Cours de Mécanique Du Solide 2015

7/24/2019 Cours de Mcanique Du Solide 2015

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Universit Ibn Tofail

Facult des Sciences

Dpartement dePhysique

Knitra

Filire : Sciences Mathmatiques Appliques

Module : Physique 6

Semestre 4

Auteur : Anne Universitaire :

Pr. Mohamed AHD 2014 - 2015


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Pr : M. AHD

onseils aux tudiants

1 - Comment travailler les cours ?

Revoir rgulirement son cours.

Arriver la sance du cours en ayant compris le contenu du prcdent.

Rcrire les notes du cours laide du polycopi ou des ouvrages disponibles la

bibliothque.

2 - Comment travailler les T.D ?

Rsoudre ou essayer de rsoudre le maximum dexercices avant de venir en

sance de T.D.

Poser le maximum de questions relatives au cours et aux exercices.

Passer au tableau, chaque fois que loccasion se prsente. Ceci permet ltudiant

de combler ses lacunes, dapprendre discuter et dexprimer ses ides.

Pour mieux prparer les examens crits, il est vivement conseill de :

Rsoudre ou essayer de rsoudre les problmes des examens des annes

prcdentes pour apprcier la difficult.

Consulter frquemment les ouvrages ou polycopis traitant les problmes

dexamens disponibles la bibliothque.


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Pr : M. AHD

ble des m tires

Page

Chapitre I : Champs de vecteurs et torseurs ........................................................................1I - Champ de vecteurs 2

I -1 Dfinition 2

I - 2 Champ de vecteurs antisymtrique Champ de vecteurs quiprojectif ..2

I - 3 Champ de vecteurs antisymtrique dans R3 .3

II Torseurs 5

II 1 Dfinition .5

II 2 composantes dun torseur 6

II 3 Equiprojectivit du champ de moments dun torseur Invariant scalaire dun .6

Torseur

II 4 Invariant vectoriel dun torseur .6

II 5 Axe central dun torseur 7

II 6 Oprations sur les torseurs 7

II 7 Torseurs particuliers 8

II 8 Dcomposition dun Torseur ..10

II 9 Exemples de torseurs . 10

Chapitre II : Cinmatique du solide et des solides en contact . 12

I - Cinmatique du solide .13

I 1 Dfinition ....13

I 2 Degr de libert (d.d.l) dun solide .13

I 3 Champ des vitesses dun solide .14

I 4 Champ des acclrations dun solide ..14

I 5 Mouvements particuliers ..15

I 6 Composition des Mouvements ...16


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Pr : M. AHD

I 6 1 Drivation en repre mobile ...16

I 6 2 composition des vecteurs rotations 17

I - 6 3 compositions des vitesses 18

I - 6 4 compositions des acclrations ...19

I 7 Angles dEuler ..21

II - Cinmatique des solides en contact .24

II 1 Contact ponctuel. 24

II 2 glissement, Roulement et pivotement .25

II - 2 1 Le vecteur vitesse de glissement ...25

II - 2 2 Les vecteurs rotations instantanes de roulement et de pivotement ..26

Chapitre III : Cintique du solide28

I Rpartition des masses. 29

I 1 Masse dun systme matriel .29

I 2 Centre dinertie (centre de masse) 30

II Matrice dinertie .33

III Moment dinertie partir de la matrice dinertie .37

IV Axes principaux dinertie .38

V Thorme dHuygens .40

VI Le torseur Cintique ..43

VI 1 Dfinition 43

VI 2 Dtermination du moment cintique dun solide (S) en lun de ses points...44

VI 3 Dtermination du moment cintique dun solide (S) en un pointsolide (S).45

VI 4 Repre barycentrique RG .45

VI 5 Thorme de Koenig pour le moment cintique..46

VII Le torseur dynamique ...46

VII 1 Dfinition .46


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Pr : M. AHD

VII 2 Relation entre moment dynamique et moment cintique dun solide..48

VII 3 Thorme de Koenig pour le moment dynamique ..49

VIII Energie cintique ...50

VIII 1 Dfinition ..50

VIII 2 Proprits de lnergie cintique ...50

Chapitre IV : Dynamique du solide 54

I - Les efforts extrieurs55

II - La loi fondamentale de la dynamique ..57

III - Les thormes gnraux...57

III - 1 Thorme de la rsultante dynamique...57

III - 2 Thorme du moment dynamique.58

IV - Thorme de laction et de la raction ...59

V - La loi fondamentale de la dynamique dans un repre non galilen. .60

VI - Puissance et travail...62

VI - 1 Cas dun systme matriel () .62

VI - 2 Puissance defforts sexerant sur un solide (S).62

VI - 3 Travail dvelopp par un ensemble de forces.65

VII - Thorme de lnergie cintique..65

VII - 1 Thorme de lnergie cintique pour un solide (S)..65

VII - 2 Thorme de lnergie cintique pour un systme de solides ().67

VIII - Energie potentielle 68

IX - Intgrales premires ..69

IX - 1 Intgrale premire de lnergie ...69

IX - 2 Intgrale premire du moment cintique.69

Exercices 72


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Champs de vecteurs et torseurs Pr : M. AHD Page 1

Chapitre I

Champs de vecteur s et torseurs


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I - Champ de vecteur s.

I 1 Dfiniti on.

On appellechamp de vecteursune fonction vectorielle H

qui chaque point P de lespace affine ,

associe le vecteur )(PH

de lespace vectoriel E.

(P)HP

E:H

est lespace affine (espace des points) de dimension 3.

E est lespace vectoriel de dimension 3 associ (espace des vecteurs libres).

Ce champ de vecteurs H

est uniforme si : )(PH)(PH o

quelque soit le point P.

Ce champ de vecteurs H

est affine sil existe un point O et une application linaire de E

dans E tel que : )OP((O)H(P)H

Lapplication : )u(u

, est linairesi et seulement si :a, b deux nombres rels et

vetu

deux vecteurs de lespace vectoriel E : )v(b)u(a)vbua(

I - 2 Champ de vecteur s antisymtr ique Champ de vecteur s qui projectif

Dfiniti on 1: Lapplication linaire est antisymtriquedans lespace vectoriel E si :

)u(.v)v(.u,EE)v,u( C..d. 0)u(.v)v(.u

Dfiniti on 2 :Un champ de vecteurs antisymtrique est un champ de vecteurs affine dont

lapplication linaire est antisymtrique.

Dfiniti on 3 :Un champ de vecteurs H

quiprojectif est un champ de vecteurs affine tel que : Pour

tout couple de points (P, Q) on a : (Q)HPQ(P)HPQ

C..d. Les projections orthogonales des vecteurs (Q)Het(P)H

sur la droite (PQ) sont gales et de

mme sens.

)(PH

)(QH


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Propr it:

Un champ de vecteurs antisymtrique estquiprojectifet rciproquement (vice versa).

Dmonstration.

Soit H un champ de vecteurantisymtrique c..d. )PQ((P)H(Q)H et

lapplication est antisymtrique.

)PQ((P)H(Q)H

0)PQ(.PQ-)PQ(.PQ(P)]H(Q)H[.PQ

Car lapplication L est

antisymtrique.

Do (P)H.PQ(Q)H.PQ

et par consquent le champ de vecteur H

estquiprojectif.

Soit H

un champ de vecteurquiprojectif c..d. H

champ de vecteur affineet pour tout

couple de points (P, Q) on a : (P)H.PQ(Q)H.PQ

0](Q)H(P)H[.PQ

.

Soit O un point quelconque

0(O)H-(Q)H-(O)H-(P)H.OPOQ

(O)H-(Q)H.OPOQ(O)H-(P)H.OPOQ

Grce lquiprojectivit :

0](O)H(Q)H[.OQet0](O)H(P)H[.OP

](O)H-(Q)H[.OP-](O)H-(P)H[.OQ

Comme le champ de vecteurs H

est affine alors

)OQ((O)H-(Q)Het)OP((O)H-(P)H

)OQ(.OP-)OP(.OQ

Do 0)OQ(.OP)OP(.OQ

lapplication linaire est antisymtrique et par

consquent le champ de vecteur H

estantisymtrique.

I - 3 Champ de vecteur s antisymtr iqu e dans R3.

Soit H

un champ de vecteurantisymtrique c..d. )PQ((P)H(Q)H

.

A tout champ de vecteurs antisymtrique ou quiprojectif H

de lespace vectoriel de dimension 3,

correspond un vecteur R

et un seul appel vecteur du champ antisymtrique H

tel que, Pour tout


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couple de points (P, Q) on a :

PQR(P)H(Q)H

Proprit fondamentale du champ de vecteur antisymtrique.

VR)V(,EVc..d.PQR)PQ(

Dmonstr ation :

Dans la base )k,j,i(

orthonorme directe, la reprsentation analytique de lapplication linaire

antisymtrique est une matrice carre.

333231

232221

131211

L

Raisonnons sur les composantes, pour les trois vecteurs de la base orthonorme directe )k,j,i(

.

On a :

kji

0

0

1

i)i( 312111

333231

232221

131211

L

De mme

kji

0

1

0

j)j(322212

333231

232221

131211

L

kji

1

0

0

k)k( 332313

333231

232221

131211

L

Pour le couple de vecteurs )i,i(

on a :

)i(.i-)i(.i

Car lapplication Linaire est antisymtrique 0-111111

De mme pour les couples )j,j(

et )k,k(

, on obtient 03322 .

Pour le couple )j,i(

on a : 2112 -)i(.j-)j(.i

Pour le couple )k,j(

on a : 3223 -)j(.k-)k(.j

Pour le couple )i,k(

on a : 1331 -)k(.i-)i(.k


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Donc la matrice L scrit :

0

0

0

2313

2312

1312

L

elle est antisymtrique.

Quelque soit le vecteur )v,v,(vV 321 dans la base )k,j,i( .

vv-

vv-

vv

v

v

v

0

0

0

V)V(

223113

323112

313212

3

2

1

2313

2312

1312

L

Et

1221

3113

2332

321

321

vr-vr

vr-vr

vr-vr

vvv

rrr

kji

VR

Comme VR)V(

quelque soit le vecteur

213

132

321

r

r

r

alorsV

Do lexistence et lunicit du vecteur de champ R

.

II Torseurs.

I I 1. Dfiniti on

On appelle torseur [T] lensemble dun champ de vecteurs antisymtrique M

et de son vecteurR

.

On le note (P)M,RT

P

ou P

P

RT

M

.

Les vecteurs (P)M

et R

sont appels lments de rduction du torseur [T] au point P. (Ils sont

appels aussi coordonnes vectorielles du torseur en P). Gnralement on appelle :

R

larsultantegnrale du torseur T.

