Dr Fouad BOUKLI HACENE E P S T T L E M C E N

A N N É E 2 0 1 5 - 2 0 1 6

Chapitre 7: Ondes mécaniques dans les

solides

2ième partie: ONDES MÉCANIQUES

Objectifs:

1. L’équation d’onde dans les solides 2. Les solutions du problème 3. La notion des ondes stationnaires-Conditions aux limites 4. Mouvement forcé-Modes propres-Résonance 5. Bilan énergétique 6. Réflexion et transmission-Conditions de continuité 7. Quelques Applications,

Définitions:

On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme étant une perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation.

Puisque le milieu est constitué de plusieurs particules en interaction entre elles, les forces internes sont responsables du déplacement de la perturbation.

Cette propagation dépend des propriétés physiques du milieu où l’onde se propage,

Figure 1.7: Propagation dans différents milieux

Ondes élastiques dans les milieux discontinus

On considère maintenant une chaine linéaire à un atome par maille de côté a.

La position au repos du nième atome de masse m est comme le montre la figure 2.5

Une onde mécanique longitudinale libre se propageant long de l’axe est caractérisée par

Figure 2.5 : Chaine d’atomes identiques

)( tkxjAe

On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type comme le montre la figure 3,7 avec k est la constante de rappel:

Figure 3.5 : Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques

2kx2

1

L’équation de mouvement de l’atome du rang n s’écrit:

m

k2

0

En posant la constante:

C’est une équation différentielle d’ordre 2

0)2( 11

2

0 nnnn UUUU

)()( 11 nnnnn UUkUUkUm

)( tkxj

nnAeU

Cette équation différentielle admet pour solution

anxn .Avec:

En remplaçant la solution dans l’équation différentielle; On obtient la relation de dispersion:

jknajkna eek (2)( 2

0

2

knak cos12)( 2

0

2 D’où:

2sin

2sin2)( 0

knaknak c

Avec: 02 c

Finalement la relation de dispersion s’écrit comme suit:

c : est appelée la pulsation de coupure

On constate qu’au dessus de la pulsation de coupure, l’onde mécanique n’est pas transmise; seules les ondes de pulsations inférieurs à la pulsation de coupure peuvent se propager le long du système mécanique considéré,

Un calcul identique appliqué au modèle électrique montre que la ligne électrique représentée sur la figure 4,5, ne transmet que des signaux de pulsations comprises dans l’intervalle:

Figure 4.5 : Modèle électrique équivalent

apind

cCL

k2

)(0

Le système est appelé un Filtre passe Haut

Ondes élastiques dans les solides continus:

Soit un barreau solide homogène, rectiligne et continu de faible section S dont une extrémité est fixé

sur un support rigide fixe.

On applique à l’autre extrémité une force de traction

à la longueur du barreau, on constate un allongement Δl

Figure 5.7 : Allongement due à la force de traction

Les variations relatives: )S

F(f

l

l

Présentent deux aspects fondamentaux

Le premier est appelé le phénomène élastique, dans ce cas la, le barreau reprend sa longueur originale lorsque la force est supprimée, l’intervalle OA.

Le deuxième aspect est représenté dans l’intervalle AB, appelé

la zone non linéaire, à cet effet, même après la suppression de la contrainte, il existe un allongement résiduel ,

Figure 6.7: Comportement de la loi de Hooke

Dans la zone élastique, le phénomène est régi par la loi de Hooke comme suit S

F

E

1

l

l

Où E est une constante propre au matériau, appelée le module de Young qui s’exprime en Newton par mètre carré,

S: est la section du barreau solide

On étudie des ondes longitudinales se propageant le long de l’axe xx’ dans un barreau solide indéformable, homogène et continue.

