Mécanique du solide indéformable Modéliser les actions et ...

MPSI lycée Bellevue Toulouse

Mécanique du solide indéformable –Modéliser les

actions et liaisons mécaniques

Modélisation des actions et liaisons mécaniques

1. Introduction

Jusqu’à présent nous nous sommes intéressés à la modélisation des performances cinématiques des

systèmes de solides indéformables. C’est-à-dire que nous avons étudié les mouvements de ces systèmes

de solides, considérés comme non déformables, sans nous intéresser aux phénomènes les ayant

causés.

On associe en général le terme de « force » à ces phénomènes ayant comme conséquence physique une

modification de la vitesse d’un corps (variation de norme ou de direction). Dans le cadre plus général de

la mécanique, un effort peut aussi être responsable de la déformation du corps auquel il est appliqué,

mais l’étude de ce phénomène sort du cadre de l’enseignement de la mécanique en CPGE (seule la

mécanique des solides indéformables est au programme de SII).

Dans la suite de ce cours, nous allons nous attacher à la mise en équation du lien entre les forces

appliquées à un solide et le déplacement qui en résulte. Il va donc être nécessaire de chercher à associer

un modèle mathématique à ce concept de force. Dans le cadre du cours de mécanique, nous préférerons

d’ailleurs l’utilisation du terme « action mécanique » à celui de « force ».

Par expérience, nous montrons qu’une action mécanique est caractérisée par :

- Une direction et un sens

- Un point d’application

- Et une intensité


Les actions mécaniques appliquées à un ensemble matériel (E) peuvent être de deux types :

• Actions mécaniques de contact (actions de pression, contact entre deux solides). Ces

dernières peuvent être considérées comme ponctuelles, linéiques ou surfaciques, en fonction de

la géométrie de la zone de contact.

• Actions mécaniques à distance (actions magnétiques, de pesanteur). On parle alors d’actions

mécaniques volumiques, c’est-à-dire qu’elles s’exercent sur chaque élément de volume du

système matériel, sous forme d’une action mécanique élémentaire.

2. Action mécanique ponctuelle agissant sur un système matériel, modèle global

Le contact entre deux corps n’est jamais ”ponctuel” : il existe toujours une surface de contact entre les

deux. Cependant, cette surface peut être petite devant les dimensions des deux corps, si bien qu’il est

commode de considérer l’action mécanique globalement transmise, en un point moyen au contact, ce

qui revient à considérer l’action comme ”ponctuelle”.

2.1 Notion de force ponctuelle

Représentation mathématique d’une force :

Soient 1 et 2 deux solides en contact ponctuel en I. On note () le plan tangent au contact et �� la normale

à ce plan orientée de 1 vers 2 (cf. figure 1.a).

Le solide 1 exerce sur 2 une force ponctuelle : 𝐹 (1 → 2) = 𝐹𝑁(1 → 2). �� + 𝐹𝑇 (1 → 2), où 𝐹𝑁(1 → 2)est la

composante normale et 𝐹𝑇 (1 → 2) la composante tangentielle, avec 𝐹𝑇 (1 → 2) ∈ (𝜋) (cf. figure1.b).


a. Contact ponctuel entre deux solides b. Effort ponctuel exercé par le solide 1

sur le solide 2

Figure 1. : notion de force ponctuelle entre deux solides

Contact avec frottement :

Contact sans frottement :

2.2 Notion de moment

L’expérience montre que la notion de force, si elle est suffisante d’un point de vue local sur un petit

élément de volume, ne permet pas toujours d’expliciter le comportement d’un solide ou d’un ensemble

de solides soumis globalement à une ou plusieurs forces.

D’où l’introduction de la notion de couple ou de moment. On cherche quel est le modèle mathématique

permettant de représenter cette notion.

On appelle moment en O d’une force le vecteur : �� (𝑶, �� ) = 𝑶𝑨 ⋏ �� ou bien �� 𝑶(�� ) = 𝑶𝑨 ⋏ ��

2.3 Torseur associé à une action mécanique ponctuelle

Considérons un autre effort 𝐹 , à partir de l’écriture du moment de la force 𝐹 au point G, on cherche à

exprimer le moment de la même force au point A.

Selon la définition vue précédemment : ℳ𝐺 (𝐹 ) =

D’où, ℳ𝐴 (𝐹 ) =

On obtient donc la relation suivante :

ℳ𝐴 (𝐹 ) =

M O F→ →

( , )

F→

O

A

(D)


Le moment d’une force est donc un champ antisymétrique et vérifie la formule de changement de point

du moment d’un torseur. Une action mécanique peut donc être représentée par un torseur, que l’on

appellera « torseur statique associé à une action mécanique» et que l’on note :

{𝒯(𝐹 )} = {𝐹

ℳ𝐴 (𝐹 ) = ℳ𝐺

(𝐹 ) + 𝐴𝐺 ∧ 𝐹 }𝐴

Dans le cadre de l’étude d’un système de solides, la notation suivante, plus explicite car permettant

spécifier précisément quelle est l’action mécanique modélisée, sera utilisée.