(P)M

lemomentdu torseur T au point P (ou champ de moments)

La connaissance du vecteur R

et du champ de vecteur s M

en un point Q dtermine entirement le

champ M

en tout point P parla relation fondamentale du champ de moment :

QPR(Q)M(P)M


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I I 2 composantes d un torseur .

Dans un repre )k,j,i(O,R

dorigine O, orthonorm direct, les composantes des vecteurs R

et

(O)M

sont les six composantes du torseur [T].

Dans cet ordre,

Z

Y

X

Ret

N

M

L

(O)M

I I 3 Equi projectivitdu champ de moments d un torseur I nvariant scalai re d un

torseur.

On a QPR(Q)M(P)M

On tablit : )(QMQP(P)MQP

Autrement dit, le champ de moments dun torseur [ T] est quiprojectif.

On tablit aussi : (Q)MR(P)MR

Le produit scalaire des lments de rduction du torseur [T] est indpendant du point o il est calcul :

Cestlinvariant scalairedu torseur T. (P)MRI

II 4 Invariant vectoriel dun torseur.Soit un torseur (P)M,RT P

et soit () un axe dfini par un point A et par un vecteur unitaire

u

. Soient P et Q deux points de laxe (), on a : QPR(Q)M(P)M

u.)QPR(u.(Q)Mu.(P)M

Le produit mixte u)QPR(car0u).QPR(

u.(Q)Mu.(P)M

Ceci traduit lequiprojectivit du champ de vecteurs M

.


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La quantit u(P).M

est indpendante du point P et donc gale u(A).M

qui est le moment du

torseur [T] par rapport laxe ()

Le vecteur

uu.(A)M

sappelle linvariant vectoriel du torseur [T] suivant la direction u

.

On appelle invariant vectoriel absolu le vecteur

2R

R.(A)M.RJ

I I 5 Axe central d un torseur.

Laxe central dun torseur (P)M,RT P

est le lieu des points P de lespace pour lesquels le

moment (P)M

estcolinaire sa rsultante gnrale R

c..d. R(P)M

O est un rel.

0(P)MR/P,R(P)M/P

I I 6 Oprations sur les torseur s

Lensemble des torseurs dfinis sur un espace (D), forme un espace vectoriel de dimension 6.

a) Egalitde deux tor seur s

Deux torseurs (P)M,RTet(P)M,RT 222111

sont gaux, si et seulement si, il

existe un point P en lequel les lments de rduction des deux torseurs sont gaux.

P)(MP)(M

RRquetelPTT

21

2121

Proprit:

Deux torseurs 21 TetT sont gaux si, et seulement si, il existe trois points non aligns P1, P2et P3

en lesquels leurs moments sont gaux.

b) Somme de deux torseur s

La somme de deux torseurs (P)M,RTet(P)M,RT 222111

est un torseur T de

rsultante gnrale RRR 21

et de moment (P)2M(P)1M(P)M

.

(P)M(P)M(P)M,RRRTTTT 212121


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C) Multiplication par un scalaire

La multiplication dun torseur (P)M,RT

par un scalaire est un torseur not

(P)M,RT

d) Torseur nul

On appelle torseur nul (ou torseur zro) le torseur dont le moment (P)M

et la rsultante R

sont nuls.

Il est not 0,0T

.

e) Pr oduit scalair e de deux torseur s

Soient deux torseurs (P)M,RTet(P)M,RT 222111

.

On appelle produit scalaire de deux torseurs 21 TetT (appel aussi comoment de deux torseurs

21 TetT ) le scalaire not : (P)M.R(P)M.RT.T 122121

Ce produit scalaire 21 T.T estindpendant du point P choisi.

Dmonstr ation

Soient P et Q deux points de lespace affine.

On a QPR(Q)M(P)M 111

et QPR(Q)M(P)M 222

(Q)M.R(Q)M.R.TT

)QP1R(.2R)QP2R(.1R(Q)1M.2R(Q)2M.1R

QPR(Q)M.RQPR(Q)M.R

(P)M.R(P)M.R.TT

122121

112221

122121

Car 0)QPR.(R)QPR.(R 1221

Remarque :

On peut crire :

N,M,L,Z,Y,XT(P)M,RT 1111111111

Et N,M,L,Z,Y,XT(P)M,RT 2222222222

Do 12121221212121 NZMYLXNZMYLXT.T


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I I 7 Torseurs particuliers

a) Gli sseur

Par dfinition un torseur [T] de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant

scalaire est nul.

Cette dfinition se traduit par :

Le torseur (P)M,RT P

est un glisseur si 0R

et il existe au moins un point A tel que

0(A)M

.

Dans ce cas, on a : APR)P(M,P

Lensemble le plus simple associ ce torseur est constitu dun vecteur unique qui passe par Le

point A et dont le support est parallle R

. Cest le cas dun vecteur li )w(A,

Le support (axe) dun glisseur est le lieu des points P pour lesquels le moment est nul.

0(P)M/PglisseurduAxe

b) T orseur -couple

Un torseur [T] non nul est un torseur-couple si et seulement si, sa rsultante est nulle.

0(P)MquetelPpointun

0Rcoupleun torseurestT

Dune manire gnrale, Un torseur [T] qui vrifie lune des proprits suivantes est par dfinition

appel torseur-couple.

i) Sa rsultante gnrale 0R

ii) Son moment M

est uniforme


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iii) Il existe un ensemble de deux vecteurs antiparallles 21 WetW

ayant pour torseur [T].

C) T orseur quelconque

Un torseur [T] est quelconque si et seulement si, son invariant scalaire nest pas nul.

I I 8 Dcomposition d un T orseur .

On peut toujours dcomposer un torseur

(A)M,RT A

de coordonnes au point A, comme la

somme dun glisseur et dun couple.

(A)CGT(A)M,0T0,RT(A)M,RT AAA

O GAest un glisseur dont le support est )R(A,

et C(A) un couple. Cette dcomposition est

unique.

I I 9 Exemples de torseurs

a) Tor seur associ un vecteur l i.

Dfiniti on :

Soit )W(A,

un vecteur li de sommet A et de vecteur W

et soit AM

le champ antisymtrique

associ ce vecteur li.

0(A)MetAPW(P)MP,pointle AA

Le torseur associ au vecteur li )W(A,

est (P)M,WT AA

.

Plus exactement le torseur (P)M,WT AA

est un glisseur.


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b) Tor seur associun ensemble f ini de vecteurs lis

Par dfinition, le torseur associ un ensemble de N vecteurs lis )W,(A ii

o i = 1, 2 , ..N est

la somme des torseurs PAW(P)M,WT iiAiA ii

associs chacun deux.

Le moment de ce torseur au point P est : PAW(P)M1

ii

N

i

Et sa rsultante gnrale est WRN

1i

i

Si on prend un autre point O, on a

OPR(O)MOPWOAW)OPOA(W(P)M1

i

1

ii

1

ii

N

i

N

i

N

i

En particulier, si 0R

, il vient )O(M)P(M

. On construit donc un couple.


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Cinmatique du solide Pr : M. AHD Page 12

Chapitre I I

Cinmatique du solide et des solidesen contact


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I - Ci nmatique du soli de

I 1 Dfiniti on

Un solide (S) est un ensemble de points matriels qui se dplacent aux cours du temps en vrifiant les

deux proprits suivantes :

Indformabilit :

cteAP,SP),(A Quelque soit le temps t. C..d. la distance entre deux points du

solide reste invariable au cours du temps.

Impntrabilit :

SSaonSSSsi,SSetSS 212121 C..d. il nya pas pntrabilit

dune partie du solide lintrieur dune autre partie du solide.

I 2 Degrde libert(d.d.l ) d un solide

Le solide S sera tudi par rapport un repre fixe ),,,O(R oooo zyx

.

On li au solide S le repre ),,,O(R 1s zyx

c..d. le repre qui effectue le mme mouvement que le

solide S ou encore le repre par rapport auquel tous les points du solide ont une vitesse nulle. Suivre le

solide S dans son mouvement par rapport un repre ROest donc quivalent ltude du mouvement

du repre RS par rapport RO. Ceci ncessite la donne de six paramtres c..d. que la position du

solide S est dtermine par six paramtres :


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Les trois Coordonnes (x, y, z) dun point li au solide S dans RO(ce point est gnralement

confondu avec le centre de gravit G).

Les trois angles dEuler , et . On dit que dans le mouvement le plus gnral, un solide

possde six degr de libert (n.d.d.d.l = 6).

I 3 Champ des vitesses d un sol ide

Soient A et P deux points du solide S. La norme du vecteur AP reste constante au cours du temps

c..d. cteAP)(2

.

Donc 0OA-OPdt

d.AP0

dt

APd.AP0)AP(

dt

dOR

Ro

2

Cest--dire

)(A/RV.AP)(P/RV.AP0)(A/RV-)(P/RV.AP oooo

Cette relation montre que le champ des vecteurs vitesses est quiprojectif donc antisymtrique.

Autrement dit, ilexiste un vecteur unique )(S/R o

tel que :

AP)(S/R)S/R(AV)S/R(PV ooo

Cestla relation fondamentale du champ de vecteurs vitesses.

)(S/R o

est le vecteur du champ des vitesses du solide.

)(S/R o

est appelvecteur rotation instantane du solide S par rapport au repre Ro. (il dpend du

mouvement du solide).

Cette relation fondamentale du champ montre que pour connatre le champ des vitesses dun solide S,

il suffit de connatre le vecteur vitesse dun de ses points et le vecteur rotation instantane du solide S

par rapport au repre Ro.

Le champ des vecteurs vitesses dun solide S dfinit un torseur que lon appelle torseur cinmatique

ou torseur vitesse not

)S/R(AV,)(S/RT ooV

. On dit parfois torseur distributeur des

vitesses.

)(S/R o

est la rsultante gnrale du torseur [Tv] et )S/R(AV o

son moment au point A.

I 4 Ch amp des acclrati ons d un soli de

En reprenant la relation AP)(S/R)S/R(AV)S/R(PV ooo

, on obtient par drivation

lacclration du point P du solide.


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Roo

Ro

Ro

Roo AP

dt

d)(S/RAP)(S/R

dt

d)(A/RV

dt

d)(P/RV

dt

d)(P/R

OOO

AP)(S/R)(S/RAP)(S/Rdt

d)(A/R)(P/R

)(A/RV-)(P/RV)(S/RAP)(S/Rdt

d

)(A/R)(P/R

ooR

ooo

oooR

ooo

O

O

Le champ des acclrations )(P/R o

dun solide S nest pas antisymtrique, il ne dfinit pas un

torseur.

I 5 M ouvements parti culi ers

a) M ouvement de translation d un soli de S par r apport au repre Ro

Si le vecteur rotation instantane du solide est nul, 0)(S/R o

, Le torseur cinmatique [TV] se

rduit un torseur-couple [C] et le mouvement du solide S par rapport au repre Ro est un mouvement

de translation. Le champ de moments du torseur [TV] est donc uniforme :

W)(A/RV)(P/RVona,SP)(A, oo

C..d. tous les points du solide ont la mme vitesse W

chaque instant.

