00.page de garde TOM1-Vibrations - cours, examensSommaire Avant propos Nomenclature Sommaire TOME 1...

République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche

Scientifique

Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEFFaculté : SciencesDépartement : PhysiqueDomaine : ST-SM

TOME 1:

VIBRATIONS

Rappels de CoursProblèmes posés aux concours d’entrée aux

Grandes Ecoles Scientifiques

Module : Physique 03Niveau : 2ième Année Licence

Présenté par:Dr Fouad BOUKLI HACENE

Année Universitaire : 2014 /2015

DEDICACES

Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:

Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis,

pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et

matériel qui m'a permis d’achever ce travail.

Je le dédie également à:

Ma très chère femme et mes chers enfants

Mes chers frères et sœurs

Mes oncles et tantes

Toute ma famille et mes proches

Sommaire

Avant propos

Nomenclature

Sommaire

TOME 1 : VIBRATIONS

Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations. 1

Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté. 9

Chapitre 3 : Mouvement oscillatoire amorti à un degré de liberté 38

Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé à un degré de liberté. 50

Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté. 82

Références bibliographiques

Nomenclature

)t(p Coordonnées généralisées

TE Energie totale du système

cE Energie Cinétique du système

cE Energie Cinétique moyenne du système

pE Energie potentielle su système

L Lagrangien du système

S Action du système

exeF

Forces extérieures appliquées au système

exeM

Moments extérieurs appliqués au système

0 Pulsation propre du mouvement libre

A Amplitude

Déphasage

0T Période propre du mouvement libre

k Constante de raideur du ressort

C Constante de torsion

J Moment d’inertie

R Rayon d’un disque

m Masse d’un système

ix Coordonnées du système

V

Vitesse du déplacement

Masse volumique

l Longueur du ressort

0l Longueur du ressort à vide

0P Pression du gaz à l’équilibre

0V Volume du gaz à l’équilibre

dx Tranche d’élément entre les positions x et x+dx

apC Capacité électrique

indL Capacité électrique

q Charge qui circule dans le circuit

)t(u Tension d’alimentation

frf

Force de frottement

Coefficient de frottement

Facteur d’amortissement

Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti

T Pseudo Période du mouvement faiblement amorti

)t(f Force extérieure appliquée au système

Pulsation Force extérieure appliquée au système

)t(pg Solution générale du mouvement force

)t(p p Solution particulière

r Pulsation de résonance du mouvement forcé

21 , Pulsation de coupure en régime forcé

Bande passante

Q Facteur de qualité

Z~

Impédance

Masse linéique de la corde

Masse surfacique

T Tension de la corde

Tension linéaire

E Constante de Young

w Longueur d’onde

0k Vecteur d’onde

V Vitesse de propagation

s Coefficient de compressibilité

Avant propos

Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières

scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il

répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques »

enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la

matière.

Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations

et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.

Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques

réparties en Huit chapitres.

Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du

formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude

des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté

est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti

qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse

du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au

quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de

liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées

dans les cinq chapitres.

Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes

mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités

des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre

traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier

chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.

Dr Fouad BOUKLI HACENE

1Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations


TOME 1

VIBRATIONS

Chapitre 1:

Généralités sur les oscillations



Rappels théoriques

La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement

autour de sa position d’équilibre.

Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il existe des mouvements qui

se répètent : les battements du cœur, le mouvement d'une balançoire, le

mouvement alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Tous ces

mouvements ont un trait commun : une répétition du mouvement sur un cycle.

Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se

renouvellent toujours dans le même ordre. Prenez à titre d'exemple le cycle à

quatre temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre

étapes (admission, compression, explosion, échappement) qui se répètent durant

un cycle moteur.

On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque

cycle se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période.

Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la

mécanique est celui d'un objet qui se déplace de sa position d'équilibre et y

revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.

Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement

oscillatoire. Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un

pendule ou les vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de

mouvements oscillatoires.

Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus

complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un

amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle

mécanique", est décomposé à la figure 1.1 en plusieurs sous-systèmes "masse-

ressort-amortisseur" représentant la tète, les épaules, la cage thoracique et les

jambes ou les pieds.



Figure 1.1 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.

Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes

physiques un système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle

représentatif pour étudier les oscillations comme suit, figure 2.1 :

Figure 2.1: Schéma masse-ressort

F(t) s’appelle la force de rappel qui est proportionnelle à l’allongement x(t). La

constante k est appelée la constante de raideur.



Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, figure 3.1 :

Figure 3.1 : Configurations pour le système masse-ressort

La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :

En parallèle, on a la figure 4.1 :

Figure 4.1 : Ressorts en parallèles

La raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que :

21 kkkeq

En série, on a la figure 5.1 :



Figure 5.1 : Ressorts en séries

La raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 telle que :

21

111

kkkeq

Un système physique oscillant est repéré par la coordonnée généralisée p qui est

définit par l’écart par rapport à la position d’équilibre stable.

On définit q le nombre de degré de liberté par le nombre de mouvements

indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations

différentielles du mouvement.

L’énergie cinétique d’un système mécanique s’écrit sous la forme :

2ii

1nc pm

2

1E

L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir de développement

limité de Taylor sous la forme:

...pp

E

6

1p

p

E

2

1p

p

E)0(EE 3

0p3

p3

20p2

p2

0p

p

pp

La valeur p=0 correspond à la position d’équilibre du système

caractérisée par :

0p

E0p

i

p



Il existe deux types d’équilibre :

Equilibre stable, représenté par la figure 6.1 :

Dans ce cas la, La condition nécessaire est que :

0p

E0p2

p2

Figure 6.1: Equilibre stable

Equilibre instable représenté par la figure 7.1 :

Dans ce cas la, La condition nécessaire est que

0p

E0p2

p2

Figure 7.1: Equilibre instable



Le mouvement oscillatoire est dit linéaire si cet écart est infinitésimal. A cet

effet l’énergie potentielle prend la forme quadratique en fonction de l’écart par

rapport à la position d’équilibre représentée comme suit:

202

2

2

1p

p

EE p

p

p

La constante2

2

p

E p

est appelée la constante de rappelle.

Ainsi ; la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement

et opposée au mouvement telle que:

pp

EtF p

p 02

2

)(

L’équation du mouvement pour un système conservatif peut être déterminée

par trois méthodes :

Principe de la conservation d’énergie totale :

0tan dt

dEteConsEEE T

pcT

Où TE est appelée l’énergie totale du système.

La loi dynamique de Newton :

i1n

ii amF

Où ia

est appelée l’accélération des composantes du système.

Méthode de Lagrange-Euler:

tetanConsEE)pL(p, pc

Où L est le Lagrangien du système.

Dans le cas d’un système dit conservatif, on a les forces dérivent d’un

potentiel.



On définit l’action du système comme la sommation, entre l’intervalle du

temps, 10 t,t le long du trajet du système, de la différence entre l'énergie

cinétique et l'énergie potentielle.

1

0

t

t

)dtpL(p,

La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle. Cette

méthode aboutit aux équations d'Euler-Lagrange qui donnent des chemins sur

lesquels l'action est minimale.

En appliquant le principe de moindre action, 0 , on obtient

l’équation d’Euler- Lagrange pour un système conservatif comme suit :

n,1i0)p

L)

p

L(

dt

d

ii

L’équation du mouvement pour un système dissipatif (non conservatif) peut

être déterminée comme suit :

Système en translation :

n,1iF)p

L)

p

L(

dt

dext

ii

Où extF

sont les forces extérieures appliquées au système.

Système en rotation

n,1iM)p

L)

p

L(

dt

dext

ii

Où extM

sont les moments extérieurs appliqués au système.

Dans ce cas les forces ne dérivent pas d’un potentiel.

9Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté


Chapitre 2 :

Mouvement oscillatoire libre à un degré de

liberté



Rappels théoriques

Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée

généralisée p qui est l’écart par rapport à l’équilibre stable.

On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle suivante :

0)t(p)t(p 20

Où ω0 est appelée la pulsation propre du système.

On définit la période propre T0 comme suit :

0

0

2T

La solution de cette équation différentielle est de forme sinusoïdale tel que :

)tcos(A)t(p 0

Où A représente l’amplitude des oscillations et ϕ est le déphasage. Les constantes A et

ϕ sont déterminées par les conditions initiales suivantes :

0

0

p)0t(p

p)0t(p

A- Réponse de la position B- Réponse de la vitesse

Figure 1.2 : Mouvement oscillatoire libre



Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la

position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et

l’énergie potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée

généralisée p.

En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.

Quelques exemples d’applications:

Ressort :

Figure 2.2 : Mouvement oscillatoire d’un ressort

Le vecteur de position est égal à :

ixvixmo

L’énergie cinétique s’écrit :

22c xm

2

1mv

2

1E

L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme:

2p kx

2

1E

Alors, le Lagrangien du système est de la forme:

22

2

1

2

1kxxmEEL pc



L’équation de mouvement est de la forme :

kxx

Lxm

x

L0

x

L)

x

L(

dt

d

D’ou

0xxm0kxxm 20

La pulsation propre est égale :

m

k20

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :

)cos()( 0 tAtx

Pendule simple :

Figure 3.2 : Mouvement Oscillatoire d’un pendule simple

Le vecteur de position s’exprime comme suit:

sinly

coslxv

cosly

sinlxmo

D’où :

2222lyxv


222c ml

2

1mv

2

1E

Pour l’énergie potentielle on a:

cosmglE p



Alors, le Lagrangien du système s’écrit :

cosmglml2

1EEL 22

pc

L’équation de mouvement pour des petites oscillations, est :

sinmglL

mlL

0L

)L

(dt

d 2

D’ou :

sin

0mglml 2

Donc l’équation du mouvement s’exprime comme suit :

00l

g 20

La pulsation propre est égale à :

l

g20

La solution de l’équation différentielle est de la forme :

)cos()( 0 tAtx

Système de torsion :

Un corps rigide de moment d’inertie J0 oscille autour d’un axe avec une

constante de torsion kt

Figure 4.2 : Mouvement oscillatoire de torsion


20c J

2

1E



Pour l’énergie potentielle on a :

2tp k

2

1E

Le Lagrangien du système s’écrit alors:

2t

20pc k

2

1J

2

1EEL

L’équation différentielle s’écrit :

t0 kL

JL

0L

)L

(dt

d

D’où :

0J

k

0

t

La pulsation propre s’écrit alors :

0

t20

J

k


)tcos(A)t( 0

Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de

torsion reportés dans la figure 5.2.



Figure 5.2 : mouvement oscillatoire de torsion d’un pont



Applications

Problème 1:

Soient les systèmes mécaniques suivants :

o Une poulie de masse M, de moment d’inertie J, et de rayon R, suspendue au

point O par un ressort de raideur k. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans

frottement relié par une masse m, figure 6.2

o Un système de bras rigidement liés et tournant dans le plan de la figure autour

du point fixe O. A l’équilibre le bras L3 est vertical, figure 7.2.

o Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de

sections S1, S3 reliés par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui

contient un liquide de masse volumique. Le système est équivalent à un

ressort de raideur ke et de masse Me. A l’équilibre le liquide a la hauteur H,

figure 8.2.

Figure 6.2: Mouvement oscillatoire de la polie



Figure 7.2: Mouvement oscillatoire du bras

Figure 8.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube

Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système :

Le nombre de degré de liberté.

L’énergie cinétique, l’énergie potentielle. En déduire le Lagrangien.

L’équation différentielle du mouvement.

La période propre.



Solutions :

Figure 6.2:

La figure 6.2-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 6.2-b

représente l’état du système en mouvement.

Les paramètres, (X01, X02) et (X1, X2) représentent respectivement les positions

des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement.

Le nombre de degré de liberté :

La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que:

En équilibre :

)XX(RXDl 010201

En mouvement :

)XX(RXDl 121

Apres l’égalité des deux équations, on obtient :

dépendantssontx,xx2x 2112

Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui représenté par x1.



