POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours .... Cours Oscillateurs... · 2 Chapitre 9 :...

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    POLY-PREPAS Centre de Prparation aux Concours Paramdicaux

    - Section Orthoptiste / stage i-Prpa intensif -

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    Chapitre 9 : Oscillateurs mcaniques

    I. Oscillateur mcanique en translation : le dispositif solide-ressort

    1. Dfinition : Un oscillateur mcanique lastique en translation est constitu par un solide li lune des extrmits du ressort, lautre tant reli un point fixe. Le solide peut se dplacer verticalement ou horizontalement sans frottements sur un axe.

    2. Force de rappel du ressort spires non-jointives :

    Position de repos du ressort

    Tension dun ressort :

    avec k : constante de raideur du ressort en (N/m)

    et x, allongement du ressort toujours dfini par rapport sa position vide (en m)

    :

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    On tire la masse vers la droite ; le ressort sallonge :

    , et comme

    On comprime le ressort vers la gauche, le ressort rapetisse :

    , et comme

    Travail de la force de rappel : est une force variable, car variant avec llongation x du ressort ; au cours dun tirement ou dune compression (x ou x), le travail de cette force variable est donn par :

    Dynamomtre :

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    A lquilibre :

    En projetant sur un axe vertical :

    3. Etude des oscillations libres non-amorties dun pendule lastique horizontal

    Systme : {le dispositif solide-ressort} Rfrentiel : terrestre considr comme galilen Bilan des forces : 2me Loi de Newton :

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    Projection sur :

    Equation diffrentielle rgissant le mouvement

    du dispositif {solide-ressort}

    Les solutions sont de la forme : ou

    Avec :

    Expression de

    On a , en drivant deux fois :

    :

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    Expression de la priode propre :

    Expression de la frquence propre :

    :

    :

    Remarques :

    comme , on a donc de la mme manire : comme , on a donc :

    Lacclration = - caratristique dun oscillateur libre non-amorti (appel

    aussi : Mouvement Harmonique Simple MHS) on retrouve :

    le mouvement est rectiligne sinusodal

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    on parle de pulsation, priode, et frquence propres car, une fois le systme lch, plus aucun agent extrieur ne vient le modifier, dissiper ou lui apporter de lnergie

    Phase lorigine des dates La phase lorigine des dates dpend uniquement de conditions donnes par le texte ou nonc de lexercice ; gnralement, il sagit des conditions initiales, lune sur la position, lautre sur la vitesse :

    exemple 1 : on considre la condition initiale suivante :

    t =0, x(0) = (cest--dire que lon enregistre le mouvement partir du dpart du

    dispositif tir sa position maximale )

    do : =

    exemple 2 :

    on considre les conditions initiales suivantes :

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    (cest--dire que lon enregistre le mouvement lorsque la masse passe par sa position de repos

    (en O) et se dirige vers les x dcroissants ( vitesse initiale ngative)

    on a, daprs la donne : x(0) =

    or, daprs la formule :

    do : 0 =

    ncessit dutiliser la 2me condition initiale sur la vitesse :

    on a, daprs la donne :

    or, daprs la formule de la vitesse t = 0 :

    do :

    or, si , on a : donc ne convient pas

    et effectivement, , si , on a :

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    (remarque, comme , on pourrait noter galement :

    (on constate bien sur le schma que, t = 0, le solide se dirige vers les x ngatifs)

    4. Aspect nergtique :

    Energie potentielle lastique :

    Energie potentielle lastique :

    Energie mcanique pour un dispositif {solide-ressort} horizontal :

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    =

    Or, comme cos

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    Donc

    est un systme conservatifun systme conservatifun systme conservatifun systme conservatif

    Diagramme dvolution des nergies en fonction du tempsDiagramme dvolution des nergies en fonction du tempsDiagramme dvolution des nergies en fonction du tempsDiagramme dvolution des nergies en fonction du temps

    Au cours dune oscillation, il y a conversion rciproque de lnergie cintique en nergie potentielle lastique, et rciproquement.