A cet effet, On considère un élément du barreau, de section S, de

masse volumique ρ, de constante de Young E, de longueur , et de masse comme le montre la figure 4,7

Les deux sections réparties sur les abscisses et sont soumises respectivement aux forces de traction et .

dx dm

dxx x)x(F

)dxx(F

Figure 7.7 : Déformation locale du barreau

D’après la loi de HOOKE, la contrainte normale est exprimée en fonction de la déformation comme suit:

x

USE)x(F

L’équation du mouvement de l’élément s’écrit comme suit: dx

dxx

F)x(F)dxx(F

t

USdx

2

2

est le déplacement subit au plan d’abscisse x par la force F(x) est le déplacement subit au plan d’abscisse x +dx par la force F(x+dx)

)(xU

)( dxxU

On obtient l’équation aux dérivées partielles,

Une équation des ondes élastiques dans les solides

: est La vitesse de propagation qui dépend Des caractéristiques macroscopiques des matériaux,

2

22

2

2

2

2

2

2 ),(),(

x

txUV

t

txU

x

UE

t

U

Pour une onde progressive plane les solutions de l’équation aux dérivées partielles sont de la forme:

)kxt(j0eU)x(U

Où est le module du vecteur d’onde V

k

EV

On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du déplacement de l’onde:

)x(Uj

)x(SEjkU

t

)x(Ux

USE

)x(U

)x(F)x(Z

Ainsi l’impédance en tout point x est calculée comme suit:

cSZVS)x(Z

Où est appelée l’impédance caractéristique du barreau. Elle ne dépend pas de la position du milieu,

cZ

Aspect énergétique:

Lors du passage de l’onde; l’énergie cinétique d’une tranche élémentaire; de volume s’écrit:

2)(2

1

t

sSdxdEc

cdESdxd

L’énergie potentielle; calculée à partir des forces qui interviennent au moment du passage de l’onde:

2)(2

1

x

sESdxdEp

En régime sinusoïdal :

Les densités d’énergies cinétique et potentielle s’écrivent:

)(cos)( 0V

xtUxU

)(sin2

1 22

0

2

V

xtU

dv

dEW c

c

)(sin2

1 22

02

2

V

xtU

VE

dv

dEW

p

p

Avec:

EV

)](2cos1[2

1 2

0

2

V

xtU

dv

dEWWW T

pcT

:est la densité d’énergie totale de l’onde TW

La densité d’énergie totale moyenne de l’onde:

dtV

xtU

TWWW

T

pcT ])(2cos1[2

11

0

2

0

2

2

0

2

2

1UWT

On calcule La puissance reçue au plan x

x

USExF

)(

VFp .

Avec:

t

U

x

USEp

D’où

)(sin 22

0

2

V

xtU

VSEp

)]([sin 22

0

2

V

xtVSUp

La puissance moyenne de l’onde s’écrit:

dtpT

p

T

0

1

D’où: SUVp e

2

0

2

2

1

:Est le flux d’énergie à travers la surface S perpendiculaire à est égale à la puissance mécanique véhiculée par l’onde à travers cette surface,

eT SVWp

eV

L’intensité est définit par la puissance moyenne par unité de surface s’écrit:

eTVWS

pI

Mouvement ondulatoire dans une corde: Soit une onde progressive qui se propage dans une corde libre représentée comme suit:

Figure 8.7 : La corde est au repos

Modèle: On considère une corde sans raideur, homogène, de masse

linéique μ constante, tendue horizontalement sous une tension F.

On définit la masse linéique:

Les effets de la pesanteur sont négligés devant la tension de la

corde

dx

dm

l

m

Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale afin de ne pas déformer le câble et de maintenir la masse linéique constante,

Isolons, dans la zone perturbée, un élément de fil, de longueur dl comme le montre la figure 6,7:

Figure 9.7: Mouvement transversal de la corde

Hypothèses:

On considère les approximations suivantes: Chaque élément de la corde peut être découpé de façon

infinitésimale de façon à être presque parallèle à l'axe x. Les angles sont donc considérés comme petits, La corde est considérée comme déformable mais non

allongeable, La norme des forces dans la corde est constante en tout point

quelque soit la déformation

Le bilan des forces s’écrit: admF

Avec:

2

2

2

2

]sinsin[

]coscos[

t

ydmFF

t

xdmFF

xxdxxdxx

xxdxxdxx

Ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x, et représente l’accélération selon y.

Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement qui donne :

a

1cos

tansin

dxdl

x

yxx

On déduit: 0][ xdxx FF

FFF xdxx

2

2

]sin[sint

ydmF xdxx

dldm

D’autre part, on a:

Avec

2

2

]sin[sint

ydlF xdxx

La déformation de la corde s’effectue perpendiculairement à la direction de propagation.

