Résumé Mécanique Du Solide (Tensorielle)
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Position d’un solide (S) % à un repre R(O ,⃗ x ,⃗ y ,⃗ z ) est d!ter"in! par la d!#nition de
R1(O1 ,⃗ x1 ,⃗ y1 ,⃗ z1) li! à (S)
$àd par( xO
1
, yO1
, zO1
) et les angles d’&uler ψ ,θet φ
ψ =( ⃗ x ,⃗u )orienté par ⃗ z
'ngle de pr!ession
θ=(⃗ z ,⃗ z1) orienté par ⃗u
'ngle de nutation
φ=(⃗u ,⃗ x1 ) orienté par⃗ z1
'ngle de rotation propre
e"ar*ue + Si θ=0;ψ et φ neseront plus définit .
Dans unengrenage droit laliaison entre deuxroues peut êtremodélisée par unlinéaire rectiligne
d’axe ( I ,⃗ y )
droite de pressionde l’engrenage sil'épaisseur despignons n'est pasnégligeable
$oordonn! ,lindri*ue $oordonn!s sp-!ri*ue
⃗z ⃗z
ψ
⃗y1=⃗v
⃗y
⃗ x1=⃗u
⃗x ⃗x
⃗z1
⃗z=⃗ z1
θ
ψ
⃗y1=⃗w
⃗y
⃗x1=⃗u
⃗x
⃗z1
θ
φ
ψ
⃗y1
⃗y
⃗u
⃗x1
.
⃗z1
z
r
θ
⃗y1
⃗z1
⃗u r
φ
θ
⃗v
⃗w
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'!l!ration + ⃗Γ ( P/ R )=[ ddt ⃗ ( P/ R)] R et ⃗ ( P / R )=[
d
dt ⃗OP( t )]
R
$-er-ons la relation entre + [ ddt ⃗OP(t )] R et [ d
dt ⃗OP (t )]
R1
pour R
1 de "/"e entre ae R
[
d
dt
⃗OP (t )
] R
=
[
d
dt
( x1 P⃗ x1+ y1 P⃗ y1+ z1 P⃗ z1 )
] R
[ ddt ⃗OP (t )] R=( ´ x1 P⃗ x1+ ´ y1 P⃗ y1+´ z1 P⃗ z1 )+( x1 Pd⃗ x
1
dt R+ y
1 P
d⃗ y1
dt R+ z
1 P
d⃗ z1
dt R)
[ ddt ⃗OP (t )] R=[ d
dt ⃗OP(t )]
R1
+( x1 P d⃗ x1dt R+ y1 Pd⃗ y
1
dt R+ z
1 P
d⃗ z1
dt R)d⃗ x
1
dt R=! o,ons le s-!"a suiant +
e repre R
1 se d!plae en rotation % R don
d⃗ x1(t )=ŕ dφ⃗u(t )=|⃗ x1 ( t )|sin (^ ⃗# (t ) ,⃗ x1 ( t ))dφ ⃗u(t )
'e +
⃗# (t ) eteur unitaire de l’ae de rotation de R1 % R
⃗u
φ
(
^
⃗# (t ) ,⃗ x1(t )
d⃗ x1(t )
r # (t )
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dφ 'ngle de rotation partiel de R1 % R orient! par #
⃗u(t ) eteur unitaire au plan (O ,⃗ x1 (t ) ,# (t ))
(^ ⃗# (t ) ,⃗ x1(t )) &st orient! suiant ⃗u(t )
appelons *ue + d⃗ x1 ( t )=dφ|⃗ x1 ( t )|$|⃗ # (t )|sin (^ ⃗# (t ) ,⃗ x1 ( t ))⃗u(t )
ond⃗ x
1 ( t )=dφ (⃗ # (t ) ∧⃗ x1 ( t ) )
⟹ d
dt ⃗x
1 (t )= φ́ (⃗ # (t )∧⃗ x1 ( t ) )⇒ d
dt ⃗x
1=φ́ (⃗ # ∧⃗ x1 )
n d!#nit le eteur de itesse angulaire⃗% R1 & R= φ⃗́ # ⇒
d
dt ⃗x
1=⃗% R1 & R ∧⃗ x1
⟹
{ d
dt ⃗x1
R
=⃗% R1 & R ∧⃗ x1
ddt
⃗y1 R=⃗% R 1 & R ∧⃗ y1
d
dt ⃗ z1
R
=⃗% R 1 & R ∧⃗ z1
etournant à +
[ ddt ⃗OP (t )] R=[ d
dt ⃗OP(t )]
R1
+( x1 P ddt ⃗x1 R+ y1 Pd
dt ⃗y1
R
+ z1 P
d
dt ⃗z1
