ONDES MECANIQUES

République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche

Scientifique

Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEFFaculté : SciencesDépartement : PhysiqueDomaine : ST-SM

TOME 2:

ONDES MECANIQUES

Rappels de CoursProblèmes posés aux concours d’entrée aux

Grandes Ecoles Scientifiques

Module : Physique 03Niveau : 2ième Année Licence

Présenté par:Dr Fouad BOUKLI HACENE

Année Universitaire : 2014 /2015

DEDICACES

Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:

Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis,

pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient

moral et matériel qui m'a permis d’achever ce travail.

Je le dédie également à:

Ma très chère femme et mes chers enfants

Mes chers frères et sœurs

Mes oncles et tantes

Toute ma famille et mes proches

Sommaire

Avant propos

Nomenclature

Sommaire

TOME 2 : ONDES

Chapitre 6 : Généralités sur le phénomène de propagation. 139

Chapitre 7 : Propagation d’onde mécanique dans les solides. 164

Chapitre 8 : Propagation d’onde mécanique dans les fluides 206

Références bibliographiques

Nomenclature

)t(p Coordonnées généralisées

TE Energie totale du système

cE Energie Cinétique du système

cE Energie Cinétique moyenne du système

pE Energie potentielle su système

L Lagrangien du système

S Action du système

exeF

Forces extérieures appliquées au système

exeM

Moments extérieurs appliqués au système

0 Pulsation propre du mouvement libre

A Amplitude

Déphasage

0T Période propre du mouvement libre

k Constante de raideur du ressort

C Constante de torsion

J Moment d’inertie

R Rayon d’un disque

m Masse d’un système

ix Coordonnées du système

V

Vitesse du déplacement

Masse volumique

l Longueur du ressort

0l Longueur du ressort à vide

0P Pression du gaz à l’équilibre

0V Volume du gaz à l’équilibre

dx Tranche d’élément entre les positions x et x+dx

apC Capacité électrique

indL Capacité électrique

q Charge qui circule dans le circuit

)t(u Tension d’alimentation

frf

Force de frottement

Coefficient de frottement

Facteur d’amortissement

Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti

T Pseudo Période du mouvement faiblement amorti

)t(f Force extérieure appliquée au système

Pulsation Force extérieure appliquée au système

)t(pg Solution générale du mouvement force

)t(p p Solution particulière

r Pulsation de résonance du mouvement forcé

21 , Pulsation de coupure en régime forcé

Bande passante

Q Facteur de qualité

Z~

Impédance

Masse linéique de la corde

Masse surfacique

T Tension de la corde

Tension linéaire

E Constante de Young

w Longueur d’onde

0k Vecteur d’onde

V Vitesse de propagation

s Coefficient de compressibilité

Avant propos

Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières

scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il

répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques »

enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la

matière.

Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations

et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.

Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques

réparties en Huit chapitres.

Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du

formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude

des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté

est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti

qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse

du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au

quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de

liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées

dans les cinq chapitres.

Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes

mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités

des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre

traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier

chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.

Dr Fouad BOUKLI HACENE

139Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation


TOME 2

ONDES MECANIQUES

Chapitre 6 :

Généralités sur le phénomène de

propagation



Rappels théoriques

L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un

milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière,

comme le montre la figure 1.6.

Figure 1.6 : Mouvement de la vague

Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée

équation d’Alembert où encore équation d’onde décrite comme suit :

2

22

2

2

xV

t

Ou est l’onde qui se propage dans la direction Ox avec une vitesse V.

La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope

et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du

milieu. Elle varie d’un milieu à un autre.

L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie.

On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel

par le vecteur d’onde )k,k,k(k zyx

. Le rapport

V)(k

est appelé la relation

de la dispersion de l’onde.



Il existe deux types de milieux :

Milieu dispersif :

La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du milieu et de la

longueur d’onde, telle quedk

dV g

. Les composantes se propagent avec

des vitesses de phase différentes. Toute fois si le signal de l’onde n’est

pas déformé il se compose d’un groupe d’ondes dont les fréquences se

situent dans une bande très étroite. Nous avons dans ce cas, la vitesse du

groupe gV avec laquelle se déplace le groupe d’onde.

Exemple: ce phénomène se perçoit par exemple dans l'air lorsque

l'amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute

fréquences se propagent plus rapidement que les ondes de basse

fréquence, l'air est dispersif)

Figure 2.6 : Propagation du paquet d’onde

Milieu non dispersif :

La célérité dépend uniquement des propriétés du milieu de propagation,

telle que tetanconsV

)(k

. Elle ne dépend pas de la fréquence,

c’est le cas de la propagation des ondes sonores dans l’air, toutes les



composantes d’un son, quelque soient leurs fréquences, se déplacent à la

même vitesse. C’est ainsi qu’on peut écouter de la musique sans

déformation exécutée par un orchestre.

Il existe deux types d’ondes :

Onde longitudinale :

L’ébranlement est parallèle à la direction de propagation, comme le

montre les figures 3.6-a.et 3.6-b

Figure 3.6-a : Phénomène d’onde longitudinale

Figure 3.6-b : Phénomène d’onde longitudinale dans les gaz

Onde transversale :



L’ébranlement est perpendiculaire à la direction de propagation comme

le montre les figures 4.6-a et 4.6-b

Figure 4.6-a: Phénomène d’onde transversale

Figure 4.6-b: Phénomène d’onde transversale de la corde

Il y a des ondes qui ne sont pas transversale ni longitudinale

comme par exemples les vagues comme le montre les figures

5.6-a et 5.6-b/



5.6-a

5.6-b

Figure 5.6 : Mouvement de la vague

L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :

A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort.

A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau.

Exemple : Lorsqu’on jette une pierre sur une surface d’eau, comme la montre la

figure 6.6 ci-dessous :



Figure 6.6 : Phénomène d’onde circulaire

Le phénomène apparent dans l’image est une onde circulaire se propageant

dans un plan

A trois dimension : Ondes sonores.

Les ondes mécaniques présentent une double périodicité :

Périodicité temporelle : Caractérisée par la période T (s).

Périodicité spatiale : Caractérisée par la longueur d’onde w (m).

Le phénomène de diffraction est une des caractéristiques importante des ondes.

il se manifeste lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les

dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde, voire la

figure 7.6 :



Figure 7.6 : Phénomène de diffraction des ondes

Si deux ondes identiques se rencontrent: c'est le phénomène d'interférence,

voire la figure 8.6 :

Figure 8.6 : Franges d’interférences

D’autres exemples pour le phénomène d’interférence sont :



Figure 9.6 : Phénomène d’interférence des ondes

L’expérience de Young : la lumière passe à travers deux trous

séparés par une distance d. Il apparait sur l’écran alors des

interférences circulaires comme le montre la figure 10.6 ci-

dessus :

Figure 10.6 : Phénomène d’interférence en optique



Le phénomène d’interférence des ondes acoustiques émises par

deux hauts parleurs comme le montre la figure 10.6 :

Figure 11.6 : Phénomène d’interférence d’ondes acoustique

Effet doppler d'une source sonore en mouvement.

L'effet Doppler ou effet Doppler-Fizeau est le décalage de fréquence d’une

onde (onde mécanique, acoustique, électromagnétique, etc.) entre la mesure à

l'émission et la mesure à la réception lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur

varie au cours du temps. Si on désigne de façon générale ce phénomène physique sous

le nom d'effet Doppler, on réserve le terme d'« effet Doppler-Fizeau » aux ondes

électromagnétiques.

Cet effet fut présenté par Christian Doppler en 1842 dans l'article sur la lumière

colorée des étoiles doubles et de quelques autres astres du ciel, confirmé sur les sons

par le chercheur néerlandais Ballot (en utilisant des musiciens jouant une note calibrée

sur un train de la ligne Utrecht-Amsterdam), et fut également proposé par Hippolyte

Fizeau pour les ondes électromagnétiques en 1848.

Reconstitution du passage d’une voiture.



Figure 12.6 : Illustration de la variation de la longueur d’onde en fonction

de la vitesse

Figure 13.6 : passage en supersonique et onde de choc sonore

L'effet Doppler se manifeste par exemple pour les ondes sonores dans la

perception de la hauteur du son d’un moteur de voiture, ou de la sirène d’un véhicule

d’urgence. Le son est différent selon que l’on est dans le véhicule (l’émetteur est



immobile par rapport au récepteur), que le véhicule se rapproche du récepteur (le son

est plus aigu) ou qu’il s’éloigne (le son est plus grave). (Il faut cependant remarquer

que la variation de la hauteur du son dans cet exemple est due à la position de

l'observateur par rapport à la trajectoire du mobile.

Applications

Problème 1 :



Une source émet une onde mécanique ψ de fréquence ν se propageant dans la direction

0x avec une vitesse V constante.

Ecrire l’équation de propagation.

Posant les variables suivantes :V

xtp et

V

xtq .

Montrer que la solution de l’équation est la somme de deux types de signaux.