{𝒯(1 → 2)} = {𝐹 (1 → 2)

ℳ𝐴 (1 → 2)

}𝐴

Ce torseur sera appelé « torseur statique de l’action mécanique du solide 1 sur le solide 2 ».

Remarques :

• Comme tout torseur, il est absolument indispensable de spécifier le point auquel il est exprimé

lorsque l’on donne ses éléments de réduction.

• 𝐹 (1 → 2) sera appelée « la résultante du torseur de l’action mécanique de 1 sur 2 ». Cet élément

du torseur est invariant quel que soit le point d’expression du torseur.

• ℳ𝐴 (1 → 2) sera appelé « le moment résultant au point A du torseur de l’action mécanique de 1 sur

2 ». Cet élément du torseur dépend du point auquel ce dernier est exprimé.

Cas particulier : action mécanique représentée par une force en un point M

Lorsque le torseur statique d’une action mécanique est exprimé au point d’application M de la

résultante, il prend la forme suivante :

{𝒯(1 → 2)} = {𝐹 (1 → 2)

0 }𝑀

Cette écriture est de plus valable en tout point de la droite d’action de la force 𝐹 .

Justification :

Cas particulier : action mécanique représentée par un couple

On utilisera la désignation de couple pour une action mécanique dont le torseur statique est de la forme

{𝒯(1 → 2)} = {0

ℳ𝐴 (1 → 2)

}𝐴

, ∀𝐴

3. Généralisation à un nombre infini d’actions mécaniques, modèle local


Nous venons de mettre en place un modèle mathématique, le torseur statique, permettant de modéliser

l’action mécanique d’un ensemble matériel (1) sur un autre ensemble matériel (2), en considérant une

force ponctuelle appliquée en un point M. Cependant, cette action mécanique est en fait le résultat des

effets produits par une infinité d’actions élémentaires volumiques ou surfaciques, appelé modèle local.

3.1 Cas d’une répartition surfacique de force

3.1.1 Densité surfacique de forces

L’action mécanique de contact exercée par le corps (1) sur un corps (2) peut être modélisée par une

action élémentaire 𝑑𝑓 (𝑀𝑖) appliquée en tout point Mi de la surface du solide (2). Son intensité est

proportionnelle à l’élément de surface 𝑑𝑆 associé au point Mi.

On peut alors définir une densité surfacique d’effort 𝑝(𝑀𝑖), définie en tout point Mi :

𝑑𝑓 (𝑀𝑖) = −𝑝(𝑀𝑖). �� (𝑀𝑖). 𝑑𝑆 + 𝑑𝑓𝑇 (𝑀𝑖)

Cette densité surfacique d’effort est homogène à une pression [N/m2].

Contact avec frottement :(par exemple action d’un fluide visqueux sur une paroi)


Contact sans frottement :(par exemple action d’un fluide non visqueux sur une paroi)

3.1.2 Torseur associé à une densité surfacique de forces

Dans le cadre de l’étude du comportement des solides déformables, cette modélisation locale de

l’action mécanique d’un corps (1) sur un corps (2) serait indispensable. Cependant, l’objet de ce cours

étant l’étude des systèmes de solides indéformables, il est suffisant de modéliser globalement l’action

mécanique exercée par le corps (1) sur le corps (2). Nous allons donc associer à cette action mécanique

un torseur statique défini en un point A choisi.

{𝒯(1 → 2)} =

{

�� (1 → 2) = ∫ 𝑑𝑓

𝑀∈(𝑆)

(𝑀)

𝑀𝐴 (1 → 2) = ∫ 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑓 𝑀∈(𝑆)

(𝑀)}

𝐴

3.1.3 Exemple : Action de l'eau sur un barrage


3.2 Cas d’une répartition linéique de force

3.2.1 Densité linéique de forces

Dans certains cas plus particuliers, l’action mécanique exercée par le corps (1) sur un corps (2) peut

être modélisée par une action élémentaire 𝑑𝑓 (𝑀𝑖) appliquée en tout point Mi d’une ligne du solide (2).

L’intensité de cette action élémentaire est alors proportionnelle à l’élément de surface 𝑑𝑙 associé au

point Mi.

On peut alors définir une densité linéique d’effort 𝜆(𝑀𝑖), définie en tout point Mi :

𝑑𝑓 (𝑀𝑖) = −𝜆(𝑀𝑖). �� (𝑀𝑖). 𝑑𝑙 + 𝑑𝑓𝑇 (𝑀𝑖)

Cette densité linéique d’effort est homogène à une force par unité de longueur [N/m].

Contact avec frottement :

Contact sans frottement :


3.2.2 Torseur associé à une densité linéique de forces

Dans le cas d’une répartition linéique de force, comme dans le cas d’une répartition surfacique, nous

pouvons associer à l’action mécanique de (1) sur (2) un torseur statique défini en un point A choisi.