Le Lagrangien est :

L’énergie cinétique s’exprime:

22

21

21c xm

2

1J

2

1xM

2

1E

Pour l’énergie potentielle:

21p kx

2

1E

Le Lagrangien s’écrit alors :

21

212pc kx

2

1x)

R

Jm2M(

2

1EEL

L’équation différentielle s’exprime comme suit:

0x)

R

Jm4M

k(x0

x

L)

x

L(

dt

d1

2

111

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0xx0x)

R

Jm4M

k(x 1

2011

2

1

Avec :

2

20

R

Jm4M

k

La période propre T0 :

2

O

R

Jm4M

k

2T



Figure 7.2:


On définit les petits déplacements comme suit :

dépendantssontx,x,xlx,lx,lx 321332211

Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ

Le Lagrangien du système :

Pour l’énergie cinétique on a :

2233

2222

2211

2ii

1i

c lm2

1lm

2

1lm

2

1xm

2

1E

L’énergie potentielle s’exprime:

cosglmkl2

1kl

2

1E 33

222

221p


cosglm)l(k2

1lm

2

1EEL 33

22

1i

i

3

1i

2i

2iipc



L’équation différentielle est de la forme:

00)

lm

mglklkl(0

L)

L(

dt

d 203

1i

2ii

121

22

Avec :

3

1i

2ii

121

222

0

lm

mglklkl

La période propre T0 :

1i

2ii

121

22

O

lm

mglklkl

2T

Figure 8.2:




On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U

D’où,

sdépendantesontxxxscoordonnéelesxSxSxS 321332211 ,,

Donc le nombre de degré de liberté est égal a , qui est représenté par x1.

Le Lagrangien du système:

A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente du système:

21e

3

1i

2iic xM

2

1xm

2

1E

D’où :

332211

21e

3

1

2

11

21

hSm,BSm,hSm

Avec

xM)S

S

S

S

h

B1(hSx

Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit :

)S

S

S

S

h

B1(hSM

3

1

2

11e

On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie potentielle, on a alors :

13

1131111e

21ep x)

S

S1(ghS)xx(gSPSxkFxk

2

1E

Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente du système

comme suit :

3

11e

S

S1(ghSk

Le Lagrangien du système s’écrit alors :

21e

21e

1i

2ii

2ii

1i

pc

xk2

1xM

2

1xk

2

1xm

2

1L

EEL

L’équation différentielle est de la forme :

0xx0x)M

k(x 1

2011

e

e1



La pulsation propre ω0 est égale à :

)S

S

S

S

h

B1(hS

)S

S1(ghS

M

k

3

1

2

11

3

11

e

e20

Problème 2:

On modélise le mouvement d’un baffe d’une radio par un résonateur d’HELMOTZ,

présenté comme un gaz parfait de pression P0, de volume V0 à l’équilibre thermique,

enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans frottement

suivant l’axe Ox comme le montre la figure (9.2)ci-dessous :

Figure 9.2 : Modélisation physique du mouvement d’un baffe-Résonateur

d’Helmholtz

L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi

fondamentale de la dynamique.

En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.



Solutions :

En appliquant la méthode des forces on obtient :

1i

rapixmPS

Ox:SuramFPamF

Puisque l’opération est adiabatique, on a:

SxV

PP

V

V

P

PtetanconscPV

0

0

00

L’équation différentielle s’écrit alors :

0xx0x)mV

SP(x 2

00

20

La pulsation propre est de la forme :

mV

SP

0

202

0

La solution générale est de la forme:

)tcos(A)t(x 0

Problème 3:

Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de

longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans les figures 10.2 : A-B-C

comme suit:



(A) (B) (C)

Figure 10.2 : Couplage Pendule simple-Ressort

Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (10.2):

Le Lagrangien.


La pulsation propre et la solution générale.

Interpréter les résultats.

Solutions :

Figure (10.2) :

Système A :

Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :

ax

Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de

liberté est égale à 1, représenté la variable θ



L’énergie cinétique :

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m


222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle s’exprime comme suit :

axaveccosmglkx2

1E 2

p


cosmgl)a(k2

1ml

2

1EEL 222

pc

L’équation différentielle du mouvement est :

0)ml

mglka(0

L)

L(

dt

d2

2


2

220

ml

mglka


)tcos(A)t( 0



Système B :

L’énergie cinétique

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m

D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :

axaveccosmglkx2

1E 2

p


cosmgl)a(k2

1ml

2

1EE),(L 222

pc


0)ml

mglka(0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est :

2

220

ml

mglka




)tcos(A)t( 0

Système C:

L’énergie cinétique

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m

D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle s’écrit :

2p kx

2

1E


222pc )sina(k

2

1ml

2

1EEL


0ml

ka0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est :



2

220

ml

ka


)tcos(A)t( 0

Problème 4:

On considère un fléau constitué d’une tige métallique de masse négligeable, de

longueur l portant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au

point fixe O comme le montre la figure 11.2 A l’équilibre la barre est horizontale.

(A) Etat d’équilibre (B) Etat en mouvement

Figure 11.2 : Modèle physique du Fléau

Déterminer:

La condition d’équilibre et l’allongement du ressort.

Le Lagrangien du système

L’équation différentielle du mouvement,

La pulsation propre et la période propre.

La solution générale avec les conditions initiales suivantes :

0)0t(x et 0

*

v)0t(x



Application numérique :

On prend : m=M=1Kg, k=20N/m

Solutions :

Le Lagrangien :

On a les déplacements infinitésimaux comme suit :

dépandantssontx,x4

l3x,

4

lx 2121

On a donc un seul degré de liberté représenté par θ.

L’énergie cinétique s’exprime :

4

l3x,

4

lxavec)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1xM

2

1xm

2

1E 21

2222

21c

L’énergie potentielle s’écrit :

22p )

4

l(k

2

1)

4

l(k

2

1E


222pc )

4

l(k)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1EEL

D’où :

222

)4

l(k)mM9(

16

l

2

1),(L

L’équation différentielle du mouvement :

0M9m

k20

L)

L(

dt

d

Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T0 sont de la

forme :

M9m

k2

2Tet

M9m

k2O

20


)tcos(A)t( 0



Problème 5 :

En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale,

de longueur l de moment d’inertie J0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de

torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On

appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes

identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 12.2.

Figure 12.2 : Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion

Déterminer le Lagrangien du système

Etablir l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre et la solution générale

Solutions :



4

lm2JJavecJ

2

1E

2

02

c




2p D

2

1E


22pc D

2

1J

2

1EEL

L’équation du mouvement est de la forme:

00J

D0

L)

L(

dt

d 20


J

D20

La solution générale est de la forme :

)tcos(A)t( 0

Problème 6 :

Soit un disque de masse M, de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre

O, l’autre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant

l’axe Ox comme le montre la figure 13.2 :

Figure 13.2 : Mouvement oscillatoire d’un disque

Etablir le Lagrangien du système.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale



Solutions :

Figure 13.2-a : Etat d’équilibre

Figure 13.2-b : Etat en mouvement

Le degré de liberté :

On a le déplacement infinitésimal comme suit

dépendantssont,xRx

Le système a un seul degré de liberté représenté par x



RxavecxM2

1J

2

1E 22

c

L’énergie potentielle s’exprime :



22p )

2

Rx(k

2

1)x(k

2

1E

Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit :

22

2kx

4

13

2

1x)

R

JM(

2

1)x,x(L

L’équation différentielle s’écrit sous la forme :

0xx0x

R

JM

k4

13

x0x

L)

x

L(

dt

d 20

2


2

20

R

JM

k4

13

La solution générale s’écrit alors :

)tcos(A)t(x 0

Problème 7 :

Soit un système électrique (Lind, Cap) en série représenté dans la figure 14.2 comme

suit :

Figure 14.2 : Circuit L.C Libre

A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre du mouvement.

Solutions :



La loi des mailles :

indLap

L

i

i jLZavec0C

q)t(iZ0V

indind

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0C

q

dt

)t(diL

apind

L’équation différentielle devient alors :

dt

dq)t(iavec0)t(q

C

1qL

ap

ind

On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit :

0)t(kxxm0)t(qC

1qL

apind

D’où :

kc

1)t(x)t(q

mL

ap

ind

La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme :

apind

20

CL

1



Problèmes supplémentaires

Problème 8 :

Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la

suspension.

Figure 15.2 : Fréquence propre des plots anti-vibratiles

Problème 9:

Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l0. La figure 16.2

représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant

l’axe Ox

Figure 16.2: Mouvement oscillatoire transversal

Déterminer:

Le Lagrangien du système.


La pulsation propre, la période propre et la solution générale.



Problème 10:

On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une

charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus

lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que

parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0,

nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx,

les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les

quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 17.2:

Figure 17.2 : Mouvement Oscillatoire du plasma

En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du

mouvement.

En déduire la pulsation propre du système.

38Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté


Chapitre 3 :

Mouvement amorti à un degré de liberté



Rappels théoriques

En réalité tous les systèmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans

ce chapitre on doit tenir compte l’influence de la force de frottement visqueuse de type

Vf fr

sur les oscillations du système. Ce type de mouvement est appelé

mouvement amorti.

On définit l’oscillation amorti comme suit :

0)t(p)t(p2)t(p 20

Avec

m

ket

m2 2

0

Où est un coefficient positif et est appelé facteur d’amortissement. La résolution de

cette équation se fait par le changement de variable, l’équation devient alors :

0r2r 20

2

On calcule le discriminent ’et on obtient alors :

20

2'

Il existe trois types de solutions :

Cas où le système est fortement amorti : 0

La solution de l’équation différentielle s’écrit comme suit :

20

22,1

tr2

tr1

r

eAeA)t(p 21

Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :

)0t(p

)0t(p

On dit que le système a un mouvement apériodique.



Figure 1.3: Mouvement amorti apériodique

Cas où l’amortissement est critique : 0

La solution de l’équation est de la forme :

rrr

e)AtA()t(p

21

tr21

Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :

)0t(p),0t(p

Figure 2.3: Mouvement amorti critique

Cas où l’amortissement est faible : 0


220

t avec)tcos(Ae)t(p



Où A et sont des constantes à déterminer par les conditions initiales :

)0t(p

)0t(p

Figure 3.3: Mouvement oscillatoire amorti

On définit la pulsation du système comme suit:

220

On définit la période du système T appelé pseudo-période comme suit :

2T

On définit le décrément logarithmique qui représente la décroissance de

l’amplitude à une seule période du système comme suit:

)Tt(p

)t(pLn

Il faut signaler que le système subit une perte d’énergie totale due au travail des

forces de frottement.

0WEdWdt)t(p)t(dE rfTrf2

T



Applications

Problème 1 :

On définit un oscillateur amorti régi par l’équation différentielle suivante :

0kxxxm.

Avec m est la masse du corps, k est le coefficient de rappel et x est le déplacement du

corps. On lance le système avec une vitesse initiale v0=25cm/s.

Donc on a : t=0, x=0 et 0vx

Calculer la période propre du système,

Sachant que : m=150g et k=3.8N/m.

Montrer que si α=0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti.

Résoudre dans ce cas l’équation différentielle.

Calculer le pseudo-période du mouvement.

Calculer le temps mt au bout duquel la première amplitude mx est atteinte. En

déduire mx .

Calculer la vitesse d’une pseudo-période.

Solutions :

L’équation du mouvement amorti est de forme :

20

20

..

m

ket

m2avec0xx2x0kxxxm

La période propre du système est T0:

s25.1

m

k

2T

s/rad5m

k

O

0



L’équation différentielle du mouvement se transforme en :

21

Avec

021'

0r2r

220

20

2'

20

2

Le corps m a un mouvement oscillatoire amorti.