R)
⟹
[ d
dt ⃗
OP(t )] R=[ d
dt ⃗
OP(t )] R1+( x1 P ⋅
⃗% R 1 & R ∧⃗ x1+ y1 P $
⃗% R1 & R∧⃗ y1+ z1 P $
⃗% R1 & R ∧⃗ z1)
⟹[ ddt ⃗OP ( t )] R=[ d
dt ⃗OP ( t )]
R1
+⃗% R1 / R∧ ( x1 P ⋅⃗ x1+ y1 P $⃗ y1+ z1 P $⃗ z1 )
⟹[ ddt ⃗OP ( t )] R=[ d
dt ⃗OP ( t )]
R1
+⃗% R1 / R ∧⃗OP(t )
⟹⃗ ( P/ R)=⃗ ( P/ R1)+% R1/ R∧OP(t )
Re'ar(ue :⃗% R1/ R ∧⃗OP (t )=(
)́ ´ *+́ )∧(
x P y P z P
)
=( ´ * z P−+́ y P+́ x P−)́ z P
)́ y P−´ * x P)
Attention ! : es deu eteurs et leurs produits doient /tre epri"!s dans la "/"e 7ase (8ou 81 ou 9) pour *ue la re"ar*ue pr!!dente soit :uste⃗u ∧⃗v=−⃗v ∧⃗u
⃗u∧ (⃗v ∧⃗w )=( ⃗u .⃗ w ) ⃗v−(⃗u .⃗ v )⃗ w
(⃗u ∧⃗v ) ∧⃗w=( ⃗u .⃗ w ) ⃗v− (⃗v .⃗w ) ⃗u
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Soit A et B deu point d’un solide S li! à R
1 en "oue"ent % à R don +
[ ddt ⃗- (t )] R=[ d
dt ⃗- ( t )]
R1
+⃗% R1/ R ∧⃗ - (t ) 'e [ ddt ⃗- (t )] R1
=⃗0 don +
[ ddt (⃗ - O (t )+⃗O ( t ) )] R=⃗% R1 / R∧⃗ - (t )
[ d
dt (⃗O ( t )−⃗
O - (t ) )] R=⃗% R 1/ R∧⃗ - (t ) [ ddt ⃗O (t )] R−[
d
dt ⃗O - ( t ) ]
R
=⃗% R1 / R∧⃗ - ( t )
⃗ ( / R )−⃗ ( -/ R)=⃗% R1 / R∧⃗ - ( t )
⃗ ( / R )=⃗ ( -/ R)+⃗% R1/ R ∧⃗ - (t )
on le -a"p des eteurs itesses de S % à est d!#nit par ;orseur in!"ati*ue de S % à +
{ϑ(S / R)}={ ⃗ %S / R= Résultanteénérale⃗ ( -∈S / R )='o'ent résultant }
Point entrale
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e -a"p des "o"ents d’un torseur est !*uipro:etif ⇒∀ - ,∈S - ⋅⃗ ( - / R )= - ⋅⃗ ( / R )
>ote + { ⃗%S / R⃗ (O∈S / R )}O = {)
*
+
u
v
w}
O
n a+⃗ ( / R )=⃗ ( - / R )+% R
1/ R∧ - ⇒⃗ ( / R ) dt =⃗ ( - / R)dt +% R
1/ R dt ∧ -
n pose +⃗ ( / R ) dt =⃗6 ( / R ) et % R1/ R dt =7 R1 / R
⇒⃗6 ( / R )=⃗6 ( - / R)+⃗7 R1 / R ∧⃗ - on le -a"p des eteurs d!plae"ents !l!"entaires est
un torseur +
{6 (S / R)}= { ⃗ 7 S/ R⃗6 (O∈S/ R )}Oelation entre l’a!l!ration de deu point ' et 8 du solide S +
⃗Γ ( / R )=⃗ Γ ( -/ R )+[ ddt ⃗% R1 / R ] R ∧⃗ - +⃗% R1 / R∧ (⃗% R1/ R ∧⃗ - )
n peut "ontrer *ue +soit R (O ,⃗ x ,⃗ y ,⃗ z ) et R
0 (O0 ,⃗ x0 ,⃗ y0 ,⃗ z0 )
⃗ ( P / R0 )=
[
d
dt ⃗O
0 P( t )
] R0
=
[
d
dt ⃗O
0O ( t )
] R0
+
[
d
dt ⃗OP (t )
] R0
⃗ ( P / R0 )=⃗ (O / R0 )+[ ddt ⃗OP(t )] R0
⃗ ( P / R0 )=⃗ (O / R0 )+[ ddt ⃗OP (t )] R+⃗% R / R0∧⃗OP⃗ ( P / R0 )=⃗ (O / R0 )+⃗ ( P/ R )+⃗% R / R
0
∧⃗OP
⃗ ( P / R0 )=⃗ ( P/ R )+⃗ (O/ R0 )+% R / R0
∧OP