En déduire la forme de la solution dans le cas d’un milieu homogène linéaire et

infini en régime sinusoïdal.

Solutions :

L’équation de propagation :

2

22

2

2

xV

t

C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles.

Les solutions générales, en utilisant la méthode du changement des variables

qui sont:

V

xtq

V

xtp

Pour le premier terme de l’équation

Pour le premier ordre, on a :

1t

q

1t

p

avect

q

qt

p

pt

On obtient alors :

qpt

Pour le deuxième ordre, on aura :



1t

q

1t

p

avect

q

qpqt

p

qppqpt]

t[

tt 2

2

On obtient alors :

qppqpqt

2

2

2

2

22

2

2

De même pour le deuxième terme :

Pour le premier ordre, on a :

V

1

x

qV

1

x

p

avecx

q

qx

p

px

On obtient :

qpV

1

x

Pour le deuxième ordre, on aura :

V

1

x

qV

1

x

p

avecx

q

qpqx

p

qppqpx]

x[

xx 2

2

On obtient alors :

qppqpqx

2

2

2

2

22

2

2

Apres, on intègre les deux termes dans l’équation de base, on obtient :

)p(0pq

)q(0qp

0pqqp

2

2

1

2

22

D’ou la solution totale s’écrit sous la forme :

)p()q( 21T

On obtient alors la somme de deux types de signaux qui s’écrit sous la forme :



réfléchieOnde)V

xt(

incidenteOnde)V

xt(

)V

xt()

V

xt(

2

1

21T

Les figures 14.6 et 15.6 représentent l’illustration physique des fonctions

)V

xt(1 et )

V

xt(2

Figure 14.6: Ondes progressives dans le sens de la direction positive

Figure 15.6: Ondes réfléchies dans le sens contraire de la direction positive

Dans un milieu homogène infini et en régime sinusoïdal, la solution est de la

forme :



)xV

t(cosA)x,t(

Problème2 :

Une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans un espace cartésien Oxyz

avec une vitesse V constante.

Etablir l’équation de propagation de S

Déterminer les solutions de l’équation différentielle par la méthode de

séparation des variables.

On définit le vecteur d’onde ko et la pulsation ω.

En déduire la forme de la solution générale.

Donner une relation entre ko et ω

L’espace de propagation est une cavité parallépépidique de dimension (a, b, c).

Figure 16.6 : La cavité de la propagation des ondes

On considère qu’à l’instant initial 0)0t(S .

Déterminer les solutions finales.

Solutions :

L’équation de propagation à trois dimensions:



Figure 17.6 : Une onde plane à trois dimensions

On décompose le vecteur d’onde k

en trois composantes )k,k,k( zyx sous la

forme suivante :

2z

2y

2x

2 kkkk

On détermine les composantes )k,k,k( zyx en trois directions:

2

22

2

22z

2

22y

2

22x

t

S

S

1avec

z

S

S

1k

y

S

S

1k

x

S

S

1k

Après sommation terme à terme, On obtient alors :



S

2

2

2

2

2

222

z2y

2x

z

S

y

S

x

S

S

1kkkk

D’ou :

SVt

S 2

2

2

Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des

variables :

)t(T)z(C)y(B)x(A)x,t(S

On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, on obtient

alors :

Cste

t

)t(T)z(C)y(B)x(A

V

1

z

)t(T)z(C)y(B)x(A

y

)t(T)z(C)y(B)x(A

x

)t(T)z(C)y(B)x(A2

2

22

2

2

2

2

2

D’où :

Cste)t(T

)t(T

V

1

)x(C

)x(C

)x(B

)x(B

)x(A

)x(A2

Après le calcul on obtient les équations différentielles comme suit :

Vk

kkkk

avec

0)t(T)t(T

0)z(Ck)z(C

0)y(Bk)y(B

O)x(Ak)x(A

o

2z

2y

2x

2

2

2z

2y

2x

Ainsi que, les solutions sont déterminées comme suit :

tsinTtcosT)t(T

zksinCzkcosC)z(C

yksinBykcosB)y(B

xksinAxkcosA)x(A

21

z2z1

y2y1

x2x1

Dans l’espace limité la propagation de l’onde est confinée. On a l’interférence

des ondes incidentes et réfléchies, d’où l’apparition des ondes stationnaires

dans les trois directions. A cet effet l’onde finale est régie par les conditions aux

bords.

En appliquant les conditions aux limites suivantes :



0)cx(C)0x(C

0)by(B)0y(B

0)ax(A)0x(A

On obtient les solutions :

c

pket0C

b

mket0B

a

nket0A

)m(z1

)m(y1

)n(x1

Avec les conditions initiales :

0T0)0t(S 2

Les solutions finales s’écrivent alors :

tcosT)t(T

zksinC)z(C

yksinB)y(B

xksinA)x(A

1

z2

y2

x2

D’ou :

tcoszksinyksinxksinTCBA)t,z,y,x(S p,m,n)p(

z)m(

y)n(

x1222p,m,n

Ainsi la solution totale pour tous les modes propres est :

1222n m p

p,m,n)p(

z)m(

y)n(

xT TCBAavectcoszksinyksinxksin)t,z,y,x(S

Problème 3 :

Un haut parleur envoie dans l’air des ondes sonores S de fréquence ν se propageant à

symétrie sphérique avec une vitesse V constante. A tout instant, l’amplitude de l’onde

sonore sera la même sur une surface centrée sur le haut parleur.

Ecrire l’équation de propagation de S.

Résoudre l’équation aux dérivées partielles.

Exprimer la solution générale dans le cas d’un milieu infini en régime

sinusoïdal. Interpréter les résultats.



Solutions :

L’onde se propage d’une manière sphérique dans un milieu à symétrie radiale.

Figure 18.6 : Forme de l’onde sphérique


SVt

S 2

2

2

La solution générale de l’équation aux dérivées partielles :

Pour un milieu ayant une symétrie radiale on a le rayon de la sphère r qui se

calcule comme suit:

2222 zyxr

Alors, la solution )t,z,y,x(S ne dépend que de la variable r devient :

)t,r(S)t,z,y,x(S

Pour la variable x :

r

S

r

x

x

r

r

S

x

S

Pour la deuxième dérivée :

2

2

2

2

2

2

r

S

r

1

r

S

r

1

r

x

r

S

r

1

x

r

r

S

r

1

rx

x

x

r

S

r

1

r

S

r

x

xx

S

xx

S

D’où :

2

2

2

2

2

2

2

2

r

x1

r

S

r

1

r

S

r

x

x

S



De même pour la direction y :

2

2

2

2

2

2

2

2

r

y1

r

S

r

1

r

S

r

y

y

S

De même pour la direction z :

2

2

2

2

2

2

2

2

r

z1

r

S

r

1

r

S

r

z

z

S

On somme pour les trois directions, on obtient :

r

S

r

2

r

SS

z

S

y

S

x

S2

2

2

2

2

2

2

2

Après transformation on aura :

2

2

r

)rS(

r

1S

D’où :

2

2

22

2

t

)rS(

V

1

r

)rS(

En posant la nouvelle variable :

rS

L’équation aux dérivées partielles devient :

2

2

22

2

tV

1

r

La solution s’écrit sous la forme :

)V

rt()

V

rt()r,t( 21

D’où la solution globale devient :

)

V

rt(g)

V

rt(f

r

1)t,r(S

On a deux types d’onde : Une onde sphérique incidente et une onde sphérique

réfléchie.

La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal dans un milieu infini

devient comme suit :

2222 zyxravec)V

rt(cos

r

1)t,r(S



On obtient une onde sphérique incidente sinusoïdale comme le montre la figure

10.6.

Figure 19.6 : Forme conique de l’Onde

Le facteurr

1représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique qui

est due à la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même

manière.

Problème 4 :

Soit une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans le plan (0xy) avec une

vitesse V constante.

Ecrire l’équation de propagation.

Déterminer les solutions en utilisant la méthode de séparation des variables.

On pose les conditions suivantes :

0)0y(y

S,0)0x(S

Déterminer les solutions générales.

Application :

Etablir l’équation de propagation dans le cas d’un jet de pierre sur une surface

d’eau.

En déduire les solutions générales.



Figure 20.6 : Mouvement ondulatoire circulaire à la surface de l’eau

Solutions :

La propagation se fait à deux dimensions suivant le schéma :

Figure 21.6 : Mouvement d’une onde a deux dimensions

L’équation de propagation à deux dimensions s’écrit comme suit:

2

2

2

22

2

2

y

S

x

SV

t

S



Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des

variables :

)t(T)y(B)x(A)x,t(S

On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, on obtient

alors :

Cste

t

)t(T)y(B)x(A

V

1

y

)t(T)y(B)x(A

x

)t(T)y(B)x(A2

2

22

2

2

2

D’où :

Cste

t

)t(T)y(B)x(A

V

1

y

)y(B)t(T)x(A

x

)x(A)t(T)y(B

2

2

22

2

2

2

Après simplification on obtient :

Cste)t(T

)t(T

V

1

)x(B

)x(B

)x(A

)x(A2

On en déduit que :

20

2

)t(T

)t(T]

)y(B

)y(B

)x(A

)x(A[V)t(T)y(B)x(A)y,x,t(S

Après le calcul on obtient les équations différentielles séparées :

Vk

kkkavec

0)t(T)t(T

0)y(Bk)y(B

O)x(Ak)x(A

o

2y

2x

2O

2

2y

2x

D’ou les solutions sont déterminées comme suit :

tsinTtcosT)t(T

yksinBykcosB)y(B

xksinAxkcosA)x(A

21

y2y1

x2x1

L’espace de propagation est limité (fini), on obtient des ondes stationnaires dans

les trois directions.

