CHAPITRE 8

Equations, Inégalités

Objectifs: - Reconnaître si un nombre donné est solution d’une équation ou non.

- Résoudre une équation du premier degré à une inconnue.

- Résoudre des problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

- Comparer des nombres.

Comment en est-on arrivé là ?

Aujourd’hui 4x ²+ 3x – 10 = 0René

DescartesVers 1640 4xx + 3x 10

François Viète

Vers 1600 4 in A quad + 3 in A aequatur 10

Simon Stevin Fin XVIe 4 2 + 3 1 egales 10 0Tartaglia Début XVIe 4q p 3R equale 10NNicolas Chuquet

Fin XVe 4² p 3¹ egault 10º

Luca Pacioli Fin XVe

Quattro qdrat che gioto agli tre nº facia 10

(traduit par 4 carrés joints à 3 nombres font 10)

Diophante IIIeΔʸδ ζγ εστι ι

(traduit par inconnue carré 4 et inconnue 3 est 10)

Babyloniens et Egyptiens

IIe millénaire avant J.C.

Problèmes se ramenant à ce genre d’équation.

I. Notion d’équation1) Vocabulaire

Inconnue c’est une lettre qui cache un nombre cherché → x

Equation c’est une opération « à trous » dont « les trous »

sont remplacés par une inconnue → 32210 xx

Résoudre une équation c’est chercher et trouver le

nombre caché sous l’inconnue.

Solution c’est le nombre caché sous l’inconnue  → 625,0x

Vérification :

10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3 donc 0,625 est

solution.

Exemple : Vérifier si 10 et 14 sont solutions de l’équation

63)2(4 xx

On a 4 x (10 - 2) = 32 et 3 x 10 + 6 = 36

Non, 10 n’est pas solution de l’équation  car 32 ≠ 36 !

On a 4 x (14 - 2) = 48 et 3 x 14 + 6 = 48

Oui, 14 est solution de l’équation  car on trouve 48

des deux côtés de l’équation en remplaçant x par 14 !

2) Problème conduisant à une équation

Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10€.

Avec cette carte, le prix d’une entrée est de 4€.

1) Calculer le prix à payer pour 2, 3, puis 10 entrées.

pour 2 entrées : 10 + 2 x 4 = 18 €

pour 3 entrées : 10 + 3 x 4 = 22 €

pour 10 entrées : 10 + 10 x 4 = 50 €

2) Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x le prix à payer (en comptant l’abonnement).

On a 10 + x x 4 soit encore 4x + 10

3) Ecrire l’équation qui permet de trouver le nombre d’entrées quand on dispose d’une somme de 70 €.

On a 4x + 10 = 70 Prix à payer en fonction de x

Pour une somme de 70€

II. Résolutions d’équations1)Les deux règles de résolution

Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes :

Règle n°1 : On ne change pas les solutions

d’une équation en ajoutant ou en

retranchant un même nombre aux deux

membres d’une équation.Exemple: On a 5 + 2 = 1 + 4

5 + 2 - 1 = 1 + 4 - 1

4 + 2 = 4 On enlève « une noire » à chaque membre de l’équation.

Règle n°2 : On ne change pas les solutions

d’une

équation en multipliant ou en divisant ses

deux

membres par un même nombre non nul.Exemple: On a = 400 grammes

÷ 2 = 400 grammes ÷ 2

On divise par 2 chaque membre de l’équation.

= 200 grammes

2) Quatre exemples

Résoudre les équations suivantes :

9412 x Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite.494412 x On élimine +4 à gauche en ajoutant

dans chaque membre -4 (Règle n°1 )

1312 x

12

13

12

12

x On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 )

12

13x La solution de cette équation est

12

13x

15134 xxLe but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite.

131513134 xx On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 )

1454 xx

xxxx 514554 On élimine -5x à droite en ajoutant dans chaque membre +5x (Règle n°1 )

149 x

9

14

9

9

x On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 )

9

14x La solution de cette équation est

9

14x

xxx 36524On va d’abord développer et réduire chaque membre de l’équation avant depasser à la résolution. xxx 618584

185134 xx On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°2.

1318513134 xx

554 xx

xxxx 55554

59 x

9

5

9

9

x

9

5x La solution de cette équation est

9

5x

2

1

7

1

14

x On va d’abord réduire chaque membre de l’équation au même dénominateur, ici 14.

14

7

14

2

14

x

2x

2x

x7

x7

14

7

14

2

x On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 )

72 x On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°1.

2722 x

9x La solution de cette équation est 9x

III. Ordre et inégalités1) Vocabulaire et notation

x < 4 signifie que  x est strictement inférieur à 4

x > 5 signifie que x est strictement supérieur à 5

a ≤ 3 signifie que  a est inférieur ou égal à 3

a ≥ b signifie que  a est supérieur ou égal à b

2) Signe d’une différenceSi a – b < 0 alors a

< bSi a – b > 0 alors a

> bRemarque : Les réciproques sont également vraies.

Exemple : Avec la calculatrice on trouve que

41139470

1234528412

≈ -0,000957…

Donc ‹ 04113

94701234528412

D’où 1234528412

41139470

‹

3) Ordre et opérations

a) Ordre et addition

Les nombres a + c et b + c sont dans le même ordre que a et b.

Si a < b alors a + c < b + c

Exemple : On sait que x ≤ 8 En déduire une inégalité vérifiée par chacune des expressions suivantes : x + 3 et x - 9

on a x + 3 ≤ 8 + 3d’où x + 3 ≤ 11

on a x - 9 ≤ 8 - 9d’où x - 9 ≤ -1

b) Ordre et multiplication

Si c > 0, alors les nombres a x c et b x c sont dans le même ordre que a et b.

Si a < b et c > 0 alors a x c < b x c

xx 51051 ,...., 1435150

5150

,....

Exemple : Compléter par < ou > 

(x étant strictement positif)

Comme 1,05 < 1,5 et x

> 0

alors 1,05 x x < 1,5 x x

Comme π > 3,14 et 5150 >

0

5150

1435150

,alors

>

Si c < 0, alors les nombres a x c et b x c sont dans le sens inverse de a et b.

Si a < b et c < 0 alors a x c > b x c

Exemple : Compléter par < ou >  14333 ,_....

Comme π > 3,14 et -3 < 0

alors < 3 1433 ,