CHAPITRE 2: MODELESLINEAIRES A EQUATIONS

SIMULTANEES

1

1. Exemple : un modèle d’offreet de demande

Marché de concurrence pure et parfaite

1.1. Forme structurelle du modèle• Fonctions de de m a nde e t d’of f r e du p r odu it da ns u ne r é g ion i :

q i

d= a p i + u i

q i

s= b p i + c z i + v i

(1)

• q i

d de m a nde du b ie n, q i

s of f r e du b ie n

• p i p r ix du p r odu it

• z i u ne v a r ia b le e x og è ne a f f e cta nt l’of f r e de p r odu it (p a r e x e m p le , u nev a r ia b le clim a tiq u e si ce p r odu it e st u n b ie n a g r icole )

2

• a,b,c s o n t de s p a r a m è t r e s c o n s t a n t s e n t r e r é g i o n s : COEFFICIENTSA ESTIMER

• O n s u p p o s e r a q u e le p r i x du p r o du i t e s t dé t e r m i n é p a r l’é q u i li b r e e n t r eo f f r e e t de m a n de e t o n n o t e r a :

q i

d= q i

s= q i

• O n t r a du i r a l’h y p o t h è s e d’e x o g é n é i t é de la v a r i a b le z i p a r

Eu i ∣ z i = Ev i ∣ z i = 0

• H y p o t h è s e s i m p li f i c a t r i c e : h o m o s c é da s t i c i t é de s p e r t u r b a t i o n s u e t v,e t c e s p e r t u r b a t i o n s s o n t i n dé p e n da n t e s e n t r e r é g i o n s

Eu i

v i

u i

v i

′

∣ z i = Σ =σu2

σuv

σuv σv2

• P a r dé f i n i t i o n , o n a p p e lle le s y s t è m e (1), la forme s t ru c t u rel l e (F S )du m o dè le . E lle c o r r e s p o n d a u x é q u a t i o n s du m o dè le é c o n o m i q u e .

3

• Variables en do g è n es (au se n s d u m o d è le é c o n o m i q u e ): le s q u an t i t é sq i e t le s p r i x p i

• Variable ex o g è n e : z i

1.2. Forme réduite du modèle• P ar d é f i n i t i o n , la f o rm e ré du it e (F R ) d u m o d è le e st l’é c r i t u r e d e

t o u t e s le s é q u at i o n s d e d é t e r m i n at i o n d e s v ar i ab le s e n d o g è n e s c o m m ef o n c t i o n d e s v ar i ab le s e x o g è n e s

• L e m o d è le é c o n o m i q u e e st b i e n d é t e r m i n é s’i l y a au t an t d’é q u at io n s

dan s la f o rm e ré du it e q u e de v ariables en do g è n es.

• D an s n o t r e e x e m p le :

p i =c

a − b⋅ z i +

v i − u i

a − b

q i =ac

a − b⋅ z i +

av i − bu i

a − b

4

• L’h y p o t h è se su r l a dé t e r m i n a t i o n du m o dè l e s’e x p r i m e p a r a − b ≠ 0.C e t t e de r n i è r e h y p o t h è se p e u t se j u st i f i e r i c i p a r l a c r o i ssa n c e de l af o n c t i o n d’o f f r e (b > 0) e t l a dé c r o i ssa n c e de l a c o u r b e de de m a n de(a < 0

• Reparamétrisation d u mod è l e:

p i = αz i + i

q i = βz i + η i

(2)

• O n v é r i f i e a i sé m e n t q u e :

Ezi

′ i = E z

i

′ v i − u i

a − b= 0

Ezi

′η i = E zi

′ av i − bu i

a − b0

5

• Notation: s oit

i

η i

= Mu i

v i

av e c

M =1

a − b

−1 1

−b a

al or s

Ω = E

i

2 iη i

η i i ηi

2∣ z i = MΣM ′

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• Les d eu x problèmes pri n c i pa u x d e l’est i m a t i o n d e m o d è les àé q u a t i o n si m u lt a n é es:

1. Estimation de la forme structurelle par la méthode des MCO:

Ep iu i = Eαz i + i η i − a i = c o v i,η i − aEi

2≠ 0

Il y a endogénéité de la variable p i, et la première équationn’est donc qu’un modèle apparemment linéaireLa remarque s’applique de façon similaire à la deuxièmeéquationLe premier problème est relatif à l’absence d’identificationdirecte de la forme structurelle (1)

2. L’estimation par MCO de la forme réduite ne pose pas deproblème puisque par hypothèse les régresseurs et lesperturbations sont non corréléesNéanmoins les coefficients obtenus α et β n’ont aucunesignification économique

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Ils sont reliés aux paramètres des fonctions d’offre et dedemande par les relations:

α =c

a − b

β =ac

a − b

• Problème g é né ra l da ns les modèles d’é q u a t i ons s i mu lt a né es :

p a s s a g e des c oef f i c i ent s q u i s ont i dent i f i a bles α, β) a u x c oef f i c i ent ss t ru c t u rels a, b, c

1.3. Conséquences• Q u els p a ra mèt res de la f orme s t ru c t u relle s ont i dent i f i é s ?

• L e p a ra mèt re a es t i dent i f i é c a r a = β/α

• L es p a ra mèt res b et c ne le s ont p a s p u i s q u e n’i mp ort e q u el c ou p leb, c s a t i s f a i s a nt c + bα = β es t c omp a t i ble a v ec les p a ra mèt resi dent i f i é s da ns la f orme ré du i t e

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Remarques:

1. Si on modifie le modèle en écrivant:

q i

d= a p i + d z i + u i

q i

s= b p i + c z i + v i

alors on montre qu’aucun paramètre n’est identifiable2. Si on modifie le modèle en introduisant une autre variable

explicative:

q i

d= a p i + d z 1i + u i

q i

s= b p i + c z 2i + v i

on montre que, sous certaines conditions, tous les paramètressont identifiables (à faire à titre d’exercice)

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2.Conditions d’ordre et de rang2.1. Le modèle

• On o m e t l’i nd i c e i d e l’o b s e r v a t i o n p o u r a llé g e r le s no t a t i o ns

• H y p o t h è s e s :

▪ G variables en d o g è n es y1, . . . , yG e t K variables ex o g è n es

x1, . . . , xK

▪ L e s y s t è m e e s t d é t e r m i né p a r G é q u at io n s st ru c t u relles

a11y1 +. . . +aG1yG + b11x1 +. . . +bK1xK = u1

⋮

a1Gy1 +. . . +aGGyG + b1Gx1 +. . . +bKGxK = uG

(3)

▪ L e s p e r t u r b a t i o ns s o nt h o m o sc é d ast iq u es:

∀g, g ′ ∈ 1, . , G, Eugug′ ∣ x1, . , xK = σgg′

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• Si l e s v a r ia b l e s xk s o n t exogènes:

∀g ∈ 1, . ,G,∀k ∈ 1, . ,K, Eug ∣ xk = 0

• P a r a m èt r es d u m od èl e:

▪ l e s c o e f f ic ie n t s agg′ r a n g é s d a n s u n e m a t r ic e

A =

a11 ⋯ a1G

⋮ ⋱ ⋮

aG1 ⋯ aGGG×G

▪ l e s c o e f f ic ie n t s bkg r a n g é s d a n s u n e m a t r ic e

B =

b11 ⋯ b1G

⋮ ⋱ ⋮

bK1 ⋯ bKGK×G

▪ l e s c o v a r ia n c e s σgg′ r a n g é e s d a n s u n e m a t r ic e Σ

11

• Forme ma t ri c i el l e d e l a f orme s t ru c t u rel l e p o u r c h a q u e o b s e r v a t i o n(le s i n d i c e s d e l’o b s e r v a t i o n s o n t o m i s ):

yA + xB = u

▪ y = y1, . ,yG, v e c t e u r d e d i m e n s i o n 1 × G

▪ x = x1, . ,xK, v e c t e u r d e d i m e n s i o n 1 × K

▪ u = u1, . ,uG, v e c t e u r d e d i m e n s i o n 1 × G

• H y p ot h è s es :

▪ A e s t i n v e r s i b le (d e p le i n r a n g G)

▪ x ′x e s t i n v e r s i b le (d e p le i n r a n g K)

▪ Eug ∣ xk = 0 ⇒ Ex ′u = 0

• R ema rq u e: N o t a t i o n s p o u r l’é c h a n t i llo n d a n s s o n e n t i e r :

▪ Y la m a t r i c e d e t a i lle n,G q u i r a s s e m b le le s n o b s e r v a t i o n s s u r y

▪ X la m a t r i c e d e d i m e n s i o n n,K d e s v a r i a b le s e x p li c a t i v e s

▪ U la m a t r i c e d e d i m e n s i o n n,G d e s p e r t u r b a t i o n s

YA + XB = U

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• Première res t ric t io n : l e m o d è l e é c o n o m i q u e é t a n t d é t e r m i n é , o n p e u t

a d o p t e r l e s c o n t ra in t es (n a t u rel l es ) d e n o rma l is a t io n :

∀g ∈ 1, . , G, agg = 1

• C e s c o n t r a i n t e s si g n i f i e n t q u e c h a q u e é q u a t i o n d e l a f o r m e st r u c t u r e l l ed é t e r m i n e d e m a n i è r e u n i q u e u n e v a r i a b l e e n d o g è n e e n f o n c t i o n d et o u t e s l e s a u t r e s e t d e s v a r i a b l e s e x o g è n e s

• E x e m p l e d e l a p r e m i è r e é q u a t i o n :

a11 = 1 ⇒ y1 = −a21y2. . . +aG1yG + b11x1 +. . . +bK1xK + u1

• S i A e st i n v e r si b l e , l a f o rme ré d u it e d u mo d èl e se d é d u i t d e l a f o r m est r u c t u r e l l e (p o u r c h a q u e o b se r v a t i o n ):

1,G

y = −xB A−1+ uA−1

=1,K

xK,G

Π +1,G

v (4)

• L e s c o ef f ic ien t s d e l a f o rme ré d u it e s’o b t i e n n e n t à p a r t i r d e sc o e f f i c i e n t s d e l a f o r m e st r u c t u r e l l e c o m m e :

Π = −B A−1 (5)

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et les hypothèses stoc ha sti q u es s’é c r i v ent:

Ex ′v = 0 Ev ′v ∣ x = A ′−1ΣA−1

• L’i d en ti f i c a ti on d es pa r a m ètr es Π d e la f or m e r é d u i te ne p o se p asde p r o b lè m es dè s lo r s q u ’est v é r i f i é e la c o ndi ti o n

r g x ′x = K

• P ar c o ntr e, dans la f o r m e str u c tu r elle (3), i l y a g é né r i q u em entc o r r é lati o n entr e r é g r esseu r s endo g è nes yg et p er tu r b ati o ns ug

• Les esti m ateu r s M C O de c es é q u ati o ns so nt do nc b i a i sé s et n on

c on v er g en ts

• P r ob lèm e g é n é r a l d e l’i d en ti f i c a ti on : c o m m ent p eu t-o n, à p ar ti r desp ar am è tr es Π de la f o r m e r é du i te, i denti f i er les p ar am è tr es m atr i c i els A

et B de la f o r m e str u c tu r elle?