En appliquant les conditions aux limites On obtient :

a

nket

0B

0A

0)0y(y

S0)0x(S

)n(x

1

2

Les solutions s’écrivent alors :

ykcosB)y(B

xksinA)x(A

y1

)n(x2

Les solutions générales sont :



22n

)m(y

)n(xT BAavec)t(yTkcosxksin)t,y,x(S

Application :

Dans le cas d’une membrane circulaire de rayon R, l’équation de propagation

est sous forme :

2

2

2

2

2

2

t

zz

y

z

x

z

D’où :

2

2

t

z)

r

zr(

rr

1)r(z

Ainsi, la célérité de l’onde est égale a :

V

La forme de la solution générale de l’équation de propagation :

)r(YA)r(JA)y,x,t(z 21

Où )r(Y),r(J sont les fonctions de Bessel et Neumann.

Figure 21.6 : Représentation des fonctions de BesselA gauche : Première espèce Jm(r)Adroite : Seconde espèce Ym(r)

164Chapitre 7: Propagation d’ondes mécaniques dans les solides


Chapitre 7

Propagation d’onde mécanique

dans les solides



Rappels théoriques

On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme étant une

perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation. Puisque le milieu est

constitué de plusieurs particules en interaction entre elles, les forces internes sont

responsables du déplacement de la perturbation. Cette propagation dépend des

propriétés physiques du milieu où l’onde se propage.

Figure 1.7: Propagation dans différents milieux

Onde élastique dans le solide :

Soit un barreau solide homogène, rectiligne et continu de faible section S dont une

extrémité est fixé sur un support rigide fixe. On applique à l’autre extrémité une force

de traction F

à la longueur du barreau, on constate un allongement l.



Figure 2.7 : Allongement due à la force de traction

Les variations relatives )S

F(f

l

l

présentent deux aspects fondamentaux. Le premier

est appelé le phénomène élastique, dans ce cas la, le barreau reprend sa longueur

originale lorsque la force est supprimée, l’intervalle OA. Le deuxième aspect est

représenté dans l’intervalle AB, appelé zone non linéaire, à cet effet, même après la

suppression de la contrainte, il existe un allongement résiduel comme le montre la

figure 3.7



Figure 3.7: Comportement de la loi de Hooke

Dans la zone élastique, le phénomène est régi par la loi de Hooke comme suit

S

F

E

1

l

l

Où E est une constante propre au matériau, appelée module de Young qui s’exprime

en Newton par mètre carré.

On étudie des ondes longitudinales se propageant le long de l’axe xx’ dans un

barreau solide indéformable, homogène et continue. A cet effet, On considère

un élément du barreau de section S, de masse volumique, de constante de

Young E, de longueur dx , et de masse dm . Les deux sections réparties sur les

abscisses x et dxx sont soumises respectivement aux forces de traction

)x(F et )dxx(F .

L’équation du mouvement de l’élément dx s’écrit comme suit :

dxx

F)x(F)dxx(F

t

USdx

2

2

D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la

déformation comme suit :

x

USE)x(F

On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes

élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des

caractéristiques macroscopiques des matériaux :

EVavec

x

UV

t

U

x

UE

t

U2

22

2

2

2

2

2

2



Figure 4.7 : Déformation locale du barreau

Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles

sont de la forme:

)kxt(j0 eU)x(U

OùV

k

est le module du vecteur d’onde.

On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le

rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du

déplacement de l’onde :

)x(Uj

)x(SEjkU

t

)x(Ux

USE

)x(U

)x(F)x(Z

Où l’impédance en tout point x est calculée comme suit :

cSZVS)x(Z

Où cZ est appelée l’impédance caractéristique du barreau. Elle ne dépend pas de

la position du milieu.



Mouvement ondulatoire dans une corde

Nous allons voir comment une onde peut progresser dans une corde libre représentée

comme suit.

Figure 5.7 : La corde est au repos

Soit une corde de longueur l et de masse m, la masse linéique μ (supposée constante le

long de celle-ci) est définit comme suit :

dx

dm

l

m

Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale (afin de ne pas déformer

le câble et maintenir constant sa masse linéique). Isolons, dans la zone perturbée, un

élément de fil, de longueur dl :

Les Approximations sont les suivantes:

Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon

à être presque parallèle à l'axe x. Les angles )t,dxx(),t,x( sont donc

considérés comme petits

La corde est considérée comme déformable mais non allongeable donc la norme

des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.

Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure 6.7 ci-dessous :



Figure 6.7: Mouvement transversal de la corde

Le bilan des forces s’écrit :

dldmavec

t

ydm]sin[sinF

0]cos[cosFadmF

2

2

xdxx

xdxx

Ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x, et a

représente l’accélération selon

y. Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement

qui donne :

dxdl

x

yxtanxsin

La loi de Newton appliquée à la masse dxdm donne (nous considérons que

chaque point de masse se déplace seulement selon y car il n'y a pas

allongement) :

Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x) :

2

2

xdxx t

ydx]

x

y

x

y[F

Il en résulte l’équation aux dérivées partielles :

FV

x

yV

t

y

x

yF

t

y2

22

2

2

2

2

2

2

Elle se nomme "l’équation d’onde des cordes vibrantes".



Nous vérifions les unités de

Fsont celles du carré d'une vitesse 2)s/m( ,

comme l'exige l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture, nous posons :

FV

Le Fouet

Le fouet est une corde dont la masse linéique diminue avec la longueur, très

massique prés de la poignée et peu massive à l’autre extrémité représenté dans la

figure 7.7.

Lorsqu’on agite le fouet, l’onde ne se déplace pas de la même vitesse, car la vitesse

dépend de la masse linéique. La grande vitesse atteinte par l’extrémité du fouet peut

déplacer une quantité d’air et ainsi provoquer un claquement.

Figure 7.7 : Le fouet

Corde tendue : Ondes stationnaires :



Lorsque la corde est tendue par les deux extrémités, on aura l’interférence des

ondes incidentes et les ondes réfléchies, d’où l’apparition des ondes

stationnaires. Dans ce cas la, on applique les conditions aux bords, comme suit :

0)t,ax(y)t,0x(y

On obtient les modes propres :

Nnaveca

nk n

Le schéma est représenté dans la figure 8.7

Figure 8.7 : Modèle de la corde tendue

Le premier dispositif expérimental qui illustre l’expérience de la production

des ondes stationnaires est celui de « MELDE » représenté dans la figure 9.7.



Figure 9.7: Dispositif expérimental de « MELDE »

Expérience générale :

Une corde de longueur L est placée horizontalement sur deux tiges en fer, à l’une des

extrémités de la corde nous attachons un poids de masse M. Un vibreur fait vibrer la

corde selon une intensité variable. Nous constatons qu’il se produit un mouvement

particulier de la corde qui présente des ventres et des nœuds en différents points.

Figure 10.7 : Expérience de la corde tendue



Autres applications :

Les cordes vibrantes sont des résonateurs à fréquences multiples :

La mise en vibration peut s’effectuer par :

Pincement (harpe)

Percussion (piano)

Frottements (violon)

Figure 11.7 : cordes de la guitare

Réflexion et transmission

La figure 12.7 montre deux cordes ayant la même tension et de masse linéaires

différentes raccordées au point x=0, appelé point de discontinuité.



Figure 12.7: Modes de transmission et de réflexion d’une onde mécanique

Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il

existe une onde transmise vers le milieu 2 et une onde réfléchie vers le milieu 1.

Au point de discontinuité, on applique les conditions de continuité telle que :

0x

t

0x

r

0x

i

tri

x

)t,x(y

x

)t,x(y

x

)t,x(y

)t,0(y)t,0(y)t,0(y

Mouvement transversal dans une membrane

On considère un petit élément de cotés )dy,dx( dans une membrane

caractérisée par une tension par unité de longueur et une masse

surfacique sM . On définit )t,y,x(w le déplacement transversal local et

)t,y,x(f la densité surfacique des forces extérieures.



Figure 13.7 : Mouvement ondulatoire de la membrane

En appliquant la loi dynamique de Newton pour l’élément )dy,dx( :

2

2

s2

2

2

2

t

wdxdyMdxdy)t,y,x(f

y

wdxdy

x

w

x

wdx

x

wdydx

x

w

x

wdy

Avec :

2

2

s2

2

2

2

t

wdxdyMdxdy)t,y,x(f

y

w

x

wdxdy

En considérant que la force extérieure est nulle 0)t,y,x(f :

L’équation d’Alembert aux dérivées partielles devient alors :

2

22

2

2

2

2

2

2

s t

wwV

t

w

y

w

x

w

M

La quantitésM

représente la célérité de la propagation de l’onde dans la membrane.

