ENSPG 2A Physique Du Solide COURS 2004

7/22/2019 ENSPG 2A Physique Du Solide COURS 2004

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LMGP - ENSPG - UMR 5628

Introduction la Physique du SolideENSPG Tronc Commun 2me Anne

2003/2004Cours : 14 heuresUlrich GOTTLIEB

TD : 12 heuresS. Pignard, E. Lhotel, L. Lyard, U. Gottlieb

Prrequis : Mcanique Quantique, Physique statistique, Cristallographie


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Bibliographie :

De base :

R. E. Hummel : Electronic Properties of Materials (Springer 1992)

C. Kittel : Introduction to Solid State Physics (Wiley 1976)H. P. Myers : Introductory Solid State Physics (Taylor & Francis 1990)Y. Qur : Physique des Matriaux (Ellipses 1988)

Dun niveau plus lev :

N. W. Ashcroft, N. D. Mermin : Solid State Physics(Saunders College 1976)J. M. Ziman : Principles of the Theory of Solids(Cambridge University Press 1972)


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Plan du cours :I. Introduction

Historique, Approche Classique : le Modle de DrudeII. Premire Approche Quantique : le Modle de Sommerfeld

Approximation par un modle quantique, thorie des lectrons libres

Statistique de Fermi-Dirac, Proprits Physiques des lectrons libreIII. lectrons dans un Potentiel Priodique : Bandes d'nergieThorme de Bloch, Zones de Brillouin, lectrons presque libres,

Surfaces de Fermi, Mtal - Semiconducteur - IsolantIV. Vibrations du Rseau : PhononsApproche classique, Approche quantique, Capacit calorifique,Thorie d'Einstein, Approximation de Debye, Diffusion inlastiquedes neutrons

V. Dynamique des lectrons de BlochCollisions, Proprits de Transport, Masse effective,

Notion de trous


4/223LMGP - ENSPG - UMR 5628

Les copies des transparentsne sont pas

un polycopi complet !

L'auteur ne prend aucune responsabilitquant aux fautes rsiduelles



I. Introduction

1. Historique

2. Le Modle de Drude2.1. Description microscopique d'un solide

2.2. Principes de base du modle de Drude2.3. Dynamique du gaz d'lectrons2.4. Proprits Physiques



1. Historique

But de la Physique du Solide : Expliquer avec un modlemicroscopique la grande varit de proprits physiquesobserves pour diffrents matriaux massifs

Exemple : rsistivit l'ambiante de certains matriaux

(m10-8 10-6 10-4 10-2 100 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018

mtaux

CuFe Mn

semiconducteurs

SiGeSi dop

GaAs

isolants

Caoutchouc QuarzVerreNaCl



Quelques dcouvertes historiques importantes

1897 Dcouverte de l'lectron par Thompson1900 Thorie de la cintique des gaz par Maxwell

et Boltzmann1900 Thorie de Drude : Premire thorie des mtaux1926 quation de Schrdinger - Mcanique Quantique

1926 Modle de Sommerfeld : Thorie quantique d'un gazd'lectrons libres1928 Thorme de Bloch - Thorie des bandes

1948 Invention du transistor par Bardeen et Brattain

etc.



2. Le Modle de Drude

C'est le premier modle microscopique pour dcrire

le comportement des mtaux. Les lectrons de conductiony sont traits comme un gaz classique. Dans certains domaines,

par exemple la rsistivit d'un mtal, le modle donne desrsultats satisfaisants. Cependant pour dcrire d'autres

proprits physiques, son chec est total



2.1. Description microscopique d'un solide

Comment dcrire un atome dans un solide :Soit un atome de nombre atomique ZA

lectrons de valence :Charge totale Z e

ZC lectrons de cur :Charge totale ZC e

Noyau : charge +ZA eIon

La neutralit lectrique fait que : ZA = ZC + Z

Plus de 99% de la masse d'un atome se trouve dans les ions !



Lors de la formationd'un solide les lectronsde valence sont librspar les atomes

Ions Gaz d'lectrons

Consquence :un gaz d'lectrons libres

Les ions sont considrsimmobiles cause de la

diffrence de massemIon = 10-26 kg

mlectron=9,1 10-31 kg



Les lectrons libres subissent des collisions essentiellement

avec les ions

ions

Exemple de trajectoire d'un lectron



Estimation de la densit du gaz d'lectrons :

Considrons un mtal de masse molaire MA, de valence Z etde densit mIl y a N

A= 6,022 1023 atomes/mole

m/MA moles/cm3

La densit du gaz est donne par :

A

mA M

ZNVNn ==

Exemple Cuivre : m = 8,96 gr/cm3, MA = 63,55 gr/moleZ = 1N = 8,5 1022 lectrons/cm3

103 fois plus lev qu'un gaz classique



2.2. Principes de base du modle de Drude

a) Entre collisions les lectrons sont libres !pas d'interaction ni avec les ions ni entre eux

b) Les collisions sont des vnements instantans !Changement "brutal" de vitessec) Les changes d'nergie entre les lectrons et

l'environnement se font uniquement par les collisions !aprs collision un lectron possde une vitesse v dedirection alatoire et de module correspondant lavitesse thermique du lieu de la collision

d) La probabilit qu'un lectron subisse une collision dansun intervalle de temps dt est dt/ ! : temps de relaxation ou temps moyen entre collisions


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2.3. Dynamique du gaz d'lectrons

Gaz de N lectronsA un instant t, chacun possde une impulsion pi(t)

et subit une force fi(t)

avec ( ) ( )dt

tdptf ii =

Moyennant sur tous les lectrons on obtient :

( ) ( )=

=N

1ii tpN

1tp

( ) ( ) ( )==

== N1i

iN

1ii dt

tdpN1tf

N1tf

f(t) peut tre interprt comme une force extrieurep(t) est l'impulsion moyenne


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Un lectron aura une collision entre t et t + dtavec une probabilit dt/

Il ne subira pas de collisionAvec une probabilit (1 - dt/)

Question : Quelle est la valeur de p(t+dt) ?Pendant dt, les lectrons vont acqurir

l'impulsion dp = f(t)dt + O(dt2

)( ) ( )( ) dpdtdptpdt1dttp

++

=+

Contribution des lectronsqui ont subit une collision

pendant dt

Contribution des lectronsqui n'ont pas subit de

collision pendant dt


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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )2

22

dtOdttfdttptp

dtOdttfdtdtOdttftpdt1dttp

++

=

+

+++

=+

Par consquent, l'quation de mouvement est :

