Résoudre une équation du 1 degré à une inconnue

Résoudre une équation du 1er

degré à une inconnue

Les équations du premier degré à une inconnue sont des équations dans

lesquelles on ne retrouve qu’

Exemples + 5 = 8 x 2 = 8 x = 8

a 2

+ 5 = 29 2x 4b = 51,2

2s + 5 = 3s - 29 =

x 2

4x + 5

12

Dans chacune de ces équations, il n’y a qu’une inconnue.

Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui

transformera l’équation en égalité.

une seule inconnue.

Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui

transformera l’équation en égalité.

Exemples

+ 5 = 8 x ici, x = 3 3 + 5 = 8 Égalité.

4b = 51,2 ici, b = 12,8 4 X 12,8 = 51,2 Égalité.

Certaines équations sont faciles à résoudre, d’autres sont plus difficiles,

mais elles répondent toutes aux mêmes règles algébriques.

=

x 2

4x + 5

12

8 = 8

51,2 = 51,2

ici, x = 2,5 =

2,5

2

4 X 2,5 + 5

12

Égalité.

1,25 = 1,25

Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut d’abord bien saisir les

termes de l’équation.

Exemples

Dans l’équation : x + 3 = 8

on retrouve 3 termes.

Chaque terme est séparé des autres par les signes d’addition ou de soustraction

et le signe d’égalité.

Dans l’équation : 15 - 7 = x + 6


Exemples

Dans l’équation : 2x = 8


Dans l’équation :


15 = 2

x

Remarque : 2x signifie 2 X x;

Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les

deux ne forment alors qu’un seul terme.

Remarque :

2

x

=

2

1

1

x

X



16 = 2 x 3x + 8

3 5

Exemple

Dans l’équation :


Remarque :



2 X 3x

3 7

=

6x 21

16 = 6x + 8

21

Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut aussi bien saisir ce qu’est une

équation.

Une balance est une image qui représente bien une égalité ou une équation.

=

On peut déposer les quantités que l’on veut de chaque côté, mais les

opérations doivent être équivalentes afin de garder l’équilibre de la balance.

Exemples

3 + 5 4 X 2 10 ÷ 2 2 + 3 2 X 6 12 x + 3 8 4x 28

Avec une égalité ou une équation, il faut donc toujours penser à garder

l’équilibre, c’est-à-dire, garder les mêmes quantités de chaque côté.

= 3 + 5 4 X 2 + 7 + 7 = 15 15

On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de

chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.

= 2 X 6 12 ÷ 2 ÷ 2 = 6 6



= x + 3 8 - 3 - 3



= x 5

= 4 x 28

4 4

= x 7

C’est le principe général pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue.



Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler

cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.

Attention Une inconnue est complètement isolée quand :

x

- le numérateur du coefficient est 1;

- le dénominateur du coefficient est 1;

- son exposant est 1;

- elle est positive.

1

1

1

+

On l’écrit alors simplement comme ceci : x



Dans l’équation suivante : + 3 = 8, x quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie : quel est le nombre qui, augmenté de 3, donne 8 ?

Pour connaître ce nombre,

il faut donc diminuer l’expression

+ 3 = 8 x - 3 - 3

Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation

(la balance), on doit également soustraire la

même quantité de l’autre côté du signe égal.

Il en résulte que : x + 0 = 8 - 3

5 + 3 = 8 Égalité.

Validation :

soit x = 5

x + 3 = 8

Inconnue

isolée.

de 3.



Dans l’équation suivante : - 4 = 9, x quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie : quel est le nombre qui, diminué de 4, donne 9 ?


il faut donc augmenter l’expression

- 4 = 9 x + 4 + 4


(la balance), on doit également additionner

la même quantité de l’autre côté du signe

égal.

Il en résulte que : x + 0 = 9 + 4

13 – 4 = 9 Égalité.

Validation :

soit x = 13

x – 4 = 9

Inconnue

isolée.

de 4.



Dans l’équation suivante : = 8, 2x quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie : quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8 ?


il faut donc diviser le terme

par 2. = 8 2x


(la balance), on doit également diviser la


Il en résulte que :

2 X 4 = 8 Égalité.

Validation :

soit x = 4

2x = 8

Inconnue

isolée.

2 2

2x = 8

2 2



Dans l’équation suivante : quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie : quel est le nombre qui, divisé par 5, donne 30 ?


il faut donc multiplier le terme

par 5.


(la balance), on doit également multiplier la


Il en résulte que :

Égalité.

Validation :

soit x = 150

Inconnue

isolée.

x = 30,

5

x = 30

5

5 X X 5

x = 30

5

5 X X 5

x = 30

5

150 = 30

5

1) On peut soit annuler un terme qui accompagne le terme contenant

l’inconnue.

2) On peut soit simplifier le terme contenant l’inconnue.

Pour isoler une inconnue dans une équation, deux situations peuvent se

produire.