Les solutions devront satisfaire les conditions aux limites sur le contour .

Pour fixe : on a )y,x(pour0)y,x(w

Pour libre: on a

)y,x(pour0

n

)y,x(w

n Représente la dérivée de )y,x(w dans la direction normale de n



Applications

Problème 1 :

Soit une corde vibrant transversalement dans le plan Oxy . L’équation de mouvement

est de forme )t,x(fy . Soient T et μ la tension et la masse linéique de la corde à

l’équilibre.

Figure 14.7 : La corde libre

Ecrire l’équation de propagation de l’onde.

En déduire la célérité V des oscillations.

On considère que l’ébranlement original est sinusoïdal.

Déterminer les solutions de l’équation de propagation en utilisant la

méthode des séparations des variables.

Maintenant la corde est fixée par les deux extrémités de distance a, lâchée sans vitesse

initiale.



Figure 15.7: La corde tendue

Déterminer la forme de la solution générale.

Montrer que les fréquences de vibration de la corde sont multiples entier

d’une fréquence fondamentale f1.

Application numérique :

Pour la troisième corde de la guitare de longueur a=63cm en nylon, de masse

volumique ρ=1200kg/m3 et de section S=0.42mm2.

Calculer la tension de cette corde pour qu’elle puisse émettre le son

fondamental f1=147Hz (note ré).

La corde maintenant est écartée de la position d’équilibre à l’instant t=0,

telle que représentée par la figure 16.7 et lâchée sans vitesse initiale:



Figure 16.7 : La corde écartée de sa position initiale

Déterminer la solution générale de l’équation de propagation.

Solutions :

L’équation de propagation aux dérivées partielles s’écrit:

2

22

2

2

2

2

2

2

x

yV

t

y

x

yT

t

y

la célérité de l’onde est égale :

TV

Les solutions de l’équation de propagation de l’onde libre :

En utilisant la méthode des séparations des variables

)t(T)x(Ay

On obtient :

22

)t(T

)t(T

)x(A

)x(AV

D’où la solution s’écrit comme suit :

)t(T)x(A)t,x(ytsinTtcosT)t(T

xV

sinAxV

cosA)x(A

21

21

La corde est maintenant fixée :

les conditions aux limites nous donnent :

a

n)

V(k

xksinA)x(A

0A

0)ax(y

0)0x(yx

)n(x

x2

1

La solution s’écrit sous la forme:



xksinA)x(A )n(x2

Les longueurs d’ondes associées aux modes propres sont :

n

a2

a

n)

V(

2k x

)n(x

La figure ci-dessus, Figure 14.7 illustre les différents types des modes

propres :

Figure 17.7 : Modes propres

les conditions initiales nous donnent :

tcosT)t(Tdonc0T0)0t(T n12

D’où, la solution finale s’écrit:

12

1n

n)n(

xT BAavectcosxksin)t,x(y

Les fréquences propres des vibrations de la corde :

T

a2

1favecnff

a

n

V

f2

Vk 11n

nn)n(x


N3.17TSfa4TT

a2

1f 2

12

1

La corde pincée en son milieu :

L’équation de la corde à l’instant initial dans ce cas est de la forme :



ax2

apour

2

ax0pour

)xa(a

h2)0,x(y

xa

h2)0,x(y

En appliquant la condition initiale :

0)0t,x(y

On obtient :

ax2

apour

2

ax0pour

)xa(a

h2)0,x(y

xa

h2)0,x(y

xa

nsin)0,x(y

1n

On multiplie les deux membres par xa

nsin

et on intègre sur a,0

2

a

0

2

a

01n

a

0

2 xdxa

nsin)

a

x1(h2xdx

a

nsinx

a

h2xdx

a

nsin

Après intégration, on obtient :

2

nsin

)n(

h8

2

nsin

)n(

ha4

2

a22

1n

La solution finale s’écrit alors :

12

1n

n2T BAavectcosxa

nsin

2

nsin

)n(

h8)t,x(y

Problème 2:

Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique, tendue par une

force de tension d’intensité F constante. La corde au repos est horizontale et

matérialisée par l’axe Ox .

Au cours de la propagation d’une onde, le point M de la corde, d’abscisse x au repos

subit le déplacement transversal y(x, t) à l’instant t. On néglige l’influence de la

pesanteur sur la corde, mais on tient compte de la force d’amortissement dirigée

suivant l’axe Ox , OyOx et de valeur algébrique : )t,x(bV par unité de

longueur (avec b0), oùt

y)t,x(V

est la vitesse transversale de l’élément de la

corde d’abscisse x à l’instant t.

Etablir l’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x, t).



On définit k le vecteur d’onde de cette onde. On supposera l’amortissement faible

(b).

Etablir la relation de dispersion sous la forme :

c

)](jg1[)(k

Exprimer les coefficients g et c en fonction des données F, et b.

En déduire l’équation de l’onde y(x, t). Que peut on dire sur y(x, t) ?

On définit l’impédance mécanique complexe

)t,x(V

TZ~ y

Où yT désigne la projection sur Oy de la tension de la corde en M(x).

Exprimer l’impédance mécanique complexe Z~

de la corde en fonction de

F, , b. et.

Solutions :

Soit le schéma d’un élément de la corde subit des forces de tensions et de frottement

comme suit :

Figure 18.7 : Mouvement oscillatoire de la corde sous la force de frottement

En appliquant la loi dynamique de Newton, on a :

dldmavec

t

ydm]sin[sinFf

0]cos[cosF

admF2

2

xdxxfr

xdxx

L’équation du mouvement s’écrit :



2

2

xdxxt

ydx])

x

y()

x

y[(Fdx

t

yb

xletx

ysin

On obtient alors :

2

2

2

2

t

ydxdx

x

yFdx

t

yb

L’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x, t) :

t

y

F

b

t

y

V

1

x

y

t

y

F

b

t

y

Fx

y2

2

22

2

2

2

2

2

La célérité de l’onde est égale a :

FV

La relation de dispersion )(k :

On remplace la forme de la solution sinusoïdale dans l’équation de propagation,

on obtient :

t

Ae

F

b

t

Ae

V

1

x

)Ae(Ae)x,t(y

)xkt(j

2

)xkt(j2

22

)xkt(j2)xkt(j

Après simplification, On aura :

F

bj)(

V

1k 2

2

2*

La relation de dispersion devient alors :

)2

bj1(

c)(kb

Ainsi que les coefficients sont déterminés comme suit :

2

b)(get

Fc

La solution de l’équation de l’onde y(x, t)s’écrit alors :

)c

xt(j

c2

bx

eAe)x,t(y

C’est une onde progressive amortie.

L’impédance mécanique complexe s’écrit:

t

yx

y

F)t,x(V

TZ~ y



D’ou

)2

bj1(FZ

~

Problème 3 :

Partie A : Equation de la corde vibrante :

Une corde Homogène et inextensible, de masse linéique, est tendue horizontalement

suivant l’axe Ox avec une tension F constante, voire la figure 19.7.

La corde, déplacée de sa position d’équilibre, acquiert un mouvement décrit à l’instant

t par le déplacement quasi vertical y(x, t), compté à partir de sa position d’équilibre,

d’un point M d’abscisse x au repos.

A l’instant t, la tension )t,x(T exercée par la partie de la corde à droite de M sur la

partie de la corde à gauche de M, fait un petit angle )t,x( avec l’horizontale.

On admettra petit, faible courbure de la corde, et on négligera les forces de

pesanteur.

Figure 19.7 : Mouvement de la corde

Equation des cordes vibrantes :

On considère le tronçon de la corde compris entre les abscisses dxx,x .

Etablir l’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante.

En déduire la célérité V de l’onde en fonction de et F.



Partie B : Analogie électrique :

Soit une tranche d’une cellule électrique sans perte représentée dans la figure 20.7

comme suit :

Figure 20.7 : une tranche d’une cellule électrique sans perte

Montrer que la cellule électrique représentée ci dessus constitue un circuit

analogique d’un élément de corde vibrante de longueur dx

Exprimer les correspondants mécaniques de l’inductance linéique Lind, de la

capacité linéique Cap, de l’intensité du courant i(x, t) et de la tension électrique

u(x, t).

