aÉÅ M rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrVous êtes capables de trouver ∆x en faisant x 2 – x 1 Vous...

Nil Poulin et Guylaine Veilleux, Polyvalente de St-Georges Septembre 2008 - 1 -

aÉÅ M rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

ZÜÉâÑx M rrrrrrrr


IInnttrroodduuccttiioonn

La géométrie analytique, dont la distance entre deux points fait partie, est une partie très importante des notions que

vous verrez en CST. Ce qui est intéressant en plus, c’est que ce concept s’applique facilement à la vie de tous les jours. En

effet, à plusieurs reprises dans la vie du quotidien, nous utilisons cette notion de distance. Quelle est la distance pour me rendre à un rendez-vous important afin que je planifie mon temps pour arriver à l’heure ? Quelle distance dois-je parcourir pour aller à l’école ? Quelle est la distance entre St-Georges et Québec ? Quelle est la distance minimale obligatoire entre mon cabanon et le terrain du voisin ? À quelle distance du chemin puis-je mettre ma corde de bois ? À quelle distance se situe mon chevreuil ? Etc. Que de situations où nous devons calculer

ou encore se donner une approximation des distances !

C’est pourquoi nous trouvions important de faire une démarche plus complète afin de maîtriser cette partie du programme. À travers ce

document, vous aurez à revenir en arrière afin de rechercher des notions déjà connues, mais surtout, vous découvrirez divers concepts par vous-même. De plus, vous vivrez de belles aventures à bord du Sedna 4. Vous serez donc en mesure de retenir ces nouvelles notions plus

facilement.

Vous aurez à faire cette démarche de façon autonome. Vous aurez à DÉCOUVRIR la nouvelle matière, à chercher des explications en

commençant par vos pairs et non par l’enseignant(e) qui sera davantage un guide à travers ce document… ce qui vous demandera beaucoup de

patience et de rigueur ! Mais, nous savons que vous en avez !

Sur ce, bon travail !


Tu possèdes déjà une multitude de connaissances en mathématiques… bien évidement, nous en aurons besoin que de quelques-unes. Voyons celles qui nous

seront utiles.

Regarde la figure suivante et inscris ttttttttoooooooouuuuuuuutttttttteeeeeeeessssssss lllllllleeeeeeeessssssss nnnnnnnnoooooooottttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnnssssssss qui te viennent en tête qui s’y rattachent.

AAvvaanntt ddee ccoommmmeenncceerr

Tu as donc constaté que cette figure te rappelle plusieurs notions… classe celles que nous avons surlignées en deux catégories : les notions que tu maîtrises et les notions à travailler. Tu dois vraiment commencer par maîtriser parfaitement ces notions avant de continuer.

Les notions maîtriséesLes notions maîtriséesLes notions maîtriséesLes notions maîtrisées Les notions à travaillerLes notions à travaillerLes notions à travaillerLes notions à travailler

Tout ce qui se rapporte Tout ce qui se rapporte Tout ce qui se rapporte Tout ce qui se rapporte à cette figure … à cette figure … à cette figure … à cette figure …


EExxeerrcciicceess Tu es déjà capable de trouver la distance entre deux points dans divers contextes.

Les exercices qui suivent te rafraîchiront quelque peu la mémoire ! 1. Observe l’image suivante et trouve la distance entre les points suivants.

A et B ? ________

A et C ? ________

J et D ? ________

B et D ? ________

B et H ? ________

G et H ? ________

E et F ? ________

E et K ? ________

K et C ? ________

I et G ? ________

I et E ? ________

K et I ? ________

D et H ? ________

J et L ? ________

L et D ? ________


Espérons que ces calculs de distance n’étaient pas trop compliqués !

Le prochain exercice est semblable à celui que tu viens de terminer. Seulement, tu dois faire attention pour ne pas tomber dans le piège!

2. Observe l’image suivante et calcule la distance entre les points suivants.

A et B ? ________

A et C ? ________

A et E ? ________

B et D ? ________

B et G ? ________

G et E ? ________

E et H? ________

H et G ? ________

K et J ? ________

I et H ? ________

H et E ? ________

F et B ? ________

D et G ? ________

C et E ? ________

G et D ? ________

As-tu fais attention à la graduation des axes ?


Poses-toi maintenant des questions à savoir ce qui est important dans le calcul des distances horizontale et verticale. Comment as-tu fais pour trouver les mesures de distance ? Est-ce que le plan cartésien t’était utile ? Quelles ont été les méthodes utilisées ? Peux-tu en ressortir une formule générale qui fonctionnerait pour tous les

couples de points ? Apporte ta propre conclusion à ce sujet.

Est-ce qu’une distance peut être négative ?

Ma Ma Ma Ma CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNCCCCCCCCLLLLLLLLUUUUUUUUSSSSSSSSIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN en ce qui concerne les distances en ce qui concerne les distances en ce qui concerne les distances en ce qui concerne les distances horizontale et verticale… horizontale et verticale… horizontale et verticale… horizontale et verticale…

LLeess ddiissttaanncceess oobblliiqquueess

Avant de continuer, rappelons-nous de Pythagore…

Revenons d’abord sur l’énoncé de son théorème :

« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des cathètes au carré. »

Qui se traduit par la FFFFFFFFOOOOOOOORRRRRRRRMMMMMMMMUUUUUUUULLLLLLLLEEEEEEEE :


En se rappelant de la formule de Pythagore, il sera facile de trouver une distance oblique en connaissant les deux autres mesures des côtés du triangle rectangle.

3. Observe la figure suivante et réponds aux questions qui suivent. a) Quel segment représente l’hypoténuse ? ___________

b) Quelles sont les coordonnées des points A, B et C ?

