CINEMATIQUE DU SOLIDE - fuuu.befuuu.be/polytech/MECAH200/Cours/MECAH200-chap02... · Mécanique...

Mécanique Analytique

1

CINEMATIQUE DU SOLIDE

Coordonnées généralisées (rappels)

Mouvement du solide et de son centre de masse

Déplacement continu et déplacement instantané du corps solide

Champ des vitesses

Champ des accélérations

Translation continue, translation instantanée

Rotation continue, rotation instantanée

Mouvement hélicoïdal continu, mouvement hélicoïdal instantané

Composition de mouvements instantanés

Solide en rotation instantanée autour d'un point. Angles d'Euler


2

COORDONNES GENERALISEES (Rappels)

Point matériel ≠ système de points matérielsSolide indéformable = système de points matériels tel que les distances mutuelles de ces points demeurent constantes dans toutdéplacement.Repérage exact du solide : coordonnées généralisées Coordonnée vectorielle de tout pointMouvement continu d'un solideLiaisons : p relations entre des coordonnées généralisées permettant d'exprimer n-p coordonnées qi en fonction des p autres. Il existe n-p variables indépendantes : le système est à n-p degrés de liberté.

Exemples : le pendule double planle corps solide librele corps solide soumis à des liaisonsles systèmes de corps solides

)n,...,1i(qi =

)q,...,q(rOP:P n1hhh =

[ ])t,tt( )t),t(q(rOP 10ihh ∈=


3

MOUVEMENT DU SOLIDE ET DE SON CENTRE DE MASSE


4

DEPLACEMENT CONTINU ET DEPLACEMENT INSTANTANE DU CORPS SOLIDE

Mouvement continu :

Déplacement instantané : déplacement tangent au déplacement continu à tout instant de l'intervalle

iqn

1i iqhr

jqiqn

1j,i jqiqhr

2

iqn

1i tiqhr

222t

hr2dthr

2dha

thr

iqn

1i iqhr

dthrd

hv

où

...2t

hathv)t(hr)tt(hrhr:ttettentre2

&&&&&

&

∑= ∂

∂+∑

= ∂∂∂

+∑= ∂∂

∂+

∂

∂==

∂∂

+∑= ∂

∂==

+∆+∆=−∆+=∆∆+

[ ]10 t,t


5

CHAMP DES VITESSES ET DES ACCELERATIONS

Soient :

Nous avons :

( )( )

angulaire vitessevecteur leest solide au appartient P

solide au lié zy Axmobile repèreROxyz fixe repèreR

1111

0

ω

=

=

)APx(xAPxaa

dtAPdxAPx

dtd

dtvd

dtvd

a

APxvv

dtAPd

dtOAd

dtOPdv

ap

)R()R()R(

A

)R(

pp

Ap

)R()R()R(

p

0000

000

ωω+ε+==

ω+

ω

+

=

=

ω+=

+

=

=

z

y

x

o

A

x1

(fixe)

y1

z1

P

(R0)

(R1) (mobile)


6

THEOREME DE PROJECTION DES VITESSES

Les projections des vitesses de deux points du solide sur la droite qui joint ces points sont égales.

Il est donc interdit de se donner arbitrairement la vitesse de deux points du solide.

AB.vAB.v

ABxvv

AB

AB

=⇒

ω+=

Av

Bv

BA


7

TRANSLATION CONTINUE ET TRANSLATION INSTANTANEE

Mouvement continu de translation :

Si à un instant , tous les points du solide ont des vitesses équipollentes, alors le solide est animé d'un mouvement de translation instantanée.

