2

On peut dire qu’un objet géométrique possède une propriété de symétrie, ou tout simplement une symétrie, si, en lui appliquant une transformation, l’objet ne peut pas être distingué de celui de départ.

En science physique, comme en chimie, la notion de symétrie est reliée à celle de transformations laissant invariant l’objet considéré.

benzène 2-chlorophénol

Symétrie – le début

3

Nous entendons par invariant qu’une personne qui aurait attentivement regardé cet objet avant de se cacher la vue, ne saurait dire s’il a effectivement subi une transformation en le regardant à nouveau.

H1H2

O

H2H1

O

C2

rotation de 180°

Pour analyser si un objet est symétrique, il va donc falloir lui faire subir différentes opérations (opérations géométriques pour des objets dans l’espace, mathématiques pour des courbes ou des équations...). On dit alors que l’objet est invariant sous certaines opérations s’il n’est pas modifié par ces transformations.

4

Une opération de symétrie est caractérisée par un ou plusieurs élément(s) de symétrie :

Il faut se donner un repère fixe (choisi le plus judicieusement possible) pour pouvoir appliquer ces différentes opérations. Une opération de symétrie est donc entièrement caractérisée par l’élément de symétrie que l’on considère et l’action qu’on lui associe.

identité axe de rotation propre plan de symétrie axe de rotation impropre centre d’inversion

5

Plus une molécule est symétrique, plus elle possède d’éléments de symétrie qui la laisse invariante lorsque l’on applique des opérations de symétrie

C2

C2C2

C2

6

La molécule d’eau :

H1H2

O

Un axe de rotation (axe de symétrie) est une droite traversant la molécule, telle qu’une rotation de 2/n produit une molécule qu’il est impossible de distinguer de celle du départ (H1H2).

H2H1

O

C2

Élément de symétrie :axe de rotation : Cn

rotation de 180°

ATTENTION: la molécule après rotation n’est pas identique à celle avant rotation, mais on ne peut pas les distinguer l’une de l’autre.L’axe de symétrie d’ordre « n » est symbolisé par Cn.Dans notre cas: 2/n = n = 2

L’axe de rotation est un axe de deuxième ordre : C2 .

7

La rotation est toujours dans le sens des aiguilles d'une montre (horaire ou clockwise).

La rotation de 2 est équivalent à l’élément identité : E .

H2H1

O

C2H2H1

Orotation de 180°

H1H2

O

C2

L’application successive de deux opérations C2 sur la même molécule d’eau résulte dans la molécule d’origine (identique): C1 ( 2/= 2).

rotation de 180°

8

1 1 1 1 22 2 2 2 2C C C C C E n

nC E

L’opération d’une rotation de autour d’un axe C2 est symbolisée par C21.

L’opération correspondant à l’application de deux opérations C21 peut être

symbolisée par C22.

C22 est équivalent à E.

Cnn est équivalent à E (n: nombre entier, positif).

L’ammoniac possède seulement un axe de symétrie propre

Exemple : l’ammoniac NH3

C3

9

C32

E

C33

C31

C3

10

C6

C3

C2

C2’ C2’’

Si une molécule a plusieurs axes de symétrie, on appelle l’axe d’ordre le plus élevé l’axe principal.

2 16 3C C 3 1

6 2C CEn général:Un axe d’ordre pair (> 2) contient des axes d’ordre pair moins élevé. Un axe C8 doit contenir des axes C4 et C2.

De plus dans le benzène, il existe 6 axes C2 perpendiculaires () à l’axe principal.

Exemple : benzène C6H6

C6H6: L’axe principal du benzène est l’axe C6.

Il contient par définition un axe C3 et un axe C2 qui sont coaxiaux à l’axe C6.

11

Exemple d’axe propre

C4

C4

12

Exemple d’axe propre (suite)

C2

C2

13

Exemple d’axe propre (suite)

C6

C6

14

Élément de symétrie : plan de réflexion :

’

15

Plan de réflexion :

Ces deux plans de réflexion contiennent l’axe principal (vertical) de la molécule, nous parlerons donc de v.

v

v’

C2

16

NH3 possède 3 plans de réflexion v, v’, v’’:

- ils passent tous par le N

- ils ont un angle de 120° (2/3) entre eux.- ils contiennent tous un H

17

Autres types de plan de réflexion:

- axe principal: C4 (360°/n=90°, n=4)

Molécule plane [AuBr4]–

C4

C2

C2

- axes C2 à l’axe principal

Combien de plans de réflexion dispose cette molécule ?

18

Quatre plans contenant l’axe principal, donc quatre plans verticaux :

d

- et deux autre ne contenant aucune liaison Au-Br (d d’) (d: angle dièdre “dihedral”)

v – contient une liaison Au-Br, d – bissecteur des angles Br-Au-Br

- deux qui contiennent chacun deux liaisons Au-Br (v v’)

v

19

h

Ce plan est à l’axe principal et la molécule se trouve complètement dans le plan. L’opération de symétrie laisse tous les atomes invariés.

Plan de réflexion h (h : horizontal)

Il existe un autre plan de réflexion (à part de v et d) :

20

Réflexion selon un plan (suite)

d

21

Exemple: CF2H2

C2

V’ : Dans le plan F-C-F

V: Dans le plan H-C-H

v v’

22

d

Exemple: C6H6

h

C6,…

v

C2

C2

C2

23

Un autre élément de symétrie d’une molécule est le centre d’inversion i.Une molécule donnée peut seulement posséder un seul centre

d’inversion (ou aucun).