Solutions :

Partie A :

L’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante :

En appliquant la loi dynamique sur l’élément de la corde, on a :

dldmavec

t

ydm]sin[sinF

0]cos[cosF

admF2

2

xdxx

xdxx

L’équation du mouvement s’écrit :

2

2

xdxxt

ydx])

x

y()

x

y[(F

xletx

ysin

On obtient :

2

2

2

2

t

ydxdx

x

yF



D’ou l’équation aux dérivées partielles du déplacement )x(y s’écrit:

2

2

22

2

2

2

2

2

t

y

V

1

x

y

t

y

Fx

y

La célérité de l’onde est égale à :

FV

Partie B :

L’équation de propagation de l’onde dans la cellule électrique :

En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :

t

iL

x

ut

uC

x

i

0i

0U

ind

ap

En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des

ondes de courant et de tensions comme suit :

2

2

apind2

2

t

iCL

x

i

La célérité de l’onde de courant est égale à :

apind CL

1V

L’équivalence mécanique-électricité :

t

y)t,x((i

F

1C

L

Avec

t

y

Fx

y

t

iCL

x

i

ap

ind

2

2

2

2

2

2

apind2

2

Problème 4 :



Deux cordes, de masses linéiques 1 et 2, sont attachées à la jonction O pour former

une longue corde tendue horizontalement suivant l’axe Ox avec une force de tension

d’intensité F. On choisit l’abscisse x=0 à la jonction O des deux cordes.

Une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude ai et venant de la

gauche (région x0) de la forme :

)xktcos(a)t,x(y 1ii

A la jonction O il y a une onde réfléchie dans la région x0 et une onde transmise vers

la région x0. On définit k1 et k2 respectivement comme étant les vecteurs d’ondes

dans les régions x0 et x0 :

Exprimer les deux équations de continuité au niveau de la jonction O deux

relations qui lient les amplitudes rti a,a,a et le rapport2

1

k

k.

En déduire les coefficients de réflexioni

r

a

aR et de transmission

i

t

a

aT

pour l’amplitude en fonction de k1 et k2, puis en fonction de 1 et 2.

Commenter.

Application numérique : On attache en O un fil d’acier(1) de diamètre d1=2

mm et un fil d’acier (2) de diamètre d2=1.2mm.

Calculer, pour l’onde qui se propage du fil (1) vers le fil (2), les coefficients R

et T.

Solutions :

Les deux équations de continuité :

En appliquant les deux équations de continuités :

0x

t

0x

r

0x

i

tri

x

)t,x(y

x

)t,x(y

x

)t,x(y

)t,0(y)t,0(y)t,0(y

On obtient alors :

t1

2ri

tri

ak

kaa

aaa

Les coefficients de réflexion et de transmission :



i

t

i

r

a

aT

a

aR

On obtient :

21

1

0201

01

21

21

0201

0201

2T

kk

k2T

Rkk

kkR

Commentaires :

0Tet0R

0R

21

21

21

21


%75Tdd

d2T

kk

k2T

a

aT

%25Rdd

ddR

kk

kkR

a

aR

21

1

0201

01

i

t

21

21

0201

0201

i

r

Problème 5:

Soit U une onde mécanique longitudinale se propageant suivant l’axe Ox dans un

barreau cylindrique homogène indéformable de masse volumique , de module de

Young E de longueur l et de section droite S.

Ecrire l’équation de propagation d’Alembert.

Déterminer la solution U(x, t) de l’onde.

Déterminer l’impédance mécanique Z(x) à la position x. En déduire

l’impédance caractéristique du milieu Zc.

Solutions

L’équation de propagation des ondes :

EVavec

x

UV

t

U

x

UE

t

U2

22

2

2

2

2

2

2



Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles

sont de la forme:

)kxt(j0 eU)x(U

OùV

k

est le module du vecteur d’onde.

On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le

rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du

déplacement de l’onde :

)x(Uj

)x(SEjkU

t

)x(Ux

USE

)x(U

)x(F)x(Z

Où l’impédance en tout point x est calculée comme suit :

cSZVS)x(Z

Problème 6:

Un barreau cylindrique d’aluminium, de masse volumique de longueur l et de

section droite, subit un allongement relatif :

E

F

l

l

Sous l’effet d’une force F d’étirement dans le sens de l’axe x0 du barreau ; la

constante E est le module d’Young du métal. On négligera les variations de la section

du barreau. Lors du passage d’une onde acoustique, l’élément de barreau compris entre

les plans de section voisins d’abscisses dxx,x se déplacent respectivement de

)t,x(s et )t,dxx(s à l’instant t par rapport à leur position d’équilibre ;

Montrer que l’élongation )t,x(s obéit à une équation de propagation d’ondes.

Calculer la célérité V de ces ondes dans le barreau d’aluminium pour lequel :

= 2700kg/m3 et E= 71010 Pa

Soit une onde plane progressive acoustique d’amplitude a0 :



)V

xt(coa)t,x(s 0

Calculer dans ce cas la variation relative maximale max de volume de l’élément

de barreau )dxx,x( entre les instants 0 et t ;

La tension T(x, t) du barreau au niveau de sa section droite d’abscisse x, à

l’instant t.

Le barreau de longueur l, fixé à une de ses extrémités O, est libre à l’autre extrémité A.

On cherche la solution de l’équation de propagation de l’onde sous la forme

tsin)x(g)t,x(s

Déterminer la fonction g(x), on notera a l’amplitude de cette fonction spatiale.

On prend comme conditions aux limites :

0)t,lx(x

set0)t,0x(s

Déterminer les fréquences propres du barreau en fonction de E, l, et d’un

entier N.

Dans les conditions où le son le plus grave a une fréquence f0=2KHz,

Déterminer :

La longueur l= OA du barreau cylindrique.

L’énergie cinétique moyenne )t(Ec de ce barreau en fonction de sa masse M et

de la vitesse maximale maxV d’un élément du barreau.

Solution :

L’équation de propagation d’ondes :

Soit un élément du barreau représenté comme suit :



Figure 21.7 : L’élément du barreau soumis à des forces de tractions

En appliquant la loi dynamique de newton :

2

2

t

sdm)t,x(T)dxx(TamF

L’équation du mouvement de l’élément dx s’écrit comme suit :

dxx

T)x(T)dxx(T

t

sdx

2

2

D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la

déformation comme suit :

x

sE)x(T

On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes

élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des

caractéristiques macroscopiques des matériaux.

L’équation du mouvement s’écrit alors :



2

22

2

2

2

2

2

2

x

sV

t

s

x

sE

t

s

La célérité de l’onde est égale :

EV


s/m1610E

V

La variation relative max et la tension T(x, t) :

)V

xt(sinESa)t,x(T

V

a0

0max

La fonction g(x) :

En utilisant la méthode des séparations des variables, on a :

tsin)x(g)t,x(s

On obtient :

0)x(g)V

(dx

)x(gd 2

2

2

D’où :

xV

sinAxV

cosA)x(g 21

Alors la solution générale s’écrit :

tsinxV

sinAxV

cosA)t,x(s 21

En utilisant les conditions aux bords, on aura :

0A

xV

sina)x(g0)0(g0)t,0(s

1

Les fréquences propres du barreau :

En utilisant la condition au bord :

0)x

s( lx

On obtient :

2

)1N2(cos)l

Vcos(0)l

Vcos(0)

x

g( lx



Les fréquences propres sont :

l4

V)1N2(f N

La longueur l= OA du barreau cylindrique :

On a la relation de dispersion :

2

)1N2(l

V

Pour le son le plus grave, c'est-à-dire, N=0 : on a :

l4

Vf0

D’où la longueur du barreau est égale :

cm31E

f4

1l

0

L’énergie cinétique moyenne :

l

0

2c

22c )a(M

8

1)t(ESdx)

t

s(

2

1dmv

2

1)t(E

Problème 7:

On se propose d’étudier la propagation d’une onde transversale à la surface S d’une

membrane tendue. On considère une membrane rectangulaire dans l’espace plan Oxyz

et dont les axes sont Oz,Oy,Ox . Soit un élément ds dont les cotes sont soumises a des

tensions linéaires , comme le montre la figure 22.7 comme suit :



Figure 22.7 : Mouvement transversal de la membrane

Etablir l’équation de propagation de l’onde sachant que la membrane a une

masse surfacique σ.

Trouver les solutions de l’équation différentielle par la méthode des séparations

des variables.

En déduire la forme de la solution générale de l’équation de propagation.

Solutions :

En appliquant la loi dynamique de Newton

dxdy)y

z

x

z(

t

zdxdyadmF

2

2

2

2

2

2

L’équation de propagation de l’onde :

2

2

22

2

2

2

2

2

t

z

V

1z

t

z

y

z

x

z

La célérité de l’onde est égale à

V

Les solutions de l’équation différentielle :

En utilisant la méthode de séparation des variables :



)t(T)y(B)x(A)y,x,t(z

On obtient :

2

2

22

2

2

2

t

)]t(T)y(B)x(A[

V

1

y

)]t(T)y(B)x(A[

x

)]t(T)y(B)x(A[

D’où

Cste)t(T

)t(T

V

1

)y(B

)y(B

)x(A

)x(A2

Après le calcul, on obtient les équations différentielles séparées comme

suit:

Vk

kkkavec

0)t(T)t(T

0)y(Bk)y(B

O)x(Ak)x(A

0

2y

2x

20

2

2y

2x

Dont les solutions sont de la forme :

tsinTtcosT)t(T

yksinBykcosB)y(B

xksinAxkcosA)x(A

21

y2y1

x2x1

Ainsi, la solution totale s’écrit sous la forme:

)tsinTtcosT)(yksinBykcosB)(xksinAxkcosA()t,y,x(Z 21y2y1x2x1

Problème 8 :

Une ligne de transmission téléphonique, parallèle à l’axe Ox , sans pertes, peut être

décomposée en cellules élémentaires de longueur dx . Cette ligne est caractérisée par

son inductance linéique indL et sa capacité linéique

apC . Comme le montre la figure

23.7 ci dessous :



Figure 23.7 : Elément de la ligne électrique

Montrer que le courant i(x, t) et la tension u(x, t) obéissent à une même équation

d’onde d’Alembert que l’on déterminera.

