Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°4 Les oscillations harmoniques.

Physique 3Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°4

Les oscillations harmoniques

Introduction Je vous souhaite la bienvenue à cette quatrième leçon du cours de vibration et ondes mécaniques. Cette leçon s’intitule « les Oscillations harmoniques » et est divisée en deux parties : le mouvement harmonique et l’analyse harmonique.

Cette leçon commence donc par donner des définitions sur le mouvement harmonique qui est le mouvement périodique le plus simple avec des solutions en sinus et cosinus, où la trajectoire x(t) est égale à (-²) fois l’accélération. Nous donnerons bien sur cette partie toutes les définitions concernant ce genre de mouvement telles que la période, la fréquence; la phase. Nous décrirons ce mouvement sous sa forme vectorielle et sa forme complexe. Nous utiliserons ces deux représentations (vectorielles et complexes) pour additionner deux fonctions harmoniques. Cette première partie de la leçon d’aujourd’hui sur les mouvements harmoniques est plutôt une révision de concepts que vous avez déjà vu. Ce qui peut être différent pour la seconde partie que nous avons intitulé « Analyse harmonique » et qui concerne les développements en série de Fourier de fonctions périodiques.

Introduction

Ces fonctions concernent soit le mouvement oscillatoire d’un système, soit la force extérieure appliquée au mouvement. Les développements en série de Fourier concerneront le cas général de fonctions périodiques et les cas particuliers de ces fonctions tels que les fonctions paires et impaires ou les extensions de demi-fonctions. Nous apprendrons à calculer numériquement les coefficients des séries de Fourier, et des exemples utilisant Mathlab, auquel vous serez initié, vous seront donnés. Nous traiterons bien sûr des exemples qui vous aideront à la compréhension de ce cours.

Le mouvement harmonique

• Type le plus simple de mouvement harmonique

•

•

•

Fig.1 : Exemple d’un Oscillateur Harmonique

tsinAsinAx

tcosAdt

dx

xtsinAdt

xd 222

2

Représentation vectorielle du mouvement harmonique

Fig.2 : Montrant le mouvement harmonique résultant de la projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation

Représentation complexe d’un mouvement harmonique

Un vecteur dans le plan xoy peut être représentée par un nombre complexe

Si A est le module de et son angle avec l’axe ox :

X

1i,ibaX

X

iAesiniAcosAX

abtgetbaAAvec 12

122

Fig. 3 : Représentation vectorielle

par un nombre complexe

Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite)

1i,ibaX

Fig.4. : La rotation des vecteurs déplacement, vitesse et accélération.

Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite)

On peut écrire :

Si le déplacement harmonique est données par x(t)=A sin t ; nous aurons :

180tcosAtcosAAeReonaccélérati

90tcosAtsinAAeiRevitesse

tcosAeARetdéplacemen

22ti2

ti

ti

180tsinAAeImonaccélérati

90tsinAAeiImvitesse

tsinAAeImtdéplacemen

2ti2

ti

ti

Addition de Fonctions Harmoniques Soient

Le vecteur résultant a pour magnitude

et pour phase :

La projection réelle du vecteur somme s’écrit :

tcosAXReettcosAXRe 2211

X

222

21 sinAcosAAA

cosAA

sinAtg

21

21

tcosAXRe

Addition de Fonctions Harmoniques (Suite)

En utilisant des nombres complexes

titiiti221

tii21

ti2

ti121

AeeAeesiniAcosAA

eeAAeAeAXXX

Fig.5 : Addition Vectorielle de deux Fonctions Harmoniques

Exemple 1: Mouvement Harmonique

Un mouvement harmonique a une amplitude de 0,05 m et une fréquence de 10Hz. Trouver la période, la vitesse maximale et l’accélération maximale.