En résumé

On le fait alors en utilisant les opérations : addition ou soustraction.

On le fait alors en utilisant les opérations : multiplication ou division.

+ 3 = 8 x - 3 - 3

x = 5

- 4 = 9 x + 4 + 4

x = 13

= 8 2x 2 2

x = 4

x = 30

5

5 X X 5

x = 150

Trouve la valeur de l’inconnue dans les équations suivantes.

x + 9 = 17 - 9 - 9

x = 8

x - 9 = 17 + 9 + 9

x = 26

x + 35 = 58 - 35 - 35

x = 23

3x = 24

3 3

x = 8

-2x = 20

-2 -2

x = -10

1,5x = 4,5

x = 3

Ici, il faut diviser

par -2, car x doit

être positif.

1,5 1,5

x = 23

2

X 2 2 X

x = 46

-x = 20

4

X -4 -4 X

x = -80

Ici, il faut multiplier

par -4, car x doit être

positif.

x

2,3

= 5,1 2,3 X X 2,3

x = 11,73

Maintenant, vers l’infini et plus loin encore !

2x + 6 = 24

Priorités d’exécution :

2x + 6 = 24 - 6 - 6

2x + 0 = 18

2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.

2x = 18

2 2

x = 9

Validation : 2x + 6 = 24

2 X 9 + 6 = 24 Égalité.

1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue.

24 = 24



3x – 15 = 0


3x + 0 = 15

3x = 15

3 3

x = 5

Validation : 3x - 15 = 0

3 X 5 - 15 = 0 Égalité.

3x – 15 = 0 + 15 + 15

0 = 0



5a + 18 = 3


5a + 0 = -15

5a = -15

5 5

a = -3

Validation : 5a + 18 = 3

5 X -3 + 18 = 3 Égalité.

5a + 18 = 3 - 18 - 18

3 = 3



-9x - 21 = 6


-9x + 0 = 27

-9x = 27

-9 -9

x = -3

Validation :

-9 X -3 - 21 = 6

Égalité.

-9x - 21 = 6 + 21 + 21

Ici, il faut

diviser par -9,

car x doit être

positif.

-9x - 21 = 6

6 = 6



27 - 21 = 6

7x = 4x + 12

Règles :

3x = 0 + 12


3x = 12

3 3

x = 4

Validation :

7 X 4 = 4 X 4 + 12 Égalité.

1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver du même côté du signe =.

7x = 4x + 12 - 4x - 4x

7x = 4x + 12

28 = 28

Certaines situations créent des équations dans lesquelles l’inconnue se retrouve

de chaque côté du signe égal.

on annule le terme se trouvant de ce

côté.

Exemple :

Ici, on n’isole pas l’inconnue; Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation

(la balance), on doit également soustraire la


1) Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver du même côté du signe

égal

2x + 12 = 20

6x + 12 = 4x + 20

Règles :

2x + 0 = 8


2x = 8

2 2

x = 4

Validation :

6 X 4 + 12 = 4 X 4 + 20 Égalité.

- 12 - 12 6x + 12 = 4x + 20 - 4x - 4x

2x + 12 = 0 + 20

6x + 12 = 4x + 20

36 = 36

et de l’autre côté, les termes qui ne contiennent pas l’inconnue.

5x - 17 = x + 4


4x = 21

4 4

x = 5,25

Validation :

5 X 5,25 – 17 = 5,25 + 4 Égalité.

9,25 = 9,25

5x - 17 = x + 4

4x - 17 = 4

4x + 0 = 21

+ 17 + 17 5x - 17 = x + 4 - x - x

4x - 17 = 0 + 4

et de l’autre côté les termes qui ne contiennent pas l’inconnue.

Règles :

1) Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver du même côté du signe =

3x + 10 = 5x + 6 3x + 10 = 5x + 6

3x + 0 = 5x - 4

- 10 - 10

- 5x - 5x

-2x + 0 = 0 - 4

Remarque

On peut regrouper les termes semblables d’un côté ou l’autre du signe =.

Ou transférer le terme 6 à gauche

et le terme 3x à droite.

0 + 4 = 2x + 0

On peut transférer le terme 10 à droite

et le terme 5x à gauche.

Puis, isoler l’inconnue.

4 = 2x

2 2

2 = x

Les deux démarches sont bonnes, puisqu’une équation est comme une balance.

Terme négatif. Terme positif.

Puis, isoler l’inconnue.

-2x = - 4

-2 -2

x = 2

Exemple

3x + 4 = 5x + 0

- 6 - 6

- 3x - 3x

Équation avec fractions

Exemple : 2x + 6 = 14

5

Les équations avec fractions semblent les plus difficiles à résoudre.

Cependant, en utilisant un procédé d’équivalence, on peut résoudre ces

équations facilement.

Voici la démarche :

1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.

2x +

5

2x + 6 = 14

5

6

6

1

=

X 5

=

5

X 5 30

5

30

= 14

= 14

1

=

5 X 5

X 5 70

5

70

2) Enlever les dénominateurs. 2x + 30 = 70

Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change pas

l’équilibre de l’équation.