A ( , ) B ( , ) C ( , )

c) Combien mesure le segment a ? ____________

d) Combien mesure le segment b ? ____________

e) Serais-tu en mesure de trouver la valeur du segment c ? _____________

Si oui, fais-en le calcul.

f) Quelle est donc la distance entre les points A et B ? ___________


Laisse des traces de ta Laisse des traces de ta Laisse des traces de ta Laisse des traces de ta démarche…démarche…démarche…démarche…

Porte maintenant une conclusion sur la façon de calculer une distance oblique.

Serais-tu capable de trouver une formule générale ?

Ma Ma Ma Ma CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNCCCCCCCCLLLLLLLLUUUUUUUUSSSSSSSSIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN en ce qui concerne les distances en ce qui concerne les distances en ce qui concerne les distances en ce qui concerne les distances obliques… obliques… obliques… obliques…

Avec la formule de Pythagore, tu es en mesure de calculer une distance oblique. Vérifions si ça fonctionne avec un autre triangle …

4. Observe la figure suivante et calcule la distance entre les points A et B.


TThhééoorriiee

Notre conclusion…Notre conclusion…Notre conclusion…Notre conclusion…


EExxeerrcciicceess 1. Voici une carte routière de notre coin de pays. Réponds aux questions qui suivent en utilisant cette image. 1) Trouve les coordonnées de chacun des villages présents sur cette carte.

a) St-Georges : ________________

b) St-Benoît-Labre : ____________

c) St-Jean-de-la-Lande : ________

d) St-René : ___________________

e) St-Côme-Linière : ____________

f) St-Éphrem-de-Beauce : __________

g) Lac Poulin : ___________________

h) Notre-Dame-des-Pins : __________

i) St-Simon-les-Mines : ____________

j) St-Philibert : __________________


2) Quelle est la distance entre St-Éphrem et St-Côme ? 3) Quelle est la distance entre St-Simon et St-Georges ? 4) Quelle est la distance entre le Lac Poulin et Notre-Dame-des-Pins ? 5) Quelle serait la distance parcourue par Jérémie (supposant qu’elle soit faite à

vol d’oiseau) s’il allait de St-Philibert à St-Éphrem, en passant par St-Georges et St-Benoît ?

6) Julien, Simon et Pierre s’interroge sur le village qui serait le plus éloigné de

St-Georges entre St-Benoît, St-Côme et St-Simon ? Julien croit qu’il s’agit de St-Côme, Simon croit que c’est St-Benoît et ne reste d’autre choix pour Pierre de dire que c’est St-Simon qui est le plus éloigné. Qui dit vrai ?

(Laisse des traces de ta démarche.)

Qui dit vrai ? Explique.

Julien � Simon � Pierre �

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Compétence 2


Vous êtes maintenant capables de trouver la distance entre deux points dans un plan cartésien… seriez-vous en mesure de calculer la distance s’ils n’étaient pas

situés dans un plan cartésien ? 2. Trouvez maintenant la distance entre les points suivants :

Il est toujours possible Il est toujours possible Il est toujours possible Il est toujours possible de placer ses points dans de placer ses points dans de placer ses points dans de placer ses points dans un plan cartésun plan cartésun plan cartésun plan cartésien…ien…ien…ien…

a) A (2, 6) et B (2, 14)

Réponse : _________________ b) A(3, 1) et B (-10, 1)

Réponse : _________________ c) A(4, 3) et B(16, 9)

Réponse : _________________ d) A(-5, -2) et B(7, 3)

Réponse : _________________ e) A(15, 24) et B(-25, -12)

Réponse : _________________


Vous avez appris comment faire pour calculer la distance entre un point A et un point B. Mais seriez-vous capable de faire l’inverse ? Seriez-vous capable de trouver les coordonnées d’un point quand vous connaissez la distance entre celui-ci et le point de

départ ? Pour vous aider…

Vous connaissez : A (2, 3) et B (8, ?)

Le segment c mesure 20 Vous chercher la valeur de ????

Vous êtes capables de trouver ∆x en faisant x2 – x1 Vous connaissez la valeur de c

Appliquez la formule de Pythagore.

EExxeerrcciicceess

1. Trouvez la coordonnée manquante. a)

x = ___________________


b)

x = ___________________ c)

y = ___________________


LA LIGNE VERTE

Stevens Pearson, homme à tout faire du Sedna, a le mandat d’alimenter en signal télé les deux observatoires temporairement installés sur la banquise.

Dans le but de minimiser les coûts, la longueur des câbles de transport doit être réduite au maximum.

Afin d’éviter les ruptures de signaux, ces observatoires doivent nécessairement être approvisionnés par 2 des 3 postes de distribution. Jean Lemire, chef de

mission, propose de relier les observatoires 1 et 2 aux postes d’alimentation 1 et 3.

Figure 1 : Plan des postes d’observation et d’alim entation


Démarche :

La proposition faite par le chef de mission est-elle la plus respectueuse de toutes les exigences du projet? Justifie ta

conclusion.


Démarche :


Démarche :

DDDDDDDDééééééééppppppppllllllllooooooooyyyyyyyyeeeeeeeerrrrrrrr uuuuuuuunnnnnnnn rrrrrrrraaaaaaaaiiiiiiiissssssssoooooooonnnnnnnnnnnnnnnneeeeeeeemmmmmmmmeeeeeeeennnnnnnntttttttt mmmmmmmmaaaaaaaatttttttthhhhhhhhéééééééémmmmmmmmaaaaaaaattttttttiiiiiiiiqqqqqqqquuuuuuuueeeeeeee

Manifestation

A B C D

Cr.3

Cr.2

Critères d’évaluation

Cr.4 Cr.5 Cr.1

La proposition est-elle la plus respectueuse ?

� Oui � Non

Pourquoi ?