La résolution de cette équation différentielle est de forme :

)tcos(Ae)t(x t

En appliquant les conditions initiales :

20cos0x,0t

2avec

vAvx,0t 0

0

La solution finale sera exprimée comme suit :

tsinev

)t(x)tcos(Ae)t(x t0t

La figure 2.1 représente le mouvement oscillatoire amorti.

Figure 4.3 : Mouvement oscillatoire amorti

La pseudo-période se calcule :

s37.12

T

Le temps de la première amplitude mt



Il faut que :

Arctg

t0dt

)t(dx)tt(x mttm m

D’où :

4

Ts25.0tm

Problème 2 :

Soient les systèmes mécaniques représentés dans les figures 5.3 et 6.3 come suit :

figure 5.3 : Mouvement oscillatoire amorti en

rotation

Figure 6.3 : Mouvement oscillatoire

amorti en translation

Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système :

Le Lagrangien


La pulsation propre

La solution générale pour un faible amortissement.



Solutions :

Figure 5.3 :

Le Lagrangien :


222c ml

2

1mv

2

1E

Pour l’énergie Potentielle on a:

2

lsin

2

lxaveccosmglkx

2

12E 2

p

Le Lagrangien s’écrit sous la forme :

cosmgl)2

l(kml

2

1EEL 222

pc

Après calcule, l’équation différentielle est égale à :

0ml

mgl)2

l(k2

mM

L)

L(

dt

d2

2

ext

D’ou :

2

2

20

20

ml

mgl)2

l(k2

,m

2

02

Avec

La solution générale est pour un faible amortissement est de la forme:

)tcos(Ae)t( t

Figure 6.3 :

Le Lagrangien :

L’énergie cinétique on a:

22c xm

2

1mv

2

1E

L’énergie Potentielle s’écrit :

22p )x(k

2

1kx

2

1E




22pc kxxm

2

1EEL

On obtient l’équation différentielle du mouvement après calcul comme suit :

0xm

k2x

mxF

L)

L(

dt

dext

D’où

m

k2,

m2

0xx2xAvec

20

20

La solution générale pour un faible amortissement est de la forme :

)tcos(Ae)t(x t

Problème 3 :

On considère un système mécanique amorti, oscillant autour d’un axe passant par O

représenté par une tige métallique de longueur l de masse négligeable reliée par un

ressort de constante de raideur k au point l/2 comme le montre la figure 7.3:



Déterminer l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre du système.



Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle du

mouvement avec les conditions initiales suivantes :

0)0t(,0)0t(

Solutions :

Le Lagrangien :

Le système a un seul degré de liberté représenté par θ


222c ml

2

1mv

2

1E


2

lsin

2

lxaveckx

2

1E 2

p

Le Lagrangien s’écrit :

222pc )

2

l(k

2

1ml

2

1EEL

L’équation différentielle est :

0ml

4

lk

mM

L)

L(

dt

d2

2

ext

D’où :

2

2

20

20

ml

4

lk

,m

2

02

Pour un faible amortissement la solution s’écrit sous la forme :

)tcos(Ae)t( t

Avec les conditions initiales , on a

0

0

A,2

,0,0tavec

Alors, la solution générale s’écrit :

tsine)t( t0



Problème 4:

Soit une boule de masse m suspendue à une tige de longueur l, de masse négligeable et

plongée dans un liquide. Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse

dont le coefficient de frottement est comme le montre la figure 8.3 comme suit :

Figure 8.3 : Mouvement oscillatoire amorti du pendule


Déterminer l’équation du mouvement.

Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle.


Sachant on a: m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximale ue ne

doit pas atteindre pour que le système oscille.

On prend la valeur de égale à 10N.s/m :

Calculer le temps nécessaire τ pour que l’amplitude diminue à ¼ de sa valeur.

Solutions :


Le système a un seul de gré de liberté représenté par θ

L’énergie cinétique s’exprime :

22c ml

2

1E




cosmglE p

D’ou le Lagrangien s’écrit comme suit :

cosmglml2

1EE),(L 22

pc

L’équation différentielle est :

l

g,

m2

Avec

02

20

20

La solution générale est :

)tcos(Ae)t( t

La valeur maximale de max :

m/s.N94.8l

gm20 max

20

2

Le temps τ :

s28.04ln

e4

1Ae t)t(

50Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté


Chapitre 4 :

Mouvement Oscillatoire forcé à un degré de

liberté



Rappels théoriques

On définit une oscillation forcée, tout système en mouvement sous l’action d’une force

extérieure.

On définit l’équation du mouvement forcé en présence de la force de frottement

comme suit :

)t(f)t(p)t(p2)t(p 20

Avec

m

ket

m2 2

0

Où f(t) est appelée la fonction excitation extérieure. Cette équation est linéaire de

second ordre non homogène à coefficients constant.

La solution p(t) de l’équation différentielle qui présente la réponse du système à

l’action extérieure, est la somme de deux thermes :

)t(p)t(p)t(p pg

Où )t(pg et )t(p p représentent respectivement la solution générale la solution

particulière.

Il faut signaler qu’au début du mouvement p(t) représente le régime

transitoire. Au fil du temps la solution homogène )t(pg devient négligeable

devant la solution particulière )t(p p qui définit le régime permanant. Ainsi,

la solution totale dans ce cas, est de la forme :

)t(p)t(p p

La figure 1.4 montre la superposition des deux régimes :



Figure 1.4 : Superposition du régime transitoire et du régime permanent

Dans le cas où l’excitation est sinusoïdale de type :

tj00 eftcosf)t(f

La solution totale s’écrit alors comme suit :

)tcos(A)t(p)t(p p

Où A représente l’amplitude de la solution totale et le déphasage.

On cherche la solution de l’équation différentielle sous forme complexe :

)t(jp Ae)t(p)t(p

Avec

)t(jAej)t(p )t(j2 Ae)t(p

Alors l’amplitude s’écrit sous la forme :

j2

fAe

20

2

0j

En module :

22220

2

0

4)(

fA

En phase :

20

2

2Artg



L’étude des variations du module de l’amplitude se fait par :

0d

Ad

Il existe deux pulsations :

220r 2

0

A-Réponse de l’amplitude B-Réponse de la phase

Figure 2.4 : Réponse du système en régime forcé

On appelle r la pulsation de résonance.

On définit ainsi :

La largeur de la bande passante :

12

Le facteur de qualité Q pour un faible amortissement :

12

rQ



Applications

Problème 1:

Soit un immeuble A modélisé par le système physique représenté par une masse m et

un ressort de raideur k subit à un mouvement sismique sinusoïdal d’amplitude a de

forme tcosaxs représenté dans la figure 3.4 comme suit:

Figure 3.4 : Modélisation d’un mouvement sismique

Quelle est la réponse du système. Justifier le résultat.

Solutions : Le Lagrangien du système :

L’énergie cinétique s’écrit:

22c xm

2

1mv

2

1E


2sp )xx(k

2

1E


2s

2 )xx(k2

1xm

2

1L

L’équation différentielle est de forme :

tcosm

a)t(x

m

k)t(xF

L)

L(

dt

dext



D’où :

m

k

em

aR)t(x)t(x

avec20

tje

20

La solution de cette équation est de la forme :

)t(jp Ae)t(x)t(x

En remplaçant dans l’équation de mouvement, on détermine l’amplitude de la

réponse comme suit :

20

2

m

a

)(A

Le système présente une singularité au point 0 comme le montre la figure

4.4:

0lorsque)(A

Figure 4.4 : Phénomène de résonanceSingularité à la fréquence propre du système

L’immeuble va s’effondrer face au séisme car le système oscille avec la

pulsation propre. On appelle ce phénomène la résonance. On se propose dans ce

cas la de mettre en place un moyen d’amortir les oscillations extérieurs du

système qui se traduit par une force de frottement visqueuse.



Problème 2 :

Une machine mécanique de masse m est excitée par l’intermédiaire des supports de

suspension de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement comme le

montre la figure 5.4 :

Figure 5.4 : Excitation de la masse par le support vibrant

On suppose que le support possède un déplacement harmonique de la forme :

tcosB)t(y

Déterminer le Lagrangien du système.

Etablir l’équation différentielle du mouvement.

On pose les constantes suivantes :

0

20

m2et

m

k

On cherche une solution de la forme :

)tcos(A)t(x

Déterminer le rapport des modules d’amplitudesB

AT en fonction des

paramètres, ω0 et ω.

On pose la variable suivante :

0

r

Tracer la courbe T(r)

Interpréter les résultats.



Solutions :

Le mouvement du système est schématisé dans la figure 6.4 comme suit :

Figure 6.4 : Mouvement forcé de l’ensemble (support + machine)

Le Lagrangien du système s’écrit :


2c xm

2

1E

Pour L’énergie potentielle on a :2

p )yx(k2

1E

D’ou le Lagrangien du système s’écrit :

22 )yx(k2

1xm

2

1)x,x(L

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

)]t(y)t(x[)]t(y)t(x[k)t(xmFx

L)

x

L(

dt

dext

D’ou :

)t(ky)t(y)t(kx)t(x)t(xm

La solution de l’équation différentielle:



En posant les constantes :

0

20

m2et

m

k

L’équation du mouvement se réécrit avec les nouvelles constantes :

)t(y)t(y2)t(x)t(x2)t(xm 200

200

On considère que le support possède un déplacement sinusoïdal :

tjBeRetcosB)t(y

On chercher des solutions de la forme :

)t(jAeRe)tcos(A)t(x

L’équation du mouvement devient alors :

B)2j(Ae)2j( 200

j200

2

Le rapport des modules des amplitudes s’écrit sous la forme:

2

1

20

220

2

20

2

0)2()(

)2(

B

AT

En posant la constante :

0

r

,

La courbe de la fonction T(r) est décrite comme suit:

2

1

222

2

)r2()1r(

1)r2(

B

AT



Figure 7.4 : Rapport de transmissibilité en déplacement en fonction de la

pulsation réduite

On a vu que la solution particulière pouvait représenter seule la solution stationnaire.

Problème 3:

Soit le circuit forme par l’association parallèle R, Lind, Cap et alimente par une source

de courant sinusoïdale délivrant un courant d’intensité tcos2i)t(i 0 comme le

montre la figure 8.4 ci-dessous.

Figure 8.4 : Circuit R.L.C en parallèle



Exprimer la tension complexe u aux bornes de l’association parallèle en

fonction de, i0, et des paramètres du circuit.


apind

20

CL

1 ,

0

x

Et on définit le facteur de qualité du circuit comme suit :

0apRCQ

Exprimer le module de la tension u aux bornes de l’association parallèle en

fonction de R, i0, Q et x.

Montrer que u passe par un maximum maxu pour une valeur de x à

déterminer.

Représenter sommairementmaxu

u)x(f en fonction de x.

Que retrouve t- on ?

Calculer la largeur de la bande passante.

Solutions : La tension complexe u du système est de forme :

)t(iZ~

)t(u équi

D’ou le courant est égale a :

équiZ~

)t(u)t(i

Soit équiZ~

l’impédance complexe équivalente du circuit R.L.C en parallèle

qui se calcule comme suit :

Avec :

indap

équi jL

1jC

R

1

Z~

1

D’ou la tension est égale à :

)L

1C(jR1

)t(Ri)t(uoù'd

indap

Le module de la tension s’écrit alors :



22

0

)x

1x(Q1

2Ri)t(u

On constate que :

1xlorsque2Riuu 0max

Le schéma de la fonctionmaxu

u)x(f est représenté dans la figure 9.4

comme suit :

22max)

x

1x(Q1

1

u

u)x(f

On obtient la résonnance lorsque x=1, c'est-à-dire :

Résonance1xsi1)x(f

Figure 9.4 : Phénomène de résonnance en tension dans le circuit R.L.C

en parallèle

La bande passante se calcule comme suit :

12 xxx

En résolvant l’équation paramétrique suivante :

22 )x

1x(Q1

1

2

1



Après transformation on obtient la largeur réelle de la bande passante devient

alors:

RC

1où'dx0

Problème 4:

On considère un système de réception radio modélisé par un circuit R, Lind, Cap en série

et alimenté par une source de tension sinusoïdale d’intensité tcosu)t(u 0 comme

le montre la figure 10.4 ci-dessous.

