Chap7 – Equations et inéquations

Chap7 – Equations et inéquations

I - ÉquationsEx1p229 Rappela)Pour chacune des équations, préciser si 4 est solution.

(1) 5x + 7 = -x – 11 (2) -3x +15 = x – 1

b) Même question avec (-3)

Chap7 – Equations et inéquations

I - Équations 1. Rappels : 1. Une équation est une égalité conditionnelle :elle s’écrit avec une ou des lettres (les inconnues) qui représente(nt) des nombres. 2. Être solution d’une équation,c’est être une valeur numérique qui rend l’égalité vraie si on remplacel’inconnue par cette valeur. 3. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles

pour que l’égalité soit vraie.

2. Equations du type : x + a = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution :x = b – a

x – a = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution :x = b + a

a x x = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution : x = b : a

x : a = b, où a et b sont connus, et x est l’inconnue. Solution :x = b x a

Exemples :

• x + 7 = -3   équivaut à  •   x – 5 = 6  équivaut à

 

• 5 x = -12    équivaut à •   x = 2  équivaut à 5

Exercice: Résoudre les équations suivantes

a) x + 5 = -7 b) x – 6 = -2 c) 4x = 22 d) x = -3 5

e) -2x = 15 f) 2 x = 10 3

3. Résolution d’équations : Développer si besoin les 2 membres de l’équation.Passer tous les « x » d’un côté et les nombres de l’autre côté de l’égalité.Réduire puis résoudre l’équation. Exemples : 8x – 2 = 2(2x + 1)

Ex 2p129:Résoudre les équations suivantes:a) (1) 4x + 5 = 2x + 11 (2) 7x – 8 = 4x – 4 (3) 2x – 3 = -5x

– 17

b) (1) 3(a – 5) = 4(3 – 2a) (2) 5 + (6 – 2a) = (5a – 11) – (6 + 3a)

c) (1) 2 x = 5 (2) 5x = 2 3 2 3 5

Ex 9p136:Résoudre les équations suivantes:a) 7x + 5 = 4x + 8 b) 3x – 5 = x +1

c) -11 +3x = -5x +5 d) 3x – 5 = 3x +1

4 . Mettre un problème en équation :Trois frères se partagent 1600 € : Loïc reçoit 200 € de plus que Brice et Brice reçoit 100 € de plus que Xavier. Combien reçoit Xavier ? Choix de l’inconnue :

Mise en équation :

Résolution de l’équation :

Conclusion :

Soit x la somme reçue par Xavier.

Brice reçoit: x + 100Loïc reçoit: (x+100) + 200 = x + 300

Les 3 frères reçoivent: x + x+100 + x+300 = 1 600

3x + 400 = 1 6003x = 1 600 – 4003x = 1 200 x = 1200 : 3 x = 400

Xavier reçoit 400 €.

Ex 3p129: Résoudre des problèmes avec des équationsa) Thomas et Sidonie choisissent le même nombre.

Thomas multiplie par 4 le nombre qu’il a choisi et ajoute 41.Sidonie ajoute 20 au nombre qu’elle a choisi.Ils constatent qu’il obtiennent le même résultat.Quel nombre Thomas et Sidonie ont-ils choisi?

Ex 3p129: suite

b) Alex a uniquement des DVD de films comiques, d’aventures ou policiers. Il a en tout 75 DVD. Il a 5 films comiques de plus que de films d’aventures. Il a deux fois plus de films policiers que de films comiques. Combien Alex a-t-il de films d’aventures?

Pour résoudre ce problème, suivre les étapes suivantes:1) Appeler x le nombre cherché2) Calculer en fonction de x le nombre de films comiques, le nombre

de films policiers et le nombre de films d’aventures.3) Ecrire une équation d’inconnue x traduisant le problème,

la résoudre et conclure

Ex 17p136:Flora et Tom choisissent un même nombre.Flora ajoute 5 au nombre qu’elle a choisi et multiplie par 2 le résultat.Tom ajoute 2 au nombre choisi et multiplie le résultat obtenu par 3.Ils constatent qu’il obtiennent le même résultat.Quel est le nombre choisi par Flora et Thomas ?

5. Equation produit : Quels que soient les nombres a et b, si a x b = 0 alors, a=0 ou b=0

Ainsi, les solutions de l’équation (2x–7)(3–5x) = 0sont les solutions de chacune des équations :2x –7 = 0 et 3 – 5x = 0. Rédigeons : (2x–7)(3–5x) = 0

Remarque :Parfois, il faut d‘abord factoriser l’expression sous la forme : a.b = 0 : (x–2)² + (x–2)(2x+3) = 0

Ex1p130:a) Résoudre l’équation: (3x–6)(2x+7)=0

b) Résoudre les équations suivantes:(1) (3x+12)(8–2x)=0 (2) (5+4x)²=0 (3) x(2x-4)=0

Ex 4p130:Soit D= (2x+3)² +(2x+3)(7x-2)

d) Résoudre l’équation (2x+3)(9x+1)=0a) Développer et réduire D;b) Factoriser D.c) Calculer D pour x= -4.