Le mouvement de translation est rectiligne si la vitesse W

garde une direction fixe et il est

rectiligne uniforme si la vitesse cteW

(module constant et direction fixe).

Le mouvement de translation est circulaire si tous les points du solide ont une trajectoire

circulaire.

b) Mouvement de rotation dun solide S autour dun axe (fixe) passant par lun de ses

points

Si la vitesse 0)(A/RV o

, Le torseur cinmatique [TV] se rduit un glisseur [G] et le mouvement du

solide, par rapport au repre Ro , est un mouvement de rotation autour de laxe )(S/RA, o

] qui

est laxe du glisseur [G]. On a donc :

AP)(S/R)(P/RV,SP oo


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Remarque:

Linvariant scalaire 0)(S/Ret0)(P/RV).(S/RI ooo

c) M ouvement hlicodal d un soli de autour d un axe passant par l un de ses points A

Un point P du solide est en mouvement de rotation autour dun axe ozO,

et en mme temps en

mouvement de translation suivant laxe ozO,

.

AP)(S/R)S/R(AV)S/R(PV ooo

C..d. dcomposition en un couple et un glisseur

colinaires.

I 6 Composit ion des M ouvements

I 6 1 D rivati on en repre mobile

Soit driver un vecteur V quelconque par rapport un repre )z,y,xO,(R oooo

. Le calcul direct

de cette drive ncessite la connaissance des composantes du vecteur V dans la base )z,y,x( ooo

associ au repre RO. Il est gnralement plus simple dintroduire un second repre

)z,y,x,O(R 11111

o le vecteur V sexprime simplement. On a alors :

V)/R(Rdt

Vd

dt

Vdo1

RR IO

Relation de Bour

O )/R(R o1

est le vecteur vitesse de rotation instantane du repre R1 par rapport au repre Ro.

Dmonstr ation :

Le vecteur V a pour composantes x, y, z dans le repre ),,,O(R 11111 zyx

C..d.

111

1

111 zzyyxxR

dt

Vd

zzyyxxV

Drivons par rapport au temps dans ),,,O( ooooR zyx

le vecteur 111 zzyyxxV

oRooR

111

oRdt

1zdz

Rdt

1ydydt

1xdxdt

Vd

zzyyxx

Comme


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1o1

R

1o1

R

1o1

R

z)/R(Rdt

1zdety)/R(Rdt

1yd;x)/R(Rdt

1xd

OOO

Il vient

1o11o11o1111

o

z)/R(Rzy)/R(Ry)/R(R

Rdt

Vdxx

zzyyxx

111o1111

o

zzyyxx )/R(RR

dt

Vd

zzyyxx

V)R/(RR

dt

Vd

Rdt

Vdo1

1o

Remarques :

Si le repre R1est en mouvement de translation par rapport au repre Roalors :

dt

Vd

dt

Vdet0)/R(R

IRoR

o1

Si le vecteur V est fixe par rapport au repre R1, alors :

V)/R(Rdt

Vdet0

dt

Vdo1

RR OI

Les vecteursdt

VdetV

OR

sont orthogonaux.

)/R(R)/R(R)/R(Rdt

d)/R(R

dt

do1o1

R

o1

R

o1

IO

IO R

o1

R

o1 )/R(Rdt

d)/R(R

dt

d

I 6 2 Composit ion des vecteur s rotations

Soient A et B deux points du repre R2qui est en mouvement de rotation par rapport aux repres R1et

Ro.

)/R(Ret)/R(R 12o2

sont les vecteurs rotation instantanes du repre R2 par rapport

aux repres Roet R1respectivement.


23/89


AB)/R(Rdt

ABd

AB)/R(Rdt

ABd

12

1R

o2

RO

Comme AB)/R(Rdt

ABd

dt

ABdo1

RR IO

AB)/R(RAB)/R(RAB)/R(R o112o2

)/R(R)/R(R)/R(R o112o2

Ce rsultat peut tre gnralis N repres.

Remarque : )/R(R-)/R(R 1221

I - 6 3 Compositi ons des vitesses

Soient deux rfrentiels ),,,( oooo zyxOR

appel rfrentiel fixe ou absolu et

)z,y,x,O(R 11111

appel rfrentiel mobile ou relatif.

Le rfrentiel R1est en mouvement quelconque par rapport au rfrentiel Ro.

SoitP un point du solide S en mouvement quelconque par rapport aux repres ROet R1.

Daprs la relation de Chasles : POOOOP 11

En drivant par rapport au temps dans le rfrentiel ),,,( oooo zyxOR

, on obtient


24/89


o

1

o

1

o Rdt

POd

Rdt

OOd

Rdt

OPd

Daprs la formule de Bour

PO)/R(Rdt

POd

dt

POd1o1

R

1

R

1

IO

Do

PO)/R(Rdt

POd

dt

OOd

dt

OPd1o1

R

1

R

1

R IOO

PO)/R(R)/R(OVdt

POd

dt

OPd1o1o1

R

1

R IO

Doo

1o e/RV)(P/RV)(P/RV

: Cestla loi de composition des vitesses

Avec :

*

o

o

Rdt

OPd)(P/RV

:Vitesse absoluedu point P

*

1

1

R

dt

OPd)(P/RV

:Vitesse relativedu point P

* PO)/R(R)/R(OVe/R

V 1o1o1o

: Vitesse dentranement de R1 par rapport Ro. La

vitesse dentranement scrit aussi )/RR(PVe/R

V o1o

appele aussi vitesse du point

concidantc..d. la vitesse du point P, considr fixe dans le rfrentiel R1, par rapport au rfrentiel

Ro.

I - 6 4 Compositions des acclrati ons

Une seconde drivation du vecteur position OP par rapport au temps dans le rfrentiel Ro conduit

:

oo

o

1o

oo

1

o

o

o

2

2

o

Re/R

Vdt

d

R)(P/RV

dt

d)(P/R

Re/R

V)(P/RVdt

d

Rdt

)(P/RVd

Rdt

OPd)(P/R


25/89


o

1o11

o

o1

R

o1

o

1o1o1

Ro

1o11R

1

1o1

R

1

R

1

Rdt

POd)/R(RPO

R)/R(R

dt

d)/R(OV

dt

d

RPO)/R(R)/R(OV

dt

d

e/RV

dt

d

)(P/RV)/R(R)((P/R)(P/RVdt

d

Bour)de(formule)(P/RV)/R(R)(P/RVdt

d)(P/RV

dt

d

Comme

O

O

O

IO

PO)/R(R)/R(R

)(P/RV)/R(RPO)/R(Rdt

d)/R(O

e/RV

dt

d

PO)/R(R)(P/RV)/R(R

PO)/R(Rdt

d)/R(O

e/RV

dt

d

PO)/R(R)(P/RVPO)/R(Rdt

POd

dt

POd

Or

1o1o1

1o11

R

o1o1

Ro

1o11o1

1

R

o1o1

Ro

1o111o1

R

1

R

1

OO

OO

IO

PO)/R(R)/R(R

PO)/R(Rdt

d)/R(O)(P/RV)/R(R2)(P/R)(P/RoD'

1o1o1

1

R

o1o11o11o

O

On en dduit laloi de composition des acclrations:

oC1o e/R

)(P/R)(P/R

Avec

* )(P/RVdt

d)(P/R

OR

oo

: Acclration absolue du point P.

* )(P/RVdt

d)(P/R

1R

11

: Acclration relative du point P.

* )(P/RV)/R(R2 1o1C

: Acclration de Coriolis ou acclration complmentaire.


26/89


Cette acclration disparat si 0)/R(R o1

c..d. si R1est en mouvement de translation par rapport

Roou si la vitesse 0)(P/RV 1

c..d. si le point P est en quilibre dans R1(quilibre relatif).

*. PO)/R(R)/R(RPO)/R(Rdt

d)/R(O

e/R

1o1o11R

o1o1o

O

:

Acclration dentranement. Cest aussi lacclration du point concidant

)/RR(Pe/R

o1o

c..d. acclration du point P, considr fixe dans le rfrentiel R1, par rapport

au rfrentiel Ro.

Remarque : On vrifie que :

C

oR

11

C

oRoo

2

1-)(P/RV

dt

d)(P/R

2

1-e/RV

dt

de/R

I 7 Angles dE uler

On dfinit trois paramtres angulaires, appels angles dEuler, pour une rotation dun solide (S)

autour dun point fixe O.

Soient ),,,( oooo zyxOR

un repre orthonorm fixe et ),,,( zyxORS

un repre orthonorm li

au solide (S). On veut tudier le mouvement du solide (S) par rapport au repre ),,,( oooo zyxOR

.

Cest doncquivalent tudier le mouvement du repre ),,,( zyxORS

li au solide (S) par rapport

au repre fixe ),,,( oooo zyxOR

. C..d. lorsquon tourne le solide (S) autour du point O pour

lamener une position quelconque. Cela revient tourner le repre RSpar rapport au repre Ro.

Reprsentation spatiale :

La rotation dEuler peut tre reprsente directement dans lespace faisant apparatre les trois angles

en mme temps.

L a pr cession :

Dans un premier temps, on tourne le solide S autour de laxe )zO,( o

dun angle )u,x( o

.

Le repre RO est amen un repre intermdiaire )z,v,uO,(R o1

.Langle est appelangle

de prcession.


27/89


Le vecteur rotation instantane correspondant est ozdt

d

)/R(R o1

L a nutation :

Maintenant on fait subir R1 une rotation dangle )z,z( o

autour de laxe )uO,(

. Cette

rotation amne le repre )z,v,uO,(R o1

au repre )z,w,uO,(R2

. Langle est appel

angle de nutation.

Le vecteur rotation instantane correspondant est o12 zdt

d)/R(R

L a rotation propre :

Enfin, on fait tourner le repre )z,w,uO,(R2

autour de laxe ),O( z

pour lamener en

concidence avec le repre ),,,( zyxORS

. Cette rotation est dangle )x,u(

. Langle est

appel angle de rotation propre.


28/89


Le vecteur rotation instantane correspondant est zdt

d)/R(R 2S

Conclusion :Expression de )/R(R)(S/R oSo

Le vecteur rotation instantane du solide S par rapport au repre fixe ),,,( oooo zyxOR

est :

)/R(R)/R(R)/R(R)/R(R)(S/R o1122SoSo

oo zdtdu

dtdz

dtd)(S/R

Remarque:

Le vecteur rotation instantane )/( oRS

du solide S par rapport au repre Ro, peut tre exprim

dans nimporte quelle base. Il est toutefois plus avantageux, pour la simplicit des calculs, de

lexprimer dans la base associe au repre )z,w,uO,(R2

. En effet , cest dans cette base que son

expression est la plus simple et laxe )zO,(

est souvent axe de symtrie de rvolution du solide S.