Solution :

222 /393,197393,6205,0maximaleonaccélérati

sec/1416,3832,6205,0maximalevitesse

sec1,0sec/832,62

22période

sec/832,622;05,0

smA

mA

rad

radfmA

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques

Énoncé :Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants :

2tcos15txettcos10tx 21

Fig.6 : Addition de deux vecteurs

Exemple 2 : addition de deux mouvements harmoniques (suite)

txtxtcosAtx 21

2sin15tsin2cos1510tcossinAtsincosAtcos

2sintsin2costcos15tcos10

2tcos15tcos10sintsincostcosA

2sin15sinA2cos1510xcosA

5963,742cos1510

2sin15tget

1477,142sin152cos1510A

1

22

Deuxième méthode : en utilisant des vecteurs et une représentation graphique pour une valeur arbitraire de t, la somme graphique des deux vecteurs peut être trouvée comme étant :

5963.74tcos1477.14tx

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)

Troisième méthode : en utilisant les nombres complexes :

La somme peut s’écrire :

où A et sont données par

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)

2titi

22

titi

11

e15ReeARetx

e10ReeARetx

tieARetx

5963,74cosAA

sinAtg

1477,14sinAcosAAA

21

21

2

2

2

21

Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite)

Cycle de vibration : Il décrit le mouvement suivant : Position d’équilibre position extrême dans une direction position

d’équilibre position extrême dans l’autre direction position d’équilibre Exemples : pendule simple, un déplacement de 2 radians de l(extrémité d’un

vecteur sur un cercle.

Amplitude : Déplacement maximum d’un corps vibrant à partir de sa position d’équilibre. L’amplitude de vibration est égale à A dans les figures (1) et (2).

Période des Oscillations : Temps mis pour compléter un cycle du mouvement, dénoté par ou par T. C’est le temps mis par le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation de 2 .

est la vitesse angulaire.

Fréquence des Oscillations : C’est le nombre de cycles par unité de temps

2

21f


Angle de phase : Les deux mouvements vibratoires

Sont dit synchrones car ils ont la même vitesse angulaire . Le second mouvement est en avance sur le premier d’un angle qu’on appelle l’angle de phase.

tsinAxettsinAx 2211

Fig.7 : Différence de phase entre deux vecteurs


Fréquence naturelle : Si après une perturbation initiale, on laisse vibrer un système librement. La fréquence avec laquelle il oscille est appelée la fréquence naturelle du système. Un système ayant n degrés de liberté a n fréquences naturelles distinctes.

t2

cos2

tcosX2

tcostcosXtxtxtx

tcosXtx,tcosXtx

21

21

Figure 8 : Phénomène des battements

Développement en série de Fourrier

Si x(t) est une fonction de période , sa représentation en série de Fourrier est donnée par :

où les coefficients a0, an et bn sont donnés par :

On peut aussi écrire :

1jj

1jj

0

21210

tjsinbtjcosa2

a

...t2sinbtsinb....tcosatcosa2

atx

0

2

00 dttx2

dttxa

0

2

0n

0

2

0n

dttnsintx2

dttnsintxb

dttncostx2

dttncostxa

n

n1n

21

2n

2nn

00

22110

a

btanetbad,

2

adoù

....t2cosdtcosddtx

Développement en série de Fourrier

Fig. 9 : Une fonction périodique

Fig. 9 : Le phénomène de Gibbs

Série de Fourriers Complexes

•

•

•

•

2

eetsin;

2

eetcos

tsinitcose;tsinitcosetitititi

titi

0boù2

ib

2

ae

2

ib

2

ae

2

ib

2

ae

i2

eeb

2

eea

2

atx

01n

nntinnntin00t0i

1n

tintin

n

tintin

n0

2

ibaC,

2

ibaC nn

nnn

n

0

tin

0

nnn

n

tinn

dtetx1

dttnsinitncostx1

2

ibaC;eCtx

Spectre de fréquence

Fig.11 Spectre de fréquence d’une fonction périodique typique

Fig.12 Représentation d’une fonction dans les domaines temporels et de fréquence

Fonctions paires et fonctions impaires

• Fonction paire

• Fonction impaire

1n

n0 tncosa

2

atxtxtx

1n

n tnsinbtxtxtx

Fig.13 : Fonction paire et fonction impaire

Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)