Exprimer en fonction de indL et

apC la célérité V de la propagation de l’onde de

courant et de l’onde de tension sur cette ligne.

On admet qu’une onde progressive harmonique de courant se propage dans cette ligne,

supposée infinie :

)V

xt(cosi)t,x(i 0

Montrer qu’en tout point de la ligne, on a )t,x(iZ)t,x(u c où l’impédance

caractéristique cZ est une constante qu’on exprimera en fonction de indL et

apC .

La ligne, située dans l’espace x0, s’étend jusqu’en x=0 où elle est fermée sur une

résistance R. On alimente la ligne par une tension par tension sinusoïdale de pulsation

L’onde de courant s’écrit alors sous la forme :

tjx

Vjx

Vj

e)BeAe()t,x(i

Justifier cette écriture en notation complexe.

Exprimer l’impédance)t,x(i

)t,x(u)t,x(Z

~ de cette ligne. On fera apparaître cZ

dans l’expression de Z(x).

Solutions :


En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :

t

iL

x

ut

uC

x

i

0i

0U

ind

ap



En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des

ondes de courant et de tensions comme suit :

2

2

apind2

2

2

2

apind2

2

t

uCL

x

ut

iCL

x

i

La célérité de l’onde est la même et est égale à :

apind CL

1V

L’impédance caractéristique cZ :

Soit l’expression :

)t,x(ViL)V

xt(cosVLi)t,x(u indind0

Alors l’impédance caractéristique :

ap

indc

C

LZ

L’onde de courant résultante dans cette ligne fermée par la résistance R est due

à la superposition d’une onde incidente qui se propage vers les x0 qui s’écrit

sous la forme :

)xV

t(j

i Ae)t,x(i

Et en onde réfléchie qui se propage vers les x0 sous forme :

)xV

t(j

r Ae)t,x(i

Ainsi la résultante est donnée comme suit :

tjx

Vjx

Vj

e)BeAe()t,x(i

L’impédance complexe de la ligne :

xV

jxV

j

xV

jxV

j

c

BeAe

BeAeZ)t,x(Z

~

)t,x(i

)t,x(u)t,x(Z

~



Problèmes supplémentaires

Problème 9 :

On se propose d’étudier le problème des ondes élastiques transversales dans un

barreau solide, de masse volumique, de coefficient de cisaillement G soumis à

l’une de ses extrémités à une force de cisaillement, parallèle à la section S. on

suppose que chaque section du barreau se déplace de bas en haut et de haut en



bas sans mouvement horizontal. On appelle Uz le déplacement transversal d’une

tranche d’épaisseur dx à un instant donné, comme le montre la figure 24.7 :

Figure 24.7 : Ondes transversales dans un barreau

Sachant que chaque tranche d’épaisseur dx est soumise aux forces

antagonistes )x(F et )dxx(F qui sont tangentes aux sections et qui sont

produites par les portions du barreau qui sont situées de chaque coté du

barreau. Etablir l’équation aux dérivées partielles de l’équation d’onde.

En déduire la célérité de l’onde.

Résoudre l’équation d’onde par la méthode de séparations des variables.

Problème 10:

Soit une chaine linéaire à un atome par maille de coté a. La position au repos du nième

atome de masse m est nax comme le montre la figure 25.7.

Figure 25.7 : Chaine d’atomes identiques



Une onde mécanique longitudinale se propageant sans amortissement le long de

l’axe Ox est caractérisée par :

)txq(jAe

On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type

2kx2

1comme le montre la figure 26.7 avec k est la constante de rappelle.

Figure 26.7 : Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques

Écrire l’équation du mouvement pour l’atome de rang n, en appelant

1nn1n y,y,y les déplacements des atomes de rang n-1, n et n+1.

On cherchera la solution de forme :

)txq(jn

nAey

Déterminer la relation de dispersion )q( .

Tracer le graphe )q( .

En déduire la vitesse de la phase.

Donner l’expression de la vitesse du groupe.

Que peut-on dire sur la nature du milieu aux grandes longueurs

d’onde.

Problème 11:

Dans tout le problème on considère une corde vibrante homogène et sans raideur, de

masse linéique, tendue par une force de tension d’intensité F constante. la corde au

repos est horizontale et matérialisée par l’axe Ox .

Partie 1 :



On étudie des petits mouvements transversaux d’un point M d’abscisse x de la

corde )t,x(fy au plan Oxy . En admettant qu'un élément de corde au repos M0 reste

pendant le mouvement à la même abscisse. L'élongation d'un point d'abscisse x à

l'instant t est notée )t,x(y . La tangente en M à la corde fait avec l'axe Ox un angle

)t,x( qui reste petit, ce qui suppose que 1x

y

.

Enfin, l'action du champ de pesanteur sur le mouvement, ainsi que toute cause

d'amortissement sont négligées.

Figure 27.7 : Elément de la corde

Équation d'onde pour un ébranlement le long de la corde

La longueur de la corde varie très peu lorsqu'elle vibre. Montrer qu'à des termes

du second ordre en )t,x( près, l'abscisse curviligne C peut être confondue avec

l'abscisse x.

On admet que la tension F

reste, en tout point, tangente à la corde.

Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un élément de la corde

compris entre x et dxx .



Montrer à l'aide des hypothèses faites que la tension F

est de module constant,

noté F, et que l'ébranlement est régi par une équation aux dérivée partielles dont

on déterminera.

Exprimer la célérité V en fonction de F et .

Solution en ondes progressives de l'équation de d'Alembert :

Introduire les grandeursV

xtp et

V

xtq .

En déduire la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.

Applications numériques :

Calculer V pour une cordelette (type de Melde) en coton ou nylon de 1 gramme

par mètre tendue sur une poulie par une masse de 100g.

Calculer V pour une corde tendu d'acier de masse volumique 33 kgm210.7 ,

de rayon 1mm.

Partie 2 :

A présent la corde de longueur a est fixée en ses extrémités, deux points de l'axe Ox

d'abscisse x=0 et x=a.

On cherche des solutions de l'équation (1) sous la forme de variables séparées :

)t(g)x(f)t,x(y

Montrer que f et g doivent être des fonctions sinusoïdales.

En notant ω la pulsation de )t(g . Quelle est la relation de dispersion

)(k ?

En utilisant les conditions aux limites, Montrer que les fréquences propres nf

sont multiples d’une fréquence fondamentale 1f ( Nnavecnff 1n ).

En déduire la longueur d’onde n .

Montrer que l'expression de la solution générale )t,x(y n s’écrit sous la forme :

xa

nsin

a

ftnsinD

a

ftncosC)t,x(y

1n

nnT

Applications numériques :



Pour une corde de longueur a, oscillant à la fréquence f, donner la

tension nF à appliquer pour obtenir le seul mode n.

En déduire f pour n=1, (la fréquence fondamentale), N2930F1 ,

13 m.kg6510.5 et a=1.22m.

Partie 3 :

Corde de piano

A l’instant t=0, la corde est immobile dans la position d’équilibre )0,x(y . Elle est

frappée avec un petit marteau de largeur e (avec 1e ) situé entre les

abscisses edxetdx , qui communique par le choc une impulsion initiale à

la partie frappée. Dans ces conditions, la vitesse de chaque point de la corde à l'instant

t=0 est modélisée par une « fonction créneau » comme suit.

ailleurspour0)0,x(t

y

edxdpouru)0,x(t

y

Déterminer les coefficients nC et nD .

Trouver une application musicale du fait que les coefficients dépendent de d.

Que faut-il faire pour supprimer un harmonique, en particulier celui

correspondant à n=7?

Dans le cas2

ad . Quelles sont les harmoniques présentes ?

Corde de clavecin, de guitare ou de harpe

La même corde est pincée et lâchée au temps t=0 de telle sorte que sa vitesse initiale

soit nulle. L’endroit x=d où a lieu le pincement joue le même rôle vis à vis des

harmoniques que celui de la frappe. En conséquence, et afin de limiter les calculs,

nous nous limitons à un pincement en2

ax si bien que la position initiale de la corde

est définie par la « fonction triangle » comme suit :

ax2

apour)xa(

a

h2)0,x(y

2

ax0pour

a

h2)0,x(y



Déterminer les coefficients nC et nD .

