EPFLAlgèbre linéaire1ère année2006-2007

Corrigé de la série 5

Correction exercice 1

1. Par exemple, les vecteurs ~e1 = (1, 0, 0) et ~e2 = (0, 1, 0) forment une liste linéairementindépendante qui n’est pas génératrice car (0, 0, 1) 6∈ Span(~e1, ~e2).

2. Par exemple, les vecteurs ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1) et ~e4 = (1, 1, 0)forment une liste génératrice car pour ~v = (x, y, z) ∈ R3 on a ~v = x~e1 + y~e2 + z ~e3 maiselle n’est pas linéairement indépendante puisque ~e4 − ~e1 − ~e2 = ~0.

Correction exercice 2La famille de l’énoncé n’est pas linéairement indépendante car :

(1, 2, 1, 2, 1) + (2, 1, 2, 1, 2) = 3 ((1, 0, 1, 1, 0) + (0, 1, 0, 0, 1)) .

Ce n’est pas non-plus une famille génératrice car

(1, 0, 0, 0, 0) 6∈ E = Span((1, 2, 1, 2, 1), (2, 1, 2, 1, 2), (1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1)).

En effet, raisonnons par l’absurde et supposons que (1, 0, 0, 0, 0) ∈ E. Par définition, on auraitl’existence de scalaires α, β, γ et δ tels que :

α(1, 2, 1, 2, 1) + β(2, 1, 2, 1, 2) + γ(1, 0, 1, 1, 0) + δ(0, 1, 0, 0, 1) = (1, 0, 0, 0, 0).

Or, pour la première coordonnée, cette égalité fournit l’équation :

α + 2β + γ = 1

et la troisième coordonnée fournit l’équation :

α + 2β + γ = 0.

Ce qui fournit une contradiction.(Remarque : On verra plus tard dans le cours, qu’une famille génératrice d’un espace vectoriel dedimension n a, au moins, n éléments et qu’une famille linéairement indépendante d’un espacevectoriel de dimension n a, au plus, n éléments.Ici, R5 est un espace vectoriel de dimension 5 et la famille a 4 éléments. Par conséquent, ellene peut pas être génératrice.)

Correction exercice 3Soient λ1, λ2, λ3, et λ4 des scalaires de F tels que

λ1.1 + λ2.(1−X) + λ3.(X −X2) + λ4.(X2 −X3) = 0

que l’on peut récrire sous la forme :

P (X) = (λ1 + λ2) + (λ3 − λ2)X + (λ4 − λ3)X2 − λ4.X

3 = 0.

1

– Première solutionOn dérive successivement le polynôme et on prend la valeur en 0 de manière à obtenir unsystème de quatre équations à quatre inconnues.On a :

P (0) = λ1 + λ2 = 0

P ′(0) = λ3 − λ2 = 0

P ′′(0) = 2(λ4 − λ3) = 0

P (3)(0) = −6λ4 = 0

d’où λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.– Deuxième solution

On "sait", d’après la suite du cours que la famille {1, X, X2, X3} est une base de P3(F) (ap-pellée base canonique). Par définition d’une base, un élément admet une unique décompositionselon cette base, or :

0 = 0.1 + 0.X + 0.X2 + 0.X3.

On en déduit, par identification, le même système que précédemment.

Correction exercice 4Pour i ∈ {1, . . . , n}, on définit la fonction fi : {x1, x2, . . . , xn} → F telle que fi(xi) = 1 etfi(xj) = 0 pour i 6= j.Cette famille est linéairement indépendante car, si

n∑i=1

λifi = 0

on a, pour tout j ∈ {1, . . . , n},n∑

i=1

λifi(xj) = λj = 0.

Cette famille est génératrice car pour f : {x1, x2, . . . , xn} → F telle que ∀i ∈ {1, . . . , n},f(xi) = ai, on a :

f =n∑

i=1

ai.fi.

Correction exercice 5Les détails de la solution de cet exercice sont laissés au lecteur.

1. (~e1, 2~e2, ~e3) : oui.2. (~e1, ~e3) : oui.3. (~e1, 2~e1 + ~e4, ~e4) : non car (2~e1 + ~e4)− 2~e1 − ~e4 = 0.4. (3~e1 + ~e3, ~e3, ~e2 + ~e3) : oui.5. (2~e1 + ~e2, ~e1 − 3~e2, ~e4, ~e2 − ~e1) : non car 2.(2~e1 + ~e2) + 3.(~e1 − 3~e2)− 7.(~e2 − ~e1) = 0.

Correction exercice 6Soient λ1, λ2, et λ3 des scalaires de R tels que

λ1.sin(x) + λ2.sin(2x) + λ3.sin(3x) = 0. (∗)

2

Pour x = π2

on obtient l’équation :λ1 − λ3 = 0. (1)

Pour x = π4

on obtient l’équation :

λ1

√2

2+ λ2 + λ3

√2

2= 0. (2)

En dérivant (∗) on obtient :

λ1.cos(x) + 2λ2.cos(2x) + 3λ3.cos(3x) = 0.

Pour x = 0 on obtient l’équation :

λ1 + 2λ2 + 3λ3 = 0. (3)

en résolvant le système formé des équations 1, 2 et 3, on obtient que λ1 = λ2 = λ3 = 0.

Correction exercice 7Soit P (X) = α0 +α1X +α2X

2 +α3X3 un élément de P3(F) où αi ∈ F pour i ∈ {0, 1, 2, 3}. On

a :

P (X) = (α0 − α1).1 + (α1 − α2).(1 + X) + (α2 − α3).(1 + X + X2) + α3.(1 + X + X2 + X3).

Ce qui prouve que l’ensemble {1, 1 + X, 1 + X + X2, 1 + X + X2 + X3} engendre P3(F).On montre, par une des deux méthodes utilisées à l’exercice 3, que cette famille est linéaireme-ment indépendante.

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