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________


Nom : ________________________________________ Groupe : ________

MMoonn ttrraavvaaiill eenn ééqquuiippee Auto-évaluation (post-tâche)

Affirmations oouuii nnoonn

1. Je me suis engagé dans la tâche.

2. J’ai respecté mon rôle dans l’équipe.

3. J’ai partagé mes opinions avec les membres de mon équipe.

LLee ttrraavvaaiill eenn ééqquuiippee ddee mmeess ccoollllèègguueess Auto-évaluation (post-tâche)


1. Tous mes collègues se sont engagés dans leurs tâches.

2. Tous mes collègues ont respecté leur rôle dans l’équipe.

3. Tous les membres de l’équipe ont partagé leur opinion.

4. Tous les membres de l’équipe ont participé équitablement à la tâche.

Commentaires :

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Initiation à GeoGebra


GéoGébra1 est un logiciel utile en géométrie et en algèbre. On peut l’utiliser pour

faire des transformations géométriques traditionnelles et tracer les graphiques de

différentes fonctions.

Voici à quoi ressemble la fenêtre de GéoGébra.

1 http://www.geogebra.at

Cette partie correspond au plan de travail. C’est à cet endroit que les graphiques apparaîtront et les objets géométriques se retrouveront. Les axes peuvent être présents comme absents c’est selon ce que l’on veut faire. Cette section porte le Cette section porte le Cette section porte le Cette section porte le nom de «nom de «nom de «nom de « fenêtre de travailfenêtre de travailfenêtre de travailfenêtre de travail ».».».».


C’est à cet endroit que tu dois inscrire les différentes équations à tracer. Cet endroit est Cet endroit est Cet endroit est Cet endroit est appelé «appelé «appelé «appelé « champ de saisiechamp de saisiechamp de saisiechamp de saisie ».».».».


C’est ici qu’apparaîtront toutes les équations que tu auras travaillées ainsi que le nom des objets mathématiques créés. D’autres informations comme les coordonnées des points et la longueur des segments apparaissent à cet endroit. Cette section se nomme Cette section se nomme Cette section se nomme Cette section se nomme «««« fenêtre algèbrefenêtre algèbrefenêtre algèbrefenêtre algèbre ».».».».


Afin de maîtriser les différentes fonctions de ce logiciel effectue les activités suivantes.

Activité 1Activité 1Activité 1Activité 1 EXPLORATION DES ICÔNESEXPLORATION DES ICÔNESEXPLORATION DES ICÔNESEXPLORATION DES ICÔNES Prends quelques minutes pour explorer les différentes touches qui se trouve sur la barre de menu. N’oublie pas de sélectionner les petits triangles que l’on retrouve au bas des icônes. Regarde bien les différentes fonctions qu’on y retrouve. La touche que tu utiliseras le plus souvent est celle-ci . C’est avec cette touche que tu sélectionneras les différents items.

C’est ici que toutes les fonctions utiles se retrouvent. Au bas de ces icônes se retrouve un petit triangle. En cliquant dessus, une fenêtre contenant d’autres outils de travail s’ouvre. Cette section se nomme Cette section se nomme Cette section se nomme Cette section se nomme «««« barre d’outilsbarre d’outilsbarre d’outilsbarre d’outils ».».».».


L’autre touche qui te sera très utile servira à déplacer le plan cartésien en entier. Appuie dessus Appuie dessus Appuie dessus Appuie dessus et déplace les axes en maintenant enfoncer le bouton gauche de la souris. Pour les autres, cela dépendra de tes intentions mathématiques. Pour certaines, ces outils te seront très utiles. Tandis que pour d’autres, celles-ci le seront autant.


La fonction propriétéspropriétéspropriétéspropriétés te permettra de changer la couleur et le style des axes ainsi que de la grille. Cette fonction te permettra de graduer différemment les 2 axes. Regarde la fenêtre qui apparaît lorsque tu sélectionne cette fonction.

Activité Activité Activité Activité 2222 JOUONS AVEC LE PLAN CARTÉSIENJOUONS AVEC LE PLAN CARTÉSIENJOUONS AVEC LE PLAN CARTÉSIENJOUONS AVEC LE PLAN CARTÉSIEN À cette activité tu devra transformer ton plan cartésien. À la fin on doit retrouver un plan cartésien avec des axes de couleur rouge ayant un pas de graduation de 1 pour l’abscisse et 10 pour l’ordonnée et une grille avec de petits points bleus et un fond d’écran jaune. Pour le transformer, tu dois déplacer ton curseur au dessus du plan cartésien et cliquer sur le bouton de souris de droite. La fenêtre suivante apparaîtra à l’écran. Cette fenêtre te permettra de faire apparaître ou disparaître les axes et de faire apparaître ou disparaître une grille en fond d’écran.


Voici un exemple de système d’équations. Inscris Inscris Inscris Inscris les trois équations les trois équations les trois équations les trois équations

obtenues à cet endroitobtenues à cet endroitobtenues à cet endroitobtenues à cet endroit.... 1.1.1.1. 2.2.2.2. 3.3.3.3.

Activité Activité Activité Activité 3333 POINT ET DPOINT ET DPOINT ET DPOINT ET DROITESROITESROITESROITES Voici une petite situationVoici une petite situationVoici une petite situationVoici une petite situation Dernièrement tes parents se sont achetés une nouvelle maison dans un quartier éloigné du centre ville où vous habitiez. Pour le déménagement, ils doivent utiliser les services de déménageurs. Il y a trois compagnies qui ont pignon sur rue. La première, « Vite fait, bien fait », charge à ses clients un montant de 30$ l’heure en plus des frais de déplacement de 100$. La deuxième, « Toujours prêt », demande 60$ de l’heure et ne charge aucun frais pour son déplacement. Et la dernière, « Pas de temps à perdre », travaille pour un montant fixe de 250$. Devant un tel choix, tes parents sont embêtés et te demandent conseil pour éclairer leur décision. Que vas-tu leur dire au sujet des choix qu’ils ont? Appuies tes dires par un graphique correspondant à la situation. Note :

� Afin de représenter tes trois droites dans le plan cartésien, inscris leur équation dans le champ de saisie. Appuie sur «««« EntrerEntrerEntrerEntrer »»»» après chacune d’elles.