Figure 10.4 : Circuit R.L.C en Série

Déterminer l’impédance totale du système.

En déduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des

paramètres R, Lind, Cap et ω.

Etudier les variations du module de courant en fonction de ω

Trouver la fréquence de résonance. En déduire le courant maximum.

Etablir la bande passante et le facteur de qualité en fonction des paramètres du

circuit R, Lind, Cap et ω.

Donner une explication pour le fonctionnement de ce système.



Solutions :

Le circuit est en série, on peut le schématiser comme suit :

Figure 10.4-a : Circuit RLC en série équivalent

L’impédance équivalente totale est égale à :

)C

1L(jRZ

~

apindéq

Le module du courant s’écrit :

2

apind

2

0

éq

0

)C

1L(R

u

Z~

)t(u)(I

Les variations du module du courant sont :

Le module du courant maximum est égale à :

R

uI 0

max0

Lorsqu’on a le module du dénominateur est minimum, c'est-à-dire :

0C

1L

apind

On obtient alors la valeur de r

apind

0rCL

1

Où r est appelée la pulsation de résonance qui ne dépend que de l’inductance

et de la capacité.



La figure 11.4 représente l’allure I0 en fonction de ω

Figure 11.4 : Phénomène de résonance en courant

dans le circuit R.L.C en série

La bande passante est définit :

12

En résolvant l’équation paramétrique suivante:

2

apind

2

0max0

)C

1L(R

u

2

I

On obtient :

ind12

L

R

Le facteur de qualité s’écrit

R

LQ 0ind0

L’application technique de ce phénomène est la sélection des fréquences de

résonances pour différentes stations de radio.

Problème 5:

On définit un sismomètre comme un système physique appelé capteur qui comprend

un support et une masse m relié par un ressort et un amortisseur disposés en parallèle,



la figure 12.4. La masse, de centre de gravité G, ne peut se déplacer que verticalement.

Le support, le ressort et l’amortisseur ont une masse négligeable.

Figure 12.4 : Modélisation d’un sismomètre

Le ressort a une longueur à vide l et une rigidité k. La constante de frottement est. On

précise que si, les extrémités A et B d’un amortisseur appartenant à un système

mécanique, décrivent un axe Δ parallèle à l’axe Ox avec des vitesses respectives av et

bv , l’amortisseur exercice sur le reste du système en point A une force i)vv( ab

et

en point B une force i)vv( aa

où i

est le vecteur unitaire.

Partie A :

Le support est immobile par rapport au repère (R0).

Calculer l’abscisse x0 du centre d’inertie de la masse en équilibre.

Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la masse écarté de sa position

d’équilibre.

Que devient cette équation quand on pose x=x0+X.




m

k20 , Cf avec km4f 2

c .

Montrer que l’équation différentielle s’écrit sous la forme suivante :

0xxx...

Calculer α* et β* en fonction de λ et ω0.

On donne λ= 0.5, ω0=10 rad/s. A l’instant initial, X=1 cm et 0X .

Déterminer X pour t= 0.2s.

Partie B :

On suppose maintenant que le support est solidaire du carter d’une machine animé

d’un mouvement sinusoïdale verticale tsinbx1 par rapport au repère (R0),

comme le montre la figure 13.4. On suppose que b est positif.

Figure 13.4 : Système est en mouvement forcé

Ecrire l’équation de la masse par rapport à (R0).

Montrer que l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme suivante :

tsinbCXxAvec

tsinHxxx...

Déterminer H et C, que représente X ?



Etudier la solution en régime permanent

)tsin(B)t(X

Avec B positif.

Calculer le rapportb

Bet tan en fonction de λ et

0

.

Tracer l’allure du graphe de B en fonction de μ tel que B=f ().

On suppose que λ=0.5 :

Montrer que si μ est supérieur à une certaine valeur μ1, 1b

B est inférieur à

10-2. Calculer dans ce cas μ1.

En déduire une condition pour que l’appareil puisse fonctionner en capteur

d’amplitude.

Solutions :

Partie A : Le support est immobile par rapport au repère (R0).

A l’équilibre, l’abscisse x0 s’écrit comme suit :

)al(k

mgx0F 0

1i

i

L’équation différentielle du mouvement est de forme :

En appliquant la loi dynamique

xmg))al(x(kxm

D’ou

XxXxoù'd

Alors :

0kXXXm

La nouvelle équation du mouvement s’écrit alors :

200

200

2Avec

0XX2X

La résolution de cette équation différentielle :



220

220

200

2

15.0

)1(

0r2r

La solution est de la forme :

2

00

t

1

XBXAAvec

)tsinBtcosA(e)t(X 0

Le système a un mouvement amorti.

La valeur de X est : X=0.15m

Partie B : Le support est mobile par rapport au repère (R0).

La relation dynamique du mouvement :

tsinbXxxetxXxoù'd

)xx(mg))al(xx(kxm

211

11

L’équation du mouvement devient alors :

bHAvec

tsinbXX2X

2

2200

La solution totale de l’équation différentielle en régime permanent est :

)tsin(B)t(X)t(X p

En notation complexe on aura la forme suivante :

)2

t(j

p Be)t(X~

)t(X~

En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient alors :

0

2222

2

Avec

1

2tan

)2()1(

bB

Les variations de B=f(μ) :



2

1si

21

10

0d

dB2

mm

Ainsi, on peut distinguer deux cas :

2

1 Amortissement faible Résonance

2

1 Amortissement important

On peut en déduire que :

bB

0B0

Pour =0.5, on aura :

05.7où'd101)1(

si101b

B2pourb15.1BB

12

21

21

21

12

mmax

On peut conclure que l’appareil reproduit les oscillations du carter si la

pulsation ω est importante. Il fonctionne alors en capteur d’amplitude.

Problème 6:

On définit le modèle d’un oscillateur harmonique, figure 14.4, représentée par une

masse m placée dans un potentiel élastique du type :2

2

1kxE p

Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de

frottement est α.

Figure 14.4 : Modèle physique d’un amortisseur



Parti A ::

Dans le cas des oscillations libres


Etablir l’équation du mouvement.

En déduire la solution générale avec les conditions initiales suivantes :

x(t=0)=0 et 0v)0t(x .

Partie B:

On admet que les frottements existent, la masse m effectue des oscillations forcées

sous l’effet d’une force sinusoïdale de la forme :

tcosf)t(f 0

On admet que la vitesse du mobile est de forme :)tcos(v)t(v 0

Établir l’équation du mouvement.

Résoudre l’équation différentielle en régime permanent.

Déterminer l’impédance mécanique complexe définit comme rapport entre la

force appliquée et la vitesse du mobile.

Comparer le résultat avec le système électrique.

Solutions :

Mode libre :



2c xm

2

1E

Et pour l’énergie cinétique on a

2p kx

2

1E



Alors, le lagrangien du système s’écrit :

22 kx2

1xm

2

1L

L’équation du mouvement :

m

kavec0xx0kxxm 2

020

La solution générale est de la forme :

tsinv

)t(x 0

0

0

Mode forcé :

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme:

)t(fkxxxm

D’où

m

k

m2

avecm

)t(fxx2x

20

20

C’est une équation différentielle inhomogène linéaire, d’un mouvement force.

La résolution de cette équation différentielle en régime permanent est :

)t(jep AeR)tcos(A)t(x)t(x

Soient A l’amplitude de la solution et son argument.

En remplaçant dans l’équation différentielle et après le calcul, On obtient

Le module d’amplitude suivant :

2220

2

0

)2()(

m

f

)(A

Et la phase du mouvement comme suit :

20

2

2tan

Les variations de )(A sont déterminées par :

22r 20

d

)(dA



Cette pulsation est appelée pulsation de résonance.

l’impédance complexe est définit comme suit :

)t(v

)t(fZ~

mécani

En remplaçant dans l’équation du mouvement, on obtient:

)k

m(jZ~

mécani

Pour le système électrique, le résultat est donné comme suit:

)C

1L(jRZ

~

)t(i

)t(uZ~

apindélectriélectri

On conclue donc les équivalences entre le système mécanique et le système

électrique comme suit :

ap

ind

C

1k

Lm

R

Problème 7:

Lorsqu’un moteur électrique fonctionne, il présente des vibrations naturelles qu’il est

nécessaire d’amortir pour éviter de les transmettre a son châssis. On prévoit donc un

système de suspension.

Le moteur est assimile au point matériel m de masse m pouvant se déplacer

parallèlement à l’axe vertical Oz. La suspension le reliant au châssis est modélisée par

un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k en parallèle avec un amortisseur

exerçant sur le moteur une force de freinage zfr uzf

Le châssis reste fixe dans un référencier galiléen et on note le champ de pesanteur g



Figure 15.4 : Etude les vibrations d’un moteur

Mode A :

Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.

Déterminer dans ce cas la longueur l du ressort. On prend la référence z=0 au

point m.

Mode B :

Le moteur étant toujours arrêté, on l’écarte de sa position d’équilibre et puis on le

laisse évoluer librement.


Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par z(t).


m

k20 et

0m2

Donner la forme de la solution générale z(t) en fonction des paramètres ν et ω0,

on suppose que ν<1.

Comment appelle-t-on ce régime ?

Écrire l’expression de l’énergie totale ET en fonction de z(t) etdt

)t(dz

Que vaut-t-il la valeur de l’expressiondt

dE T . Le système est il conservatif ?



Mode C :

Le moteur fonctionne, et tout se passe comme s’il apparaissait une force

supplémentaire de forme : z0 utcosF)t(F

Établir la nouvelle équation du mouvement vérifiée par z(t)

En régime permanent, on cherche des solutions de la forme

)tcos(V)t(etV)tcos(z)t(z 00

Donner l’expression de la grandeur ieVV 0

Exprimer l’amplitude V0 en fonction de ω et des paramètres v, ω0 et F0/m.

Donner l’allure de V0 (ω).

Application numérique: la pulsation ω vaut 628 rad/s, le moteur a une masse

m=10kg. On dispose de deux ressorts de raideurs k1=4 106n/m et k2=106n/m.

lequel faut il choisir pour réaliser la suspension ?

Solutions :

Mode A :

Le système est en équilibre

La longueur du ressort :

k

mgll0F 0

1i

i

Mode B :

Le système est en mouvement amorti


22 kz2

1zm

2

1L

L’équation différentielle :

0kzzzm0z

L

z

L

dt

d

D’ou :

0

20

200

m2m

kAvec0zz2z

La résolution de l’équation du mouvement :

10)1()(

022222

020

20

200

2

j

rr



Le systeme a un mouvement oscillatoire amorti.

La solution est de la forme :

)tcos(Ae)t(z t0

l’énergie totale du système s’écrit sous la forme:

22T kz

2

1)

dt

dz(m

2

1)t(E

A partir de l’équation du mouvement, on obtient :

0zdt

)t(dE]zkzzm[z 2T

Le systeme n’est conservatif. La diminution d’énergie totale est due au travail

des forces de frottement.

Mode C :

Le système est en mouvement forcé

L’équation du mouvement s’écrit :

)t(Fkzzzm

D’où :

m

)t(Fzz2z 2

00

Avec :

0

20

m2m

k

La solution de l’équation différentielle est :

)t(zj)t(zj

)t(z)t(zAvec

eVR)tcos(V)t(V)t(z )t(j0e0

En remplaçant dans l’équation du mouvement on obtient alors :

tj

2

20

0

0

e

)1(j2

m

F

)t(V



Le module de la vitesse est de la forme :

22

2022

0

0

0

)1()2(

m

F

)(V

L’étude des variations du module de la vitesse :

0r

max00V)(V

0d

)(dV

Pour cette pulsation on a le phénomène de résonance.

