Exercices. Sommaire Équations second degré Ex 2Ex 2 fiche 6 Ex 2 ExEx3 Ex4Inéquations Exemple...

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Sommaire

Équations second degréÉquations second degré

Ex 2 fiche 6

Ex3

Ex4

InéquationsInéquations

Exemple inéquations Exemple inéquations

Ex1fiche 5Ex1fiche 5

Ex 2 fiche 5Ex 2 fiche 5

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Exemples inéquationsExemples inéquations

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x - -2 4 +

x² - 2 x - 8 0 0

1.1.

2.2.

x - -7 3 +

x² + 4 x - 21 0 0

= 36 > 0

= 100 > 0

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3. 3.

x - 2 3 +

x² - 5 x + 6 0 0

4. 4.

x - 0 +

2 x² - 4 x + 5

= 1 > 0

= - 24 < 0

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Exercice 2 fiche 6:

x

56 - x40 cm

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D’après le théorème de Pythagore:

AB² + AC² = BC²

(56 – x)² + x² = 40²

3 136 – 112 x + x² + x² = 1 600

3 136 – 1 600 - 112 x + 2 x² = 0

2 x² – 112 x + 1536 = 0 ou

x² – 56 x + 768 = 0

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a = b = c =1 - 56 768

2 4b ac Calcul du discriminant:

2( 56) 4 1 768

3136 3072 64 64 0

Donc, l’équation admet 2 solutions

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1 2

bx

a

( 56) 64 56 8

322 1 2

2

( 56) 64 56 824

2 2 1 2

bx

a

On a donc:

AB = 32 cm et AC = 24 cm

Ou AB = 24 cm et AC = 32 cm

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Exercice 3 :

1. x est le nombre d’élèves .

x - 2 est le nombre d’élèves en mesure de payer.

Le prix à payer est donc, d’après le texte, de:

576

2x ou

2. D’après la question 1. Les deux possibilités sont équivalentes:

576576,

21 20

x x

5761,20

x

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57657

2

1 0

1

6 ,2

xx

576 1,207

2 1

5 6 x

xx x

576576 1

2

,20x

xx

576×x = ( x – 2) ×(576 + 1,20 x)

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a = b = c =1 - 2 - 960

2576576 1,20 2 576 2 1,20

(576 1,20 )576 ( 2)x

x x x

xx x

576x 576x 21,20 2,4 1152x x

21,20 2,4 1152 0x x En divisant les 2 membres par 1,2, on obtient:

2 2 960 0x x

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3. Résolution de l’équation:• Calcul du discriminant:

2 4b ac 2( 2) 4 1 ( 960)

3844 0 L’équation admet 2 solutions:

1 2

bx

a

2 6232

2

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2 6230

2

2

( 2) 3844

2 2 1

bx

a

La seule solution valable à cette équation est x = 32

a. Il y a donc 32 élèves dans cette classe.

b. Le prix à payer par élève:

576 57619,2

32 2 30

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Exercice 4 1. Nombre de boîtes vendues : 30×6 + 30 x = 180 + 30 x2. Le prix de vente d’une boîte : 5 – 0,2 x

1.

2. a. Le prix total sera de :(180 + 30 x)(5 – 0,2 x) =

900 + 150 x – 36 x – 6 x2 = 900 + 114 x – 6 x2

b. Coût de revient total :3×(180 + 30 x) = 540 + 90 x

3. Marge = Prix de vente – coût de revient

= 900 + 114 x – 6 x2 – (540 + 90 x)

= - 6 x 2 + 24 x + 360

4. Pour une marge de 384 €, on aura :- 6 x 2 + 24 x + 360 = 384 soit- 6 x 2 + 24 x – 24 = 0

Pour obtenir une marge de 384 € , il faudra vendre 2 séries supplémentaires

x 2 – 4 x + 4 = 0; (x – 2) 2 = 0 , soit x = 2

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Exemple 2: voir fiche 5

A. Étude graphique:

a. Fonction f

1. Valeurs de fx 0 10 20 30 40 50 60 70 80

f(x)

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

f(x) 900 1200 1900 3000 4500 6400 8700 11400 14500

2. Allure de la courbeb. Fonction g

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

f(x) 900 1200 1900 3000 4500 6400 8700 11400 14500

g(x)

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

f(x) 900 1200 1900 3000 4500 6400 8700 11400 14500

g(x) 0 1200 2400 3600 4800 6000 7200 8400 9600

c. Par lecture graphique:1. La recette globale est égale au coût pour: q = 10 et q = 45

2. La production est rentable pour: 10 < q < 45

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B. Étude algébrique:

a. Formule de B(q):

Bénéfice = recette – coût de production

B(q) = R(q) – C(q)

B(q) = 120 q – (2 q2 + 10 q + 900)En supprimant les parenthèses

B(q) = 120 q – 2 q2 - 10 q - 900

B(q) = -2 q2 + 120 q – 10 q - 900

B(q) = -2 q2 + 110 q - 900

En factorisant par ( -2)

B(q) = -2( q2 - 55 q + 450)

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b. Résolution de l’équation

x2 – 55 x + 450 = 0

1225 0 x1 = 10 et x2 = 45

D’après la règle du signe d’un trinôme:

x2 – 55 x + 450 < 0 pour 10 < x < 45puisque a = 1 > 0

d. On en déduit donc que la production est rentable pourun nombre d’objets compris entre 10 et 45 exclusCar dans cet intervalle

B(q) = -2( q2 - 55 q + 450) > 0

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