6 Equations Inequations

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

EQUATIONS, INEQUATIONS

I. Rsolution dquations Activit conseille Activit conseille

p126 activit1 : Notion dquation et dinquation

p60 activit1 : Notion dquation et dinquation

ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014 Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

-p140 n2 4 -Ex 1 (page 11) p140 n6* et 8* -PB: p144 n60, 63, 64, 65 p145 n69 p146 n76*

p140 n1, 5 p144 n66* p145 n74*

-p76 n20 22 -Ex 1 (page 11) p76 n24* p81 n78, 79* -PB: p83 n107, 108, 110 p84 n113 p85 n121

p76 n19, 23 p83 n111* p84 n117*

ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014

1. Equation-produit Dfinition : Toute quation du type P(x) x Q(x) = 0, o P(x) et Q(x) sont des expressions algbriques, est appele quation-produit. Remarque : Nous rencontrerons plus particulirement des quations produits de la forme : (ax + b)(cx + d) = 0. Proprits : - Dire quun produit de facteurs est nul, quivaut dire que lun au moins des

facteurs est nul. - Le cas particulier de lquation-produit (ax + b)(cx + d) = 0 quivaut ax + b = 0 ou cx + d = 0. Mthode : Rsoudre une quation en se ramenant une quation-produit Rsoudre dans les quations : 1) (3x + 1)(1 6x) (3x + 7)(3x + 1) = 0 2) 5x2 4x = 0

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1) On commence par factoriser lexpression pour se ramener une quation-produit : (3x + 1)(1 6x) (3x + 7)(3x + 1) = 0 (3x + 1)[(1 6x) (3x + 7)] = 0 (3x + 1)(1 6x 3x 7) = 0 (3x + 1)( 9x 6) = 0 Soit : 3x + 1 = 0 ou - 9x 6 = 0 3x = -1 ou - 9x = 6

x =

13

ou x =

69

= 23

Les solutions sont donc 2

3 et 1

3 . 2) 5x2 4x = 0 x 5x 4( ) = 0 Soit : x = 0 ou 5x 4 = 0 5x = 4

x = 45

Les solutions sont donc 0 et 45 .

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir -Ex 2 (page 11) p140 n9, 11 et 12* p141 n20 p141 n23 -PB: p145 n68 p138 n3*

p140 n10 -Ex 2 (page 11) p76 n25, 28 p81 n85, 87 p82 n99, 100 -PB: p83 n112 p85 n122*

p76 n26


TP conseill TP conseill TP TICE 1 p133 : Recherche triangles rectangles ! TP TICE 3 p134 : Rsoudre une quation avec un logiciel

p71 TP3 : Recherche triangles rectangles ! p72 TP6 : Rsoudre une quation avec un logiciel


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2. Equation de la forme x = a Proprit : Les solutions dans de lquation x2 = a dpendent du signe de a. Si a < 0, alors lquation na pas de solution. Si a = 0, alors lquation possde une unique solution qui est 0. Si a > 0, alors lquation possde deux solutions qui sont a et - a .

Dmonstration :

- Si a < 0, lquation na pas de solution car un carr est positif. - Si a = 0, alors lquation scrit x2 = 0 donc x = 0 . - Si a > 0 : x2 = a quivaut : x2 a = 0 Soit

x a( ) x + a( ) = 0

x a = 0 ou x + a = 0

x = a ou x = a

Exemples : Rsoudre dans les quations : 2 16x = , x2 = 8 et x + 2( )2 = 9 - Lquation x2 = 16 .

16 est positif donc lquation admet deux solutions x = 16 = 4 et

x = 16 = 4 . - Lquation x2 = 8 . -8 est ngatif donc lquation na pas de solution dans . - Lquation x + 2( )

2= 9 .

On a alors x + 2 = 3 ou x + 2 = 3 . Lquation admet deux solutions x = 3 2 = 1 et x = 3 2 = 5 .

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

Ex 3 et 4 (page11) p140 n13 p141 n21*, 22*

p140 n15 Ex 3 et 4 (page11) p76 n29, 31, 30

p76 n32


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3. Equation-quotient

Dfinition :

Toute quation du type

P(x)Q(x)

= 0, o P(x) et Q(x) sont des expressions

algbriques (avec Q(x) 0), est appele quation-quotient. Proprit :

Pour tout x qui nannule pas lexpression Q(x), lquation-quotient

P(x)Q(x)

= 0

quivaut P(x) = 0. Exemple :

Lquation x + 2x + 3

= 0 a pour solution x = -2.

Mthode : Rsoudre une quation en se ramenant une quation-quotient Rsoudre dans les quations : a) 3x + 5x 1 = 0 b)

2x +1( ) x 3( )x 4 = 0 c)

x2 9x + 3 = 0

d) 1 x + 3

x 3=

22 x

a) Lquation nest pas dfinie pour x = 1.

Pour x 1, l'quation 3x + 5x 1 = 0 quivaut : 3x + 5 = 0 .

Do x = 53 . b) Lquation nest pas dfinie pour x = 4.