ave1⃗ (O / R0 )+⃗% R / R0∧⃗OP=⃗ ( P∈ R/ R0 )=vitesse du pointlié 8R en P
on on aura +⃗ ( P / R0 )=⃗ ( P/ R )+⃗ ( P∈ R/ R0 )
⃗ ( P / R0 )=vitesse a9solue
⃗ ( P / R )=vitesse relative
⃗ ( P∈ R / R0 )=vitesse d 4 entra:ne'ent
itesse de glisse"ent de de S1 % à S2 est⃗ ( P∈S1/S2) tel *ue P est un point de ontat entre
S1 et S2 ette itesse est o7ligatoire"ent ontenu dans le plan tangent à es 2 solides en P
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ette itesse est nul lors*ue il roule l’un % à l’autre
$SG + ⃗ ( P∈S1/S2)=⃗0
%S / R0=%S / R+% R / R0
soit ⃗%S2/S1 et ( )≤ plan tanent 1o''un8S2et S1
⃗%S2/ S
1
=¿ %t ( S2 /S1)
? %n (S2/S1 )
∥ ( )
otation deroule"ent
⊥ ( )
otation depiote"ent
n a +
{ ⃗%S / R0=⃗%S / R+⃗% R / R0⃗ ( P∈S / R0 )=⃗ ( P∈S / R )+⃗ ( P∈ R/ R0 )⇒ { ⃗%S / R0
⃗ ( P∈S / R0 )}= { ⃗%S / R
⃗ ( P∈S/ R )} P + { ⃗% R / R0
⃗ ( P∈ R/ R0 )} P P{ϑ (S / R0)
}= {ϑ (S/ R)}+
{ϑ ( R/ R0)
}Ona :⃗ ( P/ R0 )=⃗ ( P / R )+⃗ ( P∈ R / R0 )
⇒ [ ddt ⃗ ( P/ R0 )] R0
=[ ddt ⃗ ( P/ R )] R0
+[ ddt ⃗ ( P∈ R / R0 )] R0
[ ddt ⃗ ( P/ R0 )] R ¿ [ d
dt ⃗ ( P/ R )]
R0
[ ddt ⃗ ( P∈ R/ R0 )] R0
⃗Γ ( P/ R0 ) ¿ ⃗ Γ ( P/ R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R )
[ d
dt (⃗ (O / R0 )+⃗% R / R0 ∧⃗OP )
] R0
⃗Γ ( P/ R0 ) ¿ ⃗ Γ ( P/ R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R ) [ ddt ⃗ (O / R0 )] R [ d
dt (⃗% R / R0 ∧⃗OP )]
R0
⃗Γ ( P/ R0 ) ¿ Γ ( P/ R )+% R / R0 ∧⃗ ( P/ R ) ⃗Γ (O / R0 ) [ ddt ⃗% R / R0] R0
∧⃗OP+⃗% R / R0∧[ ddt ⃗OP] R0
⇒⃗ Γ ( P/ R0 )=⃗ Γ ( P / R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R )+⃗ Γ (O / R0 )+[ ddt ⃗% R / R0] R0
∧⃗OP+⃗% R / R0∧[ ddt ⃗OP] R0
ave1 [ ddt ⃗
OP ] R0=[ ddt ⃗
OP ] R+⃗% R/ R 0∧⃗OP=⃗ ( P/ R )+⃗% R / R0∧⃗OP⇒
⃗Γ ( P/ R0 )=⃗ Γ ( P / R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R )+⃗ Γ (O / R0 )+[ ddt ⃗% R / R 0] R0
∧⃗OP +⃗% R / R0∧⃗ ( P/ R )+⃗% R / R0∧ (⃗% R / R0∧⃗OP)
⃗Γ ( P/ R0 )=⃗ Γ ( P / R )+⃗ Γ (O / R0 )+[ ddt ⃗% R / R0] R0
∧⃗OP +⃗% R / R 0∧ (⃗% R / R0 ∧⃗OP )+2⃗ % R/ R 0∧⃗ ( P/ R )
Γ ( P/ R0 )= Γ ( P / R )+ Γ ( P∈ R / R0 )+2 % R / R0∧⃗ ( P/ R )
'!l!ration a7solue
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Si 3 repre sont en "t plan sur plan leurs entres instantan!es de rotation seronto7ligatoire"ent aligni!ses ao=des de "t de % 0 en "t plan sur plan sont + la roulante et la our7e d!rit par .sur 0 et l’autre est la 7ase