{𝒯(1 → 2)} =

{

�� (1 → 2) = ∫ 𝑑𝑓

M∈(𝐿)

(M)

𝑀𝐴 (1 → 2) = ∫ 𝐴M ∧ 𝑑𝑓 M∈(𝐿)

(M)}

𝐴

3.2.3 Exemple : Chargement sur une poutre


3.3 Cas d’une répartition volumique de force

3.3.1 Densité volumique de forces

Dans le cas d’une action mécanique à distance (par exemple l’action de la pesanteur ou d’un champ

électromagnétique sur un corps), chaque élément de volume de ce corps est soumis à une action

mécanique élémentaire 𝑑𝑓 (𝑀𝑖) appliquée au point Mi.

Cette action mécanique élémentaire est liée à la densité volumique de force 𝜇(𝑀𝑖) en tout point Mi par

la relation :

𝑑𝑓 (𝑀𝑖) = 𝜇 (𝑀𝑖). 𝑑𝑉

Cette densité volumique d’effort est homogène à une force par unité de volume [N/m3].

3.3.2 Torseur associé à une densité volumique de forces

Comme précédemment, nous pouvons associer à l’action mécanique de (1) sur (2) un torseur statique

défini en un point A choisi.

{𝒯(1 → 2)} =

{

�� (1 → 2) = ∫ 𝑑𝑓

M∈(𝑉)

(M)

𝑀𝐴 (1 → 2) = ∫ 𝐴M ∧ 𝑑𝑓 M∈(𝑉)

(M)}

𝐴

3.3.3 Exemple : Action de la pesanteur


4. Généralisation à un nombre fini d’actions mécaniques

4.1 Nombre fini d’actions mécaniques

Nous venons de voir comment une action mécanique à distance ou de contact, décrite localement par

une répartition volumique ou surfacique d’effort, peut être modélisée globalement par un torseur

exprimé en un point. Dans de nombreux mécanismes, un solide ou un ensemble de solide, noté (𝐸),

n’est pas soumis à une seule action mécanique : plusieurs éléments du milieu extérieur, noté (��),

peuvent exercer une action mécanique de contact à ou à distance sur (𝐸). Pour préparer l’écriture des

théorèmes généraux de la dynamique, nous allons chercher à modéliser par un unique torseur toutes

les actions mécaniques exercées par le milieu extérieur sur l’ensemble matériel (𝐸).

4.2 Torseur résultant associé à un nombre fini d’actions mécaniques

{𝒯(�� → E)} =

{

�� (E → E) =∑𝐹𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑀𝐴 (�� → E) =∑𝐴𝑀𝑖 ∧ 𝐹𝑖

𝑛

𝑖=1 }

𝐴

4.3 Exemple : pince de manutention

Pince pneumatique pour la préhension d’objet :

1. On isole l’ensemble de la pince et on cherche à modéliser les actions mécaniques appliquées par

l’extérieur sur la pince


2. On isole le piston de la pince et on cherche à modéliser les actions mécaniques exercées par

l’extérieur sur le piston.


5. Modélisation du contact entre deux solides

5.1 Contact ponctuel entre solides indéformables

Le contact entre deux solides n’est jamais « ponctuel » : il y a toujours une surface de contact entre les

deux solides. Cependant, cette surface peut être petite devant les dimensions des solides, si bien qu’il

est commode de considérer l’action mécanique globalement transmise, en un point moyen au contact,

ce qui revient à considérer l’action comme « ponctuelle ». Il faut néanmoins garder à l’esprit qu’il existe

toujours une petite répartition de pression au voisinage du point moyen. La pression maximale dans

cette zone permet de conclure sur la dégradation des surfaces. Les forces surfaciques autour du point

moyen peuvent être responsables de résistances au roulement ou au pivotement que nous chercherons

à modéliser globalement par la suite.

Figure 2. : paramétrage du contact entre deux solides

Soient 1 et 2 deux solides en contact ponctuel en I. On définit ce contact par les entités géométriques

suivantes :

• (𝜋), plan tangent au contact I

• �� , normale orientée de 1 vers 2 en I

On peut définir l’action de 2 sur 1 :

{𝒯(1 → 2)} = {𝐹 (1 → 2)

0 }𝐼

• 𝐹 (1 → 2) = 𝐹𝑁(1 → 2). �� + 𝐹𝑇 (1 → 2)

• 𝐹𝑁(1 → 2). �� = ((𝐹 (1 → 2)) . �� ) . �� est appelée composante normale

• 𝐹𝑇 (1 → 2) = �� ∧ ((𝐹 (1 → 2)) ∧ �� ) est appelée composante tangentielle, 𝐹𝑇 ∈ (𝜋)


Figure 3. : définition de l’action mécanique exercée par le solide 1 sur le solide 2

5.1.1 Cas du contact sans frottement

Le contact sans frottement impose :

• 𝐹 (1 → 2)colinéaire à �� (non frottement),

• 𝐹 (1 → 2)de même sens que �� (condition de contact unilatéral : possibilité de décollement, mais

pas de pénétration des solides),

• �� (𝐼 ∈ 1 2⁄ ). �� = 0 (condition de contact persistant) ou �� (𝐼 ∈ 1 2⁄ ). �� > 0 (condition de contact

non persistant).