( ) ( ) ( ) ( )( )tf

tpdt

tdpdt

tpdttp+==

+

-p(t)/ est un terme de "frottement" causpar les collisions des lectrons


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2.4. Proprits Physiques

a) Rsistivit lectrique

( ) ( )=

+ etp

dttdp

L'application d'un champ lectrique E est l'origine d'uneforce sur l'ensemble des lectrons de f = -eE

En rgime stationnaire : ( ) 0dt

tdp = et p0 = -eE

t

p0

p(t)Solution de l'quation diffrentielle :

( )

=

texp1ptp 0


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Remarque : p0 = mvdavec v

dla vitesse de drift du gaz d'lectrons

En rgime stationnaire la densit de courant est donne par :

EE ==== mnempnenevj2

0d

Et la conductivit lectrique : mne2

=

Pour la mobilit on trouve :

= neme=


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b) Magntorsistance et Effet Hall

Gomtrie et fait exprimentald

VH

I

B

Un chantillon paralllpipde d'paisseur d est parcouru

d'un courant I et soumis un camp magntique B

perpendiculaire au courantIl apparat une tension VH perpendiculaire la fois au

champ magntique et au courant :

d

BIRV HH= RH : Constante de Hall


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Mise en quation :

+ + + + + + + + +- - - - - - - - --v jx

Ex

Ey

B

dl

Chaque lectron subit la force :BveEeF

rrrr=

( )BvEev

mdt

vd

m

rrrrr

+=

+

L'quation de mouvement est donc :

Avec un systme de coordonnes adapt, i. e. :

=

z

y

x

vvv

vr

=

z

y

x

EEE

Er

=

B00

Br

d


21/223


0dtdv

dtdv

dtdv zyx ===On obtient en rgime stationnaire, i.e.

.constvEmev

vEm

e

v

vEmeBv

meE

mev

zzz

xcyy

ycxyxx

=

=

+

=

==

o meB

c= est la frquence cyclotron

Le calcul du courant se fait par l'intermdiaire de :

vnej rr

=

2


22/223


Avec la notation on obtient :m0=

ne2

+

+

=

z

y

x

22

c

c

c

22c

0

z

y

x

E

EE

100

0101

1

j

jj

Tenseur de conductivit

Remarque : pour obtenir la rsistivit il faut inverser le tenseurOn obtient :

[ ]

= 100 01

01

c

c

0 avec = 20 nem

On constate que xx = yy = zz = 0

La magntorsistance / est donc nulle


23/223

1


24/223


BjRBjne1E xHxy ==

+ + + + + + + + +- - - - - - - - --v jx

Ex

Ey

B

dl

On pratique on ne mesure pas Ey et jxmais plutt VH et I

Comme Ey = VH/l et jx = I/dl

On obtient :

d

BIRV HH= avec

ne

1RH =

Rappel

Accord avec les observations exprimentales ?

Na : RH = -2,5 1010

m3

/C mesurRH = -2,55 1010 m3/C calcul OK

Zn : RH = +3,3 1010 m3/C mesur

RH = -5,1 1010 m3/C calcul?


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Remarques :

i. RH permet de mesurer la densit de porteurs

ii. RH possde le signe des porteurs dominants

iii. est la frquence cyclotronmeBz

c=c correspond au nombre de tours qu'un lectron

peut faire sous influence du champ magntique avantde subir une collision


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c) Chaleur spcifique (Capacit calorifique)

La chaleur spcifique est donne par :

.constV

intV

T

U

V

1C=

=

Pour un gaz classique de N particules dans un volume V

l'nergie interne Uint s'crit :

TkN

2

3U Bint =

.constkVN

23C BV ==


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Comparaison avec les rsultats exprimentaux :

CV

T

Basse T : Cela ne marche pas

Haute T : CV = const., mais les valeurs numriques sont fausses !


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II. Premire Approche Quantique :le Modle de Sommerfeld

1. Approximations pour un modle quantique

2. Thorie des lectrons libres2.1. Les bases du modle2.2. L'tat fondamental, T = 0K

2.3. Le gaz d'lectrons libres T > 0K3. Proprits du gaz d'lectrons libres3.1. Chaleur spcifique

3.2. Paramagntisme de Pauli3.3. Conductivit lectrique


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1. Approximation par un modle quantique

Considrons un chantillon massif constitu uniquement pardes atomes d'un seul lment de nombre atomique ZA( Ngligeons l'effet du spin)

- il contient Ne lectrons de masse me et Nn noyauxde masse mn

- La condition de neutralit lectrique impose :Ne = ZA x Nn- Les coordonnes de l'lectron i sont donnes par : eir

r

- Les coordonnes du noyau j sont donnes par : njrr

lectrons et noyaux peuvent tre considrs comme ponctuel


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lectrons et noyaux sont chargs :

O

eir njrrr

Interaction coulombienneL'nergie potentiel d'interaction entre

2 particules : ( )njeiCAnjei

2A rrVZrreZV rrrr =

=

L'nergie potentiel total s'crit :( ) ( ) +

+=

j,injeicA

i,ieieic

j,jnjnjc

2Atotal rrVZrrV2

1rrVZ21V

''

''

rrrrrr

Interactionnoyau - noyau

Interactionlectron -lectron

Interactionlectron-noyau


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iei

e

2

m2h

j njn

2

m2h

pour les lectrons pour les noyaux

L'oprateur d'nergie cintique est donne par :

ei : Le Laplacien ne s'applique qu'au coordonnes de l'lectron i

( )

( )

+

+

+

+=

j,injeicA

i,ieieici

eie

2

j,jnjnjc

2A

jnj

n

2

rrVZ

rrV21

m2

rrVZ21

m2H

''

''

rr

rrh

rrh

Solution de l'quation de Schrdinger rigoureusement impossible


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Premire approximation : On rduit le nombre de particules

Soit un atome de nombre atomique ZAOn reprend l'hypothse du modle de Drude

lectrons de valence :Charge totale Z e

ZC lectrons de cur :Charge totale ZC e

Noyau : charge +ZA eIon

Un ion est considr comme entit. Pour tenir compte de la

prsence des lectrons de cur, on modifie le potentiel gnrpar un ion, i.e. il n'est plus forcement purement coulombien !