Comme wsinzcoszo

on obtient :


29/89


)z,w,u(

)(S/RC..d.

zwu)(S/Rtqui s'cri

zdt

d

dt

dw

dt

d u

dt

d )(S/R

o

o

o

cos

sin

cossin

cossin

I I - Cinmati que des soli des en contact

II 1 Contact ponctuel.

Dfini ti on :

Deux solides S1 et S2 en mouvement dans un repre ),,,O(R oooo zyx

sont dits en contact

ponctuel si les mouvements de ces deux solides sont tels que leurs surfaces restent, tout instant t,

tangentes entre elles en un point I appel point gomtrique du contact.

Remarque :

Au point de contact, il faut distinguer les trois points confondus suivants :

i) Le point gomtrique du contact Ic..d. ISS,ttempsle 21 .

ii) Le point matriel I1du solide S1et quiconcideavecI linstant considr.

iii) Le point matriel I2du solide S2et quiconcideavecI linstant considr.

Les points I, I1 et I2 sont confondus linstant t mais ont des trajectoires diffrentes et des vitesses

priori diffrentes.


30/89


I I 2 gli ssement, Roulement et pivotement

I I - 2 1 L e vecteur vitesse de gli ssement

a) Dfini tion :

On appellevitesse de glissement du point I du solide S1 sur le solide S2 linstant t, le vecteur

)/SS(IV 21

not )/S(SVou(I)V 21gg

Daprs la loi de composition des vitesses :

)(I/SV-)(I/SV)/SS(IV)/SS(IV)(I/SV)(I/SV 12212112

Relation ()

Ou encore en introduisant le repre Rode lespace affine

)/RS(IV-)/RS(IV)/SS(IV o2o121

Relation ()

En effet :

)/RS(IV)/RS(IV)(I/SV)(I/SV

)/RS(IV)(I/SV)/RS(IV)(I/SV(2)(1)

(2))/RS(IV)(I/SV)(I/RV

(1))/RS(IV)(I/SV)(I/RV

o2o112

o22o11

o22o

o11o

b) Proprits :

La vitesse dun point I de S1 par rapport S2 est loppose de la vitesse du point I de S 2 par

rapport S1: )/SS(IV-)/SS(IV 1221

La vitesse de glissement )/SS(IV 21

est contenue dans le plan tangent () de contact du

solide S1 par rapport au solide S2 au point I par consquent )/SS(IV 21

na pas de

composante normale au plan tangent de contact ().

0(I)n)./SS(IV 21

La vitesse de glissement ne dpend que des solides en contact S1et S2et elle est indpendante

du repre par rapport auquel S1et S2sont en mouvement.

Expression explicite de la vitesse de glissement )/SS(IV 21

:

Si A est un point du solide S1dont on connait la vitesse. On crit la relation fondamentale du

champ de vecteurs vitesses :


31/89


AI)/S(S)/SS(AV)/SS(IV 212121

c) M ouvement sans gli ssement:

Si la vitesse de glissement 0)/SS(IV 21

quelque soit le temps t, alors on dit que lemouvement du solide S1par rapport au solide S2se fait sans glissement. La condition de non

glissement permet de rduire le nombre de variables du mouvement.

d) Remarques uti les:

En pratique, il faut viter de calculer la vitesse de glissement )/S(SV 21g

laide de la

relation (): )(I/SV-)(I/SV)/SS(IV)/S(SV 122121g

.

Quand le solide S1 est en mouvement par rapport au solide S2 lui-mme en mouvement, onpeut calculer la vitesse de glissement par la relation ():

)/RS(IV-)/RS(IV)/SS(IV)/S(SV o2o12121g

La vitesse de glissement )/S(SV 21g

est une vitesse dentranement. Si on connait la vitesse

dun point A li au solide S1par rapport au solide S2, on crit :

AI)/S(S)/SS(AV)/SS(IV)/S(SgV 21212121

Daprs la formule de distribution du champ des vitesses. Cette dernire relation est souvent

utilise.

Lacclration au point de contact I : )/SS(IVdt

d)/SS(I 2121

Car cest une acclration dentranement. Pour dterminer cette acclration, on applique la

formule dacclration dentranement ou bien on dtermine le champ des acclrations en un

point P quelconque du solide S1et au niveau du rsultat on fait passer le point P vers le point I.

I I - 2 2 Les vecteur s rotations in stantanes de roulement et de pivotement

Le vecteur rotation instantane )/( 21 SS

se dcompose en un vecteur rotation port par le plan

tangent (), not )/S(S 21t

et appelvecteur rotation instantane de roulement, et en un vecteur

rotation perpendiculaire au plan tangent (), not )/S(S 21n

et appelvecteur rotation instantane

de pivotement.


32/89


Le vecteur rotation instantane scrit alors :

)/S(S)/S(S)/S(S 21n21t21

C..d. larotation est une composition dunroulement de vitesse )/S(S 21t

et dunpivotement de

vitesse )/S(S 21n

.

Les conditions 0)/S(Set0)/S(S,0)/S(SV 21n21t21g

reprsentent respectivement les

conditions de non glissement, non roulement et non pivotement. Ces conditions agissent comme

contraintes sur les six degrs de liberts ),,,z,y,x( GGG du solide.


33/89

Cintique du solide Pr : M. AHD Page 28

ChapitreIII

Cintique du sol ide


34/89


Pour comprendre lorigine du mouvement dun systme, il faut pralablement sintresser

des grandeurs physiques qui caractrisent le mouvement du systme dans son ensemble. La

cinmatique des solides sest intresse au mouvement des solides sans se proccuper des masses et

des causes qui les crent. Il est donc ncessaire dintroduire des concepts qui associent mouvement des

solides et masse des solides. La cintique se dfinit ainsi comme tant la cinmatique des masses.

Lintroduction de la masse dans la cinmatique avec les vitesses et les acclrations permet de

calculer respectivement le torseur cintique et le torseur dynamique.

La premire partie de ce chapitre est donc une introduction aux effets de masse et dinertie dans le

cadre de la mcanique classique (non relativiste).

I Rpar ti ti on des masses.

I 1 M asse d un systme matriel

La masse mesure la quantit de matire contenue dans un volume donn. Dans le cadre de la

mcanique newtonienne, la masse se conserve dans le temps et elle possde la proprit dadditivit.

a) Systme discret

La masse totale dun systme matriel form de N particules est

N

i

imM1

b) Systme conti nu

Soit M la masse totale dun systme matriel continu (D). A chaque point P du systme (D),

on associe une fonction scalaire (P), appel masse spcifique ou densit, et dfinie de la

faon suivante :

Etant donn une mesure lmentaire d (entourant le point P) de la rpartition D, de masse

dm, (P) est donn par :d

dm

d (P) lim

0 hypothse mcanique des milieux continus.

La masse totale du systme matriel (D) est DD (P) ddmM Il y a trois types de rpartition des masses :


35/89


i - S i l a r p ar ti ti on d es m as se s e st v o l u m i q u e ( D = V , v o l u m e ) .

dv

dm dvdm Densit volumique de masse

La masse totale est VV dvdmM o V est le volume totale du systme (D).

i i - S i l a r pa rt it io n d es m as se s e st s u r f a c i q u e ( D = S , s u r f a c e r g u l i r e ) .

ds

dmdsdm Densit surfacique de masse

La masse totale est SS dsdmM o S est la surface totale.

i i i - S i l a r p ar ti ti on d es m as se s e st l i n i q u e ( D = L , c o u r b e r g u l i r e ) .

d

dmddm

densit linique de masse

La masse totale est LL ddmM o L est la longueur totale.

c) Cas parti culier important.

Si la densit de masse est constante : (P) == constante, le systme esthomogne.

Pour la rpartition volumique : La masse totale M = V

Pour la rpartition surfacique : La masse totale M =S

Pour la rpartition linique : La masse totale M =L

I 2 Centr e d inert ie (centre de masse) dun systme matriel.

a) Systme matriel di scret

Pour un systme discret form de N points matriels P 1, P2, .PN portant respectivement les

masses m1, m2,.mN, lecentre de masse Gestdfinipar :

01

i

N

i

i GPm .

O G est le barycentre des points Piaffects des coefficients mi.

Si O est lorigine dun repre :

N

i i

i

N

ii

m

OPm

OG

1

1


36/89


b) Systme conti nu (cas d un soli de)

Dfiniti on :

On appelle centre dinertie (ou centre de masse) dun systme matriel continu (D), le point G

dfini par la relation vectorielle :

0(P)dmGPD

Ce qui traduit point dqui-rpartition des masses.

(D) : domaine de rpartition des masses.

dm (P) est la masse de la mesure lmentaire dde (D) contenant le point P.

Le centre dinertie G est dtermin partir dune origine O dun repre R et dfini par :

(P)dmOPM

1OG

D

O M est la masse totale du systme matriel (D).

d(P)OPM

1OG

D .

Dans un systme daxe (OXYZ) les coordonnes du centre dinertie G sont donnes par :

dz)y,(x,xM

1x

DG

dz)y,(x,yM

1y

DG

dz)y,(x,zM

1z

DG

c) Cas particulier

Dns le cas dun solide homogne de densit volumique= constante :

V

V

V dvOPV

1OG

dv

dvOPOG

Rpartition surfacique :S

dsOPS

1OG


37/89


Rpartition linique : L

dOPL

1OG

d) Remarques

Le centre dinertie possde la proprit dassociativit : le centre dinertie dun systme S

constitu de deux solides S1 et S2(S= S1US2) de masse m1 et m2 et de centres dinertie G1 et

G2est dfini par :

21

2211

mm

OGmOGmOG

Un systme (S) possde un lment de symtrie matrielle (point, droite, plan)

si la distribution de masse en tout point P est gale celle en P point symtrique de

P par rapport cet lment de symtrie. Dans ce cas, le centre dinertie G est plus

facile calculer.

S i u n s y st me m at r ie l p o ss de d e s l me n t s d e s y m t r ie m at r ie l l e, s o n

centre dinertie est ncessairement situ sur ces lments de symtrie.

e) Propr its

Si un systme admet un point A comme point de symtrie matrielle, alors le centre

dinertie G concide avec A . Exemple la boule B(O,R).

Si un systme admet un axe de symtrie matrielle Oz, alors le centre dinertie G

appartient cet axe Oz. Exemple : demi- boule et cne (laxe Oz est axe de

symtrie de rvolution).

Si un sys tme admet un plan de symtr ie matr ie l le a lors le centre

di nert ie G appartient ce plan . Exemple : S = (boule U cne).

f) Ex empl e : Centr e de masse d un cne pl ein

cte

On cherche la position deG.

par symtrie, 0 GG yx .