Pour x 4, l'quation 2x +1( ) x 3( )

x 4 = 0 quivaut : 2x +1( ) x 3( ) = 0 . Soit : 2x +1= 0 ou x 3= 0 Les solutions sont : x = 12 et x = 3 .

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c) Lquation nest pas dfinie pour x = -3.

Pour x -3, l'quation x2 9x + 3 = 0 quivaut : x

2 9 = 0 , soit x2 = 9 Soit encore : x = 3 ou x = 3 . Comme x -3, l'quation a pour unique solution : x = 3 . d) Lquation nest pas dfinie pour x = 2 et x = 3.

Pour x 2 et x 3 , l'quation 1 x + 3

x 3=

22 x

quivaut :

1 x + 3

x 3

22 x

= 0

On rduit au mme dnominateur dans le but de se ramener une quation-quotient :

x 3( ) 2 x( )x 3( ) 2 x( )

x + 3( ) 2 x( )x 3( ) 2 x( )

2 x 3( )x 3( ) 2 x( ) = 0

x 3( ) 2 x( ) x + 3( ) 2 x( ) 2 x 3( )x 3( ) 2 x( ) = 0

On dveloppe et on rduit le numrateur :

2x x2 6 + 3x 2x + x2 6 + 3x 2x + 6x 3( ) 2 x( ) = 0

4x 6x 3( ) 2 x( ) = 0

Ce qui quivaut 4x 6 = 0 et

x 3( ) 2 x( ) 0 Do

x = 3

2.

Exercices conseills Exercices conseills En devoir

Ex 5 et 6 (page11) p140 n16, 17 Ex 7 et 8 (page11) p140 n18 p141 n19*

Ex 5 et 6 (page11) p76 n33, 34 Ex 7 et 8 (page11) p81 n82, 83, 88

p81 n81


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II. Tableaux de signes

1) Exemple dintroduction a) Complter le tableau de valeurs suivant de lexpression 2x 10 :

x -10 -5 0 1 6 7 10 100 2x 10

b) Complter alors la 2e ligne du tableau de signes de lexpression 2x 10 : x ? +

2x 10 0

c) Pour quelle valeur x de lexpression 2x 10 sannule-t-elle ? Complter alors la 1re ligne du tableau de signes.

d) Vrifier laide dune calculatrice graphique.

a) x -10 -5 0 1 6 7 10 100

2x 10 -30 -20 -10 -8 2 4 10 190 b)

x ? + 2x 10 - 0 +

c) 2x 10 = 0 soit 2x = 10 soit encore x = 5.

x 5 + 2x 10 - 0 +

d) On trace la reprsentation graphique de f (x) = 2x 10 .

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2) Gnralisation

On considre a et b deux nombres fixs (a 0) et x est un nombre rel. Soit la fonction affine f dfinie sur par f (x) = ax + b. Dterminons labscisse x du point dintersection de la droite reprsentative de f dans un repre avec laxe des abscisses : Cela revient rsoudre lquation f(x) = 0.

soit : ax + b = 0, soit : ax = - b,

soit encore abx = .

Si a > 0 : La fonction f est croissante sur . On obtient le tableau de signes suivant pour ax+b : Si a < 0 : La fonction f est dcroissante sur . On obtient le tableau de signes suivant pour ax+b :

x -

ba

+

ax+b - 0 +

x -

ba

+

ax+b + 0 -

ab O

J

I

f(x) = ax+b

ab O

J

I

f(x) = ax+b

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Mthode : Dterminer le signe dune expression du type ax + b 1) Dterminer le tableau de signes de lexpression 2x + 6, o x est un nombre rel. Le coefficient devant x est positif, donc on a le tableau : 2x + 6 = 0 pour x = -3. 2) Dterminer le tableau de signes de lexpression -3x + 12, o x est un nombre rel. Le coefficient devant x est ngatif, donc on a le tableau : -3x + 12 = 0 pour x = 4.


p141 n24, 26, 27

p141 n28 p77 n35, 36, 41, 40

p77 n42


III. Rsolution dinquations Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

-p142 n34 36 p142 n38 -PB : p145 n73

p142 n37 p77 n46, 47 p82 n93, 94, 95 -PB : p84 n116

p77 n47


1. En tudiant le signe dun produit Mthode : Rsoudre une inquation en tudiant le signe dun produit Rsoudre dans linquation suivante : 3 6x( ) x + 2( ) > 0

x -3 +

+2x + 6 0 +

x 4 +

-3x + 12 + 0

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Le signe de 3 6x( ) x + 2( )dpend du signe de chaque facteur 3 6x et

x + 2. 3 6x = 0 ou x + 2 = 0 6x = 3 x = -2

x = 3

6=

12

Rsumons dans un mme tableau de signes les rsultats pour les deux facteurs. En appliquant la rgle des signes, on en dduit le signe du produit

3 6x( ) x + 2( ) .

On en dduit que 3 6x( ) x + 2( ) > 0 pour x 2; 1

2

.