Potentiel d'interaction entre deux particules :

ion

jeiion rrZVV

rr

=

'


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Au lieu d'avoir Nn + Ne = Nn (1+ZA) particules on a maintenant :

Nn ions de charge +Ze Z x Nn lectrons de charge -eCeci correspond une rduction du nombre de particules

d'environ d'un facteur 10 100

( )( )

+

+

++=

j,i

ionjeiion

i,i eieici eie

2

j,jionjionjion2j

ionjion

2

rrZVrrV2

1

m2

rrVZ21m2H

' '

''

rr

rrh

rrh

Le Hamiltonien devient :

Toujours impossible traiter par "force brute"


34/223

D l l f d' l


35/223


De plus les forces d'interaction entre ions sont ngliges,les ions gardent leurs places, c'est tout.

( )

( )

+

+

+

+=

j,i

ionjeiion

i,ieieic

i

ei

e

2

j,j

ion

j

ion

jion

2

j

ion

jion

2

rrZV

rrV

2

1

m2

rrVZ2

1

m2H

'

'

' '

rr

rrh

rrh

Le problme de la dynamique des ions est trait sparment(Voir chapitre 4 du cours)

P l t d l t il t d


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( ) ( ) +

+= j,i ionjeiioni,i eieic

iei

e

2

rrZVrrV21m2H ' 'rrrrh

Le dernier terme est le seul terme d'interaction lectron - ion

Pour le systme des lectrons il reste donc :

La cristallographie nous apprend :les ions sont arrangs de manire priodiques sur un rseau

On remplace donc

j,i

ion

jeiionrrZV rr

par Vpriodique

avec ( ) RrVrV priodiquepriodiquerrr

+=

: n'importe quel vecteur du rseau cristallographiqueRr

Il t d


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Il nous reste donc :

( ) ++

+= ' 'i,i eieicpriodique

iei

e

2

rrV21Vm2H rrh

Souvent on nglige le terme d'interaction lectron - lectronDonc :

priodiquei eie

2

Vm2H ++=

h

L'quation de Schrdinger commence devenir abordable

2 Thorie des lectrons libres


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2. Thorie des lectrons libres

Nous avons vu que les approximations mnent un Hamiltonien :

priodiquei

eie

2V

m2H ++=

h

La plus simple fonction priodique est Vpriodique = const.

De plus comme on peut choisir le zro de l'nergie :

Vpriodique = const. = 0

2 1 L b d dl


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2.1. Les bases du modle

On ngligera donc :- les interactions lectrons - ions- les interactions lectrons - lectrons

Le systme : N lectrons dans un volume L3

Sans perdre de validit onsuppose le volume cubique

L

x

y

z

L ti d S h di


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Lquation de Schrdinger :

avec

= EH

+++=

N21rrr

2

m2

H rrr Lh

ne contient pas de drives mixtesHSolution :

NN2211N21rrrr,r,r rLrrrLrr =

avec N21 EEEE +++= L

O b i l2

h


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On obtient les i par :iii E

m2

= h

quation de Schrdinger une particule

Solution gnrale :( )rkiexpAi

rr= ( )2z2y2x

222

i kkkm2m2k

E ++== h

rh

Remarque :

Ici

i est une solution envisageable car le volume est fini ! =V

2i 1dV 3L

1A=

Condition aux limites :


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Condition aux limites :

Les lectrons sont enferms dans une bote

Cela suggre de poser :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0L,y,xz,L,xz,y,L

00,y,xz,0,xz,y,0

iii

iii

===

===

Conditions aux limites fixes

Ceci est absolument valableMais : Ceci donne des solutions figes

Meilleure solution pour tudier la dynamique :


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Meilleure solution pour tudier la dynamique :

Conditions aux limites priodiques (Born von Karman)( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )z,y,xLz,y,xz,y,xz,Ly,x

z,y,xz,y,Lx

ii

ii

ii

=+

=+

=+

L

chantillon

( )zkykLkxki zyxxAL +++C


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( )

( ) Liki

yi

x

zyxx

ez,y,x

Aez,y,Lx

=

=+Consquences :

1e Likx =

xx mL

2k =

yy mL2k =

zz mL2k =

mx, my, mz entier

( )2z

2y

2x

2

i mmmL2

m2E ++

=

h

Les valeurs possibles des k et des nergies sont quantifies !

Visualisation des tats lectroniques dans lespace des k


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Visualisation des tats lectroniques dans l espace des k

kx

ky

kz

L

2

Les tats lectroniquespossibles forment un rseau

cubique primitif dans

lespace des k !

Pour simplification : reprsentation d'un seul quadrant

Problme : Espace des k = Espace discret


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Problme : Espace des k = Espace discret

Consquence : Calculs compliqusSolution : On considre que chaque vecteur k possible

occupe un volume de (2/L)3

dans lespace des k

kx

ky

Dessin en 2D2/L

Mais : Il ne faut pas oublier que les valeurs de k sont discrtes

2 2 L'tat fondamental T = 0K


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2.2. L tat fondamental, T 0K

Rappel : T = 0 K , E est minimalRemarque : les dessins sont en 2D pour la clart !

Les tats possibles sont donns

par les valeurs de k possibles

kx

ky

Lnergie dun tat Ei correspond

sa distance par rapport loriginecar :

m2

kE

2i

2

ih

=

ki

On a N lectrons placer sur les tats dnergies les plus basses


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On a N lectrons placer sur les tats d nergies les plus basses

( )2z2y2x2

i mmmL2m2E ++ = h

Rappel :2 lectrons par place cause du spin !

kx

ky

6 tats : 12 lectrons



etc.

Jusqu avoir plac tous les N lectrons

Finalement :


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Finalement :

kx

ky

kF

kF : Rayon de Fermi

Les tats remplis setrouvent lintrieur

dune sphrede rayon kF

Dtermination de kF :


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Dtermination de kF :

tatparVolume sphreladeVolumeoccupstatsdesNombre =

3

3

F

L2

k3

4

2N

=

Spin

( ) 3123

1

32F n3LN3k =

=

n : densit dlectrons


51/223

Exemple : Sodium


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E mp um

Na : cc, a = 4,23 , monovalent328

3 m1065,2

a

2n ==

19F m1022,9k

=

eV24,3EF =

sm101,1v 6F =

K23500TF =

Commentaires :


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i. n est de lordre de 1029 m-3 ce qui correspond une densit 1000 fois plus leve que celle des

gaz classiquesii. vF correspond la vitesse thermique classique

iii. vF est de l'ordre de 10% de c mais la vitesse

thermique classique est nulle T = 0 K

nergie de ltat fondamental :


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5F2

32k

0

2322

kk kk

332222

k

m10

Ldkk4

2

L

m2

k2

kd2L

m2k

2m2k

2E

F

FF

=

=

==

< EF sont vides : taux d'occupation = 0

Comparaison avec Fermi - Dirac

E

g(E)f(E)

EF =

g(E) ~ E1/2

1

f(E)

E

T = 0 K : = EF

Question : Comment varie-t-il avec la temprature ?