L’allure de la courbe V0(ω) est de forme :

Figure 16.4 : Phénomène de la résonance du moteur


02

01

01

02

02

0022max

2022r

01

0011max

1011r

)(V

)(V

m2

F)(V

m

k

m2

F)(V

m

k




Problème 8 :

Soit un disque de masse négligeable enroulé par un fil inextensible et non glissant,

comme le montre la figure 17.4 ci-dessous :

Figure 17.4 : Mouvement forcé du disque

Mode libre :

Dans le cas des oscillations libres



En déduire la pulsation propre

Donner la solution générale avec les conditions suivantes :

0)0t( , 0)0t( .

Mode forcé :

On admet que les frottements existent, la masse m1 effectue des oscillations forcées

sous l’effet d’une force sinusoïdale :

tcosf)t(f 0



Etablir la nouvelle équation du mouvement.

Déterminer le module de la solution permanente de l’équation différentielle.

Quelle est la fréquence pour que le module de l’amplitude soit maximum.

Donner la bande passante et le facteur de qualité Q pour les faibles

amortissements.


On donne m1=2Kg, m2=1Kg, k=10N/m et =0.1N.s/m. Calculer Q.

Problème 9:

Une machine mécanique tournante constitue des sources de vibrations très

courantes. De petites irrégularités dans la distribution des masses des parties en

rotation causent des niveaux vibratoires importants. On schématise une machine

de masse m comportant une masse m0 en rotation à une distance R de son

centre. Un guidage sans friction autorise seulement un mouvement dans la

direction x, comme le montre la figure 18.4. On considère la vitesse de rotation

R constante. On a tsinRx RR .

Figure 18.4 : Excitation d’une machine suspendue par une masse en

rotation

Etablir le Lagrangien du système



Ecrire l’équation différentielle du mouvement.

On pose la variable :

0

r

On cherche des solutions de la forme :

)tcos(A)t(x

Déterminer l’amplitude du déplacement en fonction de r.

Interpréter le résultat.

Problème 10:

On se propose d’étudier le comportement vibratoire de matériaux en caoutchouc afin

de l’utiliser dans la construction, représenté dans la figure 19.4.

Figure 19.4: Modélisation physique du mouvement oscillatoire du caoutchouc

Nous assimilons l’élasticité du matériau à celle d’un ressort de raideur k et les pertes

énergétiques par frottement à celle ayant lieu dans un amortisseur de coefficient. Le

ressort ainsi considérés sont associés en parallèle. On néglige le poids du caoutchouc

devant les forces mise en jeu.

Partie A :

On place un bloc de masse m=1t sur le caoutchouc qui se comprime d’une distance d.

Après une compression supplémentaire, on relâche le système oscillé autour de sa

position d’équilibre qu’on le repère par la coordonnée y comme le montre la figure

20.4




Etablir l’équation différentielle du mouvement de la masse m

Donner la solution générale de la solution y(t) sachant que le mouvement a un

mouvement oscillatoire amorti.

L’intervalle de temps, t=0.2s qui sépare le premier et le sixième maximum.

correspond à la diminution d’amplitude de 60%.

Déterminer les valeurs de k et .

On refait la même expérience avec un autre caoutchouc. On trouve

’=4.5103Kg/s. Au bout de combien de temps, t’, obtient-on la même

diminution d’amplitude que dans l’expérience précédente ?

Quel est le matériau le plus adéquat pour la construction ?

Figure 20.4: Mouvement oscillatoire du « caoutchouc+le bloc »

Partie B :

On prend dans cette partie un caoutchouc de caractéristiques physiques suivantes :

k=25106N/m et =104Kg/s qui sera utilisé dans la construction d’un pont d’autoroute,

de masse m=12.5t. On assimile l’effet du passage des véhicules sur le pont à celui

d’une force sinusoïdale F(t) d’amplitude F0=10kN et de pulsation ω, appliquée

perpendiculairement au pont comme le montre la figure 21.4



Figure 21.4 : Modélisation physique du mouvement du pont


Exprimer l’équation différentielle du mouvement du pont pour la coordonnée

y(t) donnant son déplacement par rapport à l’état d’équilibre.

Déterminer l’expression de la solution y(t) en régime permanent.

Déterminer la fréquence de résonance f0

Donner l’expression de l’amplitude maximale à laquelle le pont peut vibrer.

Quelle est la phase correspondante dans ce cas la ?

Calculer l’énergie communiquée au pont pendant un intervalle de temps égale à

une période, lorsque le passage des véhicules le fait vibrer à la fréquence de

résonance. Interpréter le résultat.

82Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté


Chapitre 5 :

Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés

de liberté



Rappels théoriques

On définit les systèmes à plusieurs degrés de libertés par les systèmes qui

nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes pour spécifier leurs. Le nombre de

degré de liberté détermine les modes propres.

Il existe deux types de systèmes :

Systèmes simples à plusieurs sous systèmes découplés comme le montre la

figure 1.5:

Figure 1.5 : mouvement oscillatoire non couple a deux degrés de liberté

Il existe deux degrés de liberté : 21 x,x


2

1i

2ii

2i

2

1ii xk

2

1xm

2

1L

Les deux sous systèmes sont indépendants et découplés: Le système différentiel

s’exprime alors :

0xkxm

0xkxm

0x

L

x

L

dt

d

0x

L

x

L

dt

d

2222

1111

22

11

D’ou le systeme différentiel s’exprime :

1

1202

1

1201

22022

12011

m

k,

m

kavec

0xx

0xx



Les deux solutions des sous systèmes sont indépendantes de formes :

)tcos(B)t(x

)tcos(A)t(x

2022

1011

Systèmes complexe à plusieurs sous systèmes couplés comme le montre la

figure 2.5:

Figure 2.5 : Mouvement oscillatoire d’un système couplé à deux degré de liberté

Le Lagrangien du système

Pour l’énergie cinétique on a s’écrit comme suit :

2i

2

1i

ic xm2

1E


2

1i

2ii

221p xk

2

1)xx(k

2

1E

D’où le Lagrangien s’écrit :

2

1i

2ii

221

2i

2

1i

i xk2

1)xx(k

2

1xm

2

1L

Le système différentiel couplé devient alors :

0xkx)kk(xm

0xkx)kk(xm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

1122122

2212111

22

11

La solution s’écrit sous la forme d’une superposition des deux modes propres,

comme suit :



)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

202210112

202210111

Il existe plusieurs types de couplage :

Figure 3.5 : Couplage équivalent, Resistance-Force de frottement

Figure 4.5 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort



Applications

Problème 1 :

Partie1 :

On représente un système mécanique complexe, constitué par deux oscillateurs

harmonique couplé par ressort de raideur k, comme le montre la figure5.5:

Figure 5.5 : Mouvement oscillatoire couplé de deux ressorts

Quel est le nombre de degré de liberté ?


Etablir les équations différentielles du mouvement.

En déduire les modes fondamentales

Partie2 :

Les deux sous systèmes sont identiques, On pose alors les paramètres suivants :

k1=k2=k et m1=m2=m, et on lance le système sans vitesses initiales avec les conditions

initiales suivantes: x1(t)=C, x2 (t)= 0.

Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.

En déduire les pulsations propres

Donner les solutions générales.

Quelle est la nature du phénomène étudié ?



Parie3 :

On impose une force sinusoïdale extérieure au premier sous système. De la forme

suivante :

tcosf)t(f 0

Déterminer les nouvelles équations du mouvement.

En déduire le module des amplitudes.

Quelles est la nature du phénomène étudié ?

Solutions :

Partie1 :

Le nombre de degré de liberté du système est de 2

Le Lagrangien du système est :


222

211c xm

2

1xm

2

1E

Et pour l’énergie potentielle on a :

222

211

221p xk

2

1xk

2

1)xx(k

2

1E

Le Lagrangien s’écrit comme suit :

2

1i

2ii

221

2i

2

1i

i xk2

1)xx(k

2

1xm

2

1L

Le système différentiel s’écrit :

0kxx)kk(xm

0kxx)kk(xm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

12222

21111

22

11

Les pulsations propres :

On considère les solutions du système de type sinusoïdal :

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un

système linéaire suivant :



0kAB)kkm(

0kBA)kkm(

22p2

12p1

Le système admet des solutions non nulles si seulement si :

0det

D’où :

0kkmk

kkkm

22p2

12p1

L’équation paramétrique s’écrit :

0)K1()( 222

21

2p

22

21

4p

Avec :

)kk)(kk(

kK

m

k

m

k

21

22

2

222

1

121

Ou K est appelée le coefficient du couplage

Les deux pulsations propres sont :

22

21

2222

21

22

212

p2

22

21

2222

21

22

212

p1

K4)(2

1

2

K4)(2

1

2

Partie 2 :

Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :

0kxkx2xm

0kxkx2xm

122

211


Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x


système linéaire symétrique suivant :

0kAB)k2m(

0kBA)k2m(2p

2p


0det



D’ou :

0k2mk

kk2m2p

2p

Alors on obtient l’équation paramétrique suivante :

0k)k2m( 222p


m

k3

m

k

2p2

2p1

Les solutions générales :

)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p112

p22p111

En appliquant les conditions initiales, on trouve :

t2

sint2

sinC)t(x

t2

cost2

cosC)t(x

p2p1p2p12

p2p1p2p11

Le phénomène étudié est le battement ou modulation d’amplitude.

Figure 6.5 : Phénomène les battements où modulation d’amplitude



Partie 3 :

Les équations du mouvement s’écrivent comme suit :

0kxkx2xm

efR)t(fkxkx2xm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

122

tj0e211

22

11

Les solutions particulières sont :

)t(jp22

)t(jp11

p

p

Be)t(x)t(x

Ae)t(x)t(x


système linéaire forcé suivant :

jj

2p

02p

eBB~

AeA~

Avec

0A~

kB~

)k2m(

fB~

kA~

)k2m(

Les modules des amplitudes sont exprimés comme suit :

))((

m

kf

k2mk

kk2m

0k

fk2m

B

))((

)m

k(

m

f

k2mk

kk2m

k2m0

kf

A

2p2

22p1

2

20

2p

2p

02p

2p2

22p1

2

20

2p

2p

2p

0

Les phénomènes étudiés sont :

La résonance

p2p1quandB

A

Anti résonance.

m

kquand

tetanconsB

0A

Problème 2 :

Partie 1 :

On considère deux circuits électriques )C,L,R( apind couplés par une capacité

représentés par la figure 7.5 comme suit:



Figure 7.5 : Deux circuits couplés par une capacité

Quel est le nombre de degré de liberté ?


Donner les équations du mouvement

Partie 2 :

On néglige les résistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs

physiques telles que :

indind2ind1 LLL et apap2ap1 CCC etapind

20

CL

1 .


En déduire les pulsations propres du système en fonction de 0.


Quel est le modèle mécanique équivalent ?

Solutions :

Partie 1 : Le nombre de degré de liberté est 2 car les deux courants parcourus dans les

deux circuits sont différents.

Le Lagrangien du système est exprimé comme suit :

2

1i

2i

iap

221

ap

2i

2

1i

iind qC

1

2

1)qq(

C2

1qL

2

1L̂



Le système différentiel :

0qC

1q)

C

1

C

1(qL

0qC

1q)

C

1

C

1(qL

1ap

2apap2

2ind2

2ap

1apap1

1ind1

Partie 2 :

Les nouvelles équations du mouvement :

0qC

1q

C

2qL

0qC

1q

C

2qL

1ap

2ap

2ind

2ap

1ap

1ind



)t(j2

)t(j1

p

p

Be)t(q

Ae)t(q



0AC

1B)

C

2L(

0BC

1A)

C

2L(

apap

2pap

apap

2pind


0det

D’où :

0)C

1()

C

1L( 2

ap

2

ap

2pind


apind

2p2

apind

2p1

CL

3

CL

1


)tcos(B)tcos(B)t(q

)tcos(A)tcos(A)t(q

p22p112

p22p111



Le système mécanique équivalent est représenté par la figure 5.9 comme suit:

Figure 8.5 : Mouvement oscillatoire couplé

Problème 3 :

On a un système mécanique constitué par trois masses couplées par deux ressorts

identiques de constante de raideur k représenté dans la figure 9.5 comme suit:

Figure 9.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté


Déterminer les équations différentielles du mouvement.

