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Chapitre 12 : Inéquations


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2nde 10, lycée les eaux claires

May 11, 2020



• Ce cours sera completé quatre fois par semaine : mardi,mercredi, jeudi et vendredi pour respecter votre emploi dutemps

• Il faut recopier ce cours sur votre cahier• Les corrections seront données le lendemain



Dans ce chapitre

1) Généralités

2) Inéquations affines

3) Signe d’une fonction affine

4) Signe d’une fonction affine : cas général

5) Signe d’un produit de fonctions affines

6) Signe d’un quotient de fonctions affines

7) Inéquation et étude de signe

8) Inéquation : bilan



Mardi 14 avril 2020


Chapitre 12 : Inéquations1) Généralités

Plan du cours

1) Généralités










DéfinitionUne inéquation est une inégalité dans laquelle on trouve uneou plusieurs lettre(s).

Ces lettres sont appelées inconnue(s)

Exemples

• x2 + 3 > 8x est une inéquation à une inconnue (notée x)

• 2x + y ≥ 4+ x × y est une inéquation à deux inconnues : xet y

Dans ce chapitre nous étudierons uniquement des inéquations àune inconnue



Résolution

• Lorsqu’on remplace l’inconnue x par un nombreparticulier, l’inégalité peut être vraie ou fausse.

• Résoudre l’inéquation consiste à déterminer toutes lesvaleurs possibles de x pour lesquelle l’inégalité estvérifiée.

• L’ensemble des nombres solution est noté S (commepour les équations)En général, S est un intervalle ou la réunion deplusieurs intervalles.



Exemple

On considère l’inéquation : 2x + 3 ≤ 10

• Le nombre 1 est solution de cette inéquation.En effet, en remplaçant dans l’inéquation on obtient : 5 ≤ 10Et cette inégalité est vraie

• Le nombre 4 n’est pas solution de cette inéquation.En effet, en remplaçant dans l’inéquation on obtient : 11 ≤ 10Et cette inégalité est fausse



Exemple

• L’inéquation x2 ≤ −1 ne possède aucune solution

On écrit dans ce cas : S = ∅

L’ensemble solution est ici l’ensemble vide.


Chapitre 12 : Inéquations2) Inéquations affines

Plan du cours

1) Généralités










Une inéquation affine, aussi appelée inéquation du 1er degréest une inégalité de la forme :

• ax + b < cx + d• ou ax + b ≤ cx + d• ou ax + b > cx + d• ou ax + b ≥ cx + d

a, b, c, d sont 4 nombres réels qui peuvent être nuls.

x est l’inconnue.



Résolution : opérations utilisées

Pour résoudre une inéquation affine, on utilise les opérationssuivantes :

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres del’inégalité

• Multiplier par un même nombre non nul les deux membres del’inégalitéSi ce nombre est négatif, l’inégalité change de sens

• Diviser par un même nombre non nul les deux membres del’inégalitéSi ce nombre est négatif, l’inégalité change de sens



Résolution : méthode

Pour résoudre une inéquation affine, on effectue les étapessuivantes (comme pour une équation affine) :

• (1) On rassemble les termes avec x dans un même membre del’inéquation

• (2) On rassemble les termes constants dans le second membrede l’inéquation

• (3) On multiplie par l’inverse du coefficient de x(on peut aussi diviser par ce même coefficient)Si ce coefficient est négatif, alors l’inégalité change de sens.



Exemple 1 : inéquation 5x + 1 ≥ 3x + 4

(1) Rassembler tous les termes avec x dans un même membre :5x−3x + 1 ≥ 4

(2) Rassembler les termes constants dans le second membre :5x − 3x ≥ 4−1 donc 2x ≥ 3

(3) Multiplier par l’inverse du coefficient de xOn multiplie ici par 1

2 (on peut aussi diviser par 2)

x ≥ 12 × 3 donc x ≥ 1, 5

S = [1, 5; +∞[



Exemple 2 : inéquation 2x − 3 ≥ 5x + 4

(1) Rassembler tous les termes avec x dans un même membre :2x−5x − 3 ≥ 4

(2) Rassembler les termes constants dans le second membre :2x − 5x ≥ 4+3 donc −3x ≥ 7