Élément de symétrie : centre d’inversion : i

inversion

i

i centre d’inversion

Comment trouver un centre d’inversion ? par examen

24

Une deuxième manière de trouver un centre d’inversion:- description mathématique

Le Pd ne change pas de position, mais tous les Cl s’interchangent avec leurs atomes opposés. Si la molécule est équivalente après l’opération de symétrie, oui le PdCl4 possède un centre d’inversion comme élément de symétrie.

Si le centre d’inversion est placé à l’origine d’un repère cartésien (x,y,z) et que les positions des atomes de la molécule sont données par les coordonnées (xi,yi,zi), le centre d’inversion est un élément de symétrie pour une molécule si en remplaçant tous les coordonnées des atomes (xi,yi,zi) par (-xi,-yi,-zi) résulte dans une molécule équivalente (qui se voit invariante).

25

(xc, yc, zc) (x-a, y-a, z-a) = (xc, yc, zc)

, , , ,ix y z x y z

inversion

i

i centre d’inversion

z

xy

26

Exemple d’inversion (suite)

ii

27

Exemple d’inversion (suite)

ii

28

Exemple d’inversion (suite)

ii

29

on peut distinguer les molécules !

Éléments de symétrie: axes de rotation-réflexion (rotation impropre) : S

3

2

1

4

2

1

4

3

C4

C4

On peut symboliser le CF4 par une croix comme celle-ci

30

Si nous appliquons maintenant une réflexion dans un plan à l’axe de rotation (plan de l’écran) nous obtenons une molécule semblable:

La combinaison rotation – réflexion dans un plan perpendiculaire est un élément de symétrie nommé “axe de rotation impropre”, notation Sn.

Dans notre cas il s’agit de S4 où n = 4.

3

2

1

4

2

1

4

3

2

1

4

3

C4

31

Application successive de S4:

S42

S43

S44

S42 = C2

1

S44 = C2

2 = E

• Les seules opérations de symétrie uniques à partir d’un axe S4 sont S4

1 et S43.

• Un axe S4 doit posséder un axe C2 coaxial (lui-même élément de symétrie de la molécule).

• En général: pour chaque axe Sn d’ordre pair il existe un axe coaxial Cn/2.

Axe S6: opérations successives S62 = C3

1 S63 = i S6

4 = C32 S6

6 = E

seulement S61 et S6

5 sont uniques.

S2 est unique: une rotation C2 suivi d’une réflexion est aussi une inversion. En chimie on considère le cas du S2 comme une inversion : i .

31

2

4

S413

4

2

42

3

1

31

2

4

24

1

3

S4 S4 S4

32

Sn avec n= impair (3, 5, …) est plus problématique:

S32 = C3

2 S33 = S3

4 = C3 S3

6 = E

Fa

P

Fb

Fe

Fc

Fd

Fb

P

Fa

Fd

Fe

Fc

Fa

P

Fb

Fc

Fd

Fe

C3, S3

Fb

P

Fa

Fe

Fc

Fd

Fa

P

Fb

Fd

Fe

Fc

Fb

P

Fa

Fc

Fd

Fe

PF5

S33 par exemple n’est pas équivalent à E: S3

3 correspond à une opération . L’application d’une rotation impropre d’un nombre impair signifie un nombre impair de réflexions: le résultat de S3

3 correspond à une réflexion dans un plan à l’axe de la rotation impropre.

Par contre, l’opération S36 correspond à E.

seulement S31 et S3

5 sont uniques.

Plusieurs opérations de rotation impropre impaire peuvent être décrites par d’autres opération de symétrie

Sn2n = E

S3 S3

S3S3

33

Exemple d’un axe impropre

S2

Décomposition du mouvement page suivante

34

Exemple d’un axe impropre (suite)

C2

S2

perpendiculaire à l’axe C2

35

Exemple d’un axe impropre (suite)

S2ii

perpendiculaire à l’axe C2

36

Vue du haut

Exemple d’un axe impropre (suite)

Vue du coté

37

Exemple d’un axe impropre (suite)

C4

S4

perpendiculaire à l’axe C4

38

Exemple d’un axe impropre (suite)

39

Exemple d’un axe impropre (suite)

S4

En résumé :

40

Exemple d’un axe impropre (suite)

3

2

1

4

41

Exemple d’un axe impropre (suite)

C4

C4

S4

S4

3

2

1

4

2

1

4

3

2

1

4

3

perpendiculaire à l’axe C4

42

Exemple d’un axe impropre (suite)Dans un octaèdre comme le SF6, on observe un axe impropredu type S6. Bien qu’il soit difficilement observable, on peut représenter la molécule par une étoile à 6 pointes. On considère que le blanc est en avant-plan et que le gris en arrière-plan

1

43

6 5

2

43

Exemple d’un axe impropre (suite)

1

43

6 5

2

C6

4

3

2

16

5

16

5

4

3

2

S6

perpendiculaire à l’axe C4

44

Exemple d’un axe impropre (suite)

C6

S6

45

Exemple d’un axe impropre (suite)Vue du haut

Vue de coté

46

10

9

8

76

4 3

2

1

5

Exemple d’un axe impropre (suite)

47

Exemple d’un axe impropre (suite)

10

9

8

76

4 3

2

1

5

C10

10

9 8

7

6

4

3

2

15

4

3

2

15

10

9 8

7

6

S10

perpendiculaire à l’axe C4

48

Exemple d’un axe impropre (suite)

C10

S10

49

Bibliographie

P. H. Walton: “CHIMIE ET THÉORIE DES GROUPES”DeBoeck Université, 2001

F. A. Cotton: “APPLICATION DE LA THÉORIE DES GROUPES À LA CHIMIE” Dunod Université, 1968

J. Hladik : “LA THÉORIE DES GROUPES EN PHYSIQUE ET CHIMIE QUANTIQUE ” Masson , 1995