En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.

Donner la matrice de passage.


Solutions :



233

222

21i1c xm

2

1xm

2

1xm

2

1E


232

221p )xx(k

2

1)xx(k

2

1E



Le Lagrangien s’exprime alors :

232

221

2i

3

1i

i )xx(k2

1)xx(k

2

1xm

2

1L


0kxkxxm

0kxkxkx2xm2

0kxkxxm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

233

3122

211

33

22

11



)t(j3

)t(j2

)t(j1

p

p

p

Ce)t(x

Be)t(x

Ae)t(x



0kBC)km(

0kCkAB)k2m2(

0kBA)km(

2p

2p

2p


0det

D’ou0]k)km)[(km( 222

p2p

Les pulsations propres sont :

m

k2

0m

k

2p3

2p2

2p1

La matrice de passage s’écrit:

000

110

111

P



La solution générale est :

)tcos(

)tcos(

)tcos(

P

)t(x

)t(x

)t(x

3p3

2p2

1p1

1

2

1

Problème 4 :

Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O

et O’, sont fixés trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de

même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera 1(t),

2(t) et 3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport à

leur position de repos, figure 10.5:

Figure 10.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois disques de torsion

Les quatre partis OO1, O1O2, O2O3 et O3O’de l’arbre ont même constante de torsion C.

On posera la constante :

J

C20 .

Régime libre :

Déterminer le Lagrangien de ce système.

Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles

1(t), 2(t) et 3(t).

En déduire les trois pulsations propres 1p, 2p et 3p de ce système en fonction

de 0.



Déterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des

disques D2 et D3 si l’amplitude angulaire du disque D1 est A= 1 radian.

Calculer l’énergie mécanique totale ET de cette chaîne de trois disques, pour

chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du

disque D1.

Régime forcé :

On applique au seul disque (D1) un couple moteur de moment sinusoïdal, de pulsation

réglable et d’amplitude 0.

)tcos()t( 0 ,

Etablir en fonction du paramètre 2

0

)(X

, les amplitudes angulaires A1, A2 et

A3 de chacun des disques en régime forcé.

Pour quelles valeurs de X ce système est il en résonance ?

Solutions :

Régime libre :

Le Lagrangien de ce système :


23i

22

21c J

2

1J

2

1J

2

1E


21

23

232

221p C

2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1E

Le Lagrangien s’exprime alors :

21

23

232

221

2i

3

1i

C2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1J

2

1L



Les équations différentielles sont :

0)2(

0)2(

0)2(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

23203

312202

21201

33

22

11



)t(j3

)t(j2

)t(j1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(



0BC)2(

0CAB)2(

0BA)2(

20

20

2p

20

20

20

2p

20

20

2p


0det

Avec

0

20

2

02

20

2p

20

20

20

2p

20

20

20

2p

D’ou :

0])2()2)[(22( 220

22p

20

20

2p


22

22

2

0p3

0p2

0p1

Les amplitudes angulaires des disques D2 et D3

32120p3p

32120p2p

2320p1p

2222

2222

02



L’énergie mécanique totale ET :

21

23

232

221

2i

3

1i

T C2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1J

2

1E

Régime forcé :

Les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 :

0)2(

0)2(

)tcos()(CCJ

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

ML

)L

(dt

d

23203

312202

02111

33

22

i

ext11

En régime forcé les solutions particulières son t de la forme:

tj33

tj22

tj11

eA)t(

eA)t(

eA)t(

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient le résultat

suivant :

)X22)(X22)(X2(

1

CA

)X22)(X22(

1

CA

)X22)(X22)(X2(

)X3)(X1(

CA

03

02

01

Ce système entre en résonnance pour les valeurs de X, comme suit :

22X

22X

2X

Problème 5 :

On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, présentés

dans la figure 11.5. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux

ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois

masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le



système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires θ1, θ2, θ3

des pendules avec la verticale descendante.

On posera les constantes suivantes :

m

k20 et

l

g20 .

Figure 11.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois pendules


Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations

angulaires θ1(t), θ2(t), et θ3(t) pour les petites oscillations du système.

Déterminer les pulsations propres du système.

application numérique :

On prend : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2. Calculer les pulsations

propres.

Déterminer le rapport des amplitudes angulairesA

B etA

C pour chacun des

modes propres de ce système.

Solutions :


Le système a trois degrés de liberté représentés par : θ1, θ2, θ3.


23

222

22i

2c ml

2

1ml

2

1ml

2

1E




3

1i

i2

322

21p cosmgl)ll(k2

1)ll(k

2

1E

Le Lagrangien s’exprime comme suit :

3

1i

i2

322

212i

3

1i

2 cosmgl)ll(k2

1)ll(k

2

1ml

2

1L


0)(

0)2(

0)(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

2203

20

203

3201

202

20

202

2201

20

201

33

22

11



)t(j3

)t(j2

)t(j1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(



0BC)(

0CAB)2(

0BA)(

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

2p

Le système admet des solutions non nulles si seulement

0det

Avec :

0

0

2

0

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

D’ou :

0]3)32()[( 20

20

40

2p

20

20

4p

20

20

2p



Les pulsations propres sont alors:

s/rad32.63

s/rad46.4

s/rad16.3

p20

20p3

p20

20p2

p0p1

Les rapports des amplitudes sont :

1A

C2

A

B3

1A

C0

A

B

1A

C1

A

B

20

20p3

20

20p2

0p1

Problème 6:

Soit le système mécanique, constitué de deux pendules simples de longueur l et de

masses m1, m2 représentés dans la figure 12.5 comme suit :

Figure 12.5 : Couplage de deux pendules simples par la masse


Donner les équations différentielles du mouvement pour les faibles oscillations.


l

g20 et

2

1

m

m .

Déterminer dans ce cas les pulsations propres du système 1p et 2p en fonction

des paramètres et 0.



Déterminer les solutions générales

Solutions:



2m2

2m1c 21

Vm2

1Vm

2

1E

En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :

))sinsin(ly

)coscos(lx(V)

)cos(cosly

)sin(sinlx(mO

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

2211m

2211mm

21m

21m2

11m

11mm

1m

1m1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

D’où :

2m

2m

2m

2m

2m

2m

222

111

yxV

yxV

Après calcul, l’énergie cinétique s’écrit alors:

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1E 2121

22

22

22

21

221c


)cos(cosglmcosglmE 21211p

Le Lagrangien devient alors:

)cos(cosglmcosglm

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1L

21211

21212

222

22

21

221

Le système différentiel devient :

0gll

0g)mm(lml)mm(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

212

12122121

22

11

D’ou :

0

0)1()1(

22012

12021

Avec :

l

get

m

m 20

2

1





)t(j2

)t(j1

p

p

Be)t(

Ae)t(



0B)(A

0BA)1)((20

2p

2p

2p

20

2p


0det

D’où

0)1()( 4p

220

2p

Les deux pulsations propres sont 1p et 2p exprimées comme suit :

20

2p1

20

2p1

11

1

11

1

Les solutions générales sont de la forme:

)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(

p22p112

p22p111

Problème 7:

Un ressort est relie par ses deux extrémités a deux points matériels, B de masse M et P

de masse m, figure 13.5. Ce dernier peut se déplacer sans frottement le long de l’axe

Ox tandis que B est fixe à l’extrémité inferieur d’un fil inextensible, de longueur l=OA,

de masse négligeable, accroche en a un support horizontal et pouvant tourner

librement autour de l’axe Az . Le ressort a une masse négligeable, une raideur k et une

longueur a vide également négligeable. Il a la possibilité, avec P, d’être à gauche ou à

droite de B. le champ de pesanteur est de la forme yugg

et on suppose que l’angle

défini par l’attitude du fil relativement à la verticale reste petit.



Figure 13.5 : Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique


Déterminer les équations du mouvement


l

g20 ,

m

k21 ,

M

k22 et

21

20

2r

.

Mettre les équations du mouvement en fonction les paramètres 0, 1 et 2.

On cherche une solution de la forme :

tjp

pXex

et tjB

pYelY

.

Déterminer dans ce cas les modes propres p2p1 et

On n’admet désormais que m=M.

Exprimer les deux pulsations propres p2p1 et en fonction de r et 1.

En déduire la solution générale.

Solutions :



22pc )l(M

2

1xm

2

1E




cosMgl)lx(k2

1E 2

pp


cosMgl)lx(k2

1)l(M

2

1xm

2

1L 2

p22

p

Les équations du mouvement s’écrit:

0lxx

0xl)(l

0x

L)

x

L(

dt

d

0L

)L

(dt

d

21p

21p

p22

20

22

pp

Les solutions sont de la forme :

tjp Xex et tj

B YelY .

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On

obtient un système linéaire symétrique suivant :

0YX)(

0Y)(X21

21

2p

22

20

2p

22


0det

D’où :

0))(( 22

21

21

2p

22

20

2p


2

4)2(2

2

4)2(2

21

20

221

20

21

202

p2

21

20

221

20

21

202

p1

D’où :

21

20

21p2

21p1

2ravec

1r1r

1r1r




)tcos(Y)tcos(Y)t(Y

)tcos(X)tcos(X)t(x

p22p11

p22p11p

Problème 8 :

Partie A : Régime libre

Soient deux circuits )CL( apind identiques de résistances négligeables, figure 14.5.

Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de

couplageindL

Mk .

On posera la constante suivante :

apind

20

CL

1 .

Figure 14.5 : Couplage mutuel de deux circuits électriques L.C

Ecrire les deux équations différentielles vérifiées par les charges q1(t) et q2(t)

des condensateurs des circuits (1) et (2).

Déterminer les équations différentielles vérifiées par la somme S(t)=q1+q2 et la

différence D(t)=q1-q2.

En déduire les pulsations propres ’ et ’’ de ce système couplé, en fonction

des paramètres 0 et k.



On admet que le couplage est faible (indL

Mk 1). A l’instant t =0 où on ferme

l’interrupteur, le condensateur du circuit (1) porte la charge q10 et celui du circuit (2)

est déchargé.

Montrer que la charge du condensateur du circuit (1) évolue au cours du temps

suivant la loi:

tcostcosq)t(q 0101

Où le paramètre sera exprimé en fonction de 0 et k.

En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du circuit (2).

Quelle est la nature du phénomène étudié ? Commenter.

Partie B : Régime forcé :

Le circuit primaire (1), Figure 15.5 est maintenant alimenté par un générateur

sinusoïdal de f.é.m. tel que :

tsinu)t(u 0 .

Figure 15.5 : Mouvement forcé pour un couplage mutuel

On étudie le circuit couplé en régime permanent.

Exprimer les charges q1(t) et q2(t) sous la forme

tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2

Où on déterminera les amplitudes q1 () et q2 () en fonction de u0, Lind, 0 et k.

Déterminer la pulsation a d’anti résonance pour laquelle q1(a) = 0.



En déduire l’amplitude q2(a).

Tracer l’allure des graphes q1 () et q2 ().