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    Diagramme dvolution des nerDiagramme dvolution des nerDiagramme dvolution des nerDiagramme dvolution des nergies en fonction du gies en fonction du gies en fonction du gies en fonction du dplacementdplacementdplacementdplacement

    Application :

    (Relation permettant davoir la vitesse maximale lorsquon a la position maximale ; et inversement )

    5. Oscillateur mcanique libre amorti : En prsence de frottements, il ny a plus conservation de lEm , celle-ci se dissipe sous forme de chaleur.

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    a) Rgime pseudo-priodique : Dans le cas o les frottements sont faibles ( , la priode reste sensiblement la mme que celle de loscillateur libre amorti, lamortissement influe uniquement sur lamplitude. Plus les frottements augmentent, plus les oscillations sont amorties : on observe alors galement une influence sur la priode, elle devient lgrement suprieure Modlisation : Systme : {le dispositif solide-ressort} Rfrentiel : terrestre considr comme galilen Bilan des forces : , 2me Loi de Newton :

    Projection sur :

    Les solutions sont de la forme :

    ou

    Avec :

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    Aspect nergtique :

    LEnergie Mcanique nest plus conserve au cours des oscillations, elle est dissipe par les frottements sous forme de chaleur.

    b) Rgime critique et apriodique :

    Encas de frottements trs importants (forte viscosit du fluide), le solide revient sa position dquilibre sans mme osciller une fois.

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    Lamortissement critique correspond la dure la plus courte pour que le systme revienne lquilibre sans osciller.

    Lamortissement critique est une phase intermdiaire entre le rgime pseudo-priodique et le rgime apriodique. ( rgime intermdiaire entre encore une oscillation et plus aucune oscillation ).

    Rgime apriodique : le systme neffectue plus aucune oscillation, selon lintensit des frottements, il met plus ou moins de temps pour revenir lquilibre (systme au-dessus des lourdes portes des btiments publics pour viter quelles ne claquent)

    Rsum

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    6. Oscillations forces ; rgime entretenu On part dun oscillateur amorti. Si on le laisse libre dosciller, progressivement il va perdre de lnergie et les oscillations vont diminuer jusqu devenir nulles. Pour compenser les pertes dEnergie Mcanique occasionne par les frottements, on peut entretenir les oscillations par un agent extrieur compos dun moteur de frquence rglable : celui-ci applique une force motrice priodique de la forme t)

    Lamplitude des oscillations du systme appel rsonateur dpend alors de la frquence de rotation de lexcitateur.

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    Lorsque la frquence de lexcitateur est voisine de la frquence propre du rsonateur , celui-ci oscille avec une amplitude maximale : on dit que le systme se trouve la rsonance Pour un faible amortissement, la courbe de rsonance est aige (rsonance pointue). Pour un fort amortissement, la courbe est plus aplatie, la rsonance est dite floue et lon constate que la frquence de rsonance est plus faible que la frquence propre du rsonateur. Pour des amortissements trs levs, il est impossible lexcitateur de faire entrer le rsonateur en rsonance.

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    II. Pendule simple : Un pendule simple est constitu dun solide de petites dimensions, de masse m, suspendu un point fixe O par une tige ou un fil inextensible l de masse ngligeable. Ecart de sa position dquilibre, il oscille dans le champ de pesanteur terrestre g. Oscillations libres car le pendule cart de sa position dquilibre est abandonn lui-mme.

    : abscisse angulaire

    Etude du mouvement : En labscence de frottements, le systme est conservatif, donc

    or, si

    avec = mgh + mv = mgl (1 cos + mv

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    :

    angulaire des oscillations du pendule pesant

    Cette quation diffrentielle est de la forme dun oscillateur harmonique,

    dexpression gnrale :

    Do, ici, lexpression de la pulsation propre :

    Priode propre du pendule pesant simplePriode propre du pendule pesant simplePriode propre du pendule pesant simplePriode propre du pendule pesant simple : : : :

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    exemple :

    a) quelle est, sur Terre o g = 9,81 m/s, la longueur dun pendule battant la seconde ?

    b) Quelle serait la priode de ce mme pendule sur la Lune (

    Loi des masses : la priode ne dpend aucunement de la masse qui

    lui est accroche Loi disochronisme : pour des petites oscillations ( la priode est constante ; quelque soit langle duquel on lche le pendule, la priode restera la mme ( condition que cet angle soit petit, c--d < 20) Conclusion : la priode dun pendule pesant simple est indpendante de la masse et de langle de lcher (avec