Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Le théorème de Pythagore Une initiation pour...

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Les carrés

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Le théorème de Pythagore

Une initiation pour petits et grandsUne initiation pour petits et grands

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On peut laisser aller l’animation, mais les boutons permettent d’accéder aux différents sujets : Revenir au début Revoir la démonstration Exemples d’utilisation de la relation Quelques informations sur les carrés Les triplets de Pythagore

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Il était une fois,

Un triangle rectangle.

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Son hypoténuse

Opposée à l’angle

droit

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Si on trace deux côtés perpendiculaires

Le triangle est formé.

Le troisième côté nous est imposé par la

construction.

Sa longueur dépend donc des longueurs choisies pour les deux premiers côtés.

Mais de quelle manière?

C’est le sujet traité ici.

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Le carré de l’hypoténuse.(c'est à dire dont le côté est l'hypoténuse)

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Les carrés des deux côtés de l’angle droit.

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+=

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Théorème de Pythagore

La place occupée par le grand carré (son aire) est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés.

En langage mathématique :

Le Le carrécarré de l ’hypoténuse est égal à la de l ’hypoténuse est égal à la

somme des carrés des deux autres côtés.somme des carrés des deux autres côtés.

X² + Y² = Z² x

y

z

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Prenons un exemple:Prenons un triangle rectangle.

25 cm²

Si un côté mesure 3 cm.

3 cm

Le carré construit sur ce côté mesure 9 cm².

9 cm²

Si l’autre côté mesure 4 cm.

4 cm

Le carré construit sur ce côté mesure 16 cm².

16 cm²La somme des aires de ces deux carrés est de 9 + 16 = 25 cm².

Donc le carré construit sur l’hypoténuse mesure 25 cm².

Donc l’hypoténuse mesure 5 cm, car 5 5 = 25.

5 cm

3² + 4² = 5².

3 cm4 cm

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Par quel miracle cette situation est-elle possible?

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Voici une «démonstration»!

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On s ’intéresse à la moitié de l’un des deux petits carrés.

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L’aire d’un triangle

ne varie pas quand

on déplace un

sommet

parallèlement au côté

opposé.

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QuitterPourquoi?


ne varie pas quand

on déplace un

sommet


opposé.

Suite

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Les carrés

Quitter


ne varie pas quand

on déplace un

sommet


opposé.Suite

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Les carrés

Quitter


ne varie pas quand

on le fait tourner

autour d’un point.

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Les carrés

Quitter


ne varie pas quand

on déplace un

sommet


opposé.

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Les carrés

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Donc les deux

triangles orange

ont la même

aire.

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Si on double l ’aire de ces deux triangles:

Alors on

complète le

carré

Et on complète

aussi le

rectangle.

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Les carrés

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L’aire du

carré ..

… l’aire du

rectangle.

est donc la même que …

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Les carrés

Quitter

On procède de la

même manière pour

l’autre carré.

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On le déplace

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Les carrés

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On le fait tourner

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Les carrés

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On le déplace

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Les carrés

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On double les aires

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Les carrés

Quitter

L’aire du carré ..

… l’aire du rectangle.

est la même que …

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Les carrés

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Donc, finalement, le

grand carré est

rempli par les deux

petits.

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Les carrés

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Une autre manière de voir cette propriété.

Dans un carré donné,

On place quatre triangles

rectangles identiques.Qui laissent

apparaître une surface non occupée

Qui est un carré dont le côté est

l’hypoténuse des triangles

rectangles.

C’est donc le carré de l’hypoténuse.

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Les carrés

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Début

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Les carrés

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Ainsi sont apparus les carrés des

deux côtés de l’angle droit.

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Le carré de l’hypoténuse

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Les carrés

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Est égal à

La somme des deux autres

carrés

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Les carrés

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=

Le carré de l’hypoténuse

Est égal à

La somme des deux autres

carrés

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Les carrés

Quitter

D ’autres exemples d ’utilisation de la

propriété de Pythagore

Début

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Les carrés

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D’autres exemples d’utilisation de la

propriété de Pythagore

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Les carrés

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21 cm

20 c

m

29 cm20² + 21² =

400 + 441 = 841

et 29 29 = 841

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Les carrés

Quitter

15 cm

8 c

m

17 cm

8² + 15² =

64 + 225 = 289

et 17 17 = 289

Début

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Les carrés

Quitter

24 c

m

25 cm

7 cm

25² 24² = 625 576 = 49

et 7 7 = 49

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Les carrés

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Ce sont des exemples de trois longueurs entières

qui permettent de construire des triangles

rectangles. On les appelle des triplets

Pythagoriciens.