• U ne m ani è r e de r ai so nner ser ai t d’u ti li ser les f o r m u les de p assag e (5)entr e f o r m es stu c tu r elle et r é du i te. C o m m e c e n’est p as si m p le, o n

r ai so nne su r l’i denti f i c ati o n des p ar am è tr es é q u a ti on pa r é q u a ti on .

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2.2 Identification d’une équation• Sans p e r t e d e g é né r ali t é , o n é t u d i e l’identification de l a p r em iè r e

é q u ation

• O n su p p o se é g ale m e nt sans p e r t e d e g é né r ali t é q u e

r g x ′x = K

e t d o nc q u e le s p ar am è t r e s Π d e la f o r m e r é d u i t e so nt i d e nt i f i ab le s

• O n é c r i t le m o d è le so u s u ne f o r m e q u e l’o n ap p e lle for m e

s em i-s tr u ctu r el l e e n c o nsi d é r ant :

▪ la p r e m i è r e é q u at i o n d e la f o r m e st r u c t u r e lle

▪ e t le s G − 1 d e r ni è r e s é q u at i o ns d e la f o r m e r é d u i t e :

y1 − y−1a1 − xb 1 = u1

1,G−1

y−1 =

1,K

xK,G−1

Π−1 +

1,G−1

v−1

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• Notations:

▪ y1 est la 1ère v ariab le end og ène, d ont le c oef f ic ient a é ténorm alisé à l’u nité a11 = 1

▪ le v ec teu r y−1 d e d im ension 1, G − 1 c ontient les au tres v ariab les

end og ènes

▪ −a1 = a21, . . . , aG1 ′ et −b1 = b11, . . . , bK1 ′

d e sorte q u e:

A =1

−a1

∣ A−1 , B = −b1 ∣ B

−1

▪ Π−1 est c om p osé e d es G − 1 d ernières c olonnes d e Π:

K,G

Π =

K,1

π1 |K,G−1

Π−1

C om m e Π est id entif iab le, Π−1 est id entif iab le

16

• Puisque y−1 = xΠ

−1 + v−1, o n en dé duit :

y1 = y−1a1 + xb1 + u1

= xΠ−1a1 + xb1 + u1 + v

−1a1

= xΠ−1a1 + b1 + u1 + v

−1a1

C et t e é qua t io n est do n c la forme ré d u i t e d e l a p remi è re é q u a t i on , et

π1 = Π−1a1 + b1 (6)

est iden t if ia b le

• E st -il p o ssib le d’iden t if ier les p a r a m è t r es st r uc t ur els a1 et b1 à p a r t irde l’é qua t io n (6)?

17

2.3. Condition d’ordre• L’é q u a t i o n (6) e s t u n s y s t è m e li n é a i r e à K é q u a t i o n s (la di m e n s i o n du

v e c t e u r π1) e t G − 1 + K p a r a m è t r e s (la s o m m e de s di m e n s i o n s de a1

e t b1)

• Le s y s t è m e es t s o u s -dé t er m i n é (p lu s de p a r a m è t r e s q u e d’é q u a t i o n s )

• D o n c a1 e t b1 n e s o n t p a s g é n é r i q u e m e n t i de n t i f i a b le s

• C e r t a i n s d’e n t r e e u x p e u v e n t l’ê t r e da n s c e r t a i n s c a s p a r t i c u li e r s : p a re x e m p le , s i Π

−1 = 0, le p a r a m è t r e b1 e s t i de n t i f i a b le , m a i s a1 n e l’e s tp a s

• G é n é r a le m e n t , i l f a u t do n c i m p o s e r de s c o n di t i o n s d’i den t i f i c a t i o n

s u p p l é m en t a i r es s u r le s p a r a m è t r e s s t r u c t u r e ls (o u de s r es t r i c t i o n s

q u e l’o n a p p e lle i den t i f i a n t es )

• P a r e x e m p le , ex c l u s i o n de v a r i a b l es de la p r e m i è r e é q u a t i o n

18

• Supposons a i nsi q u’un c e r t a i n nom b r e d’é l é m e nt s de s v e c t e ur s a1 e tb1 soi e nt nul s:

▪ soi t G1 − 1 l e nom b r e d’é l é m e nt s non nul s de a1

▪ soi t K1 l e nom b r e d’é l é m e nt s non nul s du pa r a m è t r e b1

• D e c e f a i t , l a pr e m i è r e é q ua t i on c ont i e nt se ul e m e nt :

▪ G1 v a r i a b l e s e ndog è ne s (e n c om pt a nt y1)

▪ e t K1 v a r i a b l e s e x og è ne s

• O n pose e nsui t e :

G−1,1

a1 =

G−1,G1−1

Sa ×

G1−1,1

α1

e tK,1

b1 =

K,K1

Sb ×

K1,1

β1

(7)

où Sa e t Sb sont de s m a t r i c e s c onnue s (c om posé e s de 0 e t de 1)

e t α1 e t β1 sont l e s sous-v e c t e ur s non nul s de a1 e t b1

19

• Exemple:

a21

a31

a41

=

Sa

0 0

1 0

0 1

×a31

a41

=

0

a31

a41

• L e s y s t è me (6) s e r é é c r i t c o mme:

Π−1a1 + b1 = Π

−1Sa α1 + Sbβ1 = π1 (8)

• L a q u es t i o n d’i den t i f i c a t i o n po r t e ma i n t en a n t s u r les pa r a mè t r es α1 etβ1

• L e s y s t è me li n é a i r e c o mpo r t e a lo r s plu s d’é q u a t i o n s q u e de pa r a mè t r esi n c o n n u s s i :

G1 − 1 + K1 ≤ K

20

ou e nc or e s i :

nb de variables

endogènes

G1 − 1 ≤

nb de variables

exogènes exlues

K − K1

• Définition: U ne c ondi t i on néc e s s a ir e p our l’i de nt i f i c a t i on de sp a r a m è t r e s d’une é q ua t i on s t r uc t ur e lle e s t q u’i l e x i s t e a u m oi ns a ut a ntde v a r i a b le s e x og è ne s e x c lue s de l’é q ua t i on q ue de v a r i a b le s

e ndog è ne s a p p a r a i s s a nt da ns l’é q ua t i on (c ondition d’or dr e )

• C ons é q ue nc e s :

▪ s i la c ondi t i on d’or dr e n’e s t p a s v é r i f i é e , le s p a r a m è t r e s del’é q ua t i on ne p e uv e nt ê t r e i de nt i f i é s

▪ s i la c ondi t i on d’or dr e e s t v é r i f i é e , i l s e p e ut q u’i l le s oi t

21

2.4. Condition de rang• La c o ndi t i o n d’o r dr e n’e s t p as s u f f i s ant e p u i s q u e l e s y s t è m e (8) p e u t

c o m p o r t e r p l u s d’é q u at i o ns q u e d’i nc o nnu e s , au q u e l c as l a s o l u t i o np e u t ne p as e x i s t e r , o u l e s y s t è m e (8) p e u t ne p as ê t r e r é g u l i e r

• D ans c e c as , l a c o ndi t i o n d’i de nt i f i c at i o n dé p e nd de s v al e u r s de sp ar am è t r e s de l a f o r m e r é du i t e π1 e t Π

−1

• R é -é c r i v o ns (8) s o u s l a f o r m e

K,G−1

Π−1

G−1,G1−1

Sa ∣K,K1

Sb ×

G1−1+K1,1

α1

β1

=K,G1−1+K1

M ×α1

β1

=

K,1

π1

(9)

22

• L’u n i c i t é de la s o lu t i o n de c e s y s t è m e e s t do n n é e p a r le s c o n di t i o n s

rgM = G1 + K1 − 1

e t

MM ′M−1M ′π1 = π1

C e t t e c o n di t i o n e s t a p p e lé e condition de r a ng

• C o m m e c e t t e c o n di t i o n dé p e n d de p a r a m è t r e s i n c o n n u s , o n n e p e u t e ng é n é r a l s a v o i r a p ri o ri s i e lle e s t v é r i f i é e

• A p o s t e ri o ri , s e u le s s o n t c o n n u e s de s e s t i m a t i o n s de π1 e t Π−1

• La c o n di t i o n de r a n g p o u r r a do n c ê t r e l’o b j e t de te s ts m a i s n e p o u r r ap a s ê t r e v é r i f i é e da n s u n c a dr e dé t e r m i n i s t e

• O n n e p e u t v é r i f i e r a p ri o ri q u e la c o n di t i o n d’o r dr e

• O n r e v i e n dr a s u r le s i m p li c a t i o n s de la n o n v é r i f i c a t i o n de la c o n di t i o nde r a n g a p r è s l’e s t i m a t i o n

23

• En p a r t i c u li e r , o n v e r r a q u e la m a u v a i s e q u a li t é de s r é s u lt a t sd’e s t i m a t i o n de l’é q u a t i o n – le s e s t i m a t e u r s a y a nt u ne g r a nde v a r i a nc e– e s t u n di a g no s t i c q u i i ndi q u e q u e la c o ndi t i o n de r a ng n’e s t p a sv é r i f i é e

• T e r m i no lo g i e :

▪ L’é q u a t i o n e s t juste i d en ti f i é e s i G1 − 1 = K − K1

▪ Elle e s t so us-i d en ti f i é e s i G1 − 1 > K − K1

▪ Elle e s t sur -i d en ti f i é e s i G1 − 1 < K − K1

• Le de g r é de s u r - (s o u s -) i de nt i f i c a t i o n e s t do nné p a r

∣ K − K1 − G1 + 1 ∣

• O n g é né r a li s e c e s r é s u lt a t s d’i de nt i f i c a t i o n à l’e ns e m b le du s y s t è m e :

o n di r a q u e l e sy stè m e est i d en ti f i é s i c h a q u e é q u a t i o n du s y s t è m e e s ti de nt i f i é e

24

3. Estimation• Deux t y p es de m é t h o des d’es t i m a t i o n :

▪ m é t h o des di t es à i n f o r m a t i o n l i m i t é e, n e c o n c er n a n t q u ’u n eé q u a t i o n

▪ m é t h o des di t es à i n f o r m a t i o n c o m p l è t e, p o r t a n t s u r l’es t i m a t i o ndu s y s t è m e da n s s o n en t i er

• P o u r a p p li q u er c es m é t h o des , i l f a u t b i en é v i dem m en t q u e lesp a r a m è t r es s o i en t i den t i f i é s