2x + 30 = 70 - 30 - 30

2x + 0 = 40

2x = 40

2 2

x = 20

2x + 6 = 14

5

2 X + 6 = 14

5

14 = 14

Preuve :

2x + 30 = 70

2 X + 30 = 70

40 + 30 = 70

70 = 70 40

5

+ 6 = 14

8 + 6 = 14

Les équations sont différentes, mais elles sont équivalentes, car la

valeur de l’inconnue est la même.

Validation :

20 20

L’équation 2x + 30 = 70 est équivalente à l’équation 2x + 6 = 14

5


2) Enlever les dénominateurs.

Exemple

4

3

s - 2

5

= s + 4

15

20s - 6 = 15s + 4 3) Isoler l’inconnue. - 15s - 15s

Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change

pas l’équilibre de l’équation.

20s – 6 = 15s + 4

5s - 6 = 0 + 4 + 6 + 6

5s + 0 = 0 + 10

5s = 10

5 5

s = 2

20

15

s - 6

15

= s + 4

15

15

15



Problèmes

10a

20

+ 5a

20

+ = 95

20

4a

20

3) Isoler l’inconnue.

Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change

pas l’équilibre de l’équation.

10a + 5a + 4a = 95

a

2

+ a

4

+ = 19

4

a

5

19a = 95

19 19

a = 5

3 (t – 5) = 2 (t + 2)

Ici, il faut commencer par développer l’équation.

3t – 15 = 2t + 4

Effectuer une simple distributivité. 3 X t – 3 X 5 = 2 X t + 2 X 2

- 2t - 2t + 15 + 15

t = 19

Isoler l’inconnue.

3 (6b - 5) 2 (7b + 2)

(7b + 2)

3

(6b - 5)

2

=

2 (7b + 2)

6

3 (6b - 5)

6

=

Car, (7b + 2)

3

=

6

X 2

X 2

Car, (6b - 5)

2

=

6

X 3

X 3

2(7b + 2) = 3(6b - 5)

14b + 4 = 18b - 15

14b + 4 = 18b - 15 - 14b - 14b + 15 + 15

19 = 4b

4,75 = b



3) Effectuer une simple distributivité.


4 4

3 (2x + 1) 2 (5x + 6)

(5x + 6)

3

(2x + 1)

2

=

(5x + 6)

3

=

6

X 2

X 2

(2x + 1)

2

=

6

X 3

X 3

2 (5x + 6) + 24 = 3 (2x + 1)

10x + 12 + 24 = 6x + 3

10x + 36 = 6x + 3 - 6x - 6x - 36 - 36

4x = -33

x = - 8,25



3) Effectuer une simple distributivité.


4 4

+ 4

4

1

X 6

X 6

=

6

24

2 (5x + 6)

6

3 (2x + 1)

6

= +

6

24

10x + 36 = 6x + 3

X 2

Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre

dans une formule.

Dans la formule pour calculer l’aire d’un triangle,

isole la base.



A = B X H

2

A = B X H

2

2 X A = B X H

2 2

2 X A = B X H

2A = BH

3) Isoler la base.

H H

2A

H

= B

A A

=

1

=

2 X 2

2A

Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre

dans une formule.

V D

t

= Dans la formule pour calculer la vitesse

moyenne, isole la distance.

Vitesse : Distance

temps

V D

t

=



V t = D

t t

V t = D

X t V

V =

1

=

t X t

Vt

En électricité, la résistance (R) est égale à la tension (U) divisée par l’intensité (I).

R = U

I

Dans cette formule, isole I.



3) Isoler l’intensité.

I

I R = U

I

I R = U

R R

I = U

R

X I R

R =

1

=

I X I

I R

R = U

I

C = 2 π r A = π r2

Dans les formules calculant la circonférence et l’aire d’un cercle, isole le rayon.

2 π 2 π

C

2 π

= r

π π

π

A = r

2

= r π

A

2A = B + b

h

A = (B + b) X h

2

Dans la formule pour trouver l’aire d’un trapèze, isole la grande base (B).



A = (B + b) X h

2

2

2

2A = (B + b) X h

3) Isoler la grande base (B). 2A = (B + b) X h

h h

( )

2A

h

= B + b - b - b

2A

h

- b = B

Les parenthèses ne sont

plus nécessaires.

Isole x dans cette formule. y = ax + b

y = ax + b - b - b

y – b = ax

a a

y – b = x

a

Remarque

Il y a autant de façons d’écrire une formule qu’il y a de lettres qui la composent.

Exemple : V D

t

=

D = V t

Si on cherche la vitesse.

Si on cherche la distance.

D t

V

= Si on cherche le temps.

3 variables, donc 3 façons différentes d’écrire la même formule.

Il suffit d’isoler l’inconnue que l’on cherche.

Résoudre une équation du 1 degré à une inconnue

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