Ex 30p137: Résoudre les équations suivantes

a) a² - 9 = 0 b) 4a² – 1 = 0 c) 25 – 9a² = 0

Ex 35p137: Résoudre les équations suivantes

a) (3b – 9)² - 1 = 0 b) (2b+5)² – 9 = 0 c) 25 – (4b-1)² = 0

Ex 5p130:Une vidéothèque propose 2 tarifs de location de DVD.Tarif A : une carte d’abonnement annuel de 39€ et 2€ par DVD loué.Tarif B : une carte d’abonnement annuel de 15€ et 5€ par DVD loué.

a) Compléter le tableau suivant qui indique le tarif à payer en fonction du nombre de DVD et du tarif choisi.

b) Soit x le nombre de DVD loués en un an.Exprimer en fonction de x le coût annuel avec chacun des tarifs.

c) En utilisant les expressions trouvées ci-dessus, déterminer pour combien de DVD le tarif A est plus avantageux que le tarif B.

d) Les résultats du c) sont-ils cohérents avec ceux du tableau?

Tarif A Tarif B5DVD

10 DVD

x DVD

II - Inéquation :

a) Règles:Les règles pour résoudre une inéquation sont les mêmes que pour résoudre une équation à une différence près :

Si on multiplie ou divise par un nombre négatif,on change le signe de l’égalité

Exemples:

7 > 5 -7 < -5

-2x ≤ -8 x ≥ -8 soit x ≥ 4 -2

b) Représentations graphiques des solutions:

x > 4 :

x ≥ 4 :

x < -1 :

c) Astuce :Pour vérifier notre réponse, on peut remplacer x par 0.Exemple: 2x + 6 > 5x + 9Est-ce que 0 est solution ? 6 > 9

donc 0 n’est pas une solution .

Si notre réponse est : x > -1 nous avons du faire une erreur !!!

4

4

-1

[

[

]

c) Rédaction type :2x + 6 > 5x + 92x – 5x > 9 – 6 - 3x > 3 x < 3

-3Soit x < -1

Les solutions sont les nombres strictement inférieurs à -1.

d) Astuce :D’après les solutions trouvées, 0 n’est pas une solution .On peut vérifier en remplaçant x par 0 dans l’équation de départ.

2x + 6 > 5x + 9 6 > 9 Faux, comme prévu !

-1

[

II - Inéquation :Ex 7 p131:Dire comment on a transformer la 1ère équation pour obtenir la 2ème, et si les 2 équations sont équivalentes.

a) 4x+5 < 2x b) 3x+5 > 11 – 5x c) 4x≤ -3 4x < 2x – 5 8x+5 > 11 x ≤ -3

4

d) -2x ≥ 5 e) -7x > -6 f) -2 + x < 7 x ≥ 5 x < 6 x < 9

-2 7

Ex 5p135:a) 2x ≤ -5 b) -4x ≥ 3 c) -6x < -12 d) 5x ≥ 10 e) 5 – x ≥7

Ex 6p135:a) 3x -7 ≤ 8 – 2x b) 11 – 2x ≥ 4x – 1 c) 7x – 11 ≥ 3x + 1

Ex 7p135:a) 2(x – 5) + 3x ≤ 5x – (3 – 2x) b) 5 – (8x – 12) ≥ 2 + 3(2x – 5)

Ex 9p132:Sarah montre à son amie Céline les solutions des inéquations qu’elle a résolues:

(1) 3x +2 < 5x +3 (2) 10x+11 ≥ 7x+14

Céline dit rapidement à Sarah sans résoudre les équations : « Je suis sûre que tu t’es trompée les 2 fois! » Comment procède-t-elle?

Ex 51p139 :a) 5x – 11 < 3x + 1 b) 4x – 5 > 7x +10

c) -2x + 7 ≥ -6x + 2 d) 3x – 11 ≤ x – 15

-1/2[

25/3]

Ex 69p141:Léa et Léo choisissent un même nombre entier positif.Léa multiplie ce nombre par 2 et ajoute 6.Léo multiplie ce nombre par 4 et retranche 5.Trouver tous les nombres possibles qu’ils peuvent choisir pour qu’après ces calculs, Léa obtienne un résultat supérieur à celui de Léo.

Ex 82p142:Deux amies Karine et Adèle sont embauchées pour vendre des beignets sur les plages.Karine gagne 6€ de l’heure et 0,50€ par beignet vendu.Adèle gagne 5€ de l’heure et 0,75€ par beignet vendu.Au bout de 4h, Karine et Adèle ont vendu le même nombre de beignets.Combien doivent-t-elles en avoir vendus chacune pour que Karine gagne davantage qu’Adèle?