(3) Multiplier par l’inverse du coefficient de xOn multiplie ici par −1

3 : ce nombre est négatif donc l’inégalitéchange de sens (on peut aussi diviser par −3)x ≤ −1

3 × 7 donc x ≤ −73

S =]−∞;−7

3

]2nde 10, lycée les eaux claires


Exemple 3 : dans le livre

Page 176, paragraphe 4Plusieurs exemples sont détaillés



Mercredi 15 avril 2020


Chapitre 12 : Inéquations3) Signe d’une fonction affine

Plan du cours

1) Généralités










référence dans le livre

• livre page 245 : cours

• livre page 249 : méthode et exercices corrigés



On considère la fonction affine d’expression f (x) = ax + bavec a un nombre non nul.

Quels sont les nombres x pour lesquels :• f (x) est positif ?

• f (x) est négatif ?



Exemple 1 : f (x) = 2x + 6

• On cherche les nombres x pour lesquels f (x) > 0On résout donc l’inéquation : 2x + 6 > 0On obtient : 2x > −6Puis : x > −3

• On peut aussi chercher les nombres x pour lesquels f (x) < 0On résout donc l’inéquation : 2x + 6 < 0On obtient : 2x < −6Puis : x < −3



Exemple 1 : f (x) = 2x + 6On utilise un tableau appelé Tableau de signes pour écrire cesinformations

x −∞ -3 +∞

f (x) − +

• Pour les nombres x dans l’intervalle ]−∞;−3[, l’image f (x)est strictement négative.

• Pour les nombres x dans l’intervalle ]− 3; +∞[, l’image f (x)est strictement positive.

• Pour le nombre x = −3, l’image est f (−3) = 0



Exemple 1 : avec un graphique

Sur l’intervalle ]−∞;−3[,f (x) < 0 donc la courbe Cf esten dessous de l’axe des abscisses

Sur l’intervalle ]− 3; +∞[,f (x) > 0 donc la courbe Cf estau dessus de l’axe des abscisses



Exemple 2 : g(x) = −3x + 5

• On cherche les nombres x pour lesquels : g(x) > 0On résout donc l’inéquation : −3x + 5 > 0On obtient : −3x > 5Puis : x <

53 (attention : division par un nombre négatif !)

• Il n’est pas nécessaire de chercher l’ensemble des nombres xpour lesquels g(x) < 0 : il s’agit de l’ensemblecomplémentaire des solutions de la première inéquation



Exemple 2 : g(x) = −3x + 5Tableau de signes

x −∞ 53 +∞

g(x) + −

• Pour les nombres x dans l’intervalle]−∞; 53

[, l’image g(x)

est strictement positive.

• Pour les nombres x dans l’intervalle]53 ; +∞

[, l’image g(x)

est strictement négative.• Pour le nombre x = 5

3, l’image est 0



Exemple 2 : avec un graphique

Sur l’intervalle]−∞; 53

[,

g(x) > 0 donc la courbe Cg estau dessus de l’axe des abscisses

Sur l’intervalle]53 ; +∞

[,

g(x) < 0 donc la courbe Cg esten dessous de l’axe des abscisses



Exercice

Pour chacune des fonctions affines suivantes, construire le tableaude signes puis vérifier graphiquement en traçant la droite quireprésente la fonction dans un repère.