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Proprits mathmatiques de f(E) :( )

+

=

TkEexp1

1Ef

B

1

f(E)

E

i. f() = 1/2

ii. ( ) ( ) .constdET,EfdET,Ef

0

2

0

1 ==

Consquence : aire bleu = aire verte n'importe quelle Tiii. f(E) est symtrique par rapport

Premire Hypothse : = const.


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1f(E)

2

2 Contraire ii.Le potentiel chimiquevarie en fonction de T

Deuxime Hypothse : augmente avec T

1f(E)

E

Contraire ii. ne peut pas augmenter

avec T

diminue avec T

Finalement on trouve :(calcul avec

2B2 Tk1E


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(

dveloppement deSommerfeld)

=2F

F

E121E

Application numrique : Cu : n = 8,5 1028 m-3, EF = 6,3 eV

T = 300 K

5

2F

2B2 10E

Tk

12

=

Consquence : Pour un mtal EF !

3. Proprits du gaz d'lectrons libres3 1 Chaleur spcifique


66/223


3.1. Chaleur spcifique

Observations exprimentalesCV

T

Haute temprature :CV = const.

T2

CV/T Basse temprature :CV =T + T3

Calcul de l'nergie interne pour un gaz de fermions :


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( ) ( )= 0int dEEfEgEUApplication du dveloppement de Sommerfeld :

( ) ( ) ( ) ( )( )++

ggTk6

dEEgEU 2B2

0

int

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )+++=

ggTk6

dEEgEdEEgE 2B2

E

E

0 F

F

.constU0=

Aprs calcul : ( ) ( )F2

B

2

0int EgTk

6

UU +=

La chaleur spcifique devient :22


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( ) TTEg3kTUC F2B

2

.constVintV === =

Comparaison avec les rsultats exprimentaux :

T2

CV/T Basse temprature :

CV =T + T3

Les lectrons sont responsable de la partie linaire !On verra plus tard, l'autre contribution vient des phonons !

( ) TTEg3kC F

2B

2

V =

=Rappel :


69/223


3

Cette formule est beaucoup plus gnrale que le modle de

Sommerfeld, car on ne l'a pas utilis jusqu' maintenant !

Possibilit : Mesure de g(EF) !!!

Modle de Sommerfeld : ( )F

F En

23Eg =

TEnk2C F2B

2

V =F

2B

2

theorique Enk2=

3.2. Paramagntisme de Pauli


70/223


Chaque lectron possde un spinAu spin est associ un

moment magntique :

T

J1027,9

m2

e 24B

== h

Magnton de Bohr

EF

E

g(E, )g(E, )

Sans champ magntique lesdeux directions du spin

sont quivalentes

Application d'un champ :


71/223


Les lectrons avecun spin parallle H

diminuent leur nergie

de BHLes lectrons avec

un spin anti-parallle Hdiminuent leur nergie

de BH

EF

E

g(E, )g(E, ) BH

HEF

EF

Consquence :Les lectrons avec spin changent en spin jusqu' ce que

EF = EF = EF

Rsultat :Plus de spin que


72/223


EF

E

g(E, )g(E, ) BH

H

Plus de spin que

Le nombre d'lectronsqui changent de spin est :

( ) HEg21N BF =

L'aimantation :

( ) HEgN2M 2BFB ==

La susceptibilit de Pauli est :Paramagntisme( ) 2BFP EgH

M==

3.3. Conductivit lectrique


73/223


kx

ky

kF

Sans champ lectrique

Pour chaque vecteur k

dans la sphre de Fermi

on peut trouver

un vecteur -k

mvkp == h

k

m

v h=

Remarque :Dessins en 2D !

Avec champ lectrique


74/223


kx

ky

k

La sphre de Fermi setranslate de k dans

l'espace des k.

Seulement les tats en

noir participent la

conduction, les vitesses

des autres s'annulent !

Supposition : E


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Leur nombre est :

E

g(E)

EF

g(E) ~ E1/2E

EEgn F =

Leur vitesse est :

v = vF

La densit de courant transporte par les lectrons peut


76/223


s'crire : ( ) ( ) kdkdEEgveEEgvevenjFEE

FFFFF ====

nergie de Fermi : m2

k

E

2F

2

F

h

= FF

2

E vkmdk

dE

F

hh

==

( ) kEgevj F2F = h

Dtermination de k :

dt

dk

dt

dpeF h=== dtedkh

=

=

=hh

etek

( ) = F2F

2 EgvejLa densit de courant devient :


77/223


( )FF gjRemarque :

Seulement la projection de

vF sur l'axe x intervient,car les autres composantess'annulent !

Il faut remplacer vF2

par :( ) 2F

2

2

2F v2

1dcosv

= en 2D

kx

ky

k

( ) 2F

2

2

2

2

2F v3

1ddcoscosv =

en 3D

Finalement , on obtient :221


78/223


( ) == FF Egve3j

( )=

= F2F

2 Egve

3

11La conductivit lectrique :

Remarque : Application du modle de Sommerfeld

( )F

F En23Eg = 2F2

F

2

F vm21m2kE == h

menvmn223ve312

2F

2F2 ==

Mme rsultat que Drude !

III. lectrons dans un potentiel priodique :Bandes d'nergie


79/223


1. Thorme de Bloch

2. Zones de Brillouin3. lectrons presque libres

4. Mtal - Semiconducteur - Isolant5. Surfaces de Fermi

1. Thorme de Bloch


80/223


Le modle des lectrons libres n'est en gnral qu'uneapproximation grossire pour le comportement dugaz d'lectrons dans un solide.

En ralit le potentiel est plutt de la forme

~1/r

xU(x) a

Soit un rseau cristallographique donn par les nuds : rrr

++=r


81/223


332211 anananRni entier, les vecteurs de la maille primitiveiar

Le potentiel que subit un lectron possde la mmepriodicit que le rseau cristallographique :( )xVRxV r

rr=+

Les tats lectroniques possibles sont les solutions del'quation de Schrdinger :

( ) ( ) ( )xExxVm2

2rrrh

=

+

Bloch a montr que les solutions sont de la forme :

( ) Rxuxu rr rr += r

xki rrr rrr


82/223


( )kk( ) ( )kk exux = avec

i.e. des ondes planes modules par une fonction de lamme priodicit que le rseau

xkieRe rr

( )xuRe krr

( )xRe kr

r

( )xkr

r sont appeles ONDES de BLOCHLes

Le Potentiel est priodique, on peut donc choisir l'origine !