@ne fore est repr!sent!e par un eteur li! (< ,⃗ = )
’ation de & sur S est o"plte"ent d!#nit par
{ ⃗R ( > ? S )=
∑ ⃗= i
⃗ 0 - ( > ? S )=∑⃗ -Pi∧⃗ = i tel *ue les fores
appli*u!s par & sur S sont seule"ent les fores ( Pi ,⃗ = i ) onA on peut d!#nir le torseur des
ations "!ani*ue de & sur S +
{ I ( > ?S ) }= { ⃗ R ( > ?S ) ⃗0 - ( > ?S )} - e eteur "o"ent est tra! ae 2 traits paralllesSoit G entres des fores parallles ( Pi ,⃗ = i ) tel(ue∑⃗ = i /⃗ 0 don
∑ (⃗
@ Pi∧⃗ = i )=⃗0⟺⃗O@=∑( = i⋅⃗
O Pi )∑ = i
Pesanteur
{ I ( ? S ) }= { ⃗R ( ? S )=∫
P∈ S
d'⃗ ='⃗
⃗0 - ( ? S )= ∫ P∈S
⃗-P ∧⃗ d'=( ∫ P∈ S
d'⃗ -P )∧⃗ } -( ∫ P∈ S d'⃗ -P)='⃗ -@ ; @ 1entre de ravité (¿ inertie)de S⇔⃗ 0 @ ( ? S )=⃗0
Th de Guldin :
G entre de grait! de la our7e ($) de longueur ontenue dans un de"iBplan de (O ,⃗ x ,⃗ y )
des , positif
⇒∀ - ; ∫ P∈
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2ème Th de Guldin :
G entre de grait! de la surfae ( C ) d’aire S ontenue dans un de"iBplan de (O ,⃗ x ,⃗ y )
des , positif
⇒∀ - ; ∫ P∈ C
⃗-P dS= S⃗ -@ de la 'D'e 'aniEre (ue1er FGon'( : =S2 B r @
Loi de coulomb : Si⃗ ( P∈S2 & S1 )/ ⃗0 i"pose *ue f t (S1⟶S2 )est de sens opposé 8⃗ ( P∈S2 & S1 )
‖⃗f t (S1⟶ S2 )‖= f ‖⃗f n (S1⟶S2)‖f =tφφ définit 1Hne defrotte'ent
Si⃗ ( P∈S2 & S1 )=⃗0⇒‖⃗f t (S1⟶S2 )‖ f ‖⃗f n (S1⟶ S2 )‖
eteur rotation de pivotement⃗%
nS
2/S
1
/ ⃗0 ⃗%n
S2/S
1
=⃗0
⃗%n
S2/S
1$⃗ 0 P
n ( S1⟶S2)
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D,pot-se du ontat rigoureuse"ent pontuel + ⃗0 P ( S1⟶ S2 )=⃗0
D,pot-se liaison sans frotte"ent + n peut "* +
⃗R (S1⟶ S2 ) $⃗ ( P∈S2 & S1 )+⃗ 0 o (S1⟶S2 ) $⃗ %S2 /S1=0
{ I ( S1⟶S2)}= { ⃗ R ( S1⟶S2 ) ⃗0 P (S1⟶S2 )}O = { L
M
N
A
0
# }
O
@n ense"7le "at!riel (&) est en !*uili7re stati*ue % à si tous les points de (&) sont #es sur
(&) en !*ui % à g ⇒∀ (e )⊂ ( > ) ; { I ( ( é )⟶ (e )) }= {0 }
( > )=( e1 )+(e2 ) et ( > ) ené(ui 8 R⇒ { I ((e1 )⟶ (e2 ))}=−{ I ( (e2 )⟶ (e1 )) }
D,perstatis"e et "o7ilit! des "!anis"es + 3D,po + solide parfaitA liaison parfaitA liaison7ilat!ral (liaison "aintenu)
{ I i }={ I (Sn Ai? S )}= { L iM iN i Ai 0 i # i
}O
=torseur stati(ue dela liaison Ai
{ϑ i }={ϑ (Sn/S ) }= {) i * i+ i
uiv iw i}=torseur1iné'ati(ue de laliaison AiO