38/89


h

0

2

h

0

2

G

dzr

dzrz

d

dz

d

dzz

On a : tgzr

Donc zhOGh c..d.dzz

dzzz

h

h

G

4

3

4

3

0

2

0

3

I I M atrice d inertie

Soit ),,,O(R oooo zyx

un repre orthonorm fixe par rapport auquel on se propose dexprimer

les lments cintiquesdu solide S ayant le point fixe O.

Le moment cintique du solide S au point O est dfini par :

) dm(P/RVOP)(S/RL oSPoo

OP) (S/R)(O/RV)(P/RV ooo

Comme

dmOP) (S/ROP)(S/RL oSPoo

C)B.A(-B)C.A()CB(AOr

dmOP)(S/R.OPdm -)(S/R)OP()(S/RLSP

ooSP

oo 2

Soient x, y, et z les composantes du vecteur OP dans un systme daxe (pas forcment li

Ro). On pose p, q et r les les composantes du vecteur rotation instantane )(S/R o

dans ce

mme systme daxe.

r

q

p

)(S/Ret

z

y

x

OP o

Calculons les composantes du moment cintique (Lox, Loyet Loz) dansce mme systme daxe.

Composante Lox


39/89


rdmzxqdmyxpdmzyLSoit

dmxzryqxpdmpzyxL

ox

ox

--)( 22

222

Composante Loy

rdmzyqdmzxpdmyxLSoit

dmyzryqxpdmqzyxL

oy

oy

-- 22

222

Composante Loz

rdmyxqy z dmp -x z dm-Soit L

z dmzryqxpr dmzyxL

oz

oz

22

222

On pose :

dmzxI

dmzyI

dmyxI

dmyxI

dmzxI

dmzyI

xz

yz

xy

zz

yy

xx

22

22

22

On obtient :

rIqp - IIL

rq - Ip - IIL

rq - Ip - IIL

zzyzxzoz

yzyyxyoy

xzxyxxox

Sous forme matricielle, on peut crire : )(S/R(S)II)(S/RL oooo


40/89


Lemoment cintique en O du solide S par rapport au repre Ro est gal au produit du tenseur dinertie

(matrice dinertie) par le vecteur rotation instantane )(S/R o

.

O la matrice

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

o

I-I-I

-II-I

-I-II

(S)II appele matrice dinertie (ou tenseur dinertie).

On a lhabitude de noter :

FIE etD , IC , IIB ,A , II xyxzyzzzyyxx

La matrice dinertie IIo (S) scrit aussi :

C-D-E

-DB-F-E-FA

(S)IIo

Par dfini ti on :

Ixxest le moment dinertie du solide S par rapport laxe )x(O,

Iyy est le moment dinertie du solide S par rapport laxe y(O,

22 dmyxIzz est le moment dinertie du solide S par rapport laxe z(O,

Ixyest le produit dinertie du solide S par rapport au plan )yx(O,

Iyzest le produit dinertie du solide S par rapport au plan (O, z,

Ixzest le produit dinertie du solide S par rapport au plan z(O,


41/89


NB. Lapplication symtrique linaire qui chaque

associe oL

(dans une base ),, kji

est

appeleoprateur dinertie(IIo).

Remarques importantes : Les moments dinertie sont toujours positifs et les produits dinertie peuvent tre positifs,

ngatifs ou nuls.

Les composantes de la matrice dinertie dpendent en gnral du temps dans un repre

galilen Ro ou dans RG (repre barycentrique). Elles sont indpendantes du temps dans un

repre li au solide.

Lorsque la rotation seffectue autour du centre dinertie G, on a :

)(S/R(S)II)(S/RLoGoG

IIG (S)est la matrice dinertie du solide calcule en G.

La matrice IIG(S) est appelematrice principale dinertie.

Le vecteur )(S/R o

est le mme car le repre RGest mouvement de translation par rapport

Ro.

On peut dfinir le moment dinertie du solide au point O:

SPSP

O dmOPdmzyxI2222

IOest indpendant du choix de la base.

On a la relation :

dmxzzyyx

dmzyxI

SP

SPO

222222

222 2222

zzyyxxO IIII 2

On peut dfinir les moments dinertie par rapport aux plans y(O,

, y(O, z,

et

z,x(O,

.

2 dmzIoxy :Moment dinertie du solide par rapport au plan ),x(O,

.

2

dmxI

oyz

:Moment dinertie du solide par rapport au plan zy(O,

.


42/89


2 dmyIoxz :Moment dinertie du solide par rapport au plan z(O,

.

On a les relations :

oxzoyzzz

oxyoyzyy

oxyoxzxx

oxzoyzoxyO

III

III

III

IIII

I I I M oment di nerti e parti r de la matri ce di nerti e

On veut calculer le moment dinertie du solide S par rapport un axe ( passant par le point O

partir de la matrice dinertie.

Soit P un point du solide de masse dm et r distance du point P laxe (

u

estvecteur unitairede laxe (

On a : )(S/R(S)II)(S/RL oooo

Projetons cette relation sur laxe () de vecteur unitaire u

.

)(S/R(S)IIu)(S/RLu oooo ..

Dans le cas particulier dune rotation autour de laxe () ; u)(S/R o

mixteproduit

) dm(P/RV,OP,u) dm(P/RVOP.u)(S/RL.uet

u(S). IIu)(S/R(S). IIu

ooSPoo

ooo

Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des trois vecteurs.

) dm(P/RVOPu)(S/RL.u oSPoo

.)(


43/89


OP) (S/ROP) (S/R)(O/RV)(P/RV oooo

car O point du solide fixe

dans Ro.

r

2

2

2

dmr)(S/RL.u

OPuOr

dm)OPu()(S/RL.u

dm)OPu()(S/RL.u

dm) OPu) . (POu()(S/RL.u

dmOP) o

(S/R) .OPu()(S/RL.u

oo

oo

oo

SPoo

SPoo

On sait que :

Opointleparpassant)(axel'rapportparsolideduinertied'moment2 dmrI

Iu(S)o. IIu

I)o(S/RoL.u

u(S)o. IIuI

Cest une relation de liaison entre le moment dinertie par rapport un axe quelconque passant par

le point O et les moments dinertie par rapport aux axes du repre.

I V axes principaux d inertie

u

est unvecteur proprede la matrice dinertieIIo (S) si uu(S)IIo

Le scalaireest la valeur propre associ au vecteur propre u

. Le support de u

est appelaxe principal dinertie.

Le vecteur propreu

dtermine une direction propre.

Les valeurs propres de la matrice dinertieIIo sont solutions de lquation caractristique :

0min

C-D-E

-DB-F

-E-FA

ant DDter

Le dterminant D() = 0 donne une quation du 3eme degr en. Les racines 1,2 et3 sont les

valeurs propres de la matrice dinertie IIo(S) et les vecteurs propres ),,( 321 uuu

sont les vecteurs


44/89


propres associs. Les vecteurs propres unitaires ),,( 321 uuu

dterminent les trois directions

propres.Leurs supports sont les axes principaux dinertie.

Calcul des moments d inertie par r apport aux axes principaux d inertie (A.P.I)

Le moment dinertie du solide par rapport laxe principal dinertie de vecteur unitaire 1u

est :

u(S). IIuI

u(S). IIuImmeDe

u.uu.uu(S). IIuI

o

o

o

3333

2222

1111111111

Donc les valeurs propres de la matrice dinertie IIo(S) sont les moments dinertie par rapport aux axes

principaux dinertie.

Etude de l quati on car actristique.

1er Cas: Trois valeurs propres distincts(1 2 3)

Ils existent trois vecteurs propres ),,( 321 uuu

(trois axes principaux dinertie) qui forment une base

orthonorme.

En effet :

La symtrie du tenseur dinertie montre

jsi i

jO si iuu

u.uu.uu.uu(S). IIuu(S). IIu

ji

jiijiijjjiiojjoi

1.

0)()-(

Donc ),,( 321 uuu

est une base orthonorme.

OijIjsi i

iiiIjsi i

juiujjuj.iuju(S). IIiuijI o

alors

alors

).(

Dans la base ),,( 321 uuu

orthonorme, la matrice dinertie scrit :

C

B

A

(S)IIo

00

00

00

et (R.P.I)inertied'principalrepre),,,( 321 uuuOR

2me Cas:(1 =2 3)


45/89


Dans ce cas la matrice dinertie scrit :

C

A

A

(S)IIo

00

00

00

Symtrie cylindrique.

3me Cas: Trois valeurs propres gales(1 =2 =3)

Dans ce cas la matrice dinertie scrit :

A

A

A

(S)IIo

00

00

00

Symtrie sphrique.

V Thorme d H uygens

Soient ),,,O(R zyx

un repre orthonorm et ),,,G(RG zyx

le repre barycentrique dont

lorigine concide avec le centre dinertie G du solide S et dont les axes sont constamment parallles

aux axes du repre R.

Soit P un point du solide de coordonnes (x, y, z) dans le repre R et de coordonnes (X, Y, Z) dans le

repre RG. Le centre de masse G a pour coordonnes (a, b, c) dans le repre R.

zcybxa

OG

Daprs la relation de Chasles

Zcz

bGPOGOP Yy

Xax

Le moment di nerti e du solide S par r apport l axe )(O,

dmbYaXdmyxISPSP

zz 2222


46/89


En dveloppant:

)

0GPmassedecentredudfinitionlaaprsd'0

22

2222

b(aMII

dmdmbYaX

dmbYaXdmbadmYXI

ZZzz

zz

De mme

)

)

22

22

c(aMII

c(bMII

YYyy

XXxx

)bM (aZZIzzI 22 2M dZZIzzI Thorme dHuygens

Od est la distance entreles deux axes parallles )Z(G,etz

)(O, .

On gnralise : 2dMII G

Od est la distance entre lesdeux axes parallles etG

Et G= laxe parallle et passant par le centre dinertie G.

Le produit d inertie du solide S

aY dmbX dmM abY dmXI

dmbYaXy dmxI

xy

SPSPxy

abMXYIxyI

Gnralisation : Thorme de Koenig pour la matr ice d inert ie

On a :


47/89


)

)

)

:inertied'produitsLes:inertied'momentsLes

22

22

22

bcMIIb(aMII

acMIIc(aMII

abMIIc(bMII

YZyzZZzz

XZxzYYyy

XYxyXXxx

22

22

22

baMIbcMIacMI

bcMIcaMIabMI

acMIabMIcbMI

(S)II

I-I-I

-II-I

-I-II

(S)II

ZZYZXZ

YZYYXY

XZXYXX

o

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

o

22

22

22

babcac

bccaab

acabcb

M

I-I-I

-II-I

-I-II

(S)II

ZZYZXZ

YZYYXY

XZXYXY

o

)(, SMGoII(S)II(S)II GO Thorme de Koenig pour la matrice dinertie

solide.du

MtotalemasseladeaffectGmassedecentreduOeninertied'matricelaest)(,

OGet)(,Avec22

22

22

SMGII

zcybxa

babcac

bccaab

acabcb

MSMGII

o

o

N.B.).z,y,x(icibasemmeladansexprimstredoiventOGveceurleetinertied'matriceLa

(S)IIG


48/89


VI L e tor seur Cinti que )(S/RT oC

VI 1 Dfiniti on

Le torseur cintique (ou torseur des quantits de mouvement) )/( oC RST dun solide S en

mouvement dans un repre RO, est le torseur ayant comme rsultante gnrale, la quantit de

mouvement )(S/RP o

appele rsultante cintique et comme champ antisymtrique, le moment

cintique total )(S/RL o

.