Lensemble des solutions de linquation 3 6x( ) x + 2( ) > 0 est 2; 1

2

.


-Ex 9 et 10 (page11) p142 n39, 43 p142 n44*, 45*, 46* -PB : p146 n75*

p141 n25, 29

-Ex 9 et 10 (page11) p77 n39 p82 n90, 91 p82 n102* -PB : p85 n120*

p77 n37, 38


2. En tudiant le signe dun quotient Mthode : Rsoudre une inquation en tudiant le signe dun quotient

Rsoudre dans linquation suivante : 2 6x3x 2

0 .

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Lquation nest pas dfinie pour 3x 2 = 0, soit x = 23

.

Il faudra ventuellement exclure cette valeur de lensemble des solutions.

Le signe de 2 6x3x 2

dpend du signe des expressions 2 6x et 3x 2 .

2 6x = 0 quivaut x = 1

3.

Rsumons dans un mme tableau de signes les rsultats pour les deux expressions.

La double-barre dans le tableau signifie que le quotient nest pas dfini pour

x = 23

.

On en dduit que 2 6x3x 2

0 pour x ; 1

3

23

;+

.

Lensemble des solutions de linquation 2 6x3x 2

0 est ; 1

3

23

;+

.


Ex 11 14 (page11) p142 n40, 41, 47*, 48* p141 n31 p142 n32 p143 n56

p141 n30 p144 n62*

Ex 11 14 (page11) p77 n43 45 p77 n49 p82 n96, 97 p78 n59

p77 n50


Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, mme partielle, autres que celles prvues l'article L 122-5 du code de la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.

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Exercice 1

Exercice 2 a) 3x + 6( ) 3x 1( ) 3x + 6( ) 2x 4( ) = 0b) x 5( ) 5x +1( ) + x 5( ) 5x +10( ) = 0c) x + 3( ) 2x 1( ) + x + 3( ) x 7( ) = 0d) 4x + 8( ) x + 4( ) 4x + 8( ) x + 5( ) = 0

Exercice 3 Rsoudre les quations suivantes : a. x2 = 49 b. x2 = 6 c. x2 = 16 d. x2 53 = 4 e. (x + 1)2 = 4 f. (x 2)2 14 = 2 Exercice 4 Rsoudre les quations suivantes : a. x2 = 121 b. x2 = 11 c. x2 = 9 d. x2 + 5 = 30 e. (x + 5)2 = 49 f. (x 4)2 + 1 = 2 Exercice 5 Rsoudre les quations-quotients suivantes :

a. 3x 3x +1 = 0 b. 4 xx 3 = 0

c. 5x 2x2 +1 = 0 d. 7x +12 4x = 0

1) x + 7 = 42) 2x 8x 4 = 8x + 6 7 + 4x3) 3x = 94) (x + 5) = 5(1 2x)5) 8x = 46) 9x 7x + 5 9x = 6 4x + 8x

7) 87 x = 148) 6(3y 5) = (5 y)9)12x = 4810) 7x 2x + 2x 9 + 7x = 14x

11) x2 = 2512) (18 x)+ 7(3x + 5) = (2 4x)

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Exercice 6 Rsoudre les quations-quotients suivantes.

a. x 3( ) x +1( )x 3 = 0 b. 2 x( ) x 6( )

x 8 = 0

c. 2x 4( ) x 6( )3x +1 = 0 d. 7x + 7( ) 4x 6( )

8 x2 = 0 Exercice 7 Rsoudre les quations suivantes :

a. x +1x + 2 2 = 0 b. 2x 1x + 6 +1= 0

c. x 13x + 2 = 3 d. x 12 2x = 1

Exercice 8 Rsoudre les quations suivantes :

a. 2x +1 1x = 0 b.

1x + 2 +

1x 1 = 0

c. 12x 1 =2

x 4 d. 4

3x + 3 =22 x

Exercice 9 Rsoudre, laide dun tableau de signes, les inquations suivantes : a. (x 3)(x 1) 0 b. (x 9)(x 5) < 0 c. (2x + 4)(3x 3) 0 d. (15 5x)(x + 1) > 0 Exercice 10 Rsoudre, laide dun tableau de signes, les inquations suivantes : a. (3x 4)(x + 7) > 0 b. (2x 8)(10x + 5) < 0 c. (2 x)(6x + 3) 0 d. (7 x)(6x + 18) 0 Exercice 11 Rsoudre, laide dun tableau de signes, les inquations suivantes :

a. x 3x +1 0 b. x + 4x 6 > 0

c. 3x 6x 5 0 d. 2x 91 x 0

Exercice 12 Rsoudre, laide dun tableau de signes, les inquations suivantes :

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a. 2x + 8x 9 > 0 b. 6x +17 x 0

c. x + 53x 5 0 d. 2x 104 3x 0


a. 2x + 8x 1 1> 0 b. x +13 x + 2 0

c. x + 4x 5 2 d. 2x 10x 4 3


a. x +1x 2 + 3< 0 b. x + 2x 2 +1< 0

c. x 3x 1 5 d. 3x 35 x 2

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