Bac S 2014 – Métropole VOYAGE INTERPLANETAIRE - CORRECTION

1. Différentes phases du voyage de la mission MSL : Phase 1 : Lancement depuis la Terre en position T1, il faut échapper à l’attraction de la Terre. Phase 2 : Voyage sur l’orbite de Hohmann en utilisant l’attraction du Soleil. Phase 3 : Attraction par Mars et atterrissage 2. Demi-grand axe de l’orbite de Hohmann AP = R1 + R2 AP = AO + OP = 2 a donc 2 a = R1 + R2

a = 1 2

2

R R

a = 8 81,50 10 2,28 10

2

= 1,89×108 km

3.1. MSL parcourt la moitié de l’ellipse (chemin coloré sur la figure précédente), alors la durée Δt de ce parcours est égale à la moitié de la période T : Δt = T/2 ou T = 2Δt. D’après la troisième loi de Kepler

2 2

3

4

. S

T

a G M

, ainsi

2 2

3

(2 ) 4

. S

t

a G M

2 2

3

4 4

. S

t

a G M

2 32 .

. S

at

G M

Δt = 3

.. S

a

G M = π. 3/2 1/2 1/2. .a G M

Homogénéité de cette expression par analyse dimensionnelle : D’après les unités de la constante de gravitation universelle m3.kg-1.s-2, on peut dire que

ss

skgskgm

m

MG

at

S

2/12

2/1

2

2

1

213

32

13

1

Δt est bien homogène à une durée.

3.2. Δt = π. 3/2 1/2 1/2. .a G M Δt = π × (1,89×108×103)3/2 × (6,67×10–11)–1/2 × (1,99×1030)–1/2 Δt = 2,24×107 s = 259 jours Le robot a décollé le 26 novembre 2011 et a atterri le 6 août 2012, 26 au 30 /11 : 5 jours Décembre : 31 jours Janvier : 31 jours Février : 29 jours (année bissextile)

R1 distance Soleil-Terre

R2 distance Soleil-Mars

Mars : 31 jours Avril : 30 jours Mai : 31 jours Juin : 30 jours Juillet : 31 jours 1 au 6 Août : 6 jours TOTAL : 255 jours, soit 255×24×3600 = 2,20×107 s Écart absolu : 3,73×105s = 104 h = 4,3 jours

Écart relatif :

7 7

7

2,24 10 2,20 10

2,24 10 = 2 %

Cette durée est cohérente avec celle calculée. 4. Comme le mouvement de Mars est circulaire et uniforme : Mars accomplit une orbite complète en 1,88 an 360° 1,88 an = 686,2 jours Mars a tourné d’un angle β pendant la durée de la mission β° Δt = 255 jours

β = 360 255

686,2 = 134°

α + β = 180° α = 180 – β α = 180 – 134 = 46°. Si l’on fait le calcul avec Δt = 259 jours, on obtient α = 44°. Mise en orbite basse du satellite

1. T/SF =

T

2

T

m.MG. .n

R h

2. Deuxième loi de Newton, appliquée au système {satellite} de masse m dans le référentiel

géocentrique galiléen : T/SF = m. Sa

T

2

T

m.MG. .n

R h = m. Sa soit : Sa =

T

2

T

G.M.n

R h

3.

4. Le satellite ayant un mouvement circulaire et uniforme, alors Sa =

2

S

T

v.n

R h

en égalant les deux expressions de Sa :

T

2

T

G.M.n

R h =

2

S

T

v.n

R h

soit

2 TS

T

G.Mv

R h

, en ne retenant que la solution positive pour la vitesse :

T

S

T

G.Mv

R h

avec h = 6,0102 km = 6,0105 m = 0,60106 m

vS =

11 24

6 6

6,67 10 6,0 10

6,4 10 0,60 10=

13

6

6,67 6,0 10

7,0 10

=

1 13

6

4,0 10 10

7,0 10 =

84,0 10

7,0

S

T n t

Sa

vS = 7,610–1 810 = 7,610–1

104

vS = 7,6 103 m.s-1 , cette valeur est en accord avec celle proposée.

5. T est la période de révolution du satellite autour de la Terre.

La vitesse du satellite s’écrit : vS = T2 R h

T

soit

22

T2

S 2

4. R hv

T

En reportant l’expression de 2

Sv obtenue à la question précédente, il vient :

T

T

G.M

R h

22

T

2

4. R h

T

soit finalement : T 2 =

2

T

T

43

R + h

G.M.

Transfert du satellite en orbite géostationnaire

6. Deuxième loi de Kepler, ou "loi des aires" : le rayon vecteur TS balaye des aires égales pendant des durées égales.

7. Ainsi, pendant la même durée t, les aires A1 et A2 sont égales mais les distances parcourues par le satellite L1 et L2 sont différentes : L1 > L2. Les vitesses moyennes en A et P peuvent s’écrire :

vA = 2L

t et vP = 1L

t on a alors : P 1

A 2

v L

v L or comme L1 > L2 il

vient : vP > vA. La vitesse du satellite n’est pas constante sur l’orbite de transfert. Elle est maximale au périgée P et minimale à l’apogée A.

8. AP = 2RT + h + h’ (voir schéma ci-dessus)

AP = 2 6,4106 + 6,0105 + 3,6107

AP = 12,8106 + 6,0105 + 3,6107 = 1,28107 + 0,060107 + 3,6107

AP = 4,9 107 m

9. La durée de transfert entre A et P est égale à une demie période: t = T’ / 2 = 5 h 21 min. 10. Le satellite est géostationnaire : sa trajectoire est donc située dans un plan contenant l’équateur

terrestre. Le fait de lancer la fusée d’un lieu proche de l’équateur permet : - d’éviter de consommer du carburant pour ramener le satellite dont l’orbite ne serait pas contenue

dans le plan de l’équateur terrestre, - de bénéficier de la vitesse de rotation propre de la Terre, au départ de la fusée, qui est maximale

à l’équateur.

A

P A2 A1

L1

L2

h' h

2RT