es o"posantes non nulles sont appel!s respetie"ent les inonnues (stati*ueAin!"ati*ue)
nsi=¿ >7re d’inonnues !t"ti#ue ind!pendantes e "/"e n1 i
nsi+n1i=6
iaison parfait Puissane des ations "utuelles d!elopp!es dans la liaison est nul
⇒⃗ 0 O (S1 Ai? S2) $⃗%i ( S2/ S1 )+⃗ R (S1 Ai? S2) $⃗ i (O∈S2/ S1 )=0
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$% $n$1 $n&1
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⟺ Ai ) i+ 0 i *i+ # i+ i+ L i ui+M i vi+N i wi=0
⟺{ I i } ⋅ {ϑi }=0 ondit (ue { I i }et {ϑi } sont ré1ipro(ues
Soit+
n pose 12 la liaison !*uialente à (1A 2A 3A 4) *ui doit assurer les "/"es ations"!ani*ue et les "/"es "oue"ents relatifs entre S1 et S2Soit (1A 9A n) les liaisons parallle entre S1 et S2 don le torseur stati*ue !*uialent
{ I }=∑ { I i }
et{ϑ}={ϑ1 }== {ϑn }
>o"7re des inonnus stati*ue # s=∑ nsi
n appli*uant la relation de r!iproit! des torseurs on peut tirer 6 !*uations salaires onappelle
rs=no'9red4 é(uationss1alaires indépendantes=ran du'atri1e81e systE'e d4 é(8# sin1onnu 6
egr! dE-,perstatis"e de la liaison !*uialente des n liaisons parallle ¿G= # s−r s
Si -
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LnL1$% $n$1 $n&1
Ln'1
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{ϑ }={ϑ Sn & S0 }=∑ {ϑ i }
a liaison !*uialente au n liaison en s!rie entreS0 et
Sn est tou:ours isostati*ue
'antages et inon!nient de la liaison isostati*ue + (oire p165)
(h")ne continu *erm+ , ch")ne !imple , ch")ne boucle
a liaison !*uialente entre S1 et Sn est n pose{ I e}={ I entré?S1 } C { I s }= { I sortie?Sn} et
{ I 0 }= { I ext ?S0 }
Prinipe fonda"entale de stati*ue sur lEense"7le des n?1 solide donneQ { I e }+{ I s }+ { I 0 }={⃗0}
# s=∑i=1
n+1
nsi &n appli*ue le PS sur les n solides S1A9A Sn inutile de lEappli*uer de plus sur S0
ar sa donne des !*uations d!pendantes des pr!!dentes +
rs=(n9re d4 é(dépendante pour les # s in1onnuesstati(ue) 6 n
egr! dE-,perstatis"e de la -aHne fer"!e ¿G= # s−r s
deré de'o9ilité dela1Ga:ne fer'é =n9re d 4 in1onnue1iné'ati(uesindépendantetesdela1Ga:ne 1ontinue fe
d
4
ou G='+ # s−6n n à # 1=∑i=1
n+1
n1i=6
(n+1
)− # s e *ui a donnerG='+6− #
1
&tude in!"ati*ue + ∑i=1
n+1
{ϑ i }= {⃗0 } e *ui donne 6 !*uations salaires pour # 1 inonnues
salaires
onr1 6
'= # 1−r1
(h")ne comple-e,plu!ieur! ch")ne *erm+e! imbri#u+e!