Solutions :

Le système a deux degrés de liberté exprimés en q1 et q2

Les deux équations différentielles du système s’écrivent :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

0dt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

21ind

ap

1

En introduisant le couplage :

indL

Mk

On obtient :

0qkqq2Circuit

0qkqq1Circuit

12202

21201

En posant les nouvelles variables généralisées:

)t(q)t(q)t(D

)t(q)t(q)t(S

21

21

On obtient les nouvelles équations du mouvement représentées comme suit :

0Dk1

D

0Sk1

S

20

20

Les pulsations propres ’ et ’’ sont définies comme suit :

k1et

k100

Les lois d’évolution des charges q2(t) et q2(t) :

2

kAvec

tsint2

ksinq)t(q

tcost2

kcosq)t(q

0

00

12

00

11

0

0

La nature du mouvement : Les battements



Figure 16.5 : Phénomène : les battements

Partie B : Régime forcé :

Les charges q1(t) et q2(t) :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

eudt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

tj0

21ind

ap

1

En introduisant le couplageindL

Mk , on obtient :

0qkqq2Circuit

eL

uqkqq1Circuit

12202

tj021

201

Les solutions particulières :

tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :

0AkB)(2CircuitL

uBkA)(1Circuit

220

2

0220

2

Alors après le calcul, on aura :

222220

2

ind

0

222220

220

ind

0

)k()(

k

L

u)(B

)k()(L

u)(A



La pulsation a d’anti résonance :

20ind

0A0A

k

1

L

u)(B

Problème 09 :

Deux pendules simples identiques O1A1 et O2A2 de masse m et de longueur l, sont

couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2, figure

17.5. A l’équilibre, le ressort horizontal a sa longueur naturelle l0 tel que l0 = O1O2.

Figure 17.5 : Couplage de deux pendules identiques par un ressort

Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1(t) et

2(t) supposées petites par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désignera g

l’accélération de la pesanteur.

Modes propres :


Etablir les équations différentielles couplées vérifiées par les deux élongations

angulaires instantanées 1(t) et 2(t)

Exprimer en fonction de g, k, l et m, les deux pulsations propres 1p et 2p de ce

système.

Applications numériques :

Calculer 1p et 2p sachant que: m= 100g ; l= 80cm ; k=9.2 N/m et g= 9.8m/s2.



On lâche sans vitesses initiales le système à l’instant t=0 dans les conditions

initiales suivantes :

1=0 et 2=0

En déduire les lois d’évolution. 1(t) et 2(t) aux instants t 0.

Quel est le phénomène étudié.

Modes forcés :

La masse A est soumise à une force excitatrice horizontale de forme :

)tcos(F)t(F 0

Ecrire les nouvelles équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t).

Exprimer les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2

des points A1 et A2 en régime forcé.

En déduire l’impédance d’entrée complexe1

e

V~F

Z .

Solutions :


Le système a deux degrés de liberté exprimés en θ1, θ2

L’énergie cinétique on a :

2m2

2m1c 21

Vm2

1Vm

2

1E


2m

2m

2m

2m

2m

2m

22m

22mm

2m

2m2

11m

11mm

1m

1m1

222

111

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

yxV

yxV

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

D’ou :

2i

2

1i

2c ml

2

1E


2

1i

i2

21p cosmgl)ll(k2

1E




2

1i

i2

212i

2

1i

2 cosmgl)ll(k2

1ml

2

1L

Les équations différentielles couplées :

122

211

22

11

m

k)

m

k

l

g(

m

k)

m

k

l

g(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

Les pulsations propres 1p et 2p:


)t(j2

)t(j1

p

p

Be)t(

Ae)t(



0B)m

k

l

g(A

m

k

0Bm

kA)

m

k

l

g(

2p

2p


0det

D’ou

0)m

k()

m

k

l

g(

222

p


s/rad14m

k2

l

g

s/rad5.3l

g

p22

p2

p12

p1


)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(

p22p112

p22p111

En appliquant les conditions initiales, on trouve :

t2

sint2

sinC)t(x

t2

cost2

cosC)t(x

p2p1p2p12

p2p1p2p11



D’ou :

t2

t2

Avec

tsintsinc)t(x

tcostcosc)t(x

p1p2p1p2

2

1

Le phénomène étudié est les battements.

Modes forcés :

Les nouvelles équations différentielles couplées :

0kl)klmg(ml

tcosFkl)klmg(ml

122

0211

Les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2 :

Les solutions particulières sont :

22

11

lj)t(V~

lj)t(V~


0V~

)m

k

l

g(V

~

m

k

em

FjV

~

m

kV~

)m

k

l

g(

22

1

tj021

2

L’impédance d’entrée complexe :

)mkl

mg(

mkl

mg

kj

V~F

Z 2

2

2

1

e

Ce système mécanique fonctionne comme un filtre de fréquence puisque son

impédance varie en fonction de la fréquence.

Problème 10 :

Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans

frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure 18.5 comme suit :



Figure 18.5 : Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique

Partie A :

Déterminer le Lagrangien du système ?

En déduire les équations différentielles de mouvements.

Déterminer les pulsations propres du système.

Trouver le rapport d’amplitude dans les modes normaux.

Donner les solutions générales lorsque : M tend vers l’infini et l tend vers 0.

Discuter.

Partie B :

On impose au point s un mouvement sinusoïdal de type :

tsinax s

Comme le montre la figure 19.5:



Figure 19.5 : Mouvement forcé

En déduire les nouvelles équations du mouvement.

Donner le module des amplitudes.

Quelle est la nature du mouvement.

Solutions

Partie A :


Le système a deux degrés de liberté exprimés en x et θ

Pour l’énergie cinétique on a:

2m

2Mc mV

2

1MV

2

1E


)0y

xx(V)

0y

xx(MO

)sinly

coslxx(V)

cosly

sinlxx(mO

M

MM

M

M

m

mm

m

m

D’où :

coslxm])l(mx)mM[(2

1E 22

c


cosmglkx2

1E 2

p



Après le calcul, le Lagrangien sera égale à :

cosmglkx2

1coslxm])l(mx)mM[(

2

1),,x,x(L 222

Le système différentiel est donné comme suit :

0xmlmglml

0kxmlx)mM(

0L

)L

(dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

2

Les pulsations propres 1p et 2p:

On considère les solutions du système de type sinusoïdales :

)t(j

)t(j

p

p

Ae)t(x

Be)t(





0B]gl[A

0BmlA]k)mM([2p

2p

2p

2p


0det

D’ou

0ml]gl][k)mM([ 4p

2p

2p

On obtient alors :

0kgM4]klg)mM[(Avec0kg]klg)mM[(Ml 22p

4p

Il existe donc deux pulsations propres sont 2p2

2p1 et comme suit :

]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2

1

]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2

1

22p1

22p1

Les rapports d’amplitudes sont :

k)mM(

ml

B

A

k)mM(

ml

B

A

2p2

2p2

2p1

2p1

p2p

p1p


)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p11

p22p11

La forme des solutions générales lorsqu’on a :

M tend vers l’infini :

Le système devient alors un pendule simple représenté comme suit :



Figure 20.5 : système est équivalent a un pendule simple

l tend vers 0 :

Le système devient dans ce cas un simple oscillateur harmonique représenté

dans la figure 21.5:

Figure 21.5 : Système est équivalent à un oscillateur simple

Partie B :

Les nouvelles équations du mouvement sont :

0xmlmglml

kaekxkxmlx)mM(2

tis

Les solutions particulières en régime permanant sont :

)t(ie)(A)t(x et )t(ie)(B)t(

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :

0B]gl[A

kaBmlA]k)mM([22

22



Les modules des amplitudes sont :

))((

kaB

))((

)l

g(ka

A

2p2

22p1

2

2

2p2

22p1

2

2

Les phénomènes étudiés sont :

La résonance

p2p1quandB

A

Anti résonance.

l

gquand

tetanconsB

0A

La figure 22.5 représente les phénomènes étudiés:

Figure 22.5 : Phénomène de résonance à deux degrés de liberté

Problème 11 :

Partie A :

On considère une barre homogène de masse M, de longueur l, moment

d’inertie 2g Ml

12

1J , mobile d’un axe fixe à une de ses extrémités O. A l’autre

extrémité A est fixé un ressort de raideur k1comme la montre la figure 23.5:



Figure 23.5 : Mouvement amorti

De plus le système est amorti par le biais d’un amortisseur au lieu de la barre G dont

le coefficient de frottement α. En position d’équilibre la barre est horizontale.

Dans le cas des petites oscillations :

Donner le Lagrangien du système.


Donner le cas d’un faible amortissement l’expression de la solution générale

θ(t) avec les conditions initiales : θ(t=0)=0 et 0)0t( .

Tracer le graphe de θ(t)

Partie B :

On enlève l’amortisseur du milieu G de la barre, et on place un ressort k2 et une masse

m, représenté dans la figure 24.5:



Figure 24.5 : mouvement oscillatoire à deux degrés de liberté

Ecrire le Lagrangien du système.

On pose k1=k, k2=4k et M=3m.

Etablir les équations différentielles du mouvement.

Donner les pulsations propres.

Déterminer les rapports d’amplitudes aux modes propres du système.


En déduire la matrice de passage.

Solutions :

Partie A :


Le système a un seul degré de liberté exprimé en θ

Pour l’énergie cinétique :

2O/c J

2

1E



Avec

2G/O/ )

2

l(MJJ


21p )l(k

2

1E

Le Lagrangien s’écrit sous la forme suivante :

221

2O/ )l(k

2

1J

2

1),(L


2

llkJM

LL

dt

d 22

1O/frot

D’ou

0J

lk

J2

l

O/

21

O/

2

Alors :

G/

2

120

G/

220

J2

lk

J2

l2avec02

La solution générale :

La résolution de cette équation différentielle est de la forme :

220

2t0t avectsine)tcos(Ae)t(

Elle est représentée dans la figure 26.5 comme suit:




Partie B :


Le système actuel possède deux degrés de liberté exprimé en x et y

Pour l’énergie cinétique on a:

22O/c xm

2

1J

2

1E

Avec

2

G/O/ )2

l(MJJ


21

22p )l(k

2

1)

2

lx(k

2

1E

Le Lagrangien s’écrit alors comme suit :

lyavecyk2

1)

2

yx(k

2

1xm

2

1J

2

1)y,y,x,x(L 2

12

222

O/

Les nouvelles équations différentielles du mouvement :

0kx2ky2ym

0ky2kx4xm

0y

L)

y

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d


Les solutions sont de la forme :

tj pAex

, tj pBely

.



lyavec

0kA2B)k2m(

0kB2A)k4m(2p

2p


0det

Avec

0)k2()k2m)(k4m( 22p

2p



D’ou

0mk5'avec0k4m6m 22224p

2

Donc, il existe deux pulsations propres:

)53(m

k

)53(m

k

2p2

2p1

Les rapports d’amplitude aux modes propres sont :

51

2

B

A)53(

m

k

51

2

B

A)53(

m

k

p2

p1

2p2

2p1

Les solutions sont :

tcos2

51Btcos

2

51A)t(x

tcosBtcosA)t(x

p2p1

p2p1

La Matrice de passage est :

2

51

2

5111

P

Problème 12 :

Dans le montage représenté dans la figure 27.5, le pendule de longueur l= OA et de

masse m est couplé par l’intermédiaire du ressort horizontal, de raideur k1, au système

oscillant constitué d’une masse m et du ressort de raideur k2 dont l’extrémité O’ est

fixée. L’extrémité O du pendule est fixée.



Figure 27.5 : Couplage chariot-pendule simple

A l’équilibre, le pendule est vertical et deux ressorts ont leurs longueurs naturelles

(ressorts non déformés).

On posera les constantes suivantes :

m

k21 ,

l

g22 et

m

k c2 .

Les déplacements x1(t) du centre de masse G du chariot et x2(t) de l’extrémité H du

pendule, à partir de leur position d’équilibre, sont suffisamment petits pour admettre

que les deux ressorts demeurent pratiquement horizontaux.

Régime 1 :

Etablir Le Lagrangien du système.

Ecrire les équations différentielles du mouvement.

Déterminer les pulsations propres du système 2p1p .

Calculer en fonction des paramètres, 2p1p , 1 et 2, le rapportA

B des

amplitudes des oscillations de la masse H et du centre de masse G du chariot,

pour chacun des deux modes propres du système.

Déterminer la solution générale.