)(S/RL) ,(SRP)(S/RT oooC

a) L e vecteur quanti tde mouvement )(S/RP o

/ Expr ession de )(S/RP o

dm)(P/RV)(S/RPSP oo

O )(P/RV o

est la vitesse du point matriel P du solide.

/ Proprits de )(S/RP o

dmOPdt

ddm

Rdt

OPddm)S/R(PV)o(S/RP

o

SP o

Daprs la dfinition du centre de masse : dmOPMOG

)/( oo

o RGVMR

OGMdt

d)(S/RP

O M est la masse totale du systme.

b) L e moment cintique )(S/RL o

/ Expr ession de )(S/RL o

Le moment cintique (moment des quantits de mouvement) dun solide en mouvement par

rapport au repre Ro calcul en un point A quelconque du solide (S) scrit :

) dm(P/RVAP)(S/RL oSPoA


49/89


/ Proprits de )(S/RL o

Le moment cintique est un champ de vecteurs antisymtrique de vecteur )(S/RP o

.Etant

donn deux points quelconques A et B on a :

BA)(G/RVM)(S/RL)(S/RL

BA)(S/RP)(S/RL)(S/RL

ooBoA

ooBoA

Cette formule dans laquelle A et B sont deux points quelconques permet de calculer le moment

cintique dun solide S par rapport un repre Ro, en tout points si on le connait en un point donn.

VI 2 Dtermi nati on du moment cintique d un soli de (S) en l un de ses poin ts

On calcule le moment cintique au point A appartenant au solide (S) de masse M.

dmAP)(S/RAPdm)S/R(AVAP)(S/RLdmAP)(S/R)S/R(AVAP)(S/RL

AP(S/Ro)S/R(AV)S/R(PV

dm)(P/RVAP)o(S/RL

SP oSP ooA

SP oooA

oo

SP oA

)

AGMdmAGdmGPAGdmAP)S/R(AVAGM)S/R(AVdmAPdm)S/R(AVAPOr

SPSPSP

ooSPSP

o

Car

inertie).d'(IIde

dfinitioncommepriseest)(relationcetteCar

)(Et

O tenseur

dmOPuOPuSII

)(S/RSIIdmAP)(S/RAP

SPO

oASP o

Do )S/R(AVAGM)(S/R(S)II)(S/RL ooAoA


50/89


Cas parti culi ers.

Deux cas particuliersimportantspeuvent tre dduits de la dernire relation :

1er Cas:Si le point A est le centre dinertie G du solide ( A confondu avec G) alors 0

G

)(S/RSII)o(S/RL oGG

)(

2me Cas:Si le point A est fixe par rapport Ro alors 0)/(

oRSAV

)o(S/RSII)o(S/RL AA

)(

VI 3 Dtermi nati on du moment cintique d un soli de (S) en u n point n appartenant pas

au solide (S)

On calcule le moment cintique au pointA non li au solide. On passe par le centre dinertie G du

solide (S).

GA)(G/RVM)(S/RSII

GA)(G/RVM

ooGoA

ooGoA

)(S/RL

)(S/RL)(S/RL

)(

Dans le cas particulier o A concide avec O(A confondu avec O)

)(G/RVMOG)(S/RSII ooGoo )(S/RL

)(

Certains lappellentthorme de Koenig pour le moment cintique.

VI 4 Repre barycentr ique RG

Soit RGle repre barycentrique (ou repre de Koenig) associ un repre R et un solide S de masse

M, c..d. le repre dont lorigine concide avec le centre dinertie G de (S) et dont les axes sont

constamment parallles aux axes du repre R. Le repre R est donc en mouvement de translation, par

rapport R, la vitesse )(G/RV

.


51/89


VI 5 Thorme de Koeni g pour le moment cinti que

On a :

)/(

)/(

)/(

)/(Comme

oGAoA

SP oSP G

SP oGoA

oGo

SP oA

RGVMAG)(S/RL)(S/RL

dmRGVAPdm)(P/RVAP

dmRGV)(P/RVAP)(S/RL

RGV)(P/RV)(P/RV

dm)S/R(PVAP)o(S/RL

GA) (G/RVM)(S/RL)(S/RL oGAoA

Ce rsultat porte le nom dethorme de Koenig pour le moment cintique.

Le moment cintique au point A du solide (S) par rapport Ro est gal au moment cintique du solide

dans son mouvement autour du centre dinertie G, augment du terme GA)(G/RVM o

.

VI I Le torseur dynamique

VI I 1 Dfini ti on :

On appelle torseur dynamique (ou torseur des quantits dacclrations) dun solide (S) en mouvement

dans un repre Ro, le torseur )/( oD RST ayant comme rsultante gnrale, la rsultante

dynamique totale du solide )(S/RS o

et comme champ de vecteurs antisymtrique, le moment

dynamique total )(S/RD o

.

)(S/RD) ,(SRS)(S/RT oooD

a) L e vecteur rsul tante dynamique

La rsultante dynamique totale du solide (S) par rapport Ro est dfini par :

dm)S/R(P)o(S/RS SP o

O )S/R(P o est le vecteur acclration du point P du solide.


52/89


Daprs la dfinition du centre de masse : SP dmOPOG 1

En drivant par rapport au temps, on obtient :

)(G/R)/(Ainsi

)/(

1

)/()/(

1

)/(

o

MdmRP

dmRPMRGdmRPVMRGV

SP o

SP ooSP oo

)(G/R)(S/RS oo

M

La rsultante dynamique )(S/RS o

du solide S dans son mouvement par rapport au repre Ro est

gale la quantit dacclration, par rapport Ro, du centre dinertie G de (S) affect de la masse

totale M du solide.

Remarque :

oo

oooR

)o(G/RVMdt

d

R)(G/RV

dt

dM)(G/RM)(S/RS

o

oo

R

)(S/RP

dt

d)(S/RS

C..d.la drive par rapport au temps de la rsultante cintique )(S/RP o

(quantit de mouvement)

relativement au repre Ro, est gale la rsultante dynamique )(S/RS o

.

b) L e moment dynamique

Le moment dynamique en un point quelconque A du solide (S) par rapport au repre Ro, la quantit :

dm)S/R(PAP)(S/RDSP ooA

Etant donn deux points quelconques A et B on a :

BA)(G/RM)(S/RD)(S/RD

BA)(S/RS)(S/RD)(S/RD

ooBoA

ooBoA


53/89


Cette formule dans laquelle A et B sont deux points quelconques permet de calculer le moment

dynamique du solide S par rapport au repre Ro, en tout points si on le connait en un point donn.

VI I 2 Relation entre moment dynamique et moment cin tique d un solide

Soit A un point quelconque du solide. On drive par rapport au temps lexpression intgrale du

moment cintique de (S) en A.

dm)(P/RV

Rdt

APddm)(P/RAP

R)(S/RL

dt

d

Rdm)(P/RVAP

dt

d

R)(S/RL

dt

d

Rdm)(P/RVAP

dt

d

R)(S/RL

dt

d

SP o

o

SP o

o

oA

SP

o

o

o

oA

oSP o

o

oA

)/()/(OA-OPdt

d

dt

APdComme

OR

Ro

oo RAVRPV

O O est lorigine du repre Ro.

)(G/RVMdm)(P/RVRSDdm)(P/RAP

dm)(P/RV)(A/RVdm)(P/RAPR

)(S/RLdt

d

dm)(P/RV)(A/RVdm)(P/RAPR

)(S/RLdt

d

oSP ooASP o

SP ooSP o

o

oA

SP ooSP oo

oA

et)/(

Do finalement

)(A/RV)(G/RVMRSDR

)(S/RLdt

doooA

o

oA

)/(

Cas particuli ers


1er Cas:Si le point A est le centre dinertie G du solide ( A confondu avec G) alors

0o

)(A/RV)(G/RV o )/( oGo

oG RSDR

)(S/RLdt

d


54/89


2me Cas:Si le point A est fixe par rapport Ro alors 0)/(

oRSAV

)/( oAo

oA RSD

R

)(S/RL

dt

d

Rsum:

Si le point A est fixe ou confondu avec le centre dinertie G alors :

)/( oAo

oA RSDR

)(S/RLdt

d

Dans ce cas les lments de rduction du torseur dynamique )/( oD RST sontles drivs par

rapport au tempsdes lments de rduction du torseur cintique )/( oC RST :

o

oAoA

o

o

R)(S/RL

dt

dRSD

R)

o(S/RP

dt

d)(S/RS

)/(et

C..d. au point A )(A, S/RTdt

d)(A, S/RT oCoD

VI I 3 Thorme de Koenig pour le moment dynami que

Soit RGle repre barycentrique associ un repre Ro et un solide (S) de masse M.

On a le moment dynamique :

dm)S/R(PAP)o(S/RD SP oA

()/(2)/()/(et

GP) /RR) /R(RGP)/R(Rdt

dRG)(P/RV) /R(RRPRP

oGoGR

oG

oGoGGo

O

Le repreRGest en mouvement de translation par rapport Ro 0(

)/RR oG

)/()/()/(od' oGo RGRPRP


55/89


)RGAGM)(S/RD)(S/RD

)RGdmAP)(S/RD)(S/RD

dmRGAPdmRPAP)(S/RD

dmRGRPAP)(S/RD

oGAoA

oSPGAoA

SP SP oGoA

SP oGoA

/(

/(

)/()/(

)/()/(

Do )RGAG)(S/RD)(S/RD oGAoA /(M

Cest lethorme de Koenig pour le moment dynamique

VI I I - Energie cintique

V I I I 1 dfini ti on

Lnergie cintique EC(S/Ro) linstant t dun solide (S) en mouvement dans un repre Ro, est une

quantit scalaire positive dfinie par la relation intgrale suivante :

dm)(P/RVdm)(P/RV)(S/RESP oSP ooC

22

2

1

2

1

Remarques

Comme la vitesse, lnergie cintique dpend du repre considr.