Comparer les spectres d'une corde à piano et d'une corde à clavecin et apprécier

la différence de timbre sonore.

Pour une corde de guitare ou de harpe, le pincement peut être effectué

délicatement avec un doigt de telle sorte que la position initiale soit définie par

la « fonction parabole » comme suit:

)xa(xa

h2)0,x(y

2

Déterminer les coefficients nC et nD

Reprendre les calculs dans ce cas et conclure.

Oscillations entretenues: Expliquer ce qui se passe si, l'extrémité x=a étant

fixée, on place en x=0 un vibreur de très faible amplitude de telle sorte

que tcosA)t,0(y .

Réflexion et transmission sur discontinuité :

Une corde très longue est composée de deux tronçons de masses linéiques 1

et 2 , la tension étant toujours F, le nœud en x=0 est sans masse.

Figure 28.7 : Phénomène de transmission et de réflexion



Du coté x<0 arrive un ébranlement d’une onde incidente de la forme :

)V

xt(f)t,x(y

1i où f est une fonction quelconque.

Montrer qu'en plus de l'onde incidente, il existe une onde réfléchie

)t,x(y r du coté x<0 et une onde transmise du coté )t,x(y t .

En utilisant les deux conditions de continuités, exprimer les deux

expressions qui déterminent respectivement les coefficients de réflexion.

Problème 12:

On considère un mouvement transversal de la corde, supposée semi infinie, de masse

linéique, soumise à une tension F et terminée en x=0 par le système composé par une

masse m, d’un ressort de constante de raideur k et d’un amortisseur de coefficient de

viscosité comme le montre la figure 29.7.

Figure 29.7 : Mouvement sinusoïdal d’une corde semi infinie

Une onde incidente sinusoïdale )t,x(y i d’amplitude A et de pulsation ω se propageant

à partir de x<0. En équilibre la corde est horizontale et la masse m se trouve en O.

Etablir l’équation de l’onde.

En déduire l’expression du déplacement de particule de l’onde incidente )t,x(y i .



Donner les expressions de l’impédance caractéristique cZ de la corde et de la

célérité de l’onde.

En appliquant la loi fondamentale de la dynamique à la masse m, Etablir

l’expression de l’impédance mécanique terminale de la corde.

Déterminer la relation du coefficient de réflexion R, pour le déplacement de

particules à l’extrémité de la corde.

Exprimer l’expression du déplacement totale de particules dans la corde.

Problème 12:

On considère un mouvement transversal )t,x(y , de pulsation ω et de vecteur d’onde k

se propageant suivant la direction Ox . Soit une corde tendue étant fixée aux extrémités

de longueur L, de masse linéique, sous une tension F, est parcourue par deux ondes :

)kxtcos(A)t,x(yet)kxtcos(A)t,x(y 2211

Décrivez le phénomène résultant dans le milieu.

Etablir l’expression de la solution totale.

Déterminer sur la corde les points qui sont immobiles.

Exprimer dans ce cas, la distance d entre deux points successifs en fonction de

la longueur d’onde.

Montrer que les fréquences propres nf sont multiples d’une fréquence

fondamentale 1f qu’on déterminera.

Sur le violon, la note mi de fréquence fondamentale f=660 Hz est obtenue en

faisant vibrer une corde de longueur L=33cm et de masse linéique

=5.410-4Kg/m. Dans ce cas calculer la tension de la corde.

206Chapitre 8: Propagation d’ondes mécaniques dans les fluides


Chapitre 8 :

Propagation d’onde mécanique

dans les fluides



Rappels théoriques

Dans un milieu continu, la variation d’une grandeur en un point entraine sa

modification un peu plus loin un peu plus tard, par un phénomène de propagation.

Dans u tuyau, une compression locale a tendance à se propager : ce sont les ondes

acoustiques comme la montre la figure 1.8:

Figure 1.8: Exemple d’onde de compression dans un tuyau rempli d’air

On définit alors, les Ondes élastiques dans les fluides comme des ondes

mécaniques qui se propagent dans les gaz ou dans les liquides.

On suppose que les fluides soient parfaits, il n’y aura pas d’absorption.

L’onde élastique dans l’air est due à la propagation de la variation de pression,

c'est-à-dire par la compression et dilatation de l’air comme le montre les figures

2.8 et 3.8:



Figure2.8 : Propagation d’onde élastique plane dans l’air

Figure 3.8 : Propagation d’onde élastique sinusoïdale plane dans l’air

On définit la pression acoustique : p=P-P0

P : Pression absolue du fluide

P0 : Pression absolue au repos

0 : Masse volumique du fluide à l’équilibre

Dans un gaz, la pression est souvent de l’ordre de la pression atmosphérique,

Pa10P 5



Une vibration mécanique est véhiculée par une surpression locale )t,x(p ,

telle que :

Pp .

Sachant que les mouvements aux fréquences sonores sont trop rapides

pour qu’il y ait des échanges thermiques, les variations de pression sont donc

adiabatiques et l’évolution d’un volume V est reliée à celle de la pression

comme suit :

0V

dV

P

dP

Oùv

p

c

c est le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante et à

volume constant.

On obtient la relation suivante :

CtePV

Mise en équation :

Beaucoup de problèmes de bruit industriel sont liés à la propagation d’ondes

sonores dans des conduites et des tuyaux. Cette propagation est conditionnée

par la longueur d’onde acoustique telle que :

Df

c

D : Diamètre de la conduite sonore

c : Célérité du son dans l’air qui est égale à 344m/s à 20°c

f : Fréquence de l’onde

Soit une membrane vibrante émise une onde plane progressive dans un fluide

uniforme, de masse volumique et de pression P0 à l’équilibre. Cette onde se

propage dans la direction x positif.

Le phénomène de propagation des ondes sonores dans le fluide est du

principalement par une succession de compressions et de détentes des tranches

de fluide voisines.



On considère une tranche de fluide d’épaisseur dx située aux abscisses x et dx .

Soient les pressions )x(P et )dxx(P agissant sur les plans x et dx respectivement

qui génèrent le mouvement de la tranche comme le montre la figure 4.8.

Soient )x(U et )dxx(U les déplacements à l’instant t des plans d’abscisse x et

dxx respectivement.

Figure 4.8: Propagation d’onde acoustique dans un fluide

En appliquant la loi de la dynamique de Newton :

)x(F)dxx(Ft

Udm

2

2

Où )x(F et )dxx(F sont des forces d’actions appliquée aux plans d’abscisse x

et dxx respectivement.

La résultante des forces s’écrit :



)x(P)dxx(PS)x(F)dxx(F


)x(P)dxx(PSt

Udm

2

2

Avec :

dxx

pdp)x(P)dxx(P

D’où :

dxx

pS

t

Udm

2

2

On définit la surpression p d’un fluide compressible comme suit :

x

U1p

Où est appelé le coefficient de compressibilité.

En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :

dx)x

U1(

xS

t

USdx

2

2

D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit:

2

22

2

2

2

2

2

2

x

UV

t

U

x

U1

t

U

Avec

1V est appelée la célérité de l’onde sonore dans le fluide.

La solution de l’équation de l’onde est de forme sinusoïdale :

)xV

tcos(A)t,x(p

On définit l’impédance acoustique en un point, le rapport de l’amplitude

complexe de la pression )t,x(p à l’amplitude complexe de la vitesse de

particule )t,x(U comme suit :

)t,x(U

)t,x(p)t,x(Z

On définit le produit V0 par l’impédance caractéristique du fluide.

Réflexion et transmission :



Lors du passage de l’onde acoustique incidente du fluide 1 vers le fluide 2, il

existe à l’interface de séparation, une onde transmise vers le milieu 2 dans le

sens des x>0 et une onde réfléchie dans le sens des x<0 vers le milieu 1.

Figure 5.8: Interface fluide-fluide

Les types d’ondes acoustiques se présentent comme suit :

transmiseondeep)t,x(p

réfléchieondeep)t,x(p

incidenteondeep)t,x(p

)xkt(jt0t

)xkt(jr0r

)xkt(ji0i

1

1

1

Les relations de continuités à l’interface sont :

)t,0(U)t,0(U

)t,0(p)t,0(p

21

21

On en déduit les équations de continuités à l’interface en fonctions des

caractéristiques :

t2

ri1

tri

pZ

1)pp(

Z

1ppp



Applications

Problème 1:

Une conduite cylindrique de section S et d’axe horizontal Ox contient un gaz au repos,

de pression 0P , de masse volumique 0 et de coefficient de compressibilité s . Une

onde acoustique plane se propageant dans ce fluide. On considère )t,x(s le

déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse x au repos sous l’action de la

pression )t,x(P et )t,dxx(s le déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse

dxx au repos sous l’action de la pression )t,dxx(P comme le montre la figure 4.8.

On négligera les échanges thermiques de chaleur.

Figure 6.8 : Mouvement acoustique dans la tranche de fluide

Pour des petites oscillations :



Etablir l’équation de propagation relative au déplacement )t,x(s à partir de

l’équation fondamentale de la dynamique.