Soit n le no"7re de solides et l le no"7re de liaison de la -aHne o"pleen "ontre (t-!orie des grap-es) *ue le no"7re de -aHnes ontinues fer"!esind!pendantes à !tudier est+
+ =l−n+1=no'9re 1y1lo'ati(uedela 1Ga:ne1o'plexe
.l suIt dEappli*uer le PS sur (nB1) solides e *ui donnent 6(nB1) !* salaires don
rs 6(n−1) !* ind!pendante pour # s=∑i=1
l
nsi inonnues salaire introduites par les l
$1
$2$%
$3
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liaisonsG= # s−r s &t on "ontre *ue '=6 (n−1 )−r s don+ G='+ # s−6 (n−1)
# 1=∑i=1
l
n1i=6l− # s $e *ui donne G='+6 + − # 1
&n appli*uant la loi de o"position des torseurs in!"ati*ues on o7tient 6 + relations
salaires entre les # 1 inonnues in!"ati*ues on r1 6 + &t '= # 1−r1
(in+ti#ue
Prinipe de onseration de "asse pour un ense"7le "at!riel (&) + ∀(e )⊂( > ); ' (e )=1st ∀t
Si ( > ) en'vt Ret ⃗φ ( P , t )un1Ga'p de ve1teursdéfini 81Ga(uedate t entout point P de ( > )
relative'ent 8 d' de P
!sultante g!n!rale du torseur assoi! à e -a"p de eteurs + ∫ P∈ >
⃗φ ( P , t )d' .
Si⃗ φ ( P ,t ) est 1ontinueet différentia9le 8t et 1o'pte tenudu prin1iepede 1onservationde 'asse
Onaura : d
dt [ ∫ P∈ >
⃗φ ( P ,t ) d'] R= ∫ P∈ > [ ddt ⃗φ ( P , t )] R d'
Soit un ense"7le "at!riel (&) de "asse " et de entre dEinertie G en "t % e torseur in!ti*ue de (&) dans son "t % en un pt ' est +
{ / R)}=
{∫ P∈ >⃗
( P / R ) d'=résultante 1inéti(ue=(uantité de 'ouve'ent
∫ P∈ >
⃗-P∧⃗ ( P/ R ) d'='o'ent 1inéti(ue=⃗ - ( >/ R ) } -@est ≤1entre de ravité de ( > )1 . 8 . d '⃗ O@= ∫
P∈ >
⃗OPd'
[ ddt ('⃗ O@)] R= d
dt [ ∫ P∈ >
⃗OPd' ] R par prin1ipede 1onservationde 'asseonaura' [ ddt (⃗O@ )] R= ∫ P∈ > [
d
dt ⃗OP ]
R
d'
soit '⃗ (@ / R )= ∫ P∈ >
⃗ ( P & R ) d' don1 {/ R)}= {'⃗ (@/ R )⃗ - ( > / R ) } -
e torseur d,na"i*ue de (&) dans son "t % en un pt ' est +
-
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{ ( > / R)}= { ∫ P∈ > ⃗Γ ( P/ R ) d'=résultantedyna'i(ue∫ P∈ >
⃗-P∧⃗ Γ ( P / R ) d'='o'ent dyna'i(ue=⃗J - ( >/ R )} -n "* ∫
P∈ >
⃗Γ ( P/ R ) d'='⃗ Γ (@ / R )
on1 : { ( >/ R)}= {'⃗ Γ (@ / R )⃗J - ( >/ R ) } -n "*
⃗J - ( > / R )=[ ddt ⃗ - ( > / R )] R+'⃗ ( - / R ) ∧⃗ (@ / R )
&nergie in!ti*ue de (&) dans son "t % à est +
F ( >/ R )=12 ∫ P∈ >
[⃗ ( P & R ) ]2 d'
Mo"ent dEinertie de (S) % à lEae J est + T ( S/ U )= ∫ P∈S
[⃗ P2 ]2d' ae D est la pro:etion
ort-ogonale de P sur J
Soit ⃗i=
(
)
*
+
)ve1teur unitaire dire1tri1e del
4 axe U (O ,⃗i ) et ⃗OP= x⃗ x+ y⃗ y+ z⃗ z
don1‖⃗ P2 ‖=‖⃗i∧⃗OP‖⇒.