5.2 Modèle de Coulomb : contact avec frottement

5.2.1 Contact avec frottement, cas du glissement : �� (𝑰 ∈ 𝟏 𝟐⁄ ) ≠ ��

• Première loi de Coulomb :

• Deuxième loi de Coulomb :

• Troisième loi de Coulomb :

Avec fg, coefficient de frottement (grandeur sans unité).

Ce coefficient dépend des matériaux en contact, de la qualité des surfaces, des lubrifiants présents. Ce

coefficient de frottement est en général déterminé expérimentalement. Dans le modèle de Coulomb, il

est considéré comme constant pour un couple de matériaux donné.

Ce modèle est le plus simple permettant de tenir compte du phénomène de frottement. Il est bien

évident que la réalité est plus complexe : souvent, ce coefficient dépend de beaucoup d’autres

paramètres comme température, la rugosité des surfaces, la vitesse de glissement, etc...


5.2.2 Contact avec frottement, cas de l’adhérence : �� (𝑰 ∈ 𝟏 𝟐⁄ ) = ��

• Première loi de Coulomb :

• Deuxième loi de Coulomb :

• Troisième loi de Coulomb :

Avec fa, coefficient d’adhérence (grandeur sans unité). Ce coefficient est légèrement supérieur au

coefficient de frottement fg. On rencontre souvent l’approximation 𝑓𝑎 ≈ 𝑓𝑔.

5.2.3 Représentation graphique, cône de frottement

Les conditions de frottement peuvent se représenter graphiquement, sous la forme d’une action

tangentielle maximale proportionnelle à l’action normale, c’est à dire sous la forme d’une inclinaison

maximale de la force transmise au contact par rapport à la normale. Si on considère 𝜑 tel que 𝑓 = tan𝜑,

cet angle représente l’inclinaison maximale.

a. En phase d’adhérence, 𝒇𝒂 = 𝐭𝐚𝐧𝝋𝒂 b. En phase de glissement, 𝒇𝒈 = 𝐭𝐚𝐧𝝋𝒈

Figure 4. : interprétation graphique des lois de Coulomb

En phase d’adhérence (figure 4.a), la condition de Coulomb impose que 𝐹 (1 → 2) soit « dans le cône de

frottement » ou, à la limite du glissement, « sur le cône ».

En phase de glissement (figure 4.b), la condition de Coulomb impose que 𝐹 (1 → 2) soit « sur le cône » et

opposé à la vitesse de glissement.

Le modèle de Coulomb interdit à la force 𝐹 (1 → 2) d’être hors du cône.

Ces représentations planes sont à interpréter en trois dimensions. Le secteur angulaire est alors

effectivement un cône, de demi-angle au sommet 𝜑 (figure 5.).


Figure 5. : interprétation graphique en 3D des lois de Coulomb

5.3 Contact ponctuel avec résistance au roulement ou au pivotement

L’hypothèse d’un contact ponctuel entre deux solides est une vue de l’esprit. Dans les faits, le contact

réel entre ces derniers a lieu sur un petit élément de surface dS contenant le point I.

Le torseur modélisant l’action mécanique de contact du solide 1 sur le solide 2 s’écrit donc sous la

forme suivante :

{𝒯(1 → 2)} = {𝐹 (1 → 2)

�� (𝐼, 1 → 2)}𝐼

Nous avons étudié précédemment la résultante de ce torseur. De la même façon, on peut écrire :

• �� (𝐼, 1 → 2) = 𝑀𝑁(𝐼, 1 → 2). �� + 𝑀𝑇 (𝐼, 1 → 2)

• 𝑀𝑁(𝐼, 1 → 2). �� = ((�� (𝐼, 1 → 2)) . �� ) . �� est appelée composante normale du moment résultant

au point I, ou moment de pivotement

• 𝑀𝑇 (𝐼, 1 → 2) = �� ∧ ((�� (𝐼, 1 → 2)) ∧ �� ), 𝐹𝑇 ∈ (𝜋) et est appelée composante tangentielle du

moment résultant au point I, ou moment de roulement

De plus, nous avions défini lors de l’étude cinématique du contact ponctuel entre deux solides 1 et 2 :

• Ω𝑁 (2 1⁄ ), composante normale de la vitesse de rotation Ω (2 1⁄ ), appelée vecteur-pivotement du

solide 2 par rapport au solide 1

• Ω𝑇 (2 1⁄ ), composante tangentielle de la vitesse de rotation Ω (2 1⁄ ), appelée vecteur-roulement

du solide 2 par rapport au solide 1, Ω𝑇 ∈ (𝜋)

Des relations analogues à celles des lois de Coulomb peuvent être mises en évidences entre les

composantes normales et tangentielles du moment résultant de l’action du solide 1 sur le solide 2 au

point I et de la vitesse de rotation du solide 2 par rapport au solide 1.


5.3.1 Résistance au pivotement

• Si Ω𝑁 (2 1⁄ ) ≠ 0 :

• Si Ω𝑁 (2 1⁄ ) = 0 :

𝛿 est le paramètre de résistance au pivotement (homogène à une longueur).