1. Trouver les développements en série de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii).

2. Trouver aussi leur développement en série de Fourier quand l’axe temporel est déplacé vers le bas d’une distance A.

3. Montrer qu’il existe une relation directe entre les développements en séries de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii)

t

2,A

2t0,A

tx

t4

3,A

4

3t

4,A

4t0,A

tx

t

2,A2

2t0,0

tx

t4

3,A2

4

3t

4,0

4t0,A2

tx


,txtxa

n2cos0cosncos2n

A2

n

tncosA2

n

tncosA2

dt.tnsinAdt.tnsinA2

dt.tsintx2

b

2

0

2

2

00n


Fonction impaire donc

1n

t1n2sin1n2

1A4tx

,txtxb

,...11,7,3npournA4

,....9,5,1npournA4

n2sin2

n3sin

2

nsin2

n

A

tinnstinnstnsinn

A2

dt.tncosdttx2

a

0tAtAtA2

dttx2

a

43

43

4

40

0n

43

43

4

4000


Fonction paire donc bn=0

1n

1n 1n2cos

1n2

1A4tx

ncosn2cosn

A4

tnncosn

A4dt.tnsintx

2b

0tnsinn

A4dt.tncostx

2a

A2tA202

dttx2

ac

20n

20n

200


1n

2avect1n2sin

1n2

1A4tx

,txtxd

2

n3sinn2sin

2

nsin

n

A4

tnsintnsinn

A4dt.tncosdttx

2a

A24

3A20

4A2

2dttx

2a

4

34

00n

00


Fonction paire donc bn=0

1n

1n 2avec

t1n2cos

1n2

1A4tx

1n1

t1n22sin

1n2

1A4tx


3) Relation en la fonction paire et la fonction impaire

1n

1n

2

t1n22cos

1n2

1A4tx

tx4

tx 21

1n

1n1

4

1n22t1n22sin

1n2

1A4

4t

1n22sin

1n2

1A4

4tx

1n

1 4

1n22sin

1n22cos

4

1n22cos

1n22sin

1n2

1A4

4tx

1n

1n

1

t1n22cos

1n2

1A4

4tx

Extension de demi-fonction

Calcul numérique des coefficients

Fig.17 : Valeurs de la fonction périodique x(t) aux points t1,t2,…..tN

iN

1iin

iN

1iin

N

1ii0

tn2sinx

N

2b

tn2cosx

N

2a

xN

2a

Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction

Enoncé : trouver le développement en série de Fourier de la valve du système arbre à came de la figure. On notera que

t0;t

Ytyoù

tytxtxty

tg1

2

21

Fig 18 : Système d’arbre à came

Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction (suite)

A2

tAdt

tAdttxa

2

0

22

0

2

00

,......2,1n,0

n

tnsint

n

tncos

2

Adt.tncost

n

A

dt.tncost

Adt.tncostxa

2

02

2

0 2

2

0

2

0n

Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction (suite)

,......2,1n,n

A

n

tncost

n

tnsin

2

Adt.tnsint

n

A

dt.tnsint

Adt.tnsintxb

2

02

2

0 2

2

0

2

0n

......t3sin3

1t2sin

2

1tsin

2

A

.....t2sin2

Atsin

A

2

Atx

Les fluctuations de la pression de l’eau dans une pipe mesurées à 0,01secondes d’intervalles sont données par le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les trois premières harmoniques du développement en séries de Fourier.

Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier

i Temps (s), ti Pression (kN/m²), Pi

0 0 0

1 0,01 20

2 0,02 34

3 0,03 42

4 0,04 49

5 0,05 53

6 0,06 70

7 0,07 60

8 0,08 36

9 0,09 22

10 0,10 16

11 0,11 7

12 0,12 0

Tableau 1 : Mesure des fluctuations de pression

dans un pipe

7,68166p6

1p

N

2a

sec/rad36,522

;sec12,0

N

1ii

N

1ii0

Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier (suite)