⇒ T ( S / U)=) 2∫S
( y2+ z2)d'+ *2∫S
( z2+ x2)d'++ 2∫S
( x2+ y2)d'−2 *+ ∫S
yzd'−2 +) ∫S
zxd'−2 )*∫S
xyd'
n pose -=∫S
( y2+ z2)d';=∫S
( z2+ x2)d';=∫S
zxd'; = =∫S xyd'
-=∫S
( y2+ z2)d'='o'ent d4 inertie deS 8 l4 axe(O ,⃗ x)
= =∫S
xyd'= produit d 4 inertie de S auxaxes (O,⃗ x ) et (O ,⃗ y)
Opérateur d4 inertie de SenO est :⃗u⟼⃗V O (S ,⃗u )=∫
S
⃗OP∧ (⃗u ∧⃗OP ) d'
$et op!rateur est lin!aire don repr!senta7le par une "atrie *ui est appel! "atrie dEinertie
[ I O (S) ]
-
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[ T O (S) ]=[⃗V O (S ,⃗ x ) ,⃗ V O ( S ,⃗ y ) ,⃗ V O ( S ,⃗ z ) ]=[ - − = − >− = − − > − )
Soit un ense"7le "at!riel (&) dont la position % R est totale"ent d!#nit par n no"7res
salaires ind!pendants (i( t ) (i
-
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es onditions initiales n!essaires pour la r!solution du s,st"e si les(i sont les inonnus
sont C(i (t 0 ) , (́i (t 0 ) ,
$es !*uations sont des !*uations de "oue"ent
.nt!grale pre"ire de "oue"ent
;- des ations "utuelles + on peut "ontrer *ue∀ (e1 ) et (e2 )tel (ue (e1)X ( e2)=∅en'vt 8 R; { I (e1⟶e2 )}=−{ I (e2⟶e1 )}
&pression du prinipe fonda"entale de la d,na"i*ue dans un repre non galil!enSoit R unrepErenon aliliénen'vt 8 Ret ona⃗ Γ ( P/ R )=⃗ Γ ( P/ R )+⃗ Γ ( P∈ R/ R )+2⃗ % R / R ∧⃗ ( P/ R )
on1 : { (e/ R ) }={ (e / R ) }+{ ie ( e , R / R ) }+{ i1 ( e , R / R ) }=¿
'e { (e / R ) }= { I ( é?e ) }
{ ie (e , R / R )}= { −∫ P∈e ⃗Γ ( P∈ R / R ) d'−∫ P∈e
⃗-P∧⃗ Γ ( P∈ R/ R ) d'} - =torseur des effetsd 4 inertie d4 entraine'ent sur ( e ) ds son 'vt R et R { i1 (e ,R / R ) }=
{
−∫ P∈e
2⃗ % R / R∧⃗ ( P/ R ) d'
−∫ P∈ e⃗
-P∧
[2⃗
% R / R ∧⃗
( P/ R ) ] d'
} -
=torseur deseffetsd 4 inertie de
-
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⃗J O ( S / R0 )=[ ddt ⃗ O ( S / R0 )] R0
=[ ddt ⃗ O ( S / R0 )] R+⃗% R/ R 0∧⃗ O (S / R0 )=(− > θ́− θ́
θ́− θ́
θ́+ θ́2
− θ́− > θ́2
= =0&n prati*ue lE!*uili7rage par lEa:out de 2 "asses
'1et '
2 *ui doient respeter 4 !* (faile à
"ontrer) +
{ 'a
+'
1
x1+
'2
x2=
0
'1 y
1+'
2 y
2=0
+'1 y
1 z
1+'
2 y
2 z
2=0
>+'1 x
1 z
1+'
2 x
2 z
2=0
e"ar*ue + on peut au lieu dEa:outer les "asses les enleer