• 1) f (x) = x + 5

• 2) g(x) = 4x + 6

• 3) h(x) = −2x + 3

• 4) k(x) = −x



Jeudi 16 avril 2020


Chapitre 12 : Inéquations4) Signe d’une fonction affine : cas général

Plan du cours

1) Généralités










• Dans le paragraphe précédent, nous avons appris à construireun tableau de signe pour une fonction affine f

• Pour cela, il faut résoudre une inéquation : f (x) > 0 ouf (x) < 0

• Il est possible de remplir ce tableau de signe sans résoudrechaque fois une inéquation. C’est ce que nous allons voirmaintenant avec l’étude d’une fonction affine f d’expressionf (x) = ax + b



Premier cas : a positif

f est une fonction affine d’expression : f (x) = ax + bavec a positif

• Nous cherchons les nombres x pour lesquels : f (x) > 0

Il faut résoudre l’inéquation : ax + b > 0

On obtient : ax > −b (on soustrait b)

Puis : x > −ba ( division par le nombre a positif)



Premier cas : a positif

• f (x) < 0 (négatif) pour x < −ba

• f (x) > 0 (positif) pour x > −ba

x

f (x)

−∞ −ba

+∞

négatif 0 positif



Second cas : a négatif

f est une fonction affine d’expression : f (x) = ax + bavec a négatif

• Nous cherchons les nombres x pour lesquels : f (x) > 0

Il faut résoudre l’inéquation : ax + b > 0

On obtient : ax > −b (on soustrait b)

Puis : x < −ba ( division par le nombre a négatif :

l’inégalité change de sens)



Second cas : a négatif

• f (x) > 0 (positif) pour x < −ba

• f (x) < 0 (négatif) pour x > −ba

x

f (x)

−∞ −ba

+∞

positif 0 négatif



Cas général

x

f (x)

−∞ −ba

+∞

signe de (-a) 0 signe de a



Exemple 1 : f (x) = 2x + 6

On a : a = 2 et b = 6 donc −ba = −6

2 = −3

De plus a > 0

On obtient donc immédiatement le tableau suivant :

x

2x + 6

−∞ −3 +∞

− 0 +



Exemple 2 : g(x) = −3x + 5

On a : a = −3 et b = 5 donc −ba = − 5

−3 = 53

De plus a < 0

On obtient donc immédiatement le tableau suivant :

x

−3x + 5

−∞ 53

+∞

+ 0 −



Exercice

reprendre chacune des fonctions affines suivantes, et construire letableau de signes en utilisant la méthode étudiée aujourd’hui.

Comparer avec le tableau obtenu dans l’exercice du paragrapahe 3.

• 1) f (x) = x + 5

• 2) g(x) = 4x + 6

• 3) h(x) = −2x + 3

• 4) k(x) = −x



Mardi 5 mai 2020


Chapitre 12 : Inéquations5) Signe d’un produit de fonctions affines

Plan du cours

1) Généralités










Références dans le livre

• livre page 246 : cours




• Dans le paragraphe précédent nous avons appris à déterminerle tableau du signe d’une fonction affines

• L’objectif de ce nouveau paragraphe est de trouver le signed’un produit de fonctions affines

• Pour cela :1. nous commençons par chercher le signe de chacune des

fonctions affines2. toutes les informations sur placées dans un seul tableau3. nous utilisons la règle des signes pour chercher le signe du

produit



Rappel de la règle des signes

• Le produit de deux nombres positifs est positif

• Le produit de deux nombres négatifs est positif

• Le produit d’un nombre positif d’un nombre négatif est négatif



Exemple

Etude du signe de la fonction : f (x) = (−2x + 4)(x + 3)

• On utilise une ligne du tableau pour étudier le signe dupremier facteur −2x + 4

• On utilise une ligne du tableau pour étudier le signe du secondfacteur x + 3

• On utilise une ligne du tableau pour étudier le signe duproduit en utilisant la règle des signes



Exemple(suite)

Etude du signe de la fonction : f (x) = (−2x + 4)(x + 3)

x

−2x + 4

x + 3

Produit

−∞ −3 2 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −



Signe de la fonction : f (x) = (−2x + 4)(x + 3)BilanSi x ∈ ]−∞ ; −3 ] : f (x) ≤ 0 donc f (x) négatif

Si x ∈ [ −3 ; 2 ] : f (x) ≥ 0 donc f (x) positif

Si x ∈ [ 2 ; +∞ [ : f (x) ≤ 0 donc f (x) négatif

Remarque importante : si on représente graphiquement la fonctionf avec la calculatrice, on doit observer que :

• sur l’intervalle ]−∞ ; −3 ] : Cf est en dessous de l’axedes abscisses

• sur l’intervalle [ −3 ; 2 ] : Cf est au dessus de l’axe desabscisses

• sur l’intervalle [ 2 ; +∞ [ : Cf est en dessous de l’axe desabscisses



Exercice

Etudier le signe de chacun des produits de fonctions affinessuivants.Tracer ensuite la courbe sur la calculatrice et comparer avec lessignes écrits dans le tableau.