)/R(SE)/R(SER/)S(SE o2Co1Co21C

VI I I 2 Propr its de l nergi e ci nti que.

Lnergie cintique EC(S/Ro) dun solide (S) de masse M en mouvement dans un repre Ro peut tre

exprime en termes du champ de vitesse )S/R(AV o

et du champ de moment

cintique )(S/RL oA

.

)S/R(AV).(G/RVM)(S/RL).(S/R)(S/RE oooAooC

2

Dmonstr ation :

dm)(P/RV)(P/RV)(S/RE

dm)(P/RV)(S/RE

oSP

ooC

SP ooC

.2

2

1:aOn

2


56/89


Daprs larelation fondamentale du champ de vecteurs vitesse dun solide.

AP) (S/R)(A/RV)(P/RV ooo

o A est un point du solide.

SP ooSP oooC

SP ooSP oooC

oooo

oSP ooSP ooC

oSP oooC

)(P/RVAP).(S/R) dm(P/RV)(A/RV)(S/RE

dm)(P/RVAP.)(S/R) dm(P/RV)(A/RV)(S/RE

)(P/RVAP)(S/RAP) (S/R)(P/RVmixteLe produit

dm)(P/RV.AP) (S/R) dm(P/RV.)(A/RV)(S/RE

) dm(P/RV.AP) (S/R)(A/RV)(S/RE

dm2

2

..

2

2

cintiquemomentdudfinitionlaaprsd'Et

Gmassedecentrededfinitionlaaprsd'Or

)(S/RL) dm(P/RVAP

)(G/RVM) dm(P/RV

oASP o

oSP o

)(A/RV)(G/RVMRSL.)(S/R)(S/RE oooAooC

.)/(2oD'

Cas particuli ers importants


1er Cas:Si le point A du solide est fixe par rapport Ro alors 0)/(

oRAV

)(S/R(S)) . II(S/R)(S/RE

)(S/RL) .(S/R)(S/RE

oAooC

oAooC

2

2

2me Cas :Si le point A est confondu avec le centre dinertie G du solide ( A G) Lexpression de

lnergie cintique devient:

)(G/RM V)(S/R(S)) . II(S/R)(S/RE

)(G/RM V)(S/RL).(S/R)(S/RE

ooGooC

ooGooC

2

2

2

2

Cest lethorme de Koenig pour lnergie cintique.


57/89


Cette relation scrit aussi :

)/(EpourKoenigdethorme2

1C

2ooGCoC RS)(G/RMV)(S/RE)(S/RE

)(G/RVM)(S/RE)(S/RE oGCoC222

Dmonstr ation

)(S/RL)o(S/RL

)(G/RVdmGP)(S/RL)o(S/RL

dm)(G/RVGPdm)(P/RVGP)o(S/RL

dmRGV)(P/RVGP)o(S/RL

dm)(P/RVGP)o(S/RL

GGG

oSPGGG

oSPGSPG

SP oGG

SP oG

)/(

Remarques

1) )(G/RVMRSL.)(S/R)(S/RE ooGooC2

2

1)/(

2

1

est la somme de :

)/(2

1(rotationdecintiqueEnergie

2

1(ontranslatidecintiqueEnergie 2

oGoorotationC

oontranslatio

C

RSL.)(S/R)S/RE

)(G/RVM)S/RE

La dcomposition de lnergie cintique reflte aussi le fait que le mouvement du solide par

rapport Ro, est une composition dun mouvement de translation du point G affect de la masse totale

M et dun mouvement de rotation autour du centre G.

2) Le double de lnergie cintique dun solide par rapport un repre Ro scrit :

)S/R(AV)(G/RVMRSL.)(S/R)(S/RE oooAooC

.)/(2

Sachant que le torseur vitesse (cinmatique) )(A/RV,)(S/R)S/R(A,T oooV

et le

torseur cintique )(S/RAL,)(SRP)S/R(A,T oooC

.


58/89


Le double de lnergie cintique 2 EC(S/Ro) est gal au produit scalaire du torseur vitesse

)S/R(A,T oV et du torseur cintique )S/R(A,T oC .

2 )(A, S/RT.)(A, S/RT)(S/RE

oCoVoC

Ce produit scalaire peut tre ralis de plusieurs faons, nous avons au point G centre dinertie du

solide :

2 )(G, S/RT.)(G, S/RT)(S/RE oCoVoC

3) Si le solide (S) est enmouvement de rotationautour dun axe () de vecteur unitaire u

.

).(axel'deautoursolideduinertied'momentO

..Or

2

1

2

1

2

1)/(

2

1

22

2

2

u(S). IIuI

Iu(S)IIuu(S)IIu)(S/R(S)II.)(S/R

)(G/RVM)(S/R(S)II.)(S/R)(S/RE

)(G/RVMRSL.)(S/R)(S/RE

u)(S/R

G

GGoGo

ooGooC

ooGooC

o

)(G/RVMI)(S/RE ooC22

2

1

2

1


59/89

Dynamique du solide Pr : M. AHD Page 54

Chapitre I V

Dynamique du sol ide


60/89


La dynamique est la partie de la mcanique qui tudie les relations entre les mouvements des

solides (cinmatique) et les causes (efforts) qui les crent, c'est--dire les actions mcaniques qui

agissent sur eux.

La loi fondamentale exprime la relation entre les lments cintiques et dynamiques dun

systme matriel () et les forces sexerant sur lui. La loi fondamentale de la dynamique est une

gnralisation sous la forme torsorielle de la loi fondamentale de la dynamique du point matriel.

I - Les efforts extrieur s

Ils sont dfinis par un champ de vecteurs auquel on associe un torseur

Fext extext FMFT ,

appel torseur des forces extrieures (ou torseur force extrieure)

exerces sur le systme (). extF

est la rsultante gnrale (rsultante des forces extrieures) et

ext

FM

le moment de ce torseur (moment des forces extrieures).

Remarque :

On fera une distinction dans les efforts extrieurs entre les forces distance (forces drivant

dune fonction nergie) qui sont toujours des donnes du problme et les forces de contact (ou de

liaison) qui sont des inconnues du problme pos.

a) Torseur force :

Soit un systme matriel constitu de n points matriels P i.

Pi(i=1, 2, .,n) indique un point o sexerce la force iF

.

A cet ensemble de force iF

sexerant sur les points Pi , on associe le torseur force FextT dfini

par :

Sa rsultante gnrale :

n

i

iext FF1

Son moment en un point A :

n

i

iiextA FAPFM1

)(

.

On vrifie que BAFFMFM extextBextA )) ((

relation fondamentale des torseurs.

Si la rsultante gnrale est nulle )0(

extF le torseur force FextT est un couple.

Si iC

(Couple concentr) est le couple exerc sur Pialors

n

iiCC 1

.


61/89


Dans le cas o les forces sont rparties de manire continue c..d. llment de masse dm est

applique la force fodmf

est la densit massique deffort.

Le torseur force FextT correspondant est dfini par :

Sa rsultante gnrale : dmfFext

Son moment en un point A : dmfAPFM extA )(

.

On vrifie, l aussi, la relation fondamentale des torseurs :

BAFFMFM extextBextA )) ((

b) Exemple.

Lexemple le plus simple est celui des forces de pesanteur qui sexercent sur un systme

matriel () de masse M et de centre dinertie G.

On peut reprsenter ces forces par la densit massique ozg-(P)f

o g est la constante de

pesanteur et oz

le vecteur unitaire de la verticale ascendante.

Si FextT est le torseur force correspondant ces forces, sa rsultante gnrale est :

oooext zgMdmzgdmzgdmPfF

)(

Et son moment en G est :

G.massedecentredudfinitionlaestc'0

0)()()(

dmGP

zgdmGPdmzgGPdmfGP ooextG FM

Le torseur correspondant ces forces est donc un glisseurdaxe )oz(G,

.


62/89


I I - La loi fondamentale de la dynamique

Soit un systme matriel (S) en mouvement par rapport un rfrentiel ),,,O(R oooo zyx

galilen.

)/()/,(oAoD

RSD,SRSAT

est le torseur dynamique de ce systme (S) par rapport au

rfrentiel Roau point A.

)/,( extAextoFext FMFRSAT ,

est le torseur des forces extrieures au mme point A.

En oncdu principe fondamental de la dynamique :

Il existe un rfrentiel despace Ro, dit rfrentiel galilen, et une chronologie absolue dans

lesquels le torseur dynamique [TD] du systme (S) par rapport au rfrentiel Ro est gal au

torseur des efforts extrieurs [TFext] appliqus sur ce systme (S).

)/()/( oDoFext RSRST T

I I I - L es thormes gnraux

Pour un systme matriel (S), les torseurs force [ TFext] et dynamique [TD] sont gaux si, et seulement

si, leurs rsultantes gnrales sont gales )(G/RM)(S/RSF ooext

et sil existe un point A o

leurs moments sont gaux )(S/RD)F(M oAextA

. On obtient ainsi deux galits vectorielles qui

constituentles thormes gnrauxde la mcanique du solide.

I I I - 1 Thorme de la rsul tan te dynami que

La rsultante gnrale extF

, des efforts extrieurs exercs sur tout systme matriel (S) est gale au

produit de la masse M de ce systme par le vecteur acclration )( oG/R

de son centre dinertie G

par rapport un repre galilen Ro.

exto F)(G/RM

On constate ici limportance de la mcanique du point matriel. En effet, cette galit traduit le

mouvement dun point matriel fictif, concidant avec G, de masse M, auquel on appliquerait une

force extF

. Ce thorme dcrit les mouvements de translation du systme (S) par rapport au rfrentiel

galilen Ro.


63/89


I I I - 2 Thorme du moment dynamique

Lgalit en un point arbitraire A du moment )FM extA (

, des efforts extrieurs exercs sur le systme

matriel (S) et du moment dynamique )(S/RDoA

de ce systme par rapport au rfrentiel galilen Ro

constituele thorme du moment dynamique.

)M)(S/RD extAoA F(

Ce thorme dcrit les mouvements de rotation du systme matriel (S) autour du point A. Ce point A

sera choisi de faon avoir un calcul simple du moment dynamique ou de faon annuler le moment

dune force quon ne dsire pas dterminer.

Remarques importantes :

1) Si le pointA est fixedans le repre Rogalilen, 0)S/R(AV o

, alors

)M)(S/RLdt

dextAoA F(

oR

Cestle thorme du moment cintique.

2) Si le pointA est confondu avec la centre dinertie G alors

)FM)(S/RLdt

dextGoG (

oR

3) Le thorme du moment cintique enun point A mobiledans Ro 0)(A/RV o

scrit :

)(A/RV)(G/RVMR

)(S/RLdt

doo

o

oA

)FM extA (

En effet, on a vu dans le chapitre prcdent, la relation entre le moment cintique et le moment

dynamique :

)(A/RV)(G/RVMRSDR

)(S/RLdt

doooA

o

oA

)/(


64/89


Et ))(S/RD extAoA F(M

.