• L es m é t h o des à i n f o r m a t i o n c o m p lè t e s o n t en g é n é r a l p l us p r é c i s es

q u e les m é t h o des à i n f o r m a t i o n li m i t é e s a u f da n s des c a s p a r t i c u li er sq u e n o u s dé t a i ller o n s

• E lles s o n t m o i n s r o b us t es à des er r eu r s de s p é c i f i c a t i o n q u ia f f ec t er a i en t des s o u s -p a r t i es du s y s t è m e

25

3.1 Méthodes à information limitéea) Les doubles moindres carrés (DMC, 2SLS)

• On c o ns i d è r e s a ns p e r t e d e g é né r a li t é l’e s t i m a t i o n d e la p r e m i è r eé q u a t i o n:

y1 = y−1a1 + xb 1 + u1

• On i m p o s e le s r e s t r i c t i o ns i d e nt i f i a nt e s (7):

y1 = y−1Saα1 + xSbβ1 + u1

• N o t a t i o n:

▪ y−1 = y

−1Sa v e c t e u r d e s v a r i a b le s e nd o g è ne s no n e x c lu e s d e lap r e m i è r e é q u a t i o n

▪ x1 = xSb v e c t e u r d e s v a r i a b le s e x o g è ne s no n e x c lu e s d e lap r e m i è r e é q u a t i o n

26

• D’o ù

y1 = y−1α1 + x1β1 + u1 = z1δ1 + u1 (10)

o ù Z1 = y−1 x1 e t δ1 =

α1

β1

• O n s u p p o s e r a q u e δ1 e s t i d e n t i f i a b l e

• Principe d e l a m é t h o d e d es D M C :

▪ P r e m i è r e é t a p e : o n r é g r e s s e p a r M C O y−1 s u r l e s v a r i a b l e s x e t o n

c o n s t r u i t s a p r é d i c t i o n m a t r i c i e l l e :

Ŷ−1 = XX ′X

−1X ′Y−1 = PXY

−1

▪ De u x i è m e é t a p e : o n r é g r e s s e l a v a r i a b l e e n d o g è n e Y1 s u r l e s

v a r i a b l e sY−1 e t X1 p a r M C O

▪ O n n o t e α1,D M C e t β1,D M C l e s e s t i m a t e u r s o b t e n u s

27

• Autre p ré s en ta ti o n (p lu s c o n c i s e ):

S i o n u t i li s e la d e u x i è m e f o r m e d e l’é q u a t i o n (10):

y1 = z1δ1 + u1

e t s i o n r e m a r q u e q u e :

PXZ1 = PX Y−1⋮X1

= PXY−1⋮PXX1

=

Ŷ−1

PXY−1 ⋮X1

la d e u x i è m e é t a p e d e la m é t h o d e d e s D M C e s t a u s s i la r é g r e s s i o n d eY1 s u r Z1 = PXZ1

L a f o rm e c o n c i s e d e l’es ti m a teur e s t a lo r s :

δ1 = Z1

′ PXZ1−1Z1

′ PXY1 (11)

28

• Proposition: L e s e s t i m at e u r s D M C s o n t c onv e rg e nts

as y m p t o t i q u e m e n t

• Pre u v e : C o m m e PX = XX ′X−1

X ′, o n a s o u s l e s c o n d i t i o n s d e l a l o i

d e s g r an d s n o m b r e s :

n→∞

p l i mZ1

′ PXZ1

n =

n→∞

p l i mZ1

′ Xn

X ′Xn

−1 X ′Z1

n

=

n→∞

p l i mZ1

′ Xn

n→∞

p l i m X ′Xn

−1

n→∞

p l i mX ′Z1

n

= Ez1′ x × Ex ′x

−1× Ex ′z1 ≡ Ω0

e n u t i l i s an t l e t h é o r è m e d e S l u t s k y e n t r e l a p r e m i è r e e t d e u x i è m e l i g n e

29

Rappel d u T h é o r è m e d e S lu t s k y :

S o i t xn; n = 1, 2, . . . u n e s u i t e d e v ec t eu r s alé at o i r es d e d i m en s i o n

K × 1 t els q u e

pli m xn = c

A lo r s s i g es t u n e f o n c t i o n d e RK d an s RJ c o n t i n u e au po i n t c:

pli m gxn = gpli m xn = gc

□

D e la m ê m e f aç o n :

n→∞

p l i mZ1

′ PXY1

n = Ez1′ xEx ′x

−1Ex ′y1

= Ez1′ xEx ′x

−1Ex ′z1δ1 +

=0

Ex ′u1

= Ez1′ xEx ′x

−1Ex ′z1δ1

30

Puis o n ut il ise l e t h é o r è m e de S l ut sk y a p p l iq ué à (11) p o ur o b t e n ir :

n→∞

plim δ1 = Ω0−1Ω0δ1 = δ1

■

• Variance as y m p t o t iq u e d es es t im at eu rs D M C :

n δ1 − δ1d

n+∞

ˆ N0,σ12 Ez1

′ xEx ′x−1

Ex ′z1−1

• P reu v e :

R e m a r q uo n s d’a b o r d q ue :

