7/24/2019 Analyse2011 Corrige

1/4

ENSAI Vendredi 21 octobre 2011Examen danalyse (G. Vilmart) premire anne IES

Examen. (Corrig)

Dure: 2 heures

Examen sans document ni calculatrice. Les exercices sont indpendants et peuventtre traits dans un ordre quelconque. La clart de la rdaction constituera un lment

important dans lapprciation des copies.

Formulaire :

sin(x) =n0

(1)n x2n+1(2n+ 1)!

, pour toutx R,

cos(x) =n0

(1)n x2n

(2n)!, pour toutx R,

ln(1 +x) =n1

(1)n+1xn

n, pour toutx ] 1, 1],

| sin(x)| |x|, pour toutx R.

Exercice 1

a) tudier la convergence de la srie de terme gnral donn pour tout n 1 par

un=2

n+ cos(n)

ln(n) +n2 .

Sol.: On aun 0 pour toutn et

un2n

n2 =

2n3/2

.

Or la srie de terme gnral 1n3/2

converge (srie de Riemann avec coefficient3/2 > 1),donc la srie

n1un

converge.

b) Montrer que la srie suivante converge et calculer sa somme :

n1

11 + 2 + 3 +. . .+n

.

Sol.: On sait1 + 2 + 3 +. . .+n= n(n+1)2 . Ainsi,

Nn=1

11 + 2 + 3 +. . .+n

=Nn=1

2n(n+ 1)

=Nn=1

2n 2

n+ 1

= 2 2

N+ 1.

Ainsi la srie tudie converge et la limite vaut2.

1

7/24/2019 Analyse2011 Corrige

2/4

c) tudier la convergence de la srie

n3

(1)nn+ 2 sin(n3)

.

Sol.: Attention, la srie nest pas absolument convergente et ce nest pas non plus une

srie alterne car le terme gnral nest pas dcroissant en valeur absolue. On effectue undveloppement limit:

(1)nn+ 2 sin(n3)

= (1)n

n

11 + 2 sin(n3)/n

=(1)n

n

1 + O

2sin(n3)n

= (1)n

n + O

1n2

La srie de terme gnral (1)

n

n converge car cest une srie alterne. La srie de termegnral 1

n2converge (srie de Riemann), donc la srie tudie converge.

Exercice 2

On considre pour tout n 1 la fonction fndfinie sur lintervalle [, ] par

fn(x) = sinx

n

.

a) Dterminer la limite simple de la suite (fn)n1. La convergence est-elle uniforme?

Sol.: On a pour toutx,fn(x) sin(0) = 0(la fonctionsin est continue) lorsquen +.Donc la suite(fn)n1 converge simplement vers la fonction nulle. De plus on a pour toutx [, ],|fn(x)| |x|n n , ce qui implique

fn n 0 lorsquen ,

donc la convergence de la suite(fn)n1 vers la fonction nulle est uniforme.

b) tudier la convergence de la srie de fonctions suivante :n1

fnn.

Sol.: De la mme manire, on a

fnn

n3/2

.

Or la srie de terme gnral 1n3/2

converge (srie de Riemann), donc la srie tudie converge

normalement sur[, ] donc uniformment.c) tudier la convergence de la srie numrique suivante :

n1

(1)nn

0fn(x)dx.

Sol.: On a la majoration

(1)nn

0fn(x)dx

= 1

n

0fn(x)dx

1n

0

x

ndx=

12n2

donc par convergence de la srie de Riemann de terme gnral 1

n2 , la srie tudie converge

absolument.

2

7/24/2019 Analyse2011 Corrige

3/4

Exercice 3

a) Dterminer le rayon de convergence de la srie entire de terme gnral

an=

cos1n

n.

Sol.: On utilise les dveloppements limitscosx= 1 + O(x2) etln x= 1 + O(x) lorsquex 0.

an= en ln

cos 1

n

= e

n ln

1+O( 1

n2)

= enO(

1n2

) =eO(1n ) e0 = 1 lorsquen +.

Par comparaison, le rayon de convergence de

n0anxn est le mme que pour la srie

entire

n0xn, cest--direR= 1.

b) Dvelopper en srie entire autour de zro la fonction f(x) = 1

(x 12 )(x 1).

Quel est le rayon de convergence de la srie obtenue ?

Sol.: On dcompose la fonction en lments simples

f(x) = 2

(12 x)+

2(1 x)=

4(1 2x)+

2(1 x)

Or, on a les dveloppements en sries suivants

11 2x =

n0

2nxn, 1

1 x=n0

xn

de rayons de convergence respectifs1/2 et1. En sommant on dduit le dveloppement ensrie cherch,

f(x) =

n0(2n+2 2)xn

de rayon de convergence1/2.

c) Dterminer le rayon R de convergence de la srie entiren1

cosn

2

xn

n.

Discuter la convergence de cette srie au points x= R, x=R et calculer ses valeurs ences points si elles existent.

Sol.: On observe que la quantitcosn2

est nulle pourn impair. Pourn pair, n= 2k,

on acosn2

= cos (k) = (1)k. Ainsi, la srie tudie est identique la sriek1

(1)k x2k2k

=12

k1

(1)k+1x2kk .

On reconnat une srie similaire la srie du logarithme de rayon de convergence1,

ln(1 +x) =n1

(1)n+1xn

n, pour toutx ] 1, 1],

ainsi n1

cosn

2

xn

n =

12

ln(1 +x2)

et le rayon de convergence de la srie tudie estR = 1. La valeur enx = R etx =

R est

donc ln 22 .

3

7/24/2019 Analyse2011 Corrige

4/4

Exercice 4

SoitDle domaine du plan dfini par D = {(x, y) R2 ; x2 +y2 4 etx 1}.On considre lintgrale

I1= Dx

x2 +y2dxdy

et les intgrales gnralises

I2=

R2e(x

2+y2)dxdy, I3= +

ex2dx.

a) Dessiner le domaine D dans un repre orthonorm. 3

2 1 1 2

2

1

1

2

b) Calculer lintgraleI1en utilisant un changement de variable en coordonnes polaires.Sol.: On posex = r cos , y = r sin avec1/ cos() r 2 et/3 /3 (car/3 = arcos(1/2), voir la figure). On obtient

I1 =

D

x

x2 +y2dxdy=

/3/3

21/ cos

cos drd= /3/3

2cos 1

d

=2sin

/3/3

= 2

3 23

c) Calculer pour tout entier n positif lintgraleDn

e(x2+y2)dxdy.

o Dnest le disque de centre (0, 0) et de rayon n. En dduire que lintgrale gnraliseI2existe et calculer sa valeur.

Sol.: On posex= r cos , y= r sin avec0 2 et0 r n. On obtientDn

e(x2+y2)dxdy=

20

n0

er2rdrd=

er2

n0

=(1en2) lorsquen +.

La limite ci-dessus existe donc lintgrale gnraliseI2

existe et vaut.

d) On admet que lintgrale gnraliseI3 existe. MontrerI3=I2.

Sol.: On a

I2=

R2e(x

2+y2)dxdy= limn

[n,n]2

e(x2+y2)dxdy.

En utilisant le thorme de Fubini, on a pour toutn 0,[n,n]2

e(x2+y2)dxdy=

nn

nn

e(x2+y2)dx

dy=

nn

ex2dx2

Ainsi, en faisant tendren vers linfini, on dduitI2=I23 , do le rsultat par positivit delintgraleI3.

4