. Donner la nature de ce triangle.

Le plus grand côté est [FH] (donc c'est ce côté qui peut être l'hypoténuse)

D'une part FH² = 6² = 36D'autre part FG² + GH² = 3,6² + 4,8² = 12,96 + 23,04 = 36

Comme FH² = FG² + GH² alors l'égalité de Pythagore est vérifiée doncd'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle FGH estrectangle en G. D - Prouver qu'un triangle n'est pas rectangleExemple :DEF est tel que DE = 7 cm, DF = 9 cm et EF = 12 cm. DEF est-il rectangle ?

Le plus grand côté est [EF] (donc c'est ce côté qui peut être l'hypoténuse)

D'une part EF² = 12² = 144D'autre part DE² + DF² =7² + 9² = 49 + 81 = 130

Comme EF² ≠ DE² + DF² alors l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée doncle triangle DEF n'est pas rectangle.

Remarque importante : puisque l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée,on ne doit pas dire « d'après la réciproque du théorème de Pythagore », carjustement on ne peut pas l'appliquer.

AP 4e – PYTHAGORE (1)

A- Calcul de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Pour chaque exercice, trace une figure à main levée et inscris les longueurs connues, puis rédige comme dans le modèle vu en cours.Les valeurs approchées seront arrondies au dixième.

1- ABC est rectangle en A. AB= 3cm, AC= 4cm. Calcule BC.

2- DEF est rectangle en E. DE= 12cm, EF= 7cm. Calcule DF.

3- GHI est rectangle en I. IH= 3,9cm, GI=5,2 cm. Calcule GH.

B- Calcul d'un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle.

Même consigne.

1- JKL est rectangle en K. KL= 5cm, JL= 12cm. Calcule JK.

2- MNP est rectangle en P. MP= 4,8cm, MN= 6cm. Calcule NP.

3- OQP est rectangle en O. OP= 7,2cm, QP=10cm. Calcule QO.

C ( ou D ) - Prouver qu'un triangle est rectangle ou non.

Pour chaque exercice, trace une figure à main levée et inscris les longueurs connues, puis rédige comme dans le modèle vu en cours.

1- RST est tel que RS= 15cm, RT= 9cm et ST= 12cm. Démontre que RST est un triangle rectangle. Précise en quel point.

2- UVW est tel que UV= 7,5cm, UW= 10cm et VW=12,5 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

3- TVA est tel que TV = 7cm, TA = 13cm et VA=15cm. Ce triangle est-il rectangle ?

4- XYZ est tel que XY = 7cm, XZ = 9,9cm et YZ=7cm. Ce triangle est-il rectangle ?

AP 4e – PYTHAGORE (2)

Tyrolienne *

Pour installer une tyrolienne, on utilise deux arbres

plantés perpendiculairement au sol et situés à 20 m l’un

de l’autre.

La tyrolienne mesure 23 m de longueur.

La passerelle accrochée au premier arbre se situe à 13 m

de hauteur.

De cette passerelle descend la tyrolienne jusqu’à une

autre passerelle accrochée au second arbre.

A quelle hauteur se trouve la 2e passerelle ?

Alignés ? **( Le trajet rouge est celui de gauche )

→ Indice : Calcule AE, AF , et EF.

Savon de Marseille **

Un savon de Marseille a la forme d'un pavé droit de largeur 9 cm, de profondeur 6 cm , et de hauteur 4,5 cm. Un trou a été percé à travers ce savon selon la diagonale [AB]. Quelle est la longueur de ce trou ?

****

Réponses :A-1 A-2

A -3 B-1

B-2 B-3

C (ou D ) -1 C (ou D ) -2

C (ou D ) -3 C (ou D ) -4

Tyrolienne : la 2e plate-forme est à 1,64 m de hauteur.

Tunnel : la hauteur du camion ne doit pas dépasser 4,01m

Fourmis : Le trajet rouge mesure environ 3,65 m, il est plus court que le trajet vert qui mesure environ 3,83 m.

Alignés ? : EA = 5,2 cm ; AF = 6,5 cm; EF = 11,7 cm. On remarque que EA+AF = EF donc les pointssont effectivement alignés. Si ce n'était pas le cas on aurait EA+AF > EF ( inégalité triangulaire )

Savon de Marseille : la longueur du trou est environ 11,7 cm.