δ1 − δ1 = Z1′ XX ′X

−1X ′Z1

−1

Z1′ XX ′X

−1X ′U1

U t il iso n s e n suit e l e t h é o r è m e c e n t r a l l im it e a p p l iq ué à l a v a r ia b l e x ′u1

t e l l e q ue Ex ′u1 = 0 e t Vx ′u1 = Ex ′u12x:

nX ′U1

nd

n+∞

ˆ N0,Ex ′u12x

31

Remarquons ensui t e que

Ex ′u1

2x = Ex ′Eu1

2 ∣ xx = σ1

2Ex ′x

et que:

n δ1 − δ1 =

=Ωn

Z1

′ Xn

X ′Xn

−1 X ′Z1

n

−1Z1

′ Xn

X ′Xn

−1

× nX ′U1

n

P ui sque:

n→∞

p l i m Ωn = Ez1′ xEx ′x

−1Ex ′z1

−1

Ez1′ xEx ′x

−1≡ Ω

on a :

n Ωn

X ′U1

nd

n+∞

ˆ N0,ΩEx ′u1

2xΩ ′

32

Comme :

ΩEx ′u1

2xΩ = σ1

2Ez1

′xEx ′x

−1Ex ′z1

−1

a l or s ,

n δ1 − δ1d

n+∞

ˆ N0,σ1

2Ez1

′xEx ′x

−1Ex ′z1

−1

■

• E s t i ma t eu r d e c et t e ma t r i c e d e v a r i a n c e-c ov a r i a n c e:

V a s δ1 = σ1

2

Z1

′PXZ1−1

a v ec

σ1

2

=Y1 − Z1δ1

′

Y1 − Z1δ1

n

(moy en n e d es c a r r é s d es r é s i d u s )

33

• Retour sur l’i den ti f i c a ti on du p a ra m è tre δ1:

δ1 est i den ti f i a b le si les ré g resseurs n e son t p a s c oli n é a i res

C ette c on di ti on s’ex p ri m e c om m e la c on di ti on de ra n g sui v a n te :

rgK1+G1−1,n

Z1′

×

n,n

PX ×

n,K1+G1−1

Z1 = K1 + G1 − 1 (12)

L a condition de r a ng s’ex p ri m e m a i n ten a n t n on p lus en term es dep a ra m è tres i n c on n us m a i s en term es des c on trep a rti es em p i ri q ues dec es p a ra m è tres i n c on n us

P our la v é ri f i er, i l suf f i t don c de tester la c on di ti on (12)

• L a (q ua si )m ulti c oli n é a ri té se si g n a le p a r l’im p r é cis ion de s

e s tim a te u r s (v a ri a n c es et é c a rt-ty p es trè s i m p orta n ts)

• C ec i tra dui t des p rob lè m es d’i den ti f i c a ti on sous-j a c en ts

34

b) Identité entre doubles moindres carrés, moindrescarrés indirects et estimateurs à variablesinstrumentales lorque l’ équation est juste identifiée

• La m é t h o de de s D M C p o s s è de c e r t ai n e s p r o p r i é t é s s at i s f ai s an t e s

• I l p o u r r ai t n é an m o i n s e x i s t e r d’au t r e s m é t h o de s do t é e s de p r o p r i é t é sp lu s s at i s f ai s an t e s

• O n e x p o s e c e s m é t h o de s e t o n m o n t r e q u e , p ar m i le s m é t h o de s dem o m e n t s , l’e s t i m at e u r de s D M C s e di s t i n g u e p ar de s p r o p r i é t é sd’o p t i m ali t é

• L’e s t i m a t e u r d e s m o i n d r e s c a r r é s i n d i r e c t s (M C I ):

C as o ù l’é q u at i o n e s t j u s t e i d e n t i f i é e G1 − 1 = K − K1

R e lat i o n e n t r e le s p ar am è t r e s de la f o r m e r é du i t e e t le s p ar am è t r e s dela f o r m e s t r u c t u r e lle du s y s t è m e c o m p le t :

Π = −B A −1

35

donc

ΠA + B = 0

e t donc p ou r la p r e m i è r e é q u at i on:

Π1

−a1

− b1 = 0

(e n u t i li s ant le s not at i ons de la s e ct i on 2)

• P r i nci p e de la m é t h ode de s M C I :

r é s ou dr e l’é q u at i on p r é cé de nt e e n a1 e t e n b1 à l’ai de de l’e s t i m at e u rΠ de s p ar am è t r e s de la f or m e r é du i t e

• D ans le cas de j u s t e i de nt i f i cat i on, on s ai t q u e ce t t e é q u at i on a u ne e tu ne s e u le s olu t i on q u e l’on ap p e lle e s t i m at e u r de s M C I :

Π1

−â1

− b1 = 0 (13)

36

• Proposition: Q u a nd l’é q u a tion e st j u ste id e ntif ié e , l’e stim a te u r d e sm oind re s c a rré s ind ire c ts e st u n e stim a te u r à v a ria b le s instru m e nta le se t c oï nc id e a v e c l’e stim a te u r d e s d ou b le s m oind re s c a rré s.

• Preuve: O n su ppose q u e K = G1 + K1 − 1

O n pa rt d e l’é q u a tion d e d é f inition d e s M C I e n re m pla ç a nt Π pa r

Π = X ′X−1

X ′Y

(13) e st é q u iv a le nt à:

K,K

X ′X−1

K,G

X ′Y

G,1

1

−â1

−

K,1

b1 = 0 ⇔ X ′ Y1

−â1

− Xb1 = 0

pu isq u e l’é q u a tion e st j u ste id e ntif ié e

37

• Avec les n o t a t i o n s p r é cé d en t es , cet t e ex p r es s i o n d evi en t :

X ′ Y1 − Y−1â1 − Xb1 = X ′ Y1 − Z1

δ 1 = 0 (14)

et d o n c l’es t i m a t eu r M C Iδ 1 es t u n es t i m a t eu r à va r . i n s t r u m en t a les