Une telle onde est dite transversale et une description complète nécessite une représentation vectorielle de cette onde, le vecteur traduisant la déformation étant contenu dans le plan yz perpendiculaire à Ox.

2

2

xdxx t

ydx]

x

y

x

y[F

Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x):

2

2

]

)(

[t

ydxdx

x

x

y

F

2

2

2

2

x

yF

t

y

Il en résulte l’équation aux dérivées partielles:

2

22

2

2

2

2

2

2

x

yV

t

y

x

yF

t

y

FVavec

Elle se nomme "l’équation d’onde des cordes vibrantes".

V: Est la vitesse de propagation de l’onde dans la corde qui dépend des caractéristiques du milieu μ, et de la tension de la corde,

Elle ne dépend ni de la forme, ni de l’amplitude, ni de la fréquence de l’onde,

Corde tendue : Ondes stationnaires : Lorsque la corde est tendue par les deux extrémités, comme

le montre la figure 10,7

Dans ce cas la, on applique les conditions aux bords, comme suit : 0),(),0( tLxytxy

Figure 10.7 : Modèle de la corde tendue

On aura l’interférence des ondes incidentes et les ondes réfléchies, d’où l’apparition des ondes stationnaires. Comme le montre la figure 11,7:

Figure 11,7: Expérience de la corde tendue

En utilisant la méthode des séparations des variables:

)().(),( tTxAtxy

On obtient: 22

)t(T

)t(T

)x(A

)x(AV

D’où la solution s’écrit comme suit :

)()(),(

sincos)(

sincos)(

21

21 tTxAtxyavec

tTtTtT

xV

AxV

AxA

En appliquant les conditions aux limites; on aura:

xkAxA

A

axy

xy

xsin)(

0

0)(

0)0(

2

1

Les longueurs d’ondes associées aux modes propres sont :

n

a

a

n

Vk n

xx

n

x

2)(

2 )()(

Figure 12.7 : Modes propres des ondes stationnaires

On utilise les conditions initiales :

tcosT)t(Tdonc0T0)0t(T n12

Ces solutions quantifiées obtenues en définissent les modes propres de la corde, vérifiant la solution:

12

)( cossin),( BAtxktxy n

n

xn

);( )(

n

n

xk

Les cordes vibrantes sont des résonateurs à fréquences multiples, La mise en vibration peut s’effectuer par :

Pincement (harpe) Percussion (piano) Frottements (violon)

D’où, la solution finale s’écrit sous la forme:

12

1

)( cossin),( BAtxktxyn

n

n

xT

Figure 13.7 : Les cordes de la guitare

Exemple:

Excitation quelconque:

La corde est à présent est soumise à Une excitation quelconque:

La solution s’écrit:

)()(),(V

xtG

V

xtFtxy

Qui doit satisfaire aux conditions aux limites:

0),(

0),0(

tLy

ty )()(),(V

xtF

V

xtFtxy

Ce qui induit:

L

Vnn

1

1

)(sin()(cos()(

)(sin()(cos()(

n

nn

n

nn

V

xtnB

V

xtnA

V

xtF

et

V

xtnB

V

xtnA

V

xtF

La solution s’écrit:

D’où:

1

)cos()sin()sin(2),(n

nn tnBtnAL

xntxy

1

)sin()cos()sin(2),(n

nn tnBtnAL

xnntxy

Après dérivation par rapport au temps:

En appliquant les conditions initiales:

1

1

)sin(2)0,(

)sin(2)0,(

n

n

n

n

L

xnAnxy

L

xnBxy

Ces expressions représentent les développement En série de Fourier des fonctions de périodicité 2L

Les coefficients d’intégrations se calculent comme suit:

dxL

xn

L

xnn

VnA

dxL

xn

L

xn

LB

L

n

n

L

n

n

0 1

0 1

)sin(2)sin(1

)sin(2)sin(1

Corde pincée: La corde est écartée de sa position d’équilibre, et lâchée sans

vitesse initiale comme la corde de la guitare, (figure 112,7),

Figure 14.7 : La corde pincée

Les conditions initiales spatiales s’écrivent:

LxaaL

xLh

axxa

h

ty

0),0(

On obtient le premier coefficient:

0)(),0( nAxAxy

Le deuxième coefficient est égale à:

dx

aL

xLh

L

xndx

a

hx

L

xn

LB

L

a

a

n ))(

)(sin()sin(1

0

En intégrant par partie, on obtient:

)sin(

)()cos()sin()cos(

L

an

aLn

L

L

an

L

an

an

L

L

an

n

hBn

Soit:

)sin()(22

2

L

an

aLan

hLBn

On obtient les solutions générales pour tous les modes:

)cos()(sin)sin()(

),(1

22

2

tnL

xn

L

an

aLan

hLtxy

n

Oscillations forcées d’une corde fixée à ses extrémités:

Soit le dispositif ci-contre dit de « la corde de MELDE »

Figure 15,7: La corde de MELDE

L’extrémité x=L de la corde est fixée et un opérateur impose en x=0 un mouvement transversal :

taty cos),0(

Ce problème correspond à des oscillations forcées: après un régime transitoire où se superposent les oscillations libres amorties et les oscillations forcées à la pulsation ω ,

Pour déterminer ce régime, on cherche une vibration y(x,t), fonction sinusoïdale du temps, de pulsation ω et vérifiant la condition aux limites. 0),( tLy

Seul le régime forcé subsiste

On peut à priori chercher y(x,t) comme onde stationnaire de la forme:

)cos(]sincos[),( kxtBtAtxy

On applique les conditions aux limites:

0),(

0),0(

tLy

ty

)cos(0

cos]sincos[cos

kL

tBtAta

nkL

aA

B

2

cos

0

On peut en conclure que le phénomène de résonnance se présente quand la fréquence de l’excitateur correspond à l’une des fréquences propres de la corde, alors l’amplitude maximale des vibrations tendant vers l’infini si: nkL

Impédance caractéristique:

On définit l’impédance caractéristique Z de la corde par le rapport de la force transversale (dirigée suivant l’axe Oy) de rappel en abscisse x et la vitesse verticale de la corde en abscisse x, qui est s’écrit comme suit:

y

y

v

FZ

Pour une onde plane progressive se propageant vers les x croissants, F(x,t):

)(),( uFtxyV

xtu

)(),(V

xtFtxy

En posant la variable:

u

y

t

u

u

y

t

y

u

y

Vx

u

u

y

x

y

1

On obtient:

De même:

Finalement, l’impédance mécanique s’écrit comme suit:

V

F

u

yu

y

V

F

t

yx

yF

v

FZ

y

y

FV

FZ

y

D’où:

Réflexion et Transmission: La figure 16.7 montre deux cordes ayant la même tension F et de

masse linéaires différentes μ1 et μ2 raccordées au point x=0, appelé point de discontinuité.

Figure 16.7: Modes de transmission et de réflexion d’une onde mécanique

Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il existe une onde transmise vers le milieu 2 et

une onde réfléchie vers le milieu 1. Au point de discontinuité, on applique les conditions de continuité

telle que:

0x

t

0x

r

0x

i

tri

x

)t,x(y

x

)t,x(y

x

)t,x(y

)t,0(y)t,0(y)t,0(y

Pour une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude ai et venant de la gauche (région x˂0) de la forme :

)xktcos(a)t,x(y 1ii

K1 est le vecteur d ’onde dans le milieu 1 et K2 est le vecteur d’onde dans le milieu 2 ,

On obtient alors:

t1

2ri

tri

ak

kaa

aaa

On définit les coefficients de réflexion R et de transmission T:

i

t

i

r

a

aT

a

aR

Après calcul, On obtient :

21

1

0201

01

21

21

0201

0201

2T

kk

k2T

Rkk

kkR

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0R

21

21

21

21

CE QU’IL FAUT RETENIR ! On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme

étant une perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation.

Cette propagation dépend des propriétés physiques du milieu ou l’onde se propage

La corde vibrante est le modèle physique permettant de représenter les mouvements d'oscillation d'un fil tendu. Étant tenue par ses deux extrémités, les vibrations se réfléchissent à chaque extrémité, il y a donc un phénomène d'onde stationnaire. On utilise dans ce cas les conditions aux bords.

Ce modèle permet de comprendre les sons émis par les instruments à cordes,

Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il existe une onde transmise vers le milieu 2 et une onde réfléchie vers le milieu 1. On utilise dans ce cas-là les conditions de continuités au point de séparation.