Quelle est la nature du régime 1 ?



Régime 2 :

L’extrémité O’ du ressort de raideur k maintenant soumise à un excitateur qui

lui communique un mouvement sinusoïdal d’amplitude a0 et de pulsation que

l’on peut faire varier :

tcosa)t(x 00'


Déterminer les amplitudes en complexes des mouvements de G et H en fonction

de la pulsation de l’excitation et des paramètres, 1, 2, a0.

On donne g= 9.8 S.I, l= 0.66 S.I m= 0.1 S.I et k2= 1 S.I.

Calculer la période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera

immobile.

Quelle est la nature du régime 2 ?

Solutions :

Régime 1 :


Le système a deux degrés de liberté exprimés en x1 et x2


22

21c xm

2

1xm

2

1E


cosmgl)xx(k2

1kx

2

1E 2

12c21p

Le Lagrangien s’écrit alors comme suit

cosmgl)xx(k2

1kx

2

1xm

2

1xm

2

1L 2

12c21

22

21



Figure 27.5 a : Mouvement oscillatoire du système « chariot-pendule simple »

Les équations différentielles du mouvement :

12

222

22

22

122

11

22

11

xx)(x

xx)(x

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d



)t(j2

)t(j1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x





0B)(A

0BA)(22

22p

2

2221

2p


0)()2(0det 22

21

22

21

22p

22

21

24p


))((4)2(2

1

2

2

))((4)2(2

1

2

2

22

21

22

21

2222

21

222

21

22

p2

22

21

22

21

2222

21

222

21

22

p1

Le rapport des amplitudes des oscillationsA

Bs’écrit :

p2p2

222

2p2

2

2

p1p2

221

2p1

1

1

A

B

A

B

La solution générale :

)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p112

p22p111

La nature du mouvement : le système a un mouvement libre couplé à deux

degrés de libertés.

Régime 2 :

Les nouvelles équations différentielles du mouvement :


cosmgl)xx(k2

1)xx(k

2

1xm

2

1xm

2

1L 2

12c2

'o122

21

Le système différentiel :

0xx)(x

tcosaxx)(x

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

12

222

22

0212

21

2211

22

11

Les amplitudes en complexes des mouvements de G et H :

Les solutions particulières sont de type :

)t(jp22

)t(jp11

Be)t(x)t(x

Ae)t(x)t(x



En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient :

tjtj

222

22

210

2221

2

eBB~

AeA~

Avec

0B~

)(A~

aB~

A~

)(

Alors :

4222

2221

2

221j

4222

2221

2

222

221j

))((BeB

~

))((

)(AeA

~

2

1

La période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera immobile :

s26.12

T22

2




Problème 13:

Nous étudions le cas, important en radioélectricité, de deux circuits )CLR( apind

identiques couplés par induction mutuelle comme le montre la figure 28.5:

Figure 28.5 : Couplage mutuel en régime forcé

Dans l’un primaire, on introduit un générateur de tension sinusoïdale :

tcosu)t(u 0

Etablir les équations différentielles du mouvement

En déduire les modules des courants parcourus dans chaque circuit.

Nous voulons examiner les résultats dans un intervalle de pulsation étroit autour de la

valeur 0 de la pulsation propre aux circuits ; soit )1(0 .

En déduire l’impédance Z des circuits dans ce cas.

Etablir la tension V aux bornes de la capacité du deuxième circuit.

En introduisant le coefficient de couplageindL

Mk et le facteur de qualité

R

LQ 0ind



Exprimer la fonction de transfert F définit comme suit :u

VF en fonction de

k, Q et. En déduire son amplitude.

Etudier les variations de F en fonction de. Commenter les résultats.

Problème 14 :

Soit le modèle physique d’un véhicule de longueur l représenté dans la figure 29.5

comme suit :

Figure 29.5 : Modélisation physique des oscillations d’un véhicule

Où M représente la masse du véhicule ainsi les passagers.

Les grandeurs (k1, m1) et (k2, m2) représentent successivement la raideur et la masse

des roues avant et arrière de véhicule. Les ressorts k3 et k4 décrivent un modèle simple

à toutes les vibrations extérieures.

On s’intéresse qu’aux vibrations verticales. On considère que les masses m1 et m2 sont

des points matériels.

Quel le nombre de degré de liberté ?


Déterminer les équations différentielles des mouvements.

Déterminer les pulsations propres.



Problème 15 :

Deux particules m1 et m2 ponctuelles, de masses respectives m1 et m2, sont reliées par

un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, figure 30.5. Les deux masses, mobiles

sans frottement sur une tige horizontale, sont écartées de leur position d’équilibre puis

relâchées sans vitesse ; elles sont repérées à chaque instant t par les abscisses

x1(t)=GM1 et x2(t)=GM2, où G désigne le centre de masse des particules m1 et m2.

Figure 30.5 : Modélisation physique des oscillations d’une molécule diatomique

On pose la variable suivante :

X(t)=x2(t)–x1(t)


Déterminer l’équation différentielle du second ordre dont X(t) est la solution du

système.

Exprimer, en fonction de m1, m2 et k, la période T avec laquelle les masses

oscillent l’une part rapport à l’autre.

On suppose que deux masses égales m1=m2=m=0.1kg couplées oscillent avec

une période de 1s.

Calculer la raideur k du ressort de couplage.

Le système étudié modélise les vibrations longitudinales d’une molécule

diatomique d’oxyde de carbone CO dont la fréquence propre f0 est f0=6.5

1013Hz.



Calculer la constante de rappelle k de la liaison carbone – oxygène.


On donne : C = 12, O = 16 ; Nombre d’Avogadro N=6. 1023.

Problème 16 :

On veut étudier les vibrations longitudinales d’une molécule triatomique linéaire

ABA’ représentée dans la figure 31.5. Les atomes A, B, A’ ont pour masses

respectives m1, m2, m3 ; on désignera x1, x2, x3 les déplacements des atomes A, B, A’ à

partir de leurs position d’équilibre. On suppose que chaque atome est rappelé à sa

position d’équilibre par une force proportionnelle à l’écart, la constante de la force de

rappelle étant k pour la liaison A-B et k’ pour la liaison B-A’.

On admettra que la molécule, dans son ensemble n’est pas animée par un mouvement

de translation.

Figure 31.5 : Modélisation physique des oscillations d’une molécule triatomique

Partie A :


Ecrire les équations différentielles du mouvement en x1(t), x2(t) et x3(t).

Ecrire les équations différentielles du mouvement en X(t) et X’(t), en effectuant

le changement de variable X(t)=x2(t)–x1(t) et X’(t)= x2(t)–x3(t).

Montrer que X(t)et X’(t) peuvent varier sinusoïdalement avec le temps pour

deux valeurs 01 et 02 de la pulsation propre qu’on déterminera en fonction de

k, k’, m2 et des pulsations fondamentales 0 et 0’ de chacune des vibrations de



valence des liaisons A–B et B–A’ si elle était seule (en absence de l’interaction

de couplage).

Applications numériques :

Expérimentalement on détermine les fréquences propres de la molécule linéaire

d’acide cyanhydrique, soient 01 = 6,25.1014 rd/s et 02=3,951014rd/s.

Calculer les fréquences fondamentales des liaisons

H–C et CN sachant que (C-H CN).

En déduire la constante la force de rappelle de la liaison C–H de la molécule

étudiée et la comparer à celle de la liaison C–H des alcanes (k = 500 SI).

Partie B :

On considère maintenant que la molécule triatomique est symétrique, A-B-A, c'est-à-

dire, k=k’ et m1=m3.

Quelles sont les expressions des pulsations propres en fonction de k, m1 et m2. ?

Donner un exemple concret qui vérifie ce modèle.

Problème 17 :

On définit un étouffeur dynamique représenté dans la figure 32.5, comme un système

physique qui comprend deux masses couplées M et m oscillent à la verticale, deux

ressorts k, K et un amortisseur. On impose une force extérieure sinusoïdale à la

masse m de type :

tcosF)t(F 0



Figure 32.5 : Modèle physique d’un étouffeur dynamique des vibrations


Déterminer les équations différentielles du mouvement.

Déterminer les solutions )t(x),t(x 21 en régime permanent.

Quelle est la condition pour avoir l’annulation du mouvement de m. Justifier

votre réponse.

Problème 18 :

Partie 1 :

On considère un système complexe, reporté dans la figure 33.5, composé par un

cylindre homogène de masse M et de rayon R qui oscille sans glisser sur un plan

horizontal et relié d’une part au point A par un ressort non déformé, de constante de

raideur K , à un bâti B1 fixe et d’autre part le cylindre est relié par un amortisseur de

coefficient de frottement à un bâti fixe B2 L’autre élément du système, est une tige

de longueur l et de masse négligeable.qui oscille sans frottements autour de l’axe du

cylindre qui porte une masse ponctuelle m. A l’équilibre la tige est verticale et l’axe du

cylindre G est à l’origine des coordonnées spatiales.



On note la rotation de la tige par à la verticale repérée par l’angle et celle du cylindre

par l’angle θ.

Figure 33.5 : Mouvement oscillatoire du système « Cylindre-Tige »


Rxetlxl

mgK4m2M3 12


Déterminer les équations différentielles qui régie le mouvement du système.

Exprimer les pulsations propres 2p1p .


Partie 2 :

On impose au bâti B1 une oscillation sinusoïdale d’amplitude F0 telle que :

tcosF)t(F 0

Exprimer les nouvelles équations différentielles du mouvement en fonction des

vitesses )t(x)t(x 21 .

Déterminer l’impédance d’entrée eZ définit comme suit :

)t(x

)t(FZ

1e



Problème 19 :

Lors d’un control technique, un véhicule est installé sur un banc d’essai permettant de

communiquer aux roues un mouvement vertical, identique et sinusoïdal de la forme

suivante comme le montre la figure 34.5:

tcosS)t(S 0

Figure 34.5 : Modélisation d’un mouvement oscillatoire d’un véhicule

La suspension des ressorts est modélisée par deux ressorts identiques de raideur k et

deux amortisseurs identiques de coefficients de frottement. La masse du véhicule est

de grandeur m et son moment d’inertie par rapport à un axe horizontal e de gravité G

est JG. La voiture peut osciller par rapport à sa position d’équilibre, c'est-à-dire, y=0 et

θ=0.

On s’intéresse dans ce qui suit aux oscillations de tangage, c'est-à-dire, les rotations

d’angle θ autour d’un axe passant par G et parallèle à OZ et aux oscillations de

pompage, c'est-à-dire, les translations de l’ensemble parallèlement à la verticale OY.

Etablir les coordonnées des points A et B de la voiture dans le repère XOY.



Déterminer le lagrangien du système.

Exprimer les équations différentielles du système.

Déterminer les solutions totales du mouvement y(t) et θ(t).

REFERENCES

[1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 2-

7298-8751-2, 1987.

[2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,

Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.

[3] H. LUMBROS0, « Ondes Mécaniques et Sonores », Edition

DUNOD, ISBN 2-10-00468-8, 2000

[4] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la

technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.

[5] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition

MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.

[6] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition

CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.

[7] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition

PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES

ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.

[8] R. GABILLARD, « Vibrations et Phénomène de

propagation », Edition DUNOD, 1972.

[9] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes

vibratoires », Edition DUNOD, 1973.

[10] L. LANDEAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition

MIR MOSCOU, 1966.

Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des

filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs

d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes

mécaniques » enseignés en deuxième année des filières Sciences et

techniques et Sciences de la matière.

Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de

vibrations et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.

Mr Fouad BOUKLI HACENE est titulaire d’un doctorat en

Science Génie mécanique obtenu à l’université de sciences et

technologie Mohamed BOUDIAF USTO d’Oran. Il est maitre de

conférences au département de physique de la faculté des

sciences à l’université Hassiba BENBOUALI de Chlef. Il est

auteur de plusieurs travaux scientifiques

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