• E n ef f et , co m m e l’é q u a t i o n es t j u s t e i d en t i f i é e,

d i m X ′Z1 = K,G1 + K1 − 1 = K,K et r g X ′Z1 = K

D o n cδ 1 = X ′Z1

−1X ′Y1

• S o u s les m ê m es co n d i t i o n s , (14) é q u i va u t a u s s i à:

Z1

′ XX ′X−1X ′ Y1 − Z1

δ 1 = 0

⇔ Z1

′ PX Y1 − Z1

δ 1 = 0

⇔δ 1 = Z1

′ PXZ1−1Z1

′ PXY1

q u i es t l’es t i m a t eu r D M C ■

38

c) L’estimateur des doubles moindres carrés estoptimal dans la classe des estimateurs à variablesinstrumentales

• Dans le c as o ù l’é q u at i o n e st j u st e i de nt i f i é e , l’e st i m at e u r de s do u b le sm o i ndr e s c ar r é s e st au ssi l’e st i m at e u r à v ar i ab le s i nst r u m e nt ale s:

δVI = X ′Z1

−1X ′Y1

• C e t e st i m at e u r e st dé f i ni de m ani è r e u ni q u e e t la c lasse de s e st i m at e u r sà v ar i ab le s i nst r u m e nt ale s e st r é du i t à u n p o i nt

• Dans le c as o ù l’é q u at i o n e st suridentifiée, c e la n’e st p lu s le c as

• E n e f f e t , i l y a p lu s de v ar i ab le s i nst r u m e nt ale s K q u e de v ar i ab le s ài nst r u m e nt e r G1 + K1 − 1

• O n p e u t alo r s dé f i ni r la c lasse de s e st i m at e u r s à v ar i ab le si nst r u m e nt ale s c o m m e le s e st i m at e u r s o b t e nu s p o u r u n no m b r e

G1 + K1 − 1 d’i nst r u m e nt s q u i so nt c o m b i nai so ns li né ai r e s de si nst r u m e nt s o r i g i nau x

39

• On dé f i ni t c e s i ns t r u m e nt s c o m m e :

x∗= xS

o ù S e s t u ne m a t r i c e de di m e ns i o n K, K1 + G1 − 1

• D a ns c e c a s , o n dé f i ni t l’e s t i m a t e u r p a r v a r i a b le s i ns t r u m e nt a le sa s s o c i é à S c o m m e :

δVIS = X∗′Z1

−1X∗′Y1

s o u s la c o ndi t i o n d’e x i s t e nc e r g X∗′Z1 = K

• On c h e r c h e a lo r s à p r o u v e r q u ’i l e x i s t e u n o u de s e s t i m a t e u r s do nt lav a r i a nc e e s t m i ni m a le da ns c e t t e c la s s e .

40

• Proposition: L e s e s t i m a t e u r s p a r v a r i a b l e s i n s t r u m e n t a l e s o p t i m a u xs o n t do n n é s p a r t o u t e s u i t e de m a t r i c e s Sn q u i c o n v e r g e e n p r o b a b i l i t év e r s l a m a t r i c e :

S∗= Ex ′x

−1Ex ′z1

E n p a r t i c u l i e r , c o m m e s o u s l e s c o n di t i o n s h a b i t u e l l e s

Sn∗

=X ′X

n

−1X ′Z1

nn→∞

p→ S∗

e t do n cδ V I Sn

∗ = Z1

′PXZ1

−1Z1

′PXY1 =

δ D M C

l e s do u b l e s m o i n dr e s c a r r é s o r di n a i r e s s o n t a s y m p t o t i q u e m e n to p t i m a u x da n s c e t t e c l a s s e d’e s t i m a t e u r s .

41

• Preuve : O n dé du i t l a l o i a s y m p t o t i q u e de t o u t e s t i m a t e u r de l a c l a s s ed’e s t i m a t e u r s à v a r i a b l e s i n s t r u m e n t a l e s :

δ VISn = Sn

′ X ′Z1 −1

Sn′ X ′Y1

= Sn′ X ′Z1

−1Sn

′ X ′Z1δ + U1

= δ + Sn′ X ′Z1

−1Sn

′ X ′U1

O n s u p p o s e r a q u e :

n→∞

p l i m Sn = S

n→∞

p l i mX ′Z1

n = Ex ′z1

n→∞

p l i mX ′U1U1

′ X1

n = Ex ′u1

2x = σ1

2Ex ′x

A l o r s e n u t i l i s a n t l e s a r g u m e n t s h a b i t u e l s :

42

n→∞

plimδ V I Sn = δ

et

nδ V I S − δ

d

n→∞

ˆ N0,σ1

2ΩS

o ù :

ΩS = ES ′x ′z1 −1

S ′Ex ′xSEz1′ xS

−1

P o u r tr o u v er l’es tim a teu r d e v a r ia n c e m in im a le, o n c h er c h e àm in im is er la m a tr ic e ΩS, i.e. à tr o u v er u n e m a tr ic e d é f in ie p o s itiv eS∗ telle q u e:

∀S,ΩS ≫ ΩS∗ ⇔ ΩS − ΩS∗ es t s em i-d é f in ie p o s itiv e

P u is q u e ΩS es t u n e m a tr ic e d e v a r ia n c e-c o v a r ia n c e, elle es t d é f in iep o s itiv e, et c ette p r o p r ié té d o n c es t é q u iv a len te à:

∀S,MS = ΩS∗ −1− ΩS−1 es t s em i-d é f in ie p o s itiv e

43

En u t i li s a nt l’e x p r e s s i o n:

ΩS∗ = Ez1′xEx ′x

−1Ex ′z1

−1

o n o b t i e nt :

MS = Ez1x′ Ex ′x−1Ex ′z1

− Ez1′xSS ′Ex ′xS−1S ′Ex ′z1

En p o s a nt :

C = Ex ′x−1/2Ex ′z1 e t D = Ex ′x

+1/2S

o n o b t i e nt :

MS = C ′C − C ′DD ′D−1D ′C

= C ′I − PDC

C o m m e I − PD e s t u n p r o j e c t e u r , la m a t r i c e MS e s t a lo r sné c e s s a i r e m e nt s e m i -d é f i ni e p o s i t i v e ■

44

3.2 Méthodes à information complète• Pour ut i li s e r d e s m é t h od e s à i n f orm a t i on c om p lè t e , i l f a ut s up p os e r

q ue le m od è le e s t g lob a le m e n t i d e n t i f i a b le

• O n s up p os e ra d on c q ue toutes l es é q ua ti on s son t i d en ti f i é es ou

sur i d en ti f i é es

a) La méthode des triples moindres carrés• Pri n c i p e d e la m é t h od e : s ui v re la m é t h od e ut i li s é e p our le s ré g re s s i on s

s i m ult a n é e s (S U R E )

• N é a n m oi n s , la p re m i è re é t a p e d i f f è re p ui s q ue d a n s le s s y s t è m e s d eré g re s s i on s s i m ult a n é e s , le p rob lè m e d e l’e n d og é n é i t é d e s ré g re s s e ursn e s e p os e p a s

45

1. On utilise alors d’abord les doubles moindres carréséquation par équation

2. On estime ensuite les éléments de la matrice devariance-covariance entre équations pour en déduirel’estimateur pour le système en son entier

• On é c r i t :

y1

⋮

yG

=

Z1 0

Z2

⋱

0 ZG

δ1

⋮

δG

+

u1

⋮

uG

o u

Y = Zδ + U

46

• Deux p r o b l è m es :

1. Le premier problème est celui de l’endogénéité desrégresseurs Zg

On les remplace donc par leurs prédicteurs PXZg commedans la première étape des DMCLe prédicteur de Z a des blocs diagonaux qui sont:

Zg = PXZg

2. Le deuxième problème est relatif à la structure decorrélation entre les équationsOn pose:

Eu u′ ∣ x = Σ

Dans ce cas, on sait que la méthode qui permet d’obtenir laprécision maximale est celle de l’estimateur SURE dans unsystème de régressions simultanées

47

• Pour c e la , c on s t rui re un e s t i m a t e ur c on v e rg e n t d e la m a t ri c e Σ

• S oi t δg,D MC le s e s t i m a t e urs d e s δg g = 1, . . . G ob t e n us p a r le sd oub le s m oi n d re s c a rré s é q ua t i on p a r é q ua t i on

(e s t i m a t e urs c on v e rg e n t s )

• S oi t ûg le v e c t e ur d e s ré s i d us d e l’é q ua t i on g ob t e n us p a r le s D M C

• S oi e n t le s e s t i m a t e urs :

σgg′ =1n ûg

′ ûg′

• Pa r le s ra i s on n e m e n t s h a b i t ue ls , σgg′ s on t d e s e s t i m a t e urs c on v e rg e n t s

d e σgg′

• O n n ot e Σ la m a t ri c e d e c e s é lé m e n t s

• O n d é f i n i t a lors l’e s t i m a t e ur d e s t ri p le s m oi n d re s c a rré s c om m e :δ 3MC = Z ′ Σ−1 ⊗ In Z

−1Z ′ Σ−1 ⊗ In Y

48

• Deux p r o p r i é t é s d es T M C :

1. Si Σ est une matrice diagonale, les TMC sont équivalentsasymptotiquement aux DMCDans ce cas, l’estimation du système n’apporte rien de plus àl’estimation équation par équation

2. Si toutes les équations sont juste identifiées, les TMC sontégaux aux DMCApplication du principe de Zellner ? Ici, les régresseurs dans lesdifférentes équations PXZg ne sont pas identiques.Néanmoins, comme les équations sont juste identifiées, lesvariables PXZg forment une base de l’espace engendré par lesvariables X ( d i m PXZg = d i m X.

Il existe alors des matrices Tg de changement de base – etdonc inversibles – telles que:

Zg = PXZg = TgPXZ1 , d’où le résultat (cf. preuve Chap. 1)

49

b) Maximum de vraisemblance à information complète• Supposons q ue u = u1, . . . ,uG ∣ x ˆ N0,Σ

• Le sy st è m e d’é q ua t i ons s’é c r i t : yA + xB = u ⇔ y = −xBA−1+ uA−1

a v e c fUu =1

2πG/2 de t Σ× e x p − 1

2u ′

Σ−1u

e t y ∣ x ∼ N−xBA−1,A−1′ΣA−1

• La v r a i se m b la nc e d’une ob se r v a t i on s’ob t i e nt c om m e

ln ly ∣ x;A,B,Σ = − G2

ln2π + ln de t A − 12ln de t Σ

− 12

yA + xB ′Σ−1yA + xB

• L’E M V e st é q ui v a le nt a sy m pt ot i q ue m e nt à l’e st i m a t e ur de s T M C

• M a i s pr opr i é t é s à di st a nc e f i ni e g é né r a le m e nt di f f é r e nt e s

50