• 1) f (x) = (2x + 4)(3x − 3)

• 2) g(x) = (−2x + 5)(4x + 4)

• 3) h(x) = (x + 3)(−x + 3)

• 4) k(x) = x(x + 2)



Mercredi 6 mai 2020


Chapitre 12 : Inéquations6) Signe d’un quotient de fonctions affines

Plan du cours

1) Généralités











• livre page 246 et 247 : cours




• Dans le paragraphe précédent nous avons appris à déterminerle tableau du signe du produit de deux fonctions affines

• Nous étudions ici le signe d’un quotient de fonctions affines.

• Les deux méthodes sont similaires :1. nous commençons par chercher le signe de chacune des

fonctions affines2. toutes les informations sur placées dans un seul tableau3. nous utilisons la règle des signes pour chercher le signe du

quotient4. lorsque le dénominateur s’annule, nous écrivons une double

barre dans la dernière ligne : le calcul de l’image n’est paspossible



Exemple : signe de la fonction g(x) = 2x − 53x + 3

• On utilise une ligne du tableau pour étudier le signe dunumérateur 2x − 5

• On utilise une ligne du tableau pour étudier le signe dudénominateur 3x + 3

• On utilise une ligne du tableau pour étudier le signe duquotient en utilisant la règle des signes

• Attention : lorsque le dénominateur s’annule, le nombre g(x)n’existe pas.La division par zéro n’existe pas !



Exemple : signe de la fonction g(x) = (2x − 5)(3x + 3)

x

2x − 5

3x + 3

Quotient

−∞ −1 2.5 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ − 0 +

Attention, le nombre −1 est une valeur interdite (le dénominateurest nul) : on utilise une ’double barre’



Exemple : signe de la fonction g(x) = (2x − 5)(3x + 3)

BilanSi x ∈ ]−∞ ; −1 [, g(x) ≥ 0 donc g(x) positif

Si x ∈] − 1 ; 2, 5 ], g(x) ≤ 0 donc g(x) négatif

Si x ∈ [ 2, 5 ; +∞ [, g(x) ≥ 0 donc g(x) positif



ExerciceEtudier le signe de chacun des quotients de fonctions affinessuivants.Tracer ensuite la courbe sur la calculatrice et comparer avec lessignes écrits dans le tableau.

• 1) f (x) = 2x + 22x − 4

• 2) g(x) = −2x + 54x + 4

• 3) h(x) = x + 3−x + 3

• 4) k(x) = xx + 2



Jeudi 7 mai 2020


Chapitre 12 : Inéquations7) Inéquation et étude de signe

Plan du cours

1) Généralités











• livre page 246 et 247 : cours




• Un tableau de signe permet de résoudre certaines inéquations,lorsque :

• le membre de droite égal à zéro• le membre de gauche est un produit ou un quotient de

fonctions affines

• Dans ce cas :• il faut commencer par construire un tableau de signe

(méthode vue aux paragraphes 5 et 6)• puis utiliser la dernière ligne du tableau pour écrire l’ensemble

solution



Exemple 1 : (−2x + 4)(x + 3) ≥ 0

• il faut commencer par construire le tableau de signe del’expression (−2x + 4)(x + 3)(cette expression a déjà été étudiée au paragraphe 5)

• on cherche les valeurs de x pour lesquelles l’expression estpositive ou nulleOn cherche donc les signes + dans la dernière ligne dutableau



Exemple 1 : (−2x + 4)(x + 3) ≥ 0

x

−2x + 4

x + 3

Produit

−∞ −3 2 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

S = [−3; 2]

• Un seul signe + dans la dernière ligne du tableau : l’intervallecorrespondant est [−3; 2].