� Afin d’explorer les différents menus de GeoGebra, fais en sorte que tes droites soient de différentes couleurs et d’épaisseur. Il pourrait y en avoir une de pointillé également. Pour les points d’intersection, identifie-les avec des grosseurs et des couleurs qui les différencieront.

� Lorsque ton graphique est terminé, demande à ton enseignant de le vérifier. Dis-lui les recommandations que tu ferais à tes parents.


Choisis bien l’extension JPEG pour l’enregistrement de ton image.

Activité Activité Activité Activité 4444 DES IMAGES À COLLERDES IMAGES À COLLERDES IMAGES À COLLERDES IMAGES À COLLER Avant de débuter cette activité, choisis à quelque part sur le web une image de chien. Il faudra que tu l’enregistre sur ton « ordi » en JPEGJPEGJPEGJPEG pour que GeoGebra puisse avoir accès à ton choix. Pour que cela se fasse bien, copie ton image dans « PhotoFiltre2 » et enregistre-la avec l’extension JPEGJPEGJPEGJPEG.

2 PhotoFiltre est un logiciel gratuit et simple d’utilisation qui sert à la retouche d’images.


GeoGebra peut placer en fond de plan cartésien des images. Ces images d’arrière-plan peuvent être très utiles. Pour la placer en fond d’écran il faudra utiliser la fonction « insérer une image ». Pour faire apparaître l’image, clique n’importe où dans le plan cartésien et ouvre le fichier dans lequel tu as enregistré ton chien. Lorsque tu as fait apparaître ton chien dans la plan cartésien, déplace-le à l’endroit approprié à l’aide de la flèche. En appuyant sur le bouton de souris de droite, tu peux changer les propriétés de l’image. Pour faire en sorte qu’elle soit fixée en arrière-plan, sélectionne la case correspondante. Si tu désires que l’image laisse passer les axes et le quadrillé du plan, sélectionne « Remplissage » et ajuste la transparence selon ton besoin.


ActivitéActivitéActivitéActivité 5555 DES MESURES DE LONGUEURSDES MESURES DE LONGUEURSDES MESURES DE LONGUEURSDES MESURES DE LONGUEURS Dans cette étapes, tu auras à mesurer la distance qu’il y a entre différentes parties du chien. Dans l’exemple ci-dessous, c’est la distance entre les extrémités des oreilles qui sera mesurée. Il y a différentes façons de faire. La première, plus mathématique, consiste à placer un point à chaque extrémité des oreilles (A et B) et de calculer la distance entre ces points avec la notion de distance entre deux points vue en géométrie analytique. La deuxième, plus simple mais qui permet de valider tes calculs, consiste à tracer un segment qui relie les extrémités des oreilles. À partir de ce segment, il est possible de faire afficher sa longueur. Dans ce cas-ci, la longueur du segment est de 5,04 unités. Ton initiationTon initiationTon initiationTon initiation est maintenant terminée. est maintenant terminée. est maintenant terminée. est maintenant terminée. Si pour une raison ou pour une autre ce logiciel te semble utile pour d’autres activités pédagogiques, ne te gêne pas pour l’explorer. GeoGebra a un potentiel de travail énorme.


Description de la fenêtre principale Dans le menu «infos pratiquesinfos pratiquesinfos pratiquesinfos pratiques, tu peux sélctionner les informations que tu veux voir apparaître à l’écran. D’ailleurs, il y en a qui le sont déjà. Si tu veux qu’elles n’apparaissent plus, tu n’as qu’à « cliquer » dessus.

Menu principalMenu principalMenu principalMenu principal

Touches raccourciesTouches raccourciesTouches raccourciesTouches raccourcies

Position Position Position Position p p p par ar ar ar rapport rapport rapport rapport aux points cardinauxaux points cardinauxaux points cardinauxaux points cardinaux

ZoomZoomZoomZoom

Recherche Recherche Recherche Recherche d’un lieud’un lieud’un lieud’un lieu

Fonctions d’identification Fonctions d’identification Fonctions d’identification Fonctions d’identification des informations des informations des informations des informations pratiquespratiquespratiquespratiques


Activités 1 : Les coordonnées géographiquesLes coordonnées géographiquesLes coordonnées géographiquesLes coordonnées géographiques

À l’endroit prévu, inscris le nom de la ville de ton choix, regarde-la de près et repère quelques villes adjascentes.

À partir de la ville que tu as choisie, trouve les corrdonnées géographiques exactes en degrés. En premier lieu, modifie la forme de présentation des coordonnées. Si elles sont indiquées en « degrés, minutes, secondes », transforme-les en notation décimale à l’aide du menu présenté.

Ex.Ex.Ex.Ex. : Munich: Munich: Munich: Munich

Échelle de la vueÉchelle de la vueÉchelle de la vueÉchelle de la vue Coordonnées géographiques en Coordonnées géographiques en Coordonnées géographiques en Coordonnées géographiques en notation décimale ou notation décimale ou notation décimale ou notation décimale ou en «en «en «en « degrés, minutes, secondesdegrés, minutes, secondesdegrés, minutes, secondesdegrés, minutes, secondes »»»» (latitude, longitude)(latitude, longitude)(latitude, longitude)(latitude, longitude)

Présentation des Présentation des Présentation des Présentation des coordonnées en notation coordonnées en notation coordonnées en notation coordonnées en notation décimaledécimaledécimaledécimale


Pour identifier les coordonnées exactes d’un lieu, il suffit d’utiliser le bouton droit de la souris et de « cliquer » sur le nom du lieu choisit (1) et sélectionner la fonction « propriétéspropriétéspropriétéspropriétés » (2). Les coordonnées exactes apparraîtront dans une fenêtre. Activités 2 : Les trajetsLes trajetsLes trajetsLes trajets Pour débuter l’activité ajoute un « repèresrepèresrepèresrepères »»»» à la ville que tu as choisie en sélectionnant la « punaisepunaisepunaisepunaise » que tu retrouves au niveau des touches raccourcies. Une fenêtre et une punaise apparaîtront. Dans la fenêtre tu inscris le nom de la ville (tu peux même y sélectionner la couleur de la punaise). Concernant la punaise comme telle, il est possible de la déplacer à l’endroit exact où se retrouve la ville. Choisis maintenant une deuxième ville à laquelle tu feras le même travail.