[ ]

0dtAPd

dtOAd

dtOPd

aavv

0:t,tt

)R()R()R(

Ap

Ap

10

000

=

⇒

=

=

=⇒

=ω∈∀

[ ]10 t,tt ∈


8

ROTATION CONTINUE ET ROTATION INSTANTANEE (1)

Mouvement continu de rotation :

Il existe une droite de points fixes :[ ] 110 R dans constante direction une a et solide du Afixepoint un :t,tt ω∃∈∀

0ABxvv

par Apassant àparallèledroite B

AB =ω+=

ω∈∀

π

θx

z

y

R

P

C

a

A

B

Pv

z1θω &=


9

ROTATION CONTINUE ET ROTATION INSTANTANEE (2)

Mouvement de rotation uniforme

Si à un instant , tous les points d'une droite du solide ont une vitesse nulle, le solide est animé d'un mouvement de rotation instantanée

CP).(CPx)CPx(xCPxa

y1cosR1sinRCPxCPdtd

1cosR1sinRv1sinR1cosRCP

CPxAPxv

p

x

yxp

yx

p

ωω−ε=ωω+ε=

θ=ω⇒

θω+θω−=ω=

θθ+θθ−=

θ+θ=

ω=ω=

&

&&

)centripète(1Ra

tetanconsRvtetancons

CP2

p

p

ω−=

=ω=⇒=ω

[ ]10 t,tt ∈

π

θx

z

y

R

P

C

a

A

B

Pv

z1θω &=


10

MOUVEMENT HELICOIDAL CONTINU ETMOUVEMENT HELICOIDAL INSTANTANE (1)

Mouvement hélicoïdal continu pendant un point P appartenant au solide tel que est parallèle à qui a une direction constante.

Il existe une droite de points ayant pour vitesse :

[ ] ∃:t,t 10

pv ω

pash 2hvp =ωπ

=

PAx2hPAxvv

vPQxvv

à parallèle PQ

PA

pPQ

ω+ωπ

=ω+=

=ω+=

ω∀

ωπ2

h

ω

d

P

Q

Zz

Y

X

x

y1

x1

y

d

O

O1

A

(R0)

(R1)

(mobile)

(lié au solide)

(R2)

mouvement relatif

mouvement d'entraînement

(fixe)


11


Le mouvement instantané le plus général d'un solide est un mouvement hélicoïdal instantané ou, pour un solide en mouvement, si le vecteur , il existe pour tout t un point P du solide dont la vitesse est parallèle au vecteur

A et P appartenant au solide :

0≠ωω

ωλ+ωω−ω

−=

−ω=ωω

−=ω

ω+=

ω=

.)vv(x

AP

)vv(x)APx(x

vvAPx

APxvv

)t()t(kv

Ap

Ap

Ap

AP

p


12


Choisissons un point P* du solide tel que :

équation vectorielle de l'axe hélicoïdal instantané

Le mouvement hélicoïdal instantané, de direction et d'axe passant par P* est défini. Le mouvement hélicoïdal est tangent à l'instant t au mouvement du solide.

ω

0vx *P=ω

ωλ+ωω

ω=

.vxAP A

*

ωωω

=⇒ωωω

ω=ω+=

.v.)t(k.

.v.APxvv AA

*

AP*

A

P0

ω

P*


13


Cas particuliers :

mouvement à l'instant t est tangent à un mouvement de rotationmouvement à l'instant t est tangent à un mouvement de translation

le solide est immobile à l'instant t

Discussion des différents cas :

invariant scalaire

mouvement instantané hélicoïdal autour d'un axe passant par P*

mouvement instantané de rotation autour d'un axe passant par P*

mouvement instantané de translation de vitessele solide est immobile à l'instant t

⇒= 0)t(k

⇒=ω 0)t(

⇒=ω∧= 0)t(0)t(k

:solideBetA ∈ ω=ωω+=.v.v

ABxvv

AB

AB

⇒≠ω 0.v

⇒≠ω∧=ω 00.v

⇒≠∧=ω∧=ω 0v00.v A Av

⇒=∧=ω∧=ω 0v00.v A


14

COMPOSITION DE MOUVEMENTS INSTANTANES (1)

Soient : un trièdre fixe Oxyzun trièdre mobile en rotation par rapport au repère R0, avec le vecteur de rotation un trièdre mobile en rotation par rapport au trièdre mobile R1, avec le vecteur de rotationun solide lié au trièdre R2

)R( 0

)R(zyxO 11111

1ω

2ω

)R(zyxO 22222

x

y

z z1

x1

y1

x2

y2

z2

O O1 O2

A

(R0)(fixe)

(R1) (R2)(mobile) (mobile)