5.3.2 Résistance au roulement

• Si Ω𝑇 (2 1⁄ ) ≠ 0 :

• Si Ω𝑇 (2 1⁄ ) = 0 :

𝜂 est le paramètre de résistance au roulement (homogène à une longueur).

5.4 Contact surfacique entre deux solides.

Lorsque la surface de contact n’est pas petite devant la géométrie du mécanisme, il n’est plus possible

de faire l’hypothèse de contact ponctuel. L’action mécanique entre les deux solides est surfacique et on

définit alors en tout point M une force élémentaire 𝑑𝐹 (1 → 2)et une répartition surfacique de force

𝑝(𝑀) (cf. paragraphe 3.1). Dans ce cas-là, les lois de Coulomb doivent être écrites localement (de façon

similaire à celles du contact ponctuel).

On note �� (𝑀) la normale de 1 vers 2 en M.

5.4.1 Contact surfacique sans frottement

En l’absence de frottement, 𝑑𝐹 (1 → 2) est colinéaire à �� (𝑀) et de même sens.


5.4.2 Contact surfacique avec frottement : modèle de Coulomb

𝑑𝐹 (1 → 2) = 𝑑𝐹𝑁(1 → 2). �� + 𝑑𝐹𝑇 (1 → 2)

Cas de l’adhérence :

• Non glissement : �� (𝑀 ∈ 1 2⁄ ) = 0

• Limite sur l’action tangentielle : ‖𝑑𝐹𝑇 (1 → 2)‖ ≤ 𝑓𝑎‖𝑑𝐹𝑁 (1 → 2)‖

Cas du glissement :

Condition de contact et glissement :�� (𝑀 ∈ 1 2⁄ ) ∈ (𝜋) et �� (𝑀 ∈ 1 2⁄ ) ≠ 0

Action tangentielle : ‖𝑑𝐹𝑇 (1 → 2)‖ = 𝑓𝑔‖𝑑𝐹𝑁 (1 → 2)‖

Sens de l’action tangentielle : 𝑑𝐹𝑇 (1 → 2) est de même direction et de sens opposé à �� (𝑀 ∈ 2 1⁄ ).


5.5 Exemple : frein de TGV

Un frein à disque équipant une roue de TGV est représenté figure 6. Ce frein est composé d’un vérin

pneumatique flottant (2, 3) agissant sur deux leviers (4) et (5) mobiles en rotation par rapport au

châssis (1) et assurant l’effort presseur des plaquettes (6) et (7) sur le disque (8).

On désire déterminer la relation entre la pression dans le vérin pneumatique et le moment de freinage.

5.5.1 Modélisation de l’action de contact de la garniture sur le disque

On se propose dans un premier temps de déterminer le torseur représentatif des actions exercées par

les garnitures (6) et (7) sur le disque (8).

Pour simplifier les calculs en première approximation, on suppose que la garniture est celle représentée

sur la figure 2.

Caractéristiques géométriques de la surface :

• Rayon extérieur : 2R

• Rayon intérieur : 1R

• Angle au centre de la garniture : 2

Caractéristiques du contact :

• Coefficient de frottement : f

• Pression de contact supposée uniforme, et notée : 0p)M(p =

Les torseurs représentatifs des actions de contact des garnitures (6) et (7) sur le disque (8) sont de la

forme :

{𝒯(6 → 8)} = {𝐹 (6 → 8)

�� (𝑂, 6 → 8)}𝑂

et {𝒯(7 → 8)} = {𝐹 (7 → 8)

�� (𝑂, 7 → 8)}𝑂

avec : 𝐹0 = 𝐹 (6 → 8). 𝑧 = −𝐹 (7 → 8). 𝑧 et 𝑀0 = (�� (𝑂, 6 → 8) + �� (𝑂, 7 → 8)) . 𝑧

• Déterminer l’expression de la force élémentaire fd

appliquée en M par 6 sur la surface

élémentaire dS de 8 située autour de M en fonction de dS,p,f),M(t),M(n 0

.

• Exprimer les éléments de réduction du torseur {𝓣(𝟔 → 𝟖)} au point O, 0F et 0M en fonction

de 1R , 2R , , f et 0p .

• En déduire la relation entre 0F et 0M .


Figure 6. : mécanisme de freinage

Figure 7. : paramétrage du contact entre les pièces 6 et 8, et 7 et 8


6. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES DE LIAISON

De la même manière que nous nous sommes intéressés aux mouvements autorisés par les liaisons

mécaniques usuelles lors du cours de cinématique, nous allons maintenant nous intéresser aux efforts

transmissibles par ces liaisons. Le torseur modélisant les actions mécaniques de contact entre deux

solides liés par une liaison mécanique, appelé torseur statique, prend une forme particulière pour

chacune de ces liaisons usuelles.

{𝑉(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} = {�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)

�� (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)}𝑂

= {𝑋12 𝐿12𝑌12 𝑀12𝑍12 𝑁12

}

𝑂

Bien que tout contact entre solides se fasse avec frottement, sa prise en compte complique le modèle. Il

ne sera donc pris en compte que dans les cas où cela est nécessaire. Il revient au concepteur de

déterminer si la prise en compte du frottement est pertinente ou non dans son étude.