Si on remplace par on voit que :xr Rx rr

+


83/223


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RkikRkixki

kRxki

kk exeexueRxuRxr

r

rr

r

rr

rr rrrrrr

==+=+ +

car ( ) Rxuxu kkrrr

rr +=

r r r r

La fonction d'onde n'est modifie que par un facteur de phase

ce qui ne change pas la physique !

( ) ( ) Rki

kkexRx

rr

rr rrr

=+

est une autre manire de dfinir une onde de Bloch

Le moment cristallin


84/223


Dans le cas des lectrons libre on dit qu'un lectron possdeune impulsion : kp r

hr

=

L'oprateur d'impulsion =

ip h

commute avec l'HamiltonienPour une onde de Bloch par contre : ( ) ( )( )

( ) ( )

( )rconst

rui

erk

ruei

rp

k

krki

k

krki

k

r

rhrrh

rhr

r

r

rr

r

r

rr

r

+=

=

Donc ( )rkrr n'est pas une fonction propre de p

On appelle kp r

hr

= le moment cristallin

2. Zones de BrillouinLes nuds du rseau sont donns par :


85/223


332211 anananR rrr ++=r

ni entier, les vecteurs de la maille primitiveiar

mi entier, ( )kjikj*

i aaaaa2a

=

r

Le rseau rciproque est donn par les vecteurs :*33

*22

*11 amamamG

rrrr++=

Dfinition durseau rciproque

En consquence : ij*ji 2aa =rr

et1e GRi =

rr

Si pour une fonction de Bloch on replace par :kr

Gk rr

+ rrrrr rrrr


86/223


( ) ( ) ( ) ( ) RkiGkRGkiGkGk exexRx rrrrrr ++++ ==+

( ) ( ) Rkikk exRxrr

rr rrr

=+

Rappel de la dfinition d'une onde de Bloch :

Par comparaison :

Si on remplace par la physique ne change pas !Gk rr

+kr

Le vecteur d'onde n'est dtermin qu' un vecteurdu rseau rciproque prs

k Grr

Le vecteur d'onde n'est dtermin qu' un vecteurdu rseau rciproque prs

k Grr


87/223


Maille de Wigner Seitz

Consquences :Premier exemple 1D :

Soit une chane monoatomique de paramtre a

xa

La relation de dispersion pour des lectrons libres est :( )

m2kkE

22

0h

=

On peut reprsenter cette relation dans l'espace des k,i.e. dans le rseau rciproque !


88/223


Le rseau rciproque d'une chane monoatomique est aussiune chane unidimensionnelle de paramtre 2/a

1re zone 2me 3me 4me4me 3me 2me

1re zone de Brillouin

Nuds du rseau rciproque

2/akx

Gr

kx

Remarque

Reprsentation de la relation de dispersion E(k)


89/223


0 aa

3a

3a

2a

2a

k0 aa

3a

3a

2a

2a

k

On peut remplacer k par k+G !

On doit donc aussi tracer une parabole centr 2/a etc.

Une fois toutes les paraboles traces (une pour chaque G)


90/223


0 aa

3a

3a

2a

2a

k

On obtient :

Schma de zones tendusLa relation de dispersion est priodique avec une priode 2/a

On peut se limiter sur une priode [-/a ; /a]

Schma de zone rduite


91/223


0 aa

k 1re

"bande"

2me "bande"3

me

"bande"

4me "bande"

1re

zone de Brillouin

En 3D :

Dfinition des zones de Brillouin


92/223


On choisit un nud du rseau rciproque comme origine.Ensuite on trace les plans mdiateurs par rapport au nuds

premiers plus proches voisins, deuximes plus proches voisins etc.Le nud d'origine se trouve entour de polydres ferms.

Le polydres avec le plus petit volume est la 1re

zone de BrillouinLe volume entre ce polydres et le 2me plus petit polydres estla 2me zone de Brillouin etc.

Rseau rciproque : l

Illustration en 2D :


93/223


3me zone de Brillouin

2me zone de Brillouin

1re zone de Brillouin

Rseau carr plan

Pour aller plus loin en 2D : voir TD 3Exemple en 3D : Cubique centr et cubique faces centres

Rseau rciproque : cc --> cfccfc --> cc

Zones de Brillouin


94/223


2me1recc 3me

1recfc 2me 3me

2 exemples particulirement importants


95/223


rseau cc rseau cfc

Interlude : Comment reprsenter une relation de dispersion

kyExplication pour le cas en 2D


96/223


kx

2a

X

M

La relation de dispersion s'crit :

( )2y2x2

0k kk

m2

E += hr

kx

X

M

Rseau rciproque : rseau carr plan

La premire zone de Brillouin :

On prsente des coupes de cette surface


97/223


kx

XM

kx

ky

2

a

X

M

X MM

nergie

(0;0) (/a;0) (/a; /a)(/a; /a)

Structures de bandes dans le cas d'lectrons libres

On suppose une structure cubique centre


98/223


Les vecteurs du rseau rciproque sont donns par*

33

*

22

*

11 amamamG

rrrr++=

avec

( )zya2a* +=r

( )xza2b* +=r

( )yxa2c* +=r

Calculs dtaills voir TD 3

1re zone de Brillouin :

L l ti d di i


99/223


La relation de dispersion :

( )220

k Gkm2E

rrhr +=

Regardons la direction - H, i.e.

a2;0kx

ky = kz = 0

Dans ce cas :22

0k Gxxa

2m2

E +

=

rhr et 1;0x

4C

3C

Premire possibilit : 0G=r

22

22

0k Cx)xx(22E = = h

r


100/223


H

C

2C

3C

0

nergie

000

220k Cx)xx(a2m2E = =

Rappel : *33*22

*11 amamamG

rrrr++=

( )zxa

2G +=r

0_10

( )

( )( ) ( )(( 2x2xC

11xCzx1xC

zxa

2xxa

2m2

E

222

220k

+=+==

+

=

hr

_1

_11

Et il faut le faire pour toutes les valeurs de G

Soit m1 = m3 = 0, m2 = -1 0_10( )

Pour toutes les directions de symtrie :