Autr e dmon strati on

O est lorigine du repre Ro, on a : OA)(G/RVM)(S/RL)(S/RL ooooA

)FMOA)(S/RS)FMcar

)(A/RV)(G/RVM)FM

)(A/RV)(G/RVMOA)(S/RS)FM

extAoexto

ooextA

oooextO

((

(

(

o

oA

ooo

o

oO

o

oA

R)(S/RL

dt

d

)(A/RV)(G/RVMOA)(G/RMR

)(S/RLdt

d

R)(S/RL

dt

d

4) Si le solide (S) est en mouvement par rapport autre solide (S o). Et si le solide (S) est

en contact ponctuel avec le solide (So) en I (point gomtrique). Il convient dappliquer le thorme du

moment cintique en I qui est mobile afin dliminer les ractions de contact.

I V Thorme de l acti on et de la r acti on

Il sagit dune consquence importante de la loi fondamentale de la dynamique.

Etant donn un systme 21 SSS form de deux lments matriels S1et S2, en contact mais sans

partie commune, en mouvement dans le repre galilen Ro.

Enon c:

Pour deux solides S1 et S2 en contact mais sans partie commune, le torseur des forces extrieures

exerces par S1sur S2est loppos du torseur de forces extrieures exerces par S 2sur S1 :

)S(ST-)S(ST 12F21F


65/89


Dmonstr ation :

Si on note )S(STT 21FF12 le torseur des efforts exercs par S1 sur S2 et par

)S(STT 12FF21 le torseur des efforts exercs par S2sur S1 alors : TT F21F1 reprsente le torseur des efforts extrieurs exercs sur (S1).

et TT F12F2 reprsente le torseur des efforts extrieurs exercs sur (S2).

O [TF1] est le torseur des efforts extrieurs exercs par le milieu extrieur (S) sur (S1) et [TF2] est le

torseur des efforts extrieurs exercs par le milieu extrieur (S) sur (S 2).

Soit [TD1] le torseur dynamique de (S1) par rapport un repre galilen Ro et [TD2] le torseur

dynamique de (S2) par rapport ce mme repre.Puisque (S1) et (S2) nont pas de partie commune, le torseur dynamique de 21 SSS par rapport

Roest [TD1+ TD2].

Si on applique laloi fondamentale de la dynamique:

(S1), on a : 1211 FFD TTT

(S2), on a : 2122 FFD TTT

21 SSS , on a : 2121 FFDD TTTT

La comparaison de ces trois quations montre que :

)S(ST-)S(STc..d.0 12F21F21122112 FFFF TTTT

Do )()(et 12211221 SSSSSSSS FMFMFF

V - L a loi fondamentale de la dynamique dans un repre non gali len

Un solide (S) de masse M, de centre dinertie G est en mouvement par rapport deux repres ; Ro

galilen et R1un repre quelconque non galilen.

Soit P un point du solide, on a la loi de composition des acclrations :

)/(2)/( 1111

1

ooo

oCo

RRP)(P/RV) /R(RRP)(P/R

e/R)(P/R)(P/R


66/89


Le thorme de la rsultante dynamiquedans Roscrit :

)/()/(2

)/(2)/(

1111

1111

RGMRRGM)(G/RV)/R(RM-extF

RRGM)(G/RV)/R(RMRGM)(G/RMextF

oo

ooo

)(G/RV)/R(RMF)/RR(GMieF oo 111 2icetposantEn

On obtient : )(G/RMicFieFextF 1

Cest lethorme de la rsultante dynamique pour le solide (S) dans le repre non galilen R1.

Le thorme du moment dynamique en un point A quelconque par rapport Ro galilen

scrit :

extAoA FM)(S/RD

dmeAPdmAPdm)(P/RAP

dmeAPdmAPdm)(P/RAP)o(S/RD

e)(P/R)(P/Rdm)(P/RAP)o(S/RDOr

SPSP CSP

SPSP CSPA

CoSP oA

-)FM

)FM

et

extA1

extA1

1

(

(

dmAPicMdmeAPieM SP CSP

-etposantEn

Le thorme du moment dynamique dans le repre non galilen R1scrit :

icMieM)(S/RD extAA FM

1

On appellera torseur des efforts dinertie dentranement, FieT , associ la distribution

massique defforts )/RR(P o1

, le torseur de rsultante gnrale )/RR(PMieF o1

et dont le moment, en un point quelconque A, est )/( 1 dmRRPAPieM SP o

.

On appelleratorseur des efforts dinertie complmentaires (ou de Coriolis), FicT , associ

la distribution massique defforts )(P/RV)/R(R oC 11 2-

, le torseur de rsultante


67/89


gnrale )(P/RV)/R(RMMF oC 11 2ic

et dont le moment, en un point

quelconque A, est dmAPicM SP C

- .

Ces deux torseursfictifs ic

Mc

Mic

Fie

Me

Mie

F

,Tet,TFicFie

sont relatifs aux mouvements dans le repre non galilen R1.

VI - Puissance et travail

VI - 1 Cas d un systme matriel ()

a) Cas de forces concentres

On considre un systme de points matriels Pi de vitesses )/R(PV oi

. iF

est la force qui sexerce

sur le point Pi.

Par dfinition, on appellepuissance dveloppe par la force iF

le produit scalaire

)/R(PV.F)F(P oiiii

La puissance dveloppe par toutes les forces est :

n

i

oii

n

i

i )/R(PV.FPP11

.

b) Cas d une densitmassique d eff orts

Dans le cas dune densit massique defforts (P)f

, la puissance de ces efforts est donne par :

dmfFd;) dm(P/RV(P) .fP o

est la force lmentaire.

VI 2 Puissance d ef for ts s exerant sur u n solide (S)

a) Dfiniti on

Le systme matriel () se rduit un solide (S). Soit A un point du solide (S).

AP(S/Ro))S/R(AV)S/R(PV oo

Et par consquentla puissance des efforts sexerant sur le solideest :


68/89


dm(P)fAP(S/Ro).dm(P)f.)S/R(AVP

dmAP(S/Ro))S/R(AV(P) .f) dm(P/RV(P) .fP

SPSPo

oSPoSP

Le torseur des efforts sexerant sur le solide (S) est dfini par ses lments de rduction au point A :

)()/,( FM,FRSAT AoF

dm(P)fAPFMdm(P)fFS

AS

)(etAvec

)(FM.(S/Ro)F.)S/R(AVP Ao

Par consquent, dans le cas dun solide (S), la puissance des efforts sexerant sur le solide (S) est

gale au produit scalaire (le comoment) du torseur vitesse (torseur cinmatique)

)(V,))S/R(A,T oV oo S/RA(S/R

du solide par le torseur des efforts (torseur force)

)()/,( FM,FRoSATF

sexerant sur le solide (S).

)(S/R.)F(M)S/R(AV.F)P(S/R

)F(M,F)S/R(AV) ,(S/R(A, S/Ro)T)(A, S/RT)P(S/R

oAoo

AooFoVo

..

Cette expression est indpendante du point A choisi . En effet,

BAFFMFM

BA(S/Ro))S/R(BV)S/R(AV

BA

oo

)()(et

,SB

)(S/R.BA)(S/R.BA(S/Ro).F)S/R(BV.F)P(S/R

)(S/R.BABA(S/Ro))S/R(BV.F)P(S/R

)(S/R).F(M)S/R(AV.F)P(S/R

ooBoo

oBoo

oAoo

FFM

FFM

)

)

:est(S)solidelesurexerantss'effortsdespuissanceLa

(

(

mixteproduitleOr

BAF.FBA.FBA,,BA,,FBA.F


69/89


)(S/R.)F(M)S/R(BV.F)(S/RP oBoo

puissanccelaoD'

b) Cas de forces concentres

Soit la force concentre F

, dont le point dapplication A est fix sur le solide (S). Dans ce cas le

moment 0FAA)F(MA

, le torseur reprsentatif de ce type deffort est un glisseur ayant pour

axe FA,

, et la puissance scrit :

)S/R(AV.F)P(S/R oo

Ex emple de force concentre:L a force de pesanteur

La densit massique deffort est uniforme ozg-)(f P

. O oz

est la verticale ascendante

La rsultante ooSPSPzgMdmzg-dm(P)fF

.

Le moment en G est :

0zgdmGPdmzGPdm(P)fGPFM oSP

oSPSP

G )(

Ou bien 0PGG)P(MgMPF G

Le torseur associ la force de pesanteur gMPF

est un glisseur.

Donc la puissance de la force de pesanteur gMPF

scrit :

)(G/RV.zgM0).(S/R)(G/RV.P)PF(P oooo

.

c) Cas dun couple

- La rsultante des efforts est nulle : 0F

- Le champ des moments est uniforme. Si M

est sa valeur alors la puissance

M.)(S/RP o

d) Cas de forces drivant d un e nergi e potentiel le


70/89


Considrons un systme de forces donn, sexerant sur un solide (S), ne dpend que des

paramtres de position mais pas du temps. Si ce systme de force drive dune nergie potentielle

Ep(S) [ou dune fonction de force U(s)], alors sa puissance est donne par :

(S)Udt

d(S)Ep

dt

dP

e) Cas dune liaison parfaite

Uneliaison est diteparfaitesi lapuissance de toutes les actionsralisant cette liaison est nulle

pour tout mouvement respectant cette liaison. Les liaisons ralises par contact sans frottement ou

sans glissement sont parfaites.

VI - 3 Tr avail dvelopppar un ensembl e de forces.

Par dfinition, le travail dvelopp par un ensemble de forces, F

, entre deux instants t1 et t2,

par rapport un repre Ro, est donn par :

VI I - Thor me de l nergi e cintique

VI I - 1 Thorme de l nergi e cinti que pour u n solide (S)

Enonc

La drive par rapport au temps de lnergie cintique du solide (S) relativement un repre galilen

Ro, est gale la puissance des efforts extrieurs subis par le solide relativement ce mme repre.

Dmonstr ation

La puissance des efforts extrieurs exercs sur le solide (S) par rapport au repre Ro, est :

)S/R(A,T.)S/R(A,T)(S/RP oFextoVoext .

Daprs le principe fondamental de la dynamique : )(S/RT)(S/RT oDoFext

t

t dtP)(S/R

t

t dW)F(W 2

1o

2

1Ro

)(S/RP)(S/REdt

doextoC


71/89


)(S/R).(S/RD)S/R(AV).(S/RS)(S/RP

)(S/RD,)(S/RS.)S/R(AV,)(S/R)(S/RP

)S/R(A,T.)S/R(A,T)(S/RP

ooAoooext

oAooooext

oDoVoext

dm)

Cours de Mécanique Du Solide 2015

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