On considère comme liaison parfaite une liaison dans laquelle il n’y a pas de dissipation de puissance.

C’est le cas lorsque le frottement entre les deux solides en contact est négligé.

Pour toutes les liaisons normalisées entre deux solides, nous allons voir quelles sont les propriétés des

torseurs d’actions mécaniques en présence ou non de frottement.

6.1 Liaison ponctuelle de normale (O,𝐳 )

X→

Z→

OS i

Sk

Y→

Rappel : torseur cinématique de la liaison ponctuelle au point O de

normale 𝑧 , exprimé en O.

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {

𝜔𝑋 𝑉𝑋𝜔𝑌 𝑉𝑌𝜔𝑍 0

}

𝑂

La forme de ce torseur est conservée en tout point de l'axe (𝑂, 𝑧 ).

6.1.1 En l’absence de frottement

En l’absence de frottement, l’action mécanique exercée par le solide Si sur le solide Sk est normale au

plan tangent commun aux deux solides au point de contact O.

D’où :

�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) = 𝑍12. 𝑧

Le moment calculé au centre de la liaison est nul.


La forme du torseur statique associé à cette liaison, en l’absence de frottement, est la suivante :

{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

6.1.1 En présence de frottement

En présence de frottement, l’action mécanique exercée par le solide Si sur le solide Sk est de direction

quelconque.

D’où :

�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) = 𝑍12. 𝑧 + 𝑋12. 𝑥 + 𝑌12. 𝑦

Le moment calculé au centre de la liaison reste nul.

La forme du torseur statique associé à cette liaison est alors la suivante :

{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

Avec, selon les lois de Coulomb:

• 𝑇12 = √𝑋122 + 𝑌12

2 = 𝑓. 𝑍12 s’il y a glissement entre les solides

• 𝑇12 = √𝑋122 + 𝑌12

2 < 𝑓. 𝑍12 s’il y a adhérence entre les solides

6.2 Liaison linéaire rectiligne, direction �� et normale (𝑶, �� )

X→

Y→

S i

S kZ→

O

Rappel : torseur cinématique de la liaison linéaire rectiligne de

normale (𝑂, 𝑧 ) et de direction 𝑥 , exprimé au point O

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {

𝜔𝑋 𝑉𝑋0 𝑉𝑌𝜔𝑍 0

}

𝑂

La forme de ce torseur est conservée en tout point de l'axe (O, 𝑥 , 𝑧 ).



En l’absence de frottement, l’action mécanique exercée par le solide Si sur le solide Sk est une répartition

linéique de force, le long de la ligne de contact, chaque effort élémentaire étant orienté selon la normale

au plan tangent commun aux deux solides O.

D’où, l’effort élémentaire en tout point M du contact et le moment élémentaire au point O du à cet effort

au point M :

𝑑𝐹𝑀 (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

𝑑𝑀𝑀 (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

Or 𝑂𝑀 = 𝑥. 𝑥 , d’où 𝑑𝑀𝑀 (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

En intégrant sur toute la longueur du contact, on obtient :

�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

�� (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =


{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =


En présence de frottement, la répartition linéique de force exercée par le solide Si sur le solide Sk

devient la suivante :




{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =


6.3 Liaison plane de normale (𝑶, �� )

X→

Y→

O

S i

Sk

Z→

Rappel : torseur cinématique de la liaison plane de normale 𝑧 ,

exprimé au point O.

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {0 𝑉𝑋0 𝑉𝑌𝜔𝑍 0

}

𝑂

La forme de ce torseur est conservée en tout point.



surfacique de force,chaque effort élémentaire étant orienté selon la normale au plan tangent commun

aux deux solides.

D’où, en tout point M du contact :



Or 𝑂𝑀 = 𝑥. 𝑥 + 𝑦. 𝑦 , d’où 𝑑𝑀𝑀 (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

En intégrant sur toute la surface du contact, on obtient :

�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

�� (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =


{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =



En présence de frottement, la répartition surfacique de force exercée par le solide Si sur le solide Sk

devient :




{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

6.4 Liaison linéaire annulaire d’axe (𝑶, �� )

X→

Z→

OS i

S k

Y→

Rappel : torseur cinématique de la liaison linéaire annulaire d’axe

(𝑂, 𝑥 ), exprimé au point O :

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {

𝜔𝑋 𝑉𝑋𝜔𝑌 0𝜔𝑍 0

}

𝑂

La forme de ce torseur n’est valable qu’au point O.



linéique de force, chaque effort élémentaire étant orienté selon la normale à la ligne de contact entre les

deux solides.

L’effort élémentaire en tout point M exercé par le solide Si sur le solide Sk est donc orienté selon le

vecteur 𝑀𝑂 :




Or 𝑂𝑀 = 𝑅. 𝑒𝑟 , d’où 𝑑𝑀𝑀 (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

En intégrant sur toute la longueur du contact, on obtient :

�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

�� (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =


{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =


En présence de frottement, la répartition linéique de force exercée par le solide Si sur le solide Skest

quelconque.