101/223


Rseau cc

Dans le cas d'un rseau cfc


102/223


Rseau cfc

3. lectrons presque libres

Pour se simplifier la vie on se place en 1D


103/223


Le cristal est une chane monoatomique

~1/r

xU(x) a

Potentielpriodique

Approche intuitive

Pour des lectrons libres : 22

0k k2E hr = ( ) ikxk ex

On suppose les lectrons faiblement perturb


104/223


Pour des lectrons libres : k km2E( )k ex

i.e. des ondes planes progressives

On sait : Une onde interagit avec une structure priodiquesi la condition de Bragg est satisfaite !

entiern,nsind2 =

Ici 1D donc : d = a = /2

= 2k

dPlans atomiques

onde incidente onde rflchie

k

2na2 = oua

nk =

Il y aura rflexion de l'onde lectronique chaque fois que

ank =


105/223


aPour approcher le potentiel priodique on suppose :

( ) 0110 UU;xa2

cosUUxU


106/223


aaxcos + a

xsin

xacos22 + xasin22 Densit decharge

x

U(x) +(x)

-(x)

Diffrenced'nergiepotentielle

+ : Maximum de charges centrs sur les ions- : Maximum de charges centrs entre les ions


107/223


nergie de + < nergie de -

k

E

a

a

EGap


108/223

(x) est une onde de Bloch, donc une fonction priodique.

Dveloppement en srie de Fourier( ) ( )= ikxekCx


109/223


( )k

ekCx

Dans Schrdinger :

( ) ( ) ( ) =

++

>

k

ikx

k

ikx

0G

iGxiGxG2

22ekCEekCeeU

xm2h

( ) ( ) ( ) ( )( ) >

+ =++

0G k

xGkixGkiG

ikx

k

22

0eekCUekCEkm2

h

k satisfait les condition au limites priodiques i.e. k = n 2/LIl existe k' = n' 2/L pour lequel l'quation est aussi valable !

( ) ( ) ( ) ( )( ) x'ik0G k

xGkixGkiG

ikx

k

22

e0eekCUekCEkm2

=++

>

+h

( ) ( ) ( ) ( )( ) x'ikxGkixGkix'ikikx22

h


110/223


( ) ( ) ( ) ( )( ) >

+ =++

0G

xik

k

xGkixGkiG

xikikx

k

2 0eeekCUeekCEkm2

h

On intgre de 0 L et on tient compte du fait que

=L

0'kk

x'ikikx Ldxee

( ) ( ) ( )( ) 0G'kCG'kCU'kCEm2'k

0G

G

22=+++

>

h

k+G=k' k-G=k'

m2kE

220k

h= et en renommant k' par kEn introduisant

( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE G0k =+++


111/223


0G>

Ce systme d'quations permet la dtermination des C(k)La fonction d'onde devient : ( ) ( ) ( ) =

G

xGkik eGkCx

Comparaison avec le thorme de Bloch : ( ) ( ) xkikk exux r

rr rr=

r

( ) ( ) =G

iGxk eGkCxu

Exemple de l'utilisation de l'expression

( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE 0G G0k =+++ >


112/223


On se limite au premier termes du dveloppement de U(x) :( ) ( )

++=

>

x

a2ix

a2i

0G

iGxiGxG eeUeeUxU

1Ga2

= est le vecteur lmentaire du rseau rciproque

( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE 110k =+++

La fonction d'onde :( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++

=

+

xGkixGkiikxG

xGkik

11 eGkCeGkCekC

eGkCx


113/223


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++= 11 11 eGkCeGkCekC

On suppose les C(k - G) = 0 sauf C(k), C(k - G1) et C(k + G1)( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE 11

0k =+++

fournit 3 quations linaires pour la dtermination destrois coefficients C(k), C(k - G1) et C(k + G1).

Calcul dtaill voir TD 4

Un systme d'quations linaires ne peut avoir une solutionque si le dterminant des coefficients est gal zro

0UEE0 Gk


114/223


0

EEU0

UEEUEE

0 Gk

0k

Gk

1

1

=

+

Cette quation permet la dtermination des relations

de dispersions E(k)

Ici polynme d'ordre 3, donc priori 3 bandes d'nergie

Prsentation graphique du rsultat

E

1 2 3 4 512345


115/223


Schma de zone tendu

k0 aa 2a2a 3a 4a3a4a

3me bande

2me bande

1re bande

E

On admet qu'il y a plusieursrelations de dispersion En(k)

Comme pour les lectrons libres on peut se limit laPremire zone de Brillouin


116/223


k0 aa

3me bande

2me

bande1re bande

Schma de zone rduite

n : indice de bande

4. Mtal - Semiconducteur - IsolantStructures de Bandes relles

Question prliminaire :


117/223


Quel est le nombre d'tats lectroniques dans une bande ?

Une bande contient un nombres d'tats gal au volume dela 1re zone de Brillouin : ( )

32

La densit des tats dans l'espace des k est :

(Conditions aux limites priodiques !)

3

L2

( )

NL

L2

23

3

3

=

=

Une bande contient donc

tats


118/223


N : Nombre de mailles primitives de l'chantillonUn tats peut abriter 2 lectrons

Il y a 2N places pour les lectrons par bande !

Question supplmentaire :O se situe le niveau de Fermi ?

D'abord 1D

Exemple de la chane monoatomique

Atomes monovalents :

E


119/223


Il y a 1 lectron par maille primitive !

Donc N lectrons dans la chane

Il y a 2N places dans la 1re bande

Les lectrons vont occuperles N places de plus basse

nergie

Comportement lectrique : mtallique

EF se situe au milieu de la premire bande

EFa

a 0 k


Il y a 2 lectrons par maille primitive !

E Atomes divalents :


120/223


Donc 2N lectrons dans la chane

Il y a 2N places dans la 1re bande

Les lectrons vont occuperles 2N places de la premirebandeaa 0 k

EF se situe en haut de la premire bande

EF

Comportement lectrique : isolant ou semiconducteur


Il y a 3 lectrons par maille primitive !

E Atomes trivalents :


121/223


Donc 3N lectrons dans la chane

Il y a 2N places dans la 1re bandeet 2N places dans la 2me bande

Les lectrons vont occuperles 2N places de la premireBande et les N places de plusbasse nergie de la 2me bande

EF se situe au milieu de la deuxime bande

EF

a

a 0 k

Comportement lectrique : mtalliqueEtc

Donc en une dimension c'est simple :

Nombre d'lectrons impair : comportement mtalliqueNombre d'lectrons pair : isolant ou semiconducteur


122/223


p

Remarque : Tous les lments de nombre atomique impairsont des mtaux !