( ) 011 / RRω ( ) 122 / RRω


15


Vitesse relative d'un point A, par rapport au trièdre R1 :

Vitesse d'entraînement du point A, attaché au trièdre R1 :

Vitesse absolue du point A :

AOxvv 220rel,A 2ω+=

AOxvv 110entr,A 1ω+=

AOxvAOxvv 220110abs,A 21ω++ω+=

x

y

z z1

x1

y1

x2

y2

z2

O O1 O2

A

(R0)(fixe)

(R1) (R2)(mobile) (mobile)

( ) 011 / RRω ( ) 122 / RRω


16


Cas particuliers :

Composition de deux translations instantanées :

Composition d'un couple de rotations instantanées :

21 00abs,A21 vvv0 +=⇒=ω=ω

2112211abs,A

12

02212

01101

OOxAOxAOxv

)0v(Opoint lepar passant:)R/()R(Rotation

)0v(Opoint lepar passant:)R/()R(Rotation

2

1

ω=ω+ω=

ω−=ω

=ω

=ω

z

x

y

z1

x1

z2

x2

y2

y1

O2

1OO ≡

1ω

1ω−


17


Composition de deux rotations instantanées d'axes sécants :

Composition de deux rotations instantanées d'axes parallèles :

AOx)(

AOxAOxv

0vvOO

121

1211abs,A

00

21

21

ω+ω=

ω+ω=

==

≡

CAx

)CACO(x)CACO(x

AOxAOxv

0v

0v

2211

2211abs,A

R/R0

R/R0

122

011

ω=

+ω++ω=

ω+ω=

=

=

21

2211

0COxCOx : que telest C

où

ω+ω=ω=ω+ω

axe central

O

1ω

2ω

ω

z

x

y

z1

x1

z2

x2

y2

y1

O2

1O1ω

2ω

21 ωωω +=

C

axecentral


18


Cas général :Soit un solide soumis à n translations de vitesses et à p rotations de vecteurs

Nous pouvons considérer le solide comme étant soumis à (p+2n) rotations : glissant sur leurs axes.

n1 v,...,v

p1 ,..., ωω

npnp1p1pp1 ,,...,,,,..., ++++ ω−ωω−ωωω

P1

1ω

1+pω

1+− pω1v

pω

Pp

np+ω

np+−ω

nv


19


Systèmes équivalent à : une résultante générale :un moment total au point A :

L'axe central du système de vecteurs à l'instant t est une droite de points en lesquels la vitesse est parallèle à la résultante . C'est l'axe hélicoïdal instantané dû aux différentes rotations et translations instantanées.

A

n

1iii

p

1iiA vvAPxC =+ω= ∑∑

==

∑=

ω=ωp

1ii

npnp1p1pp1 ,,...,,,,..., ++++ ω−ωω−ωωω

ω

P1

1ω

1+pω

1+− pω1v

pω

Pp

np+ω

np+−ω

nv


20

X

Y

Z

x

O

y

z

θ

x2

θ

y2

z2 ≡

θ

ϕ

ϕ

y1

ϕ

x1

≡ z1

ψ

ψ

ψ

Oxyz : axes fixes

OXYZ : axes attachés au solide

( par ex. la Terre )

111R

zyOxOxyzzϕ

→ 222R

1

zyOxxθ

→ OXYZz

2

Rψ→

ANGLES D’EULER


21

x

O

y

z

θ

x2

θ

y2

z2

θ

ϕ

ϕ

y1

ϕ

x1

≡ z1

ψ

ψ

ψ X

Y

≡ Z

z1 ϕω &=1

1 xθ&+ Z1 ψ&+

1)cos(1)sincossin(1)cossinsin( ZYX θϕψψθψθϕψθψθϕω &&&&&& ++−++=⇒

VECTEUR DE DARBOUX DE LA BASE DES ANGLES D’EULER

CINEMATIQUE DU SOLIDE - fuuu.befuuu.be/polytech/MECAH200/Cours/MECAH200-chap02... · Mécanique...

Documents

Transcript of CINEMATIQUE DU SOLIDE - fuuu.befuuu.be/polytech/MECAH200/Cours/MECAH200-chap02... · Mécanique...