{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

6.5 Liaison pivot glissant d’axe (𝑶, �� )

X→

Z→

O

S i

Sk Y→

Rappel : torseur cinématique de la liaison pivot glissant d’axe (𝑂, 𝑥 ),

exprimé au point O

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 𝑉𝑋0 00 0

}

𝑂

La forme de ce torseur est valable en tout point de l’axe (𝑂, 𝑥 ).




surfacique de force, chaque effort élémentaire étant orienté selon la normale à la surface de contact

entre les deux solides.


vecteur 𝑀𝐻 , H étant le projeté orthogonal de M sur l’axe (𝑂, 𝑥 ) :



Or 𝑂𝑀 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝑀 = 𝑥. 𝑥 + 𝑅. 𝑒𝑟 , d’où 𝑑𝑀𝑀 (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =


�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

�� (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =


{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =


En présence de frottement, la répartition surfacique de force exercée par le solide Si sur le solide Sk est

de direction quelconque.



{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

6.6 Liaison rotule de centre O

X→

Z→

O S i

S k

Y→

Rappel : torseur cinématique de la liaison rotule de centre O,

exprimé au point O

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 0𝜔𝑌 0𝜔𝑍 0

}

𝑂

La forme de ce torseur n’est valable qu’au point O.



surfacique de force, chaque effort élémentaire étant orienté selon la normale à la surface de contact

entre les deux solides.


vecteur 𝑀𝑂 :



Or 𝑂𝑀 = 𝑅. 𝑒𝜑 , d’où 𝑑𝑀𝑀 (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =


�� (𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =

�� (𝑂, 𝑆𝑖 → 𝑆𝑘) =



{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =


En présence de frottement, la répartition surfacique de force exercée par le solide Si sur le solide Sk est

quelconque.


{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

6.7 Remarque concernant la puissance développée dans une liaison parfaite

Les exemples de liaisons traitées ci-dessus nous ont permis de mettre en évidence la méthode générale

utilisée pour modéliser globalement les actions mécaniques de liaison entre deux solides.

En l’absence de frottement, on peut noter qu’à chaque composante nulle du torseur cinématique

correspond une composante non nulle du torseur statique, et réciproquement. Ceci nous permet de

retrouver l’hypothèse du début de ce chapitre, selon laquelle la puissance développée dans une liaison

parfaite (sans frottement) est nulle.

En effet, en admettant (pour cette année) que la puissance développée au niveau de la liaison entre les

solides Si et Sk s’exprime de la façon suivante :

𝑃 = {𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)}⨂{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )}

et étant donné l’observation faite ci-dessus concernant les composantes des torseurs statique et

cinématique associés à une liaison parfaite, le calcul du comoment aboutira forcément à une puissance

nulle. Cette méthode sera utilisée pour déterminer rapidement les torseurs statiques modélisant les

liaisons normalisées qui n’ont pas été traités jusqu’à présent.

6.8 Liaison pivot d’axe (𝑶, �� )

X→

Z→

O

S i

S kY→

Rappel : torseur cinématique de la liaison pivot d’axe (𝑂, 𝑥 ) ,

exprimé au point O

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 00 00 0

}

𝑂

La forme de ce torseur est valable en tout point de l’axe (𝑂, 𝑥 ).


En l’absence de frottement la forme du torseur statique associé à cette liaison est la suivante :

{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =



En présence de frottement, la forme du torseur statique associé à cette liaison est la suivante :

{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

6.9 Liaison glissière de direction ��

X→

Z→

O

S i

SkY→

Rappel : torseur cinématique de la liaison glissière de direction 𝑥 ,

exprimé au point O

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {0 𝑉𝑋0 00 0

}

𝑂

La forme de ce torseur est valable en tout point.



{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =



{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} =

6.10 Liaison glissière hélicoïdale d’axe (𝑶, �� )


Y→

Sk

O

S i

Y→

S i

X→

Z→

Hélice à droite

Hélice à gauche

X→

O

S k

Z→

Rappel : torseur cinématique de la liaison hélicoïdale

d’axe (𝑂, 𝑥 ), exprimé au point O

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 𝑉𝑋0 00 0

}

𝑂

Avec :

𝑉𝑥 =𝑝

2𝜋.𝜔𝑥

La forme de ce torseur est valable en tout point de l’axe

(𝑂, 𝑥 ).



{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} = {𝑋12. 𝑥 + 𝑌12. 𝑦 + 𝑍12. 𝑧

𝐿12. 𝑥 + 𝑀12. 𝑦 + 𝑁12. 𝑧 }𝑂

= {𝑋12 𝐿12𝑌12 𝑀12𝑍12 𝑁12

}

𝑂

Avec :

𝐿12 = −𝑝

2𝜋. 𝑋12(liaison à droite) ou 𝐿12 = +

𝑝

2𝜋. 𝑋12(liaison à gauche)



{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} = {𝑋12. 𝑥 + 𝑌12. 𝑦 + 𝑍12. 𝑧

𝐿12. 𝑥 + 𝑀12. 𝑦 + 𝑁12. 𝑧 }𝑂

= {𝑋12 𝐿12𝑌12 𝑀12𝑍12 𝑁12

}

𝑂

La relation entre les composantes 𝐿12 et 𝑋12 du torseur statique est différente de celle obtenue dans le

cas sans frottement et dépend du coefficient de frottement entre les matériaux des deux solides.