Pourquoi les lments avec un nombre atomique pair ne sont

il pas tous des isolants ou des semiconducteurs ?

Illustration de la rponse en 2D

Exemple : rseau carr plan de paramtre a

kyMLa premire zone de Brillouin :

L i t l d i b d


123/223


kx

2a

X

La premire et la deuxime bandesont donnes par deux relationsde dispersion :

yx1 k;kE yx2 k;kE

qui peuvent tre reprsentespar des surfaces

XM

kx

E2

XM

kx

E1

Reprsentation en "coupe"

ky


124/223


(/a; /a) XM

nergie

(0;0) (/a;0)

XC

XV

MCMV kx

2a

X

M

eMC

Atomes monovalent

N lectrons dans l'chantillon

primitivemaillelectron1


125/223


(/a; /a) XM

ne

rgie

(0;0) (/a;0)

XCXV

MC

MV2N places dans la 1re bande

Les lectrons vont occuperles N places de plus basse

nergie

Comportement lectrique : mtalliqueEF se situe quelque part au milieu de la premire bande

EF

primitivemaillelectrons2Atomes divalents 2N lectrons

1er cas : XC > MV


126/223


(/a; /a) XM

nergie

(0;0) (/a;0)

XC

XV

MCMV EF

EF au sommet de lapremire bande

Les 2N tats d'nergies

les plus basses setrouvent dans lapremire bande

Comportement : isolant ou semiconducteur

primitivemaillelectrons2Atomes divalents 2N lectrons

2me cas : XC

< MV

Les 2N tats d'nergies


127/223


Les 2N tats d nergiesles plus basses se

trouvent la foisdans la premire bandeet la deuxime bande

Comportement : mtallique

Chevauchement de bandes

(/a; /a) XM

nergie

(0;0) (/a;0)

XC

XV

MCMV EF

EF coupe la 1re bande proche

M et la 2me bandeproche X

Na, cc, a = 4,23 Comparaison avec la structure

des lectrons libres

Quelques exemples en 3D


128/223


Exemple Cs et Ba : volution du niveau de Fermi


129/223


Al, cfc, a = 4,05 Trivalent !


130/223


Cu, cfc, a = 3,61

On remarque les bandes d


131/223



132/223

5. Surfaces de Fermi

Dfinition : La surface de Fermi est la surface, qui danslespace des k spare les tats occups destats vides T = 0 K


133/223


tats vides T = 0 K

Cas des lectrons libres :m2kE

220k

h=

: rayon de Fermi31

32

F LN3k

=

Lnergie de Fermi EF est dtermine par le nombre Ndes lectrons :

m2kE

2F

2

Fh

= Cest une sphre !

Exemple en 2D : rseau carr plan de paramtre a(rseau rciproque : carr plan de 2/a)

Laire de la 1re zone de Brillouin :2

a2

Nk2


134/223


21

2F LN2k =2

N

L2

k2

2F =

Dtermination de kFEn 2D :

Surfaces disonergie : cercles !

kx

X

M


135/223

Atomes divalents :22 a

2LN =

a128,1

a4kF =


136/223


Une partie se trouve dans ladeuxime zone !

2me1re

Atomes trivalents :22 a

3LN =

a382,1

a6kF =


137/223


Une partie se trouve dans ladeuxime zone !

1re2me

Remarque : k nest dtermin qu G prs


138/223


Schma de zone rpt :

1re zone de Brillouin : 2me zone de Brillouin :


139/223



140/223

Exemple en 2D : rseau carr plan de paramtre a

Comment se modifient les ligne de isonergie dans le casde vraies bandes ?


141/223


XM

kx

E1

1re bande


142/223


143/223

Al rel :


144/223



145/223

Remarque : La notion de densit d'tats reste valable

Expression gnrale de la densit dtats g(E)

ky


146/223


kxE = const.

E + dE = const.

G (E) dE est le nombrediscrets de valeurs de k qui setrouvent entre les surfaces

correspondantes E = const.et E + dE = const. danslespace des k

Par consquence :

( )

( )3

dEE

E

3

L2

kddEEG

=+

dE=const. dk T

= dkdkd3


147/223


E+dE=const. On sait que ( )kEgraddkdE kr

=

( )kEgrad

dEd

kd k3

r

=

( ) ( ) ( )=

= .constE k3

3

kEgradd

2L

EG r

Formule gnrale de la densit dtats des lectrons !

Exemple :

Na, cc, a = 4,23


148/223



149/223


150/223


151/223


152/223


153/223


154/223


155/223

On cherche des solutions sous la forme d'ondes :( ) ( )tksaiexpAtkxiexpAu ss ==

Onde progressive de vecteur d'onde k : =2/k

Dans l'quation diffrentielle :


156/223


= p sikpasps2 ueuCum

Symtrie : pp CC =

>

+=0p

ikpaikpap

2 2eeCm

( )( ) >>

==

0p

2p

0pp

22

kpasinCm4kpacos1C

m2


157/223


158/223


159/223


160/223

Approximation des plus proches voisin

>

=

0p

2p

22

kpasinCm4

Rappel : relation de dispersion


161/223


Seulement les plus proches voisins : 0C,1p;C p1 =>=

k

a

a

2kasin

m2 =


162/223


163/223


164/223


165/223


166/223


167/223


168/223


169/223


170/223

Remarque :En 3D pour un matriau avec 2 diffrents types d'atomes

3 branches acoustique : 3N modes3 branches optiques : 3N modes


171/223


6N modes de vibrations

En 3D pour un matriau avec p diffrents types d'atomes

3 branches acoustique : 3N modes3(p-1) branches optiques : 3(p-1) modes

En totale 3pN modes de vibrations

3. Approche quantique : Les Phonons

Le systme classique de la chane monoatomique

est dcrit par N quations diffrentielles couples

( ) == + 1p1p212

21

2uuCumxm


172/223


ptt ( ) =

=

+

p2p2p2

22222 uuC

tum

txm

( ) =

=

+

pNpNp2

N22N2 uuC

tum

txm

Pour rsoudre se systme proprement :Transformations de LegendreAvec N quations diffrentielles non couples !

Pour un traitement quantique :Lquation de Schrdinger :

( ) ( )NN1NN1i

Harm

2i r,,r,rEr,,r,rVm2p

rLrrrLrr = +

Mais les transformations de Legendre permettent de


173/223


dcoupler les variables !Pour un cristal rel on obtient finalement :

3pN quations de Schrdinger indpendantes,chacune reprsentante un oscillateur harmonique

une dimension !