On peut créer des triplets

Pythagoriciens .Comment?

Suite

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Les carrés

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GénéralisationLa figure construite sur l’hypoténuse est

équivalente à la somme des figures

semblables construites sur les

deux côtés de l’angle droit.

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Les carrés

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Comment obtenir un carré deux fois plus grand?

1

a 2a

2

34

l’aire du carré est, non pas deux fois, mais

quatre fois plus grande.

Si on double la

longueur du côté

Il faut donc trouver autre chose….

Début

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Les carrés

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Il suffit de construire la diagonale du carré.

Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté.

a

Si a est le côté du petit carré, le carré de l’hypoténuse est

a² + a² = 2 a²

a²

2a²

En savoir plussur les carrés

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Les carrés

Quitter

Il suffit de construire la diagonale du carré.

Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté.

a

Si a est le côté du petit carré, le carré de l’hypoténuse est

a² + a² = 2 a²

a²

2a²

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Les carrés

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Qu’est-ce qu’une racine carrée?

7 cm

4 c

m

Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 7 cm,On calcule la longueur de l’hypoténuse par la relation de Pythagore:

h

h² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65

Pour connaître la valeur de h, on cherche un nombre dont le carré est égal à 65.Il n ’existe pas de nombre entier qui réponde à cette situation.

Par définition, on appelle «racine carrée» de 65 le nombre cherché. On le note 65

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Pour en savoir plus sur les racines carrés,

consulter, dans la même collection

Pythagore et les racines

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Les triplets de Pythagore.Pour que les trois côtés du triangle vérifient la relation de Pythagore, on ne peut pas les choisir au hasard.

Des formules permettent de les fabriquer par le calcul.

x = a² + b²

y = a² - b²

z = 2 a b

x, y et z sont les longueurs des côtés, quand on prend des valeurs entières pour a et pour b

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x = a² + b²

y = a² - b²

z = 2 a b a b

On donne des valeurs à a et à b.

On calcule x, y et z avec ces valeurs.

x = + =

y = - =

z = 2 =

a² b²

a² b²

a b

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Les carrés

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On donne des valeurs à a et à b.

x = a² + b²

y = a² - b²

z = 2 a b a b

x = + =

y = - =

z = 2 =

2² 1²

On vérifie la relation de Pythagore.

2 1

2² 1²

2 1

4 + 1 = 54 - 1 = 3

4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 et 5² = 25 , donc x² = y² + z²

On obtient le triplet

(3, 4, 5)

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Les carrés

Quitter


On donne d’autres valeurs à a et à b.x = a² + b²

y = a² - b²

z = 2 a b a b

x = + =

y = - =

z = 2 =

3² 1²


3 1

3² 1²

3 1

9 + 1 = 109 - 1 = 8

6

8² + 6² = 64 + 36 = 100 et 10² = 100 , donc x² = y² + z²


(6, 8, 10)

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Les carrés

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On donne d’autres valeurs à a et à b.x = a² + b²

y = a² - b²

z = 2 a b a b

x = + =

y = - =

z = 2 =

5² 3²


5 3

5² 3²

5 3

25 + 9 = 34

25 - 9 = 16

30

16² + 30² = 256 + 900 = 1156 et 34² = 1156, donc x² = y² + z²


(16, 30, 34)

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Hau

teur

Hau

teur

L’aire du triangle.

Côté

Son aire : A = 1/2 C H

Si on déplace un sommet sur une parallèle au côté...

Le côté et la hauteur ne changent pas, donc l’aire non plus.