12,0

tn2sinp

6

1tn2sinp

N

2b

12,0

tn2cosp

6

1tn2cosp

N

2a

iN

1ii

iN

1iin

iN

1ii

iN

1iin

2m/N....t08,157sin3,2333

t08,157cos3,583372,104sin3,3608t72,104cos7,1416

t36,52sin7,8307t36,52cos0,269963,34083tp

Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier (suite)n=1 n=2 n=3

ti pi

0,01 20000 17320 10000 10000 17320 0 20000

0,02 34000 17000 29444 -17000 29444 -34000 0

0,03 42000 0 42000 -42000 0 0 -42000

0,04 49000 -24500 42434 -24500 -42434 49000 0

0,05 53000 -45898 26500 26500 -45898 0 53000

0,06 70000 -70000 0 70000 0 -70000 0

0,07 60000 -51960 -30000 30000 51960 0 -60000

0,08 36000 -18000 -31176 -18000 31176 36000 0

0,09 22000 0 -22000 -22000 0 0 22000

0,10 16000 8000 -13856 -8000 -13856 -16000 0

0,11 7000 6062 -3500 3500 -6062 0 -7000

0,12 0 0 0 0 0 0 0

409000 -161976 49846 8500 21650 -35000 -14000

68166,7 -26996,0 8307,7 1416,7 3608,3 -5833,3 -2333,3

12,0

t2cosp i

i

12,0

t2sinp i

i

12,0

t4cosp i

i

12,0

t4sinp i

i

12,0

t6cosp i

i

12,0

t6sinp i

i

Introduction à MathLab

Introduction à MathLab (2)

Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier

• Donnez le graphe de la fonction

et ses représentations en séries de Fourier avec quatre termes :

t0,t

Atx

22

et,,1Aavect0pour

t3sin3

1t2sin

2

1tsin

2

Atx

Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier (suite)

Exemple 5 : Représentation des battements

Une masse est soumise à deux mouvements harmoniques donnés par x1(t) = X cos t et x1(t)=Xcos(+)t avec X=1cm, =20rad et =1rad/sec. Faire un graphe du mouvement résultant en utilisant Mathlab identifier la fréquence des battements.

Exemple 5 : Représentation des battements (suite)

Solution : Le mouvement résultant de la masse x(t) est donnée par :

Le mouvement résulte en des battements avec la fréquence : b=(+)-==1rad/s

t2

cos2

tcosX2

tcosXtcosX

txtxtx 21

Exemple 5 : Représentation des battements (suite)

Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab

Les fluctuations de la pression de l’eau dans un pipe (tuyau), mesurées à 0,01 secondes d’intervalle sont données dans le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les cinq premières harmoniques de l’expansion en séries de Fourier.

Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite)

i Temps (s), ti Pression (kN/m²), Pi

0 0 0

1 0,01 20

2 0,02 34

3 0,03 42

4 0,04 49

5 0,05 53

6 0,06 70

7 0,07 60

8 0,08 36

9 0,09 22

10 0,10 16

11 0,11 7

12 0,12 0


Pour trouver les cinq premières harmoniques des fluctuations de pression données dans le tableau (a0, a1,…,a5, b1, b2,…., b5), un programme MathLab a été développé en utilisant les équations vu en cours :

N

1ii0 x

N

2a

iN

1iin

iN

1iin

tn2sinx

N

2b

tn2cosx

N

2a


Le programme a utilisé en général pour les analyses en séries de Fourier a besoin des données suivants :N=nombre des points équidistants où les valeurs de x(t) sont connusM= nombre de coefficients de Fourier à calculerTime = période de la fonction x(t)X= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues de x(i)=x(ti)T= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues

Le programme génère les résultats suivants :a zéro =a0,

i, a(i), b(i); i=1, 2, …,m où a0, a(i) et bi sont les valeurs calculées de a0, ai et bi données par les équations du cours.

ConclusionDans cette quatrième leçon intitulée « les oscillations harmoniques », cours de vibrations et ondes mécaniques, nous avons défini ce qu’est un mouvement harmoniques, et l’avons représentée sous sa forme vectorielle, et sa forme complexe. Nous avons aussi appris à développer en séries de Fourier toute sorte de fonctions périodiques. Un mouvement périodiques que l’on peut certainement décomposer en série de Fourier. La force extérieure appliquée au mouvement peut aussi être développée en séries de Fourier, ce qui nous permet dans certains cas de résoudre l’équation différentielle du mouvement.

Nous avons aussi dans cette leçon à calculer numériquement les coefficients de Fourier et avons été introduit à l’utilisation de Mathlab pour résoudre des problèmes pratiques sur les séries de Fourier.

Cette leçon sur les oscillations harmoniques clos le premier chapitre de ce cours qui donne des généralités sur les vibrations. Ce premier chapitre nous a fourni toutes les bases nécessaires pour aborder les mouvements à un degré de liberté qui font l’objet du deuxième chapitre de ce cours.

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