Coordonnées géographiquesCoordonnées géographiquesCoordonnées géographiquesCoordonnées géographiques (1)(1)(1)(1)

(2)(2)(2)(2)


Maintenant que les deux villes sont bien identifiées, relie-les par un segment de couleur. Pour se faire, il faudra utiliser la fonction « trajettrajettrajettrajet » dans les « touches raccourcies ». Pour que le segment apparaisse à l’écran, tu devras sélectionner à tour de rôle les deux villes choisies. Donne un nom au « trajet » que tu as fait et choisis une couleur. Lorsque cette activité est terminée, fais-la vérifier par ton enseignant. Activités 3: Google EartGoogle EartGoogle EartGoogle Earth et Géogébrah et Géogébrah et Géogébrah et Géogébra Maintenant que ton trajet entre les deux villes est bien identifié, place-le en fond d’écran dans Gogébra, indique son équation et calcule la distance3 entre les deux villes. Montre tes résultats à ton enseignant.

3 Je te conseille de t’aider de l’échelle de Google Earth.

TrajetTrajetTrajetTrajet


L’hivernage du SEDNA 4 se déroule pendant un peu plus de neuf mois, 38 semaines précisément. La longue nuit

antarctique et les aurores australes sont en fait le résultat d’un long périple en mer. Plusieurs escales sont nécessaires afin

de ravitailler les troupes, d’effectuer des tests, des observations et de prendre un peu de temps pour se reposer.

L’équipage du SEDNA 4 a navigué pendant près de six semaines pour se diriger vers le Grand Sud.

Vous retrouverez toutes les informations pertinentes sur le parcours effectué par le voilier de 51 mètres de long aux

pages qui suivent.

À partir de ces informations, de GeoGebra et de Google Earth, déterminer la durée totale de leur périple des îles de la Madeleine jusqu’à l’Île du Roi George qui est situé dans la

péninsule antarctique.


TABLEAU 1 : Description du parcours vers le Grand Sud

Date de Date de Date de Date de l’escalel’escalel’escalel’escale

Points Points Points Points d’arrêtsd’arrêtsd’arrêtsd’arrêts

Raisons de l’escaleRaisons de l’escaleRaisons de l’escaleRaisons de l’escale Durée de Durée de Durée de Durée de l’escalel’escalel’escalel’escale

Vitesse Vitesse Vitesse Vitesse du du du du Sedna IV Sedna IV Sedna IV Sedna IV 4444

Une image vaut mille mots!Une image vaut mille mots!Une image vaut mille mots!Une image vaut mille mots!

19 septembre 2005

Îles de la Madeleine

� Ravitaillement � Embarquement et départ

28 septembre 2005

Açores

� Escale de ravitaillement

� Test satellite

4 Le nœud est une unité de vitesse utilisée en navigation maritime et aérienne. 1 nœud correspond à 1 mille marinmille marinmille marinmille marin par heure, soit exactement 1,852 km/h ou 0,514 m/s.


7 octobre 2005

Îles du Cap-Vert

� Derniers moments de détente

� Soleil et tropiques

27 octobre 2005

Montevideo

� Ravitaillement

8 novembre 2005

Îles Malouines-Falklands

� Tournage sur les îles Steeple Jason, West point et New Island


21 novembre 2005

Île de Géorgie du

Sud

� L’éclosion de la vie animale : gorfou doré, manchot royal, manchot à jugulaire, faucon caracara austral, phoque à fourrure, albatros

21 décembre 2005

Ushuaia

� Vacances de l’équipe

5 janvier 2006

Cap Horn

� Tournage d’images au Cap Horn (les mers les plus hostiles de la planète)


6 janvier 2006

Île Diego Ramirez

� Tournage avec albatros et pétrels géants

10 Janvier 2006

Île du Roi George

� Escale rapide � Embarquement scientifique argentin


Si un point partage un segment dans un

rapport aaaabbbb, alors il est situé à aaaa

a+ba+ba+ba+b de la

longueur du segment.

PPaarrttaaggee dd’’uunn sseeggmmeenntt Avant d’apprendre comment partager un segment, il est primordial d’être en mesure de faire la différence entre ce qu’est un rapport et une fraction.faire la différence entre ce qu’est un rapport et une fraction.faire la différence entre ce qu’est un rapport et une fraction.faire la différence entre ce qu’est un rapport et une fraction. Le rapport et la

fraction peuvent être notés de la même façon… soyez vigilants.

� Un RRRRRRRRAAAAAAAAPPPPPPPPPPPPPPPPOOOOOOOORRRRRRRRTTTTTTTT est formé à partir de deux sections. Note : le mot « rapport » se retrouvera toujours dans la question ! � Une FFFFFFFFRRRRRRRRAAAAAAAACCCCCCCCTTTTTTTTIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN est formée à partir d’une section et d’un tout.