Hau

teur

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Hau

teur

Hau

teur

Hau

teur

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Pythagore Pythagore (v.570-v.490av.J.-C.), philosophe et mathématicien grec dont les

doctrines exercèrent une profonde influence sur Platon. Originaire de l'île de Samos, Pythagore fut initié aux enseignements des premiers philosophes ioniens Thalès, Anaximandre et Anaximène. Pythagore aurait quitté Samos en raison de son aversion pour la tyrannie de Polycrate. Vers 530av.J.-C., Pythagore s'établit à Crotone, colonie grecque dans l'Italie du Sud, où il fonda un mouvement qui nourrissait des aspirations religieuses, politiques et philosophiques, connu sous le nom de pythagorisme. On connaît la philosophie de Pythagore uniquement par l'œuvre de ses disciples.

Doctrines de base Les pythagoriciens adhéraient à certains mystères, semblables à bien des

égards aux mystères de l'orphisme. Obédience et silence, abstinence de nourriture, simplicité vestimentaire, modestie des possessions et examen de conscience, telles étaient leurs règles. Les pythagoriciens croyaient à l'immortalité et à la transmigration des âmes. On rapporte que Pythagore lui-même prétendait avoir été un guerrier de la guerre de Troie, et qu'il se targuait d'avoir pu emporter dans sa vie terrestre le souvenir de toutes ses existences antérieures.

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Pythagore Théorie des nombres Parmi les multiples recherches mathématiques réalisées par les pythagoriciens,

leurs travaux sur les nombres pairs et impairs, et les nombres premiers et carrés eurent une importance fondamentale dans la théorie des nombres. Le concept de nombre devint pour eux le principe ultime de toute proportion, ordre et harmonie dans l'univers. Grâce à ces travaux, ils dotèrent les mathématiques d'un fondement scientifique. En géométrie, la grande découverte de l'école (mais qui fut découverte par d’autres ailleurs à d’autres époques) fut le théorème de l'hypoténuse, ou théorème de Pythagore, qui établit que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Astronomie L'astronomie des pythagoriciens marqua une étape importante dans la pensée

scientifique antique, parce qu'ils furent les premiers à considérer la Terre comme un globe gravitant avec d'autres planètes autour d'un feu central. Ils soutenaient que la disposition harmonieuse des corps célestes s'explique par le fait qu'ils se situent dans une sphère de réalité unique et englobante, se déplaçant selon un plan numérique. Comme ils pensaient que les corps célestes sont séparés les uns des autres par des intervalles correspondant aux longueurs harmonieuses des cordes, les pythagoriciens soutenaient que le mouvement des sphères est à la source d'un son musical, l'“harmonie des sphères”.

Source : Encarta 97

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A propos des carrés

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12

13 14 1

234567891011121314

149162536496481

100121144169196

n n²

+ 3+ 5+ 7+ 9

+ 11+ 13

+ 15+ 17+ 19+ 21+ 23+ 25+ 27

Que se passe-t-il quand le côté augmente?

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1

1 2

3

1 2

5

4

3

1 2 3 4

5

6

7

51 2 3 4

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6

7

8

6

10

11

1 2 3 4 5 6 7

8

9

10

11

12

13

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Pour passer d’un carré au carré suivant

1 2 3 4 5 6 7

8

9

10

11

12

13

Il faut rajouter deux fois le côté précédent

et encore 1

1 2 3 4 5 6 1

12

34

56

(n + 1)² = n² + 2n + 1

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Pour passer d’un carré au carré suivant(n + 1)² = n² + 2n + 1Par exemple :

41² = (40+1)²= 40²+ 240 +1= 1600 + 80 + 1 = 1681

101² = 100² + 2 100 + 1 = 10 201

59² = 60² - 2 59 - 1 = 3 600 - 118 - 1 = 3 481

24² = 25² - 2 24 - 1 = 625 - 48 - 1 = 576

Mais aussi,pour passer d’un carré au carré précédent :

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Les carrés

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Si on multiplie le côté d’un carré par 2

1 2

34

On obtient un carré 4 fois plus grand

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Les carrés

Quitter

7



1 2 3

654

9 8

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Les carrés

Quitter

Si on multiplie le côté d ’un carré par 5

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25


Début

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Exemples

Les carrés

Quitter


Retour

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

111213 14 15 16 17 1819 20

212223 24 25 26 27 2829 30

313233 34 35 36 37 3839 40

414243 44 45 46 47 4849 50

515253 54 55 56 57 5859 60

616263 64 65 66 67 6869 70

717273 74 75 76 77 7879 80

818283 84 85 86 87 8889 90

919293 94 95 96 97 9899100


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