174/223


175/223


176/223


177/223


178/223

Loi de Dulong Petit :

BvibV pNk3C =

CV3pNkB

Rsultats exprimentaux :


179/223


T

3pNkB

Le modle classique dcrit le comportementhaute temprature !


180/223


181/223


182/223

Par consquence :

( )

( )

3

d 3

L2

kddZ

=

+

d=const.

+d=const.

dk T = dkdkd3

On sait que ( )kgraddkd kr

=


183/223


d const. On sait que ( )kgraddkd k=

( )kgrad

ddkdk

3r

=

( ) ( ) ( )=

= .const k3

3

kgrad

d

2

L

Z r

Formule gnrale de la densit dtats des phonons !

Remarque : Z() peut tre trs difficile calculer

Avec ce formalisme lexpression de Uvib devient :( ) ( )

=

= +

=

00Tkvib dZ2

1dZ1e

UB

hh

h


184/223


nergie T = 0 K

Calculer le premier terme est compliqu causede la forme de Z()

Cest pourquoi on fait souvent des approximations adaptes


185/223


186/223

L'approximation de Debye

On considre le matriau comme un matriau continu etIsotrope, mais on limite le nombre de vibrations 3pN

D


187/223


kaa

Consquence :

La vitesse de son estconstante dans lapremire zone de Brillouin


188/223

La frquence de Debye D est dtermine par :

( ) pN3dZD

0

=

3 2SD V

Np6v = frquence de Debye

Lexpression de la densit dtats devient : ( ) 32

pN9Z =


189/223


L expression de la densit d tats devient : ( )D

pN9Z

Dfinition de la temprature de Debye D :

DBD k=h

Cest la temprature partir de laquelle il y a au

moins un phonon dans chacun des 3pN modes de vibration


190/223


191/223

Un calcul numrique de CV donne

CV 3pNkB

~T3


192/223


TD

En excellent accord avec les rsultats exprimentaux

5. Diffusion inlastique des neutrons

Pour "mesurer" les Phonons, quel sont les longueurs d'ondes

et les nergies ncessaires ?Longueur d'onde : quelques

nergie : ==sv2E hh avec kvs = : vitesse de son1000 /


193/223


nergie v2E avec kv vitesse de son~ 1000 m/s

E ~ quelques meV

Particule possdant les mmes longueurs d'onde et d'nergie :

Neutrons thermiques d'nergies de quelques meVLongueur d'onde :

m2

2

m2pE

222

==h

mE22 h

= qqs


194/223

Racteur M

S

Spectromtre trois axes

Faisceau de neutronsthermiques

Cristal monochromateur

chantillon


195/223


A

D

q

Dtecteur

Cristal analyseur


196/223


197/223


198/223


199/223


200/223


201/223

Largeur du paquet d'ondes dans l'espace direct :

Relation de Heisenberg : hrhrr = krpr r

k1r rr

comme 1kr

ar >> r


202/223


commea

k

a Largeur duPaquet d'ondes

Champ externe


203/223


204/223

quations de mouvement :On admets sans preuve la validit des quations de mouvement

classiques pour entre les collisions !k

r

( ) ( ) ( )[ ]t,rBkvt,reFdt

k

t

pnext

rrrrrrrr

h

r

+==

=

avec ( ) ( )kE1rkvrr

rrr


205/223


avec ( ) ( )kEt

kv nkn hr=

=

Attention : kp hr = n'est plus la quantit de mouvementclassique mais le moment cristallin !

r

Rappel : kr n'est dfini qu' un vecteur durseau rciproque prsG

r


206/223

==occupstats

3 vL2evenj rrrDensit de courant :

La densit des tats dans l'espace des k :3

2L2

( ) ( )kE1trkv nknrr

h

rr r==avec

r


207/223


La densit de courant devient :( ) =

occupstats

nk3

3

kE14

kdej rr

h

rr


208/223


209/223

3. Application d'un champ lectrique :masse effective et notion de trou

Exemple 1D

E (k)

vn(k)= r

h etkr

( ) ( )h

rr te0ktk =

entre les collisions

r

Rappel :


210/223


Chemin : OAA'O

k

En(k)

r

Fr

O

A A'Rappel :

( ) ( )kEgrad1

kv nknr

h

rrr

=Mouvement priodique dans

l'espace des k

et dans l'espace rel !

Commentaires :

En(k)

vn(k)

r

Fr

O

A A'

- En bord de zone : v = O !- bande large vitesses leves

- pour une bande entirevmoy = 0


211/223


k

kx

kyExemple 2D

r

Fr

Mouvement priodique dansl'espace des k

et dans l'espace rel !


212/223

En faisant le mme calcul pour vy et vz

ext

2z

2

yz

2

xz

2

zy

2

2y

2

xy

2 zx

2

yx

2

2

x

2

2 F

kEkk Ekk E

kkE

kE

kkE kk

E

kk

E

k

E

1tv r

h

r

=


213/223


zyzz

*m1 "masse" effective

Par consquence : ext* F

tvm r=

r


214/223

La densit de courant s'crit( ) ==

occupstats

nk3

3

occupstats

3 kE1

4kdev

L2ej

rr

h

rrr

En(k)

vn(k)Cependant

( ) 0kE1

4

kdev

L

2eentirebande

nk3

3

entirebande

3 =

= rr

h

rr

22


215/223


k

En( )

i.e. 0vL

2evL

2evidestats

3

occupstats

3 =+

rr

Donc :=

occupstats

3 vL2ej r

r

ou +=

vides

tats3 vL

2ej rr

Description du courantsoit par des lectronssoit par des "trous"


216/223


217/223


218/223

n

ergie

XCXV

MCMV EF

Une bande d'lectronsExemple 2D


219/223


(/a; /a) XM

(0;0) (/a;0)

Une bande de trous


220/223


221/223

Calcul de la pulsation d'une orbitequation de mouvement

dtkEBekd 2 = r

h

r

r

E = const.

E+dE = const

kdr

dA

kdr

kdE

k

eBdt

2 rh

=

Intgrant sur une orbite en tenant compte que :


222/223


Intgrant sur une orbite en tenant compte que :

dAkdkd = rr et = Tdt

( )dEdAeB2T2 2c h ==

c : frquence cyclotrondEdAeBT

2

h=


223/223

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