• Les bornes appartiennent à la solution car on cherche lesvaleurs de x pour lesquelles l’expression est positive ou nulle



Exemple 2 : (−2x + 4)(x + 3) > 0

• l’expression est la même que pour l’exemple précédent.• on cherche les valeurs de x pour lesquelles l’expression eststrictement positiveOn cherche donc ici aussi les signes + dans la dernièreligne du tableau



Exemple 2 : (−2x + 4)(x + 3) > 0x

−2x + 4

x + 3

Produit

−∞ −3 2 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

S =]− 3; 2[

• Un seul signe + dans la dernière ligne du tableau : l’intervallecorrespondant est [−3; 2].

• Les bornes n’appartiennent pas à la solution car on cherche lesvaleurs de x pour lesquelles l’expression est strictementpositive.



Exemple 3 : (−2x + 4)(x + 3) ≤ 0

• l’expression est la même que pour l’exemple précédent.• on cherche les valeurs de x pour lesquelles l’expression estnégative ou nulleOn cherche donc ici les signes − dans la dernière ligne dutableau



Exemple 3 : (−2x + 4)(x + 3) ≤ 0x

−2x + 4

x + 3

Produit

−∞ −3 2 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

S =]−∞;−3] ∪ [2; +∞[

• Deux signes − dans la dernière ligne du tableau : ilscorrespondent aux intervalles ]−∞;−3] et [2; +∞[

• Les bornes appartiennent à la solution car on cherche lesvaleurs de x pour lesquelles l’expression est négative ou nulle(rappel : un intervalle est toujours ouvert pour une borne ∞)

• On prend la réunion de ces deux intervalles2nde 10, lycée les eaux claires


Exemple 4 : 2x − 53x + 3 ≥ 0

• il faut commencer par construire le tableau de signe del’expression 2x − 5

3x + 3(cette expression a déjà été étudiée au paragraphe 6)

• on cherche les valeurs de x pour lesquelles l’expression estpositive ou nulleOn cherche donc ici les signes + dans la dernière ligne dutableau



Exemple 4 : 2x − 53x + 3 ≥ 0

x

2x − 5

3x + 3

Quotient

−∞ −1 2.5 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ − 0 +

S =]−∞;−1[∪[2.5; +∞[

• Deux signes + dans la dernière ligne du tableau : ilscorrespondent aux intervalles ]−∞;−1[ et [2.5; +∞[

• Les bornes appartiennent à la solution car on cherche lesvaleurs de x pour lesquelles l’expression est positive ou nulle

• Attention, le nombre −1 est une valeur interdite (doublebarre) : il n’appartient pas à la solution



Mardi 12 mai 2020


Chapitre 12 : Inéquations8) Inéquation : bilan

Plan du cours

1) Généralités










• Dans le paragraphe 7, nous avons étudié les inéquationsrésolues à l’aide d’un tableau de signes.

• Nous voyons maintenant comment généraliser cette méthodeet résoudre une inéquation quelconque non affine (lesinéquations affines ont été étudiées au paragraphe 2).


Chapitre 12 : Inéquations8) Inéquation : bilanMéthode de résolution d’une inéquation nonaffine

Pour résoudre une inéquation non affine :• (1) on rassemble tous les termes dans un même membre :l’inéquation A ≤ B devient A− B ≤ 0

• (2) on factorise

• (3) on utilise un tableau de signes



Exemple : x 2 ≤ 4• (1) on rassemble tous les termes dans un même membre :l’inéquation devient x2 − 4 ≤ 0

• (2) on factorise :l’inéquation devient (x − 2)(x + 2) ≤ 0

• (3) on utilise un tableau de signes :

x

x − 2

x + 2

Produit

−∞ −2 2 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ 0 − 0 +



Exemple (suite) : x 2 ≤ 4

x

x − 2

x + 2

Produit

−∞ −2 2 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ 0 − 0 +

L’inéquation est (x − 2)(x + 2) ≤ 0 donc S = [−2; 2]


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