La symétrie

La symétrie

LAVAL

LAVAL

SHINZOX

SHINZOX

ININI

ININI

ININI

ININI

b dp q

b dp q

Définitions

• Symétrie (symmetry): • Du grec (sun) "avec" (metron) "mesure"• Même étymologie que "commensurable"• Jusqu'au mi-XIXe : symétrie "gauche-droite"

• Transformation, Groupe• Évariste Galois 1811, 1832.

Symétrie :

Propriété d'invariance d'un objetsous une

transformation de l'espace.

DéfinitionsSymétrique :

Invariant parau moins deux

transformations de l'espace.

Asymétrique :

Invariant par unetransformation de l'espace.

Dissymétrique…

Transformation

• Bijection (d’une partie) d’un ensemble géométrique dans lui-même

M f(M)=M’

• Transformation affine : deux points (P,P’) et O linéaire

f(M) = P’ + O(PM)

PP’

f : positionsO : vecteurs

P

Transformation affine

• Translation : O identité

• Homothétie : O(PM)=k.PM

• Affinité : Homothétie une direction

• Isométrie : Conserve les distances

• Similitude : Conserve les rapports

P

Conserve droites, plans, parallélisme

P’P

P P

P P

P

P P

P

Translation

• Réseaux périodiques infinis

Homothétie• Objets auto-similaires

• Fractals infinis

Similitude

Fractals infinisSpirale logarithmique (r=aeb)

’

’

r -> re-b’

e-b’

• Deux types d’opération de symétrie :

• Symétries de position : f(M)• Agissent sur de points.• Propriétés microscopiques des cristaux (structure électronique)

• Symétries d’orientation O(PM)• Agissent sur des vecteurs (directions)• Propriétés macroscopiques des cristaux (fonctions de réponse)

Les isométries

• Isométrie ||O(u)||=||u||

• Hélice de pas P

(, P /2)

• Translation• Rotations• Réflexions

E ?60°

• Rotations• Réflexions

f(M) = P’ + O(PM)

Symétrie d’orientation - 2D

• Dans le plan (2D)

• Transformation linéaire• ||O(u)|| = ||u||

• Rotations • Symétries orthogonales (réflexions par rapport à une droite)

• Déterminant +1 • Valeurs propres ei, e-i

• Déterminant -1 • Valeurs propres -1, 1

Symétrie d’orientation - 3D

c) Inversion ()d) Inversion rotatoire ()c) Réflexion (0)

• Dans l’espace (3D) :• ||O(u)|| = |||u||

Valeurs propres |= 1

• : équation 3e degré à coefficients réels

±1, ei, e-i (dét. = ± 1)

Rotations Réflexions rotatoires

• dét. = 1• Symétrie directes

• dét. = -1• Symétrie indirectes

a) Rotation d’angle b) Réflexion rotatoire

O

N

M

P

P

P’

P’M’

S

N

Projection stéréographique

• Représentation des directions

• Conservation des angles sur la sphère

Direction OM

P, projection de OM :Intersection de SM et l’équateur

• Transformation conforme (conserve les angles) mais pas affine

Les opérations de symétrie principales

• Conventionnellement

• Rotations (An)• Réflexions (M)• L’inversion (C)

• Inversions rotatoires (An)

• Indirectes• Réflexions rotatoires (An) • Réflexion (M)• Inversion (C)• Inversions rotatoires (An)

...

. .

.

....

..

.

..

A2 vertical A2 horizontal A3 A4 A5

.

M vertical

..

Inversion

.

M horizontal M de biais

... .

A4

.

• Directes• Rotation An d’ordre n (2/n)• Représentée par un polygone de même sym.

~

_

_

• Élément de symétrie• Ensemble des points invariants

Composition de symétries

• Produit de deux réflexions faisant un angle = rotation 2

• Produit de deux rotations = rotation

M’M=AM

M’

AN1

AN2AN3

/N1/N2

AN2AN1=AN3

• Construction d’Euler

• Ne donne pas de relations entre N1, N2 et N3

Anticommutatif

Les groupes ponctuels : définition

• L’ensembles des éléments de symétrie d’un objet muni de la loi de composition des symétries possède une structure de groupe G

• Si A et B à G, AB à G (ensemble est fermé)• La loi produit est associative (AB)C=A(BC)• Il existe un élément neutre E (rotation d ’ordre 1)• Chaque élément A à un inverse A-1

• Pas de commutativité en général (rotation 3D)

• Exemple groupe de symétrie d’une table rectangulaire 2mm

* E Mx My A2

E E Mx My A2

Mx Mx E A2 My

My My A2 E Mx

A2 A2 My Mx E

1

2 1

2

Mx

My

A2

2mm• Multiplicité du groupe : nombre d’éléments

Composition de rotations

AN1AN2AN3

/N1/N2

Triangle sphérique, vérifie l’inégalité :

22N (N qcq), 233, 234, 235 Groupes diédraux Groupes multiaxiaux

234

Contraintes :

Les groupes ponctuels

• Classés par degré de symétrie• Groupes limites de Curie

• Chiraux, propres

• Impropres

• Centrosymétriques

m3 43m m3m /m /m

3 4 6=3/m2=m1

32 422 622222

_ _ _ _ _

3 4 621

4/m 6/m2/m

3m 4mm 6mm2mm

3m 42m (4m2) _ _ _

62m (6m2) _ _

4/mmm 6/mmmmmm

43223

_ _ _

/m

2

m

/mm

Tri

clin

iqu

e

Mon

oclin

iqu

e

Ort

horh

om

biq

ue

Tri

gon

al

Tétr

ag

on

al

Hexag

on

al

Cu

biq

ue

Gro

up

es lim

ites

de C

uri

e

...

An An’

An

AnA2

An

An/M

AnM

AnM

An/MM’

An An’

_

_

_

Les groupes multiaxiaux

23 432 532

m3_

43m_

m3m_

53m__

Tétraèdre Octaèdre

Cube

Icosaèdre

Dodécaèdre

Groupes ponctuels : Notations

• Schönflies : Cn, Dn, Dnh

• Hermann-Mauguin(Notations internationales)

• Donne les éléments générateurs du groupe (pas le mini.)• Notion de direction de symétrie

• Direction d’une réflexion ( _ ) : normale au plan de réflexion

Direction primaire : de plus haute symétrie

Direction secondaire : de degré inférieur

Direction tertiaire : de degré inférieur

4 2 2mmm

4mmmNotation

réduite

Les 7 groupes limites de Pierre Curie

/m /m

2

/m

/mm

m

Cône tournant

Cylindre tordu

Cylindre tournant

Cône

Cylindre

Sphère tournante

Sphère

Vecteur axial + polaire

Tenseur axial d’ordre 2

Vecteur axial (H)

Vecteur polaire (E, F)

Tenseur polaire d’ordre 2 (susceptibilité)

Scalaire axial (chiralité)

Scalaire polaire (pression, masse)