Calculer la célérité V de l’onde acoustique dans l’air caractérisé par :

16s Pa10.15.7 et 3m.kg29.1

Introduire les grandeurs suivantes :

V

xtq 1 et

V

xtq 2 .

Déterminer la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.

En déduire la solution de l’onde progressive sinusoïdale.

Solutions :

En appliquant la loi de la dynamique de Newton :

)x(F)dxx(Ft

Udm

2

2

Où )x(F et )dxx(F sont des forces d’actions appliquée aux plans d’abscisse x

et dxx respectivement, comme le montre la figure 5.8.

Les forces appliquées aux plans s’écrivent :

)x(P)dxx(PS)x(F)dxx(F


)x(P)dxx(PSt

Udm

2

2

Avec :

dxx

pdp)x(P)dxx(P

D’où :

dxx

pS

t

Udm

2

2



Figure 7.8 : Mouvement de la tranche de fluide

On définit la surpression p d’un fluide compressible comme suit :

x

U1p

Où est appelé le coefficient de compressibilité.

En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :

dx)x

U1(

xS

t

USdx

2

2

D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit sous la

forme :

2

22

2

2

2

2

2

2

x

UV

t

U

x

U1

t

U

La célérité de l’onde sonore dans le fluide s’écrit :



1V


s/m303729.11510.7

11V

6

La solution générale de l’onde acoustique est de la forme :

)V

xt(G)

V

xt(F)x,t(U

On définit les fonctions comme suit :

réfléchieOnde)V

xt(G

incidenteOnde)V

xt(F

L’onde progressive sinusoïdale s’écrit alors :

)kxtcos(A)t,x(U

Problème 2:

Une membrane d’un cylindre de section S émis une onde acoustique de pression p se

propageant dans un fluide de masse volumique 0 suivant l’axe Ox . A l’équilibre la

pression du fluide est égale à 0P . On définit k le module du vecteur d’onde.

Ecrire l’équation de propagation de la pression acoustique )t,x(p

En déduire en notation complexe, l’onde de pression progressive sinusoïdale.

On définit la pression acoustique au plan x comme suit :

x

)t,x(U1)t,x(p

Où est le coefficient de compressibilité du fluide.

En déduire l’allongement )t,x(U .

Déterminer l’impédance acoustique au plan x définit comme suit :

)t,x(U

)t,x(p)t,x(Z

En déduire l’impédance acoustique caractéristique du fluide cZ .

Solutions :



L’équation de propagation de l’onde est égale à :

2

22

2

2

2

2

2

2

x

pV

t

p

x

p1

t

p

La solution de l’onde progressive sinusoïdale s’écrit en notation complexe sous

la forme :

)x

V

1t(j

0 ep)t,x(p

L’allongement )x(U est égal :

dx)t,x(p)t,x(U

En remplaçant )t,x(p par sa valeur, on obtient:

)x

V

1t(j

0

0)x

V

1t(j

0 eVj

p)t,x(Udxep)t,x(U

L’impédance acoustique au plan x s’écrit :

)xV

1t(j

0

0 eV

p

t

)t,x(U)t,x(Uavec

)t,x(U

)t,x(p)t,x(Z

D’où :

V)t,x(Z 0

L’impédance caractéristique est égale à :

VZ 0c

Problème 3:

Soit une onde acoustique progressive sinusoïdale de forme )kxtcos(U)t,x(U 0 se

déplaçant dans un fluide de masse volumique 0 de coefficient de compressibilité .

Un petit élément du fluide de volume v0, se comprime et se dilate sous l’action de la

surpression p comme le montre la figure 7.8



Figure 7.8: Flux d’énergie d’onde acoustique

Déterminer la densité d’énergie cinétique et la densité d’énergie potentielle

En déduire la densité d’énergie totale moyenne en régime sinusoïdal.

Calculer l’intensité de l’onde acoustique par unité de temps qui traverse une

surface perpendiculaire à la direction de propagation.

On définit le niveau sonore en décibel comme suit :

0db

I

Ilog10N

Déterminer l’intensité, l’amplitude de la pression p0 et la vitesse de la particule.


Pour les niveaux 0 dB et 130 dB, V= 330m/s,

I0=10-2W/m2, f=1kHZ et SI411Z c . Calculer l’intensité I, l’amplitude p0.

Solutions :

Soit un petit élément de volume v0. Sous l’action de la surpression p, cet

élément se comprime ou se dilate et se déplace par )x,t(u :

L’énergie cinétique s’écrit :

200c uv

2

1E

On déduit la densité d’énergie cinétique :

20c u

2

1



L’énergie potentielle s’écrit:

0

0p

v

vvpavecpdvE

On en déduit :

2

pvEpdp

vE

20

p

p

0

0p

Par conséquent, la densité d’énergie potentielle s’écrit alors :

2

p 2

p

La densité d’énergie totale est égale :

20

2

TcpT u2

1

2

p

En régime sinusoïdal la densité d’énergie totale s’écrit sous la forme :

)kxt(cospV

1 202

0

T

D’ou la densité d’énergie totale moyenne est égale à:

202

0

T

T

0

202

0

T pV2

1dt)kxt(cosp

TV

1

L’intensité de l’onde :

On calcule tout d’abord l’énergie qui traverse pendant un intervalle de temps

dt une surface S perpendiculaire à la direction de propagation

SVdt

dEPSVdtdE TT

Avec P est la puissance traversant cette surface.

D’où l’intensité de l’onde acoustique I s’écrit alors :

)kxt(cosPV

1)t(I

S

P)t(I 22

0

0

On en déduit l’intensité moyenne de l’onde acoustique comme suit :

20

0

T

0

220

0

pV2

1Idt)kxt(cosp

TV

1)t(I

On définit l’impédance caractéristique : VZ 0c



Alors :

20

c

pZ2

1I

On déduit à partir du niveau sonore

L’intensité:

dbN1.00 10II

L’amplitude de la pression :

IZ2p c0

La vitesse de la particule :

C

0

Z

pU

La position :

f2

UU


dBN )m/W(I 2 )Pa(p0 )s/m(U )m(u

0 dB 10-12 2.9 10-5 7 10-8 1.1 10-11

130 dB 10 91 0.22 3.5 10-5



Problèmes supplémentaires

Problème 4:

On considère un tuyau de section circulaire et d’axe Ox rempli d’un fluide, voir la

figure 6.8.

Figure 8.8 : Tube de rayon r0 et de section S0

Au repos le fluide a une masse volumique 0 et une pression inférieure

0P identique à la pression extérieure qui est constante. A l’équilibre, on suppose que le

champ des vitesses est nul et que la section du noyau est uniforme et notée 0S .

On s’intéresse à la propagation de perturbations acoustiques de petites amplitudes

suivant l’axe Ox dans le cadre linéaire.

On donne les relations suivantes :

)t,x()t,x(

)t,x(pP)t,x(P

u)t,x(v)t,x(v

10

0

0

Ou 0u

est le vecteur unitaire selon la direction Ox . )t,x(v est appelé la vitesse

acoustique, et )t,x(p est la surpression par rapport à 0P . Le fluide étant supposé

parfait. On considère que ces grandeurs sont uniformes sur une section du tube et que

le coefficient de compressibilité s du fluide considéré constant donnée par la relation:

ss )P

(1

On se place dans un tube rigide où la section du tube ne dépend pas de la surpression.



Ecrire l’équation de propagation d’Euler et en déduire une équation

différentielle entre la vitesse acoustique )t,x(v et la surpression )t,x(p .

Ecrire l’équation générale de conservation de la masse.

En déduire l’équation différentielle suivante :

x

)t,x(u

t

)t,x(0

Etablir l’équation de propagation de la surpression et de la vitesse )t,x(u . En

déduire l’expression de la célérité C de l’onde sonore en fonction de et de 0


Calculer C de l’eau de mer pour : 110 Pa210.5 et de 30 Kgm1050

REFERENCES

[1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 2-

7298-8751-2, 1987.

[2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,

Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.

[3] H. LUMBROS0, « Ondes Mécaniques et Sonores », Edition

DUNOD, ISBN 2-10-00468-8, 2000

[4] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la

technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.

[5] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition

MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.

[6] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition

CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.

[7] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition

PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES

ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.

[8] R. GABILLARD, « Vibrations et Phénomène de

propagation », Edition DUNOD, 1972.

[9] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes

vibratoires », Edition DUNOD, 1973.

[10] L. LANDEAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition

MIR MOSCOU, 1966.

Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des

filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs

d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes

mécaniques » enseignés en deuxième année des filières Sciences et

techniques et Sciences de la matière.

Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de

vibrations et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.

Mr Fouad BOUKLI HACENE est titulaire d’un doctorat en

Science Génie mécanique obtenu à l’université de sciences et

technologie Mohamed BOUDIAF USTO d’Oran. Il est maitre de

conférences au département de physique de la faculté des

sciences à l’université Hassiba BENBOUALI de Chlef. Il est

auteur de plusieurs travaux scientifiques

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