6.11 Liaison rotule à doigtavec doigt d’axe (𝑶, �� )

OS i

Sk

X→

Z→

Y→

Rappel : torseur cinématique de la liaison glissière de direction 𝑥 ,

exprimé au point O

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 00 0𝜔𝑍 0

}

𝑂

La forme de ce torseur est valable au point O.




{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} = {𝑋12. 𝑥 + 𝑌12. 𝑦 + 𝑍12. 𝑧

𝐿12. 𝑥 + 𝑀12. 𝑦 + 𝑁12. 𝑧 }𝑂

= {

𝑋12 0𝑌12 𝑀12𝑍12 0

}

𝑂



{𝒯(𝑆𝑖 → 𝑆𝑘)} = {𝑋12. 𝑥 + 𝑌12. 𝑦 + 𝑍12. 𝑧

𝐿12. 𝑥 + 𝑀12. 𝑦 + 𝑁12. 𝑧 }𝑂

= {𝑋12 𝐿12𝑌12 𝑀12𝑍12 𝑁12

}

𝑂

Nb.

ddl

Désignation

(norme

AFNOR)

Schématisation Caractéristiqu

es

géométriques

Torseur cinématique

associé, exprimé dans

la base 𝑩(�� , �� , �� )

Particularité

du torseur

cinématique

Torseur statique associé,

exprimé dans la base

𝑩(�� , �� , �� ) 2D 3D

1 Liaison pivot

Axe (𝑂, 𝑋 ) {𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 00 00 0

}

𝐴

Valable A

axe (𝑂, 𝑋 ) {𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {

𝑋 0𝑌 𝑀𝑍 𝑁

}

𝐴

1 Liaison glissière

Direction 𝑋 {𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {0 𝑉𝑋0 00 0

}

𝐴

Valable A {𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {0 𝐿𝑌 𝑀𝑍 𝑁

}

𝐴

1 Liaison

hélicoïdale

Axe (𝑂, 𝑋 ) {𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 𝑉𝑋0 00 0

}

𝐴

Valable A

axe (𝑂, 𝑋 ),

𝑉𝑥 = ±𝜔𝑥.𝑝

2𝜋

{𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {𝑋 𝐿𝑌 𝑀𝑍 𝑁

}

𝐴

𝐿 = ±𝑋.𝑝

2𝜋

2 Liaison pivot

glissant

Axe (𝑂, 𝑋 ) {𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 𝑉𝑋0 00 0

}

𝐴

Valable A

axe (𝑂, 𝑋 ) {𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {

0 0𝑌 𝑀𝑍 𝑁

}

𝐴

2

Liaison

sphérique à

doigt

Centre O + plan

de la rainure +

direction du

doigt

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 00 0𝜔𝑍 0

}

𝑂

Uniquement

valable au

point O, centre

de la sphère

{𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {𝑋 0𝑌 𝑀𝑍 0

}

𝑂

3

Liaison rotule

(liaison

sphérique)

Centre O {𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 0𝜔𝑌 0𝜔𝑍 0

}

𝑂

Uniquement

valable au

point O, centre

de la sphère

{𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {𝑋 0𝑌 0𝑍 0

}

𝑂

3 Liaison appui

plan

Normale 𝑍 {𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {0 𝑉𝑋0 𝑉𝑌𝜔𝑍 0

}

𝐴

Valable A {𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {0 𝐿0 𝑀𝑍 0

}

𝐴

4

Liaison linéaire

annulaire

(liaison sphère-

cylindre)

Axe (𝑂, 𝑋 ) {𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {

𝜔𝑋 𝑉𝑋𝜔𝑌 0𝜔𝑍 0

}

𝑂

Uniquement

valable au

point O, centre

de la sphère

{𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {0 0𝑌 0𝑍 0

}

𝑂

4

Liaison linéaire

rectiligne

(liaison arête-

plan)

Droite de

contact (𝑂, �� ) +

plan tangent au

contact

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {0 𝑉𝑋𝜔𝑌 𝑉𝑌𝜔𝑍 0

}

𝐴

Valable A au

plan (𝑂, �� , 𝑍 ) {𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {

0 𝐿0 0𝑍 0

}

𝐴

5

Liaison

ponctuelle

(liaison sphère-

plan)

Point de

contact O+ plan

tangent au

contact

{𝑉(𝑆𝑘 𝑆𝑖⁄ )} = {𝜔𝑋 𝑉𝑋𝜔𝑌 𝑉𝑌𝜔𝑍 0

}

𝐴

Valable A

axe (𝑂, 𝑍 ) {𝒯(𝑆𝑘 → 𝑆𝑖)} = {

0 00 0𝑍 0

}

𝐴

Mécanique du solide indéformable Modéliser les actions et ...

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