Puissane d!elopp! par lEation "!ani*ue de ( C ) sur (S ) dans le "t de (S ) % <
P ( C ? S & R )= { I ( C ? S ) }⋅ {ϑ(S / R)}
Puissane d!elopp! par les ations "utuelles entre ( C ) et ( > ) dans leur "t % <
P ( C Y> & R )= P ( C? > & R )+ P ( > ?C & R )
-
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n peut "* la puissane "utuelle est ind!pendante du repre d’oL on la note + P ( C Y > )
⟺ P (S1YS2 )= P (S1? S2 & S1 ) on en as de liaison parfaite entre S1 et S2 P ( S1Y S2 )=0
e traail + 7 t 1t
2 ( C? S & R )=∫t 1
t 2
P ( C ?S & R ) dt
( C ?> & R ) &st une !nergie potentielle de ( > ) A assoi! à lEation "!ani*ue de
( C ) sur( >) A ds le "t de ( > ) % si il ∃ une !*uation salaire !ri#ant +
P ( C ? > & R )=−ddt
( C ? > & R )
e "/"e en d!#nit lE!nergie potentielle entre deu ense"7les assoi!s au ations"utuelles
&nergie in!ti*ue +
{ (S/ R )}={ I ( Ś?S ) }⟹ { (S / R )} {ϑ(S / R)}= { I (Ś ? S ) } {ϑ(S / R) }
⟹ { (S / R ) } {ϑ(S / R)}= P ( Ś?S / R )
{ ( S/ R )} {ϑ (S / R)}= { ∫ P∈ S ⃗Γ ( P/ R ) d'∫ P∈S
⃗-P ∧⃗ Γ ( P / R ) d'} - { ⃗ %S / R
⃗ ( - / R )} - =∫ P∈S [⃗ ( -/ R ) ⋅⃗ Γ ( P/ R )+⃗%S / R ⋅ (⃗ -P∧⃗ Γ ( P/ R )) ]d'
&n re"plae⃗
( - / R )=⃗
( P/ R )+⃗
-P∧⃗
%S/ R ⇒
⃗ ( P / R ) ⋅⃗ Γ ( P/ R )+( ⃗-P∧⃗%S / R) ⋅⃗ Γ ( P / R )+⃗% S/ R
⋅ (⃗ -P ∧⃗ Γ ( P & R ))
(⃗ -P∧⃗%S / R) ⋅⃗ Γ ( P / R )+⃗%S/ R
⋅ (⃗ -P ∧⃗ Γ ( P & R ))=0 !"onstration par alul anal,ti*ue
on { (S/ R )} {ϑ (S / R ) }= ∫ P∈S
⃗ ( P / R ) ⋅⃗ Γ ( P/ R )d'ave1⃗ Γ ( P / R )= d
dt ⃗ ( P/ R )
⇒ { (S / R )} {ϑ (S / R )}= ∫ P∈S
d
dt
(
1
2
[⃗ ( P/ R ) ]2
)d'=
d
dt
1
2
∫ P∈S
[⃗ ( P / R ) ]2
d'
d
dt
1
2 ∫ P∈S
[⃗ ( P / R )]2
d'= P ( Ś?S / R )
d
dt F (S / R )= P ( Ś ?S / R )
F (S / R ) &st lE!nergie in!ti*ue galil!enne de (S )
Pour un ense"7le de ( > ) solide (S1 ) ,,( Sn ) en "t % R on "* +
-
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d
dt F ( >/ R )= P ( ´ > ? >/ R )+ ∑
i=1, 3=2i/ R )=−ddt ( > & R )
.l ∃ un int!gral pre"ier "oue"ent(ou !nergie in!ti*ue)
F ( > / R )+ ( > & R )= )
appel et astues +
(? S / R )=' G@
2F ( >/ R )=2F ( S1/ R )++2F (Sn/ R )= I e Zi2; I e=inertie é(uivalent
F + =