Exemple :

Voici un ensemble B de 5 billes

Le rapport du nombre de billes blanches au nombre de billes noires est : ________

La fraction du nombre de billes blanches est : _________

La fraction du nombre de billes noires est : _________

Le rapport du nombre de billes noires au nombre de billes blanches est : ________


Voyons la différence entre un rapport de ¾ et une fraction de ¾. Sur une droite numérique…

Rapport Rapport Rapport Rapport de de de de ¾¾¾¾ FractionFractionFractionFraction de de de de ¾¾¾¾

3 parties 3 parties 3 parties 3 parties PPOOUURR 4 4 4 4 3 parties 3 parties 3 parties 3 parties SSUURR 4 4 4 4

EExxeemmpplleess ::

A B C D E F

� Le point B est dans un rapport 1 : 4, (partie / partie), donc il est situé au 1/5 de sa longueur total (partie / tout).

� Le point C est dans un rapport 2 : 3, donc il est situé au 2/5 de sa longueur

total.

� Le point D est dans un rapport 3 : 2, donc il est situé au 3/5 de sa longueur total.

� Le point E est dans un rapport 4 : 1, donc il est situé au 4/5 de sa longueur

total.


Vérifions si tu es en mesure de placer un point de partage au bon endroit en faisant la différence entre un rapport donné et une fraction donnée.

EExxeerrcciicceess

1. Fais un point à l’endroit du point de partage P sachant que : a) le point P partage le segment AB dans un rapport de 1 sur 4

b) le point P est situé à la moitié du segment AB

c) le point P est situé au 83 de AB

d) le point P partage le segment AB dans un rapport de 2 : 8

e) le point P est situé au quart de AB


Poses-toi maintenant des questions à savoir ce qui est important dans le partage d’un segment. Comment as-tu fais pour trouver l’endroit où se situe le point de partage? Est-ce que la graduation t’était utile ? Quelles ont été les méthodes utilisées ?

Apporte ta propre conclusion à ce sujet.

�Est-ce qu’il y a une différence dans la façon de procéder si on parle de rapport ou de fraction ?�

Ma Ma Ma Ma CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNCCCCCCCCLLLLLLLLUUUUUUUUSSSSSSSSIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN en ce qui concerne le point de partage… en ce qui concerne le point de partage… en ce qui concerne le point de partage… en ce qui concerne le point de partage…

PPaarrttaaggee dd’’uunn sseeggmmeenntt oobblliiqquuee Faisons la même démarche sur un segment oblique… Lorsque nous vous demandions de trouver la distance d’un segment oblique, vous traciez d’abord le triangle rectangle s’y rapportant. La même étape devra aussi être faite pour trouver le point de partage de ce même segment !


Quelques traces…Quelques traces…Quelques traces…Quelques traces…

∆x = x2 – x1 ∆x = x2 – x1 ∆x = x2 – x1

∆y = y2 – y1 ∆x = x2 – x1 ∆x = x2 – x1

Fais d’abord l’exemple suivant… cela t’aidera à comprendre.

Exemple de question

1. Trouve les coordonnées du point de partage P qui se trouve au 32 de AB .

Les 32 de ∆x = 32 de _______ = ________ P ( , ) Les 32 de ∆y = 32 de ________ = ________

Est-ce un rapport ou une fraction ? ___________________

Compares-tu deux parties ou une partie et un tout? ________________

�


Quelques Quelques Quelques Quelques traces…traces…traces…traces…

∆x = x2 – x1 ∆x = x2 – x1 ∆x = x2 – x1

∆y = y2 – y1 ∆x = x2 – x1 ∆x = x2 – x1

Facile !?

Quelles étaient donc les coordonnées du point A ? ( , )

Et si on le changeait de place… est-ce que ça modifierait votre réponse ? Pourrais-tu trouver les coordonnées du point P aussi facilement ?

2. Trouve les coordonnées du point de partage P qui se trouve au 3

2 de AB . .

Les 32 de ∆x = 32 de _______ = ________ Est-ce les coordonnées de P ? Les 32 de ∆y = 32 de ________ = ________ Que dois-tu faire maintenant pour trouver les coordonnées du point de partage P ? ________________________________________________________________________ Donc, les coordonnées du point de partage sont : P ( , )


Poses-toi maintenant des questions à savoir ce qui est important dans le partage d’un segment oblique. Comment as-tu fais pour trouver l’endroit où se situe le point de partage? Est-ce que la graduation t’était utile ? Quelles ont été les méthodes

utilisées ? Apporte ta propre conclusion à ce sujet.

� Est-ce qu’il y a une différence dans le positionnement des points A et B ? �

Ma Ma Ma Ma CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNCCCCCCCCLLLLLLLLUUUUUUUUSSSSSSSSIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN en ce qui concerne le point de partage en ce qui concerne le point de partage en ce qui concerne le point de partage en ce qui concerne le point de partage d’un segment oblique… d’un segment oblique… d’un segment oblique… d’un segment oblique…

�� EstEstEstEst----il possible de vérifier sa réponse ? il possible de vérifier sa réponse ? il possible de vérifier sa réponse ? il possible de vérifier sa réponse ? ��


TThhééoorriiee

Notre conclusion…Notre conclusion…Notre conclusion…Notre conclusion…


EExxeerrcciicceess 1. Trouvez les coordonnées du point de partage P des segments AB suivants. a) Si le point P se trouve au 5

2 du segment AB .

Réponse : P ( , )

b) Si le point P partage le segment AB dans un rapport de 2 : 5. Réponse : P ( , )


c) Si le point P se situe à la moitié du segment AB .

Réponse : P ( , )

d) Si le point P partage le segment AB dans un rapport de 73 .

Réponse : P ( , )


2. Le point P (2,3) partage le segment d’origine A (-2, 5) et d’extrémité B dans le rapport 2

1 . Quelles sont les coordonnées de B ?

3. Le point P (-1, -2) partage le segment d’origine C et d’extrémité D (2, 3) dans le rapport 3 : 4. Quelles sont les coordonnées de C ?


4. Deux monuments historiques P et Q sont reliés par un sentier linéaire. Amélie, Bénédicte, Carl et Denis partent du monument P, empruntent ce sentier et se dirigent vers le monument Q.

Voici la position de ces quatre personnes au moment où chacune d’entre elle s’est arrêtée pour la première fois sur ce sentier.

� La position d’Amélie est située à égale distance des monuments P et Q. � La position de Bénédicte partage le sentier PQ dans un rapport 3 : 7, et ce, à partir du monument P.

� La position de Carl est située aux 2/5 de la distance entre les monuments P et Q, et ce, à partir du monument P.

� La position de Denis est située au tiers de la distance entre les monuments P et Q, et ce, à partir de P.

1. Au moment où ces quatre personnes se sont arrêtées pour la première fois, laquelle était la plus près du monument P ?

2. Au moment où ces quatre personnes se sont arrêtées pour la première fois, laquelle était la plus loin du monument P ?


5. Le segment de droite PQ est l’un des diamètres d’un cercle. Les coordonnées de chaque point sont : P (12, 76) et Q (96, -36).

a) Quel est la longueur du rayon de cercle ?

b) Quels sont les coordonnées du centre de ce cercle ?


PPooiinntt mmiilliieeuu


Quelques traces…

x2 – x1

Quelques traces…

x2 – x1

EstEstEstEst----ce si simple !? ce si simple !? ce si simple !? ce si simple !? 1. Trouvez les coordonnées du point milieu du segment dont les coordonnées des extrémités sont (6, 6) et (12, -12)

RéponseRéponseRéponseRéponse : : : :

FFaaiissoonnss llee pprroobbllèèmmee àà ll’’eennvveerrss…… 2. Les coordonnées du point A sont (50, 157). Le point B (84, 201) est situé à mi-chemin entre A et C. Donne les coordonnées de C.

Un plan cartésien pour t’aider…


RéponseRéponseRéponseRéponse : : : :

Pour trouver x : Pour trouver y :

50 + x = 84

2

50 + x = 168 (produits croisés)

x = 118

157 + y = 201

2

157 + y = 402 (produits croisés)

y = 245

Les coordonnées du point C sont donc : C (118, 245 )

EExxeerrcciicceess 1. Les points K (-2, 5) et L (6, 7) sont les deux extrémités d’un segment. a) Détermine les coordonnées du point milieu M de KL . b) Quelle est la distance entre les points K et le point M ?

c) Est-ce la même distance que la distance entre les points L et M ? _________ d) Quel est le rapport de distance du point M par rapport au segment KL ? ________


2. Le plan d’un parc public comprend un grand bassin circulaire. Les points de coordonnées (-3, 7) et (9, -9) de ce plan correspondent aux extrémités du diamètre de ce bassin.

a) Quelles sont les coordonnées du centre de ce bassin ? b) Quel est le rayon du bassin ?

3. Dans chacun des cas suivants, le point M est le point milieu d’un segment AB . Détermine les coordonnées de B si : a) A (5, 0) et M (8, 0) b) A (-5, 6) et M (8, -11)


RRééppoonnsseess # 1 # 1 # 1 # 1 a) M(2, 6)

b) 4,12

c) oui

d) 1 : 1

# 2 # 2 # 2 # 2 a) M (3, -1)

b) 10

# 3 # 3 # 3 # 3 a) B (11, 0)

c) B (21, -28)


1. Quelle est la distance entre les points A et B suivants ? a) b) d(A, B)=__________

d(A, B)=__________

d) A(-4, -3) et B (4, 3) c)

d(A, B)=__________ e) A(2, 30) et B (-5, 60) d(A, B)=__________

d(A, B)=__________

RRééccaappiittuullaattiioonn


2. Trouvez les coordonnées manquantes. a)

y = _________ b)

x = _________


c) y = _______ 3. Observe la droite suivante et réponds ensuite aux questions.

A B C D E F G H I J K

a) Quel est le rapport du point C ? _______

b) Le point F est situé à quelle fraction du segment AK ? ________

c) Le point H est situé dans quel rapport du segment AJ ? ________

d) Quel est le point situé au deux cinquièmes de AK ? ________

e) Quel point partage le segment AK dans un rapport de 3 : 7 ? ________

f) Quel point partage le segment AK dans un rapport de 2 : 3 ? ________


4. Un bateau de pirate possède un radar afin de détecter les intrus pour mieux les

capturer. Ce radar capte les autres bateaux jusqu’à une distance de 4,25 km.

a) Détermine s’il est possible pour le bateau pirate (indiqué par le point C ) de détecter la venue des bateaux A et B. Justifie ta réponse .

Bateau A : __________ Bateau B : ___________

b) Supposons que le radar fasse une rotation de 360° autour du

bateau, quelle serait la superficie totale détectée par ce radar ? (en km2)


5. Trouve les coordonnées du point de partage P si tu sais qu’il est situé

a) aux deux tiers du segment AB .

P ( , )

b) dans un rapport de 3 : 5 du segment AB .

P ( , )


6. Benoît, Sylvain et Valérie sont bénévoles à l’occasion d’un marathon. Chacun est responsable d’un poste de ravitaillement situé le long du parcours de ce marathon.

� Le poste de Benoît est situé aux 3/4 du parcours.

� Lorsqu’un participant arrive au poste de Sylvain, la distance qu’il a parcourue

est égale à celle qu’il lui reste à parcourir.

� Lorsqu’un participant arrive au poste de Valérie, la distance qu’il a parcourue est le double de celle qu’il lui reste à parcourir.

Dans quel ordre les participants au marathon rencontrent-ils les postes de ravitaillements ?


7. Un garage, une pharmacie et une épicerie sont situés sur la rue Beausoleil. La pharmacie est située entre le garage et l’épicerie.

Dans le plan cartésien, les coordonnées du garage et de l’épicerie sont respectivement (45, 208) et (141, 52). La distance entre le garage et la pharmacie est 3 fois la distance entre la pharmacie et l’épicerie. Quelles sont les coordonnées du point représentant la pharmacie ?


8. Les points P, Q et R sont des points du segment de droite MN.

Le point P est situé à mi-chemin entre les points MN. Le point Q est situé au 5/6 du segment MN, et ce, à partir de M. La distance entre les points R et M est le double de la distance entre les points R et N.

1. Parmi les points P, Q et R, lequel est situé le plus près du point N ? 2. Parmi les points P, Q et R, lequel est situé le plus loin du point N ?


RéponsesRéponsesRéponsesRéponses #1

a) 5 b) 8 c) 11,66 d) 10 e) 30,81

#2

a) y = 7 b) x = 8 c) y = -4

#3

a) 2/8 b) 5/10 ou ½ c) 7/2 d) E e) D f) E

#4

a) Bateau A: Non, car la distance est de 6,08 km b) Bateau B : Oui, car la distance est de 4,24 km c) Superficie = πr2 = π . 4,252 = 56,75 km2

#5

a) P (8, 6) b) P (1, -1)

#6 Dans l’ordre : Sylvain – Valérie – Benoît

#7 (117, 91)

#8 1. Q 2. P


Benoît, étudiant en 5e secondaire, aimerait participer à une expédition comme celle de Jean Lemire. Comme il se doit d’être en pleine forme pour faire un tel voyage, Il

s’interroge sur la valeur calorique de sa consommation hebdomadaire. D’après les diététiciens du Canada, un adolescent âgé entre 14 et 18 ans devrait ingérer 2850

calories par jour.

Voici son menu pour la journée :

Déjeuner

• 2 rôties de pains blancs tartinées de deux cuillères à table de Nutella • Un verre de 250ml de lait 3,25%

Collation de l’avant-midi

• 2 galettes double chocolat de marque Quaker

Dîner • Une poutine (200 g de fromage, une portion de frites, 200 ml de sauce) • 355 ml de boisson gazeuse • 1 gâteau de marque Jos Louis

Collation de l’après-midi • 1 petit sac Crisper

Souper • Spaghetti (1 tasse de pâtes, 160 ml de sauce à la viande, 100 g de fromage) • 1 tranche de pain blanc • 1 petite canne de salade de fruits • 500 ml de lait 3,25%

Collation de la soirée

• 1 pomme

Benoît est conscient qu’il a consommé aujourd’hui un surplus de calories par rapport à ce qu’on suggère dans le guide alimentaire Canadien. Il décide

donc, après l’école, de partir à vélo pour parcourir le trajet illustré sur la carte afin d’éliminer les calories ingérées en trop.

Sachant qu’en pratiquant cette activité, Benoît brûle en moyenne 20 calories par kilomètre, il pense que ce trajet va lui permettre de dépenser ce surplus

de calories. A-t-il raison?


Voici le trajet que Benoît désire emprunter.

1 unité : 200 mètres : Trajet utilisé par Benoît � K est l’origine du plan et est situé

au milieu deBN . � A possède 9 comme abscisse. � B est situé à 13 unités de

l’origine.

� D est situé aux 35

de BG .

� E est au milieu de J K . � G est à 20 unités de l’origine.

� UV est la hauteur du triangle isocèle NUT.

� BFTN est un rectangle. � ABNM est un parallélogramme

possède une surface 130 unités carrées.

� PKJR est un carré.

� Q est situé au centre de PE . � W partage le segment TU dans

un rapport 3 :7.

� UV mesure 6 unités.

liste de référence en calories

Une rôtie blanche : 100

Une cuillère à table de nutella : 100


250 ml de lait 3,25% : 160

Une galette Quaker au chocolat : 190

Une portion moyenne de frites : 780

Sauce à poutine 142 ml : 80

Fromage 20 g : 30

355 ml de boisson gazeuse : 150

Gâteau Jos Louis régulier : 290

Un petit sac de Crisper : 270

Une tasse de spaghetti : 900

Sauce à la viande (1 portion) : 160

Petite boîte de salade de fruits : 90

1 pomme : 80


Démarche :


Démarche :

DDDDDDDDééééééééppppppppllllllllooooooooyyyyyyyyeeeeeeeerrrrrrrr uuuuuuuunnnnnnnn rrrrrrrraaaaaaaaiiiiiiiissssssssoooooooonnnnnnnnnnnnnnnneeeeeeeemmmmmmmmeeeeeeeennnnnnnntttttttt mmmmmmmmaaaaaaaatttttttthhhhhhhhéééééééémmmmmmmmaaaaaaaattttttttiiiiiiiiqqqqqqqquuuuuuuueeeeeeee

Manifestation

A B C D

Cr.3

Cr.2

Critères d’évaluation

Cr.4 Cr.5 Cr.1

Benoît a-t-il raison ?

� Oui � Non

Pourquoi ?

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________


Nom : ________________________________________ Groupe : ________

MMoonn ttrraavvaaiill eenn ééqquuiippee Auto-évaluation (post-tâche)


1. Je me suis engagé dans la tâche.

2. J’ai respecté mon rôle dans l’équipe.

3. J’ai partagé mes opinions avec les membres de mon équipe.

LLee ttrraavvaaiill eenn ééqquuiippee ddee mmeess ccoollllèègguueess Auto-évaluation (post-tâche)


1. Tous mes collègues se sont engagés dans leurs tâches.

2. Tous mes collègues ont respecté leur rôle dans l’équipe.

3. Tous les membres de l’équipe ont partagé leur opinion.

4. Tous les membres de l’équipe ont participé équitablement à la tâche.

Commentaires :

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aÉÅ M rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrVous êtes capables de trouver ∆x en faisant x 2 – x 1 Vous...

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Transcript of aÉÅ M rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrVous êtes capables de trouver ∆x en faisant x 2 – x 1 Vous...