Post on 02-Jan-2016
description
• Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension Ui
Du point de vue mathématique, on comprend qu'à la
résolution d'une équation différentielle linéaire, on va
obtenir certains termes qui seront amortis par des
exponentielles négatives, et d'autres pas. Ainsi, le régime
transitoire est donné par les termes de la solution qui sont
amortis exponentiellement. Les autres termes définissent
ce qu'on appelle le régime permanent.
Circuit RCRéponse à l’échelon en tension
• Loi de Kirchhoff :
Ui = UR +U0 = Ri + u
• Or
• D’où :
iUudtduRC
dtduC
dtdqi
• EHA :
• Solution de la forme : u = e rt
• Equation caractéristique : RC r +1 = 0 => r =
• D’où u car U -> A en fin de charge
• SPEC : Ui = cste donc u p = cste =>
• D’où
• => Up = Ui
• D’où SGEC :
RC1
e RCt
A
0dtdup
0udtduRC
iRCt
UAeu
ipp UudtduRC
• Or la tension aux bornes d’un condensateur est continue :
u(t=0-) = u( t=0+)
Conditions initiales :
u(t=0-) = 0
u( t=0+) =
A +Ui = 0 => A = - Ui
D’où :
iiRC UAUAe 0
)1( RCt
i eUu
Régime libre et régime forcé : importance des conditions initiales
• Parallèlement à la distinction régime transitoire et permanent, on peut en distinguer une seconde : le régime libre correspond à l'évolution du système laissé à lui-même, sans intervention extérieure. Du point de vue mathématique, cela revient à laisser agir les seules conditions initiales, sans membre de droite
dans l'équation différentielle ; la réponse libre du système est la solution à l'équation homogène, avec conditions initiales.
• Le régime forcé correspond à la réponse du système lorsque ses
conditions initiales sont nulles et qu'il n'y a donc que l'excitation qui agit sur le système.
• En ce qui concerne le circuit RC , si on a une charge initiale stockée dans la capacité, on obtient :
avec q0= Cu0
• Ici le régime libre correspond à la décharge du condensateur. La réponse transitoire s'en trouve modifiée, alors que le régime permanent est le même, vu qu'il dépend de l'excitation et que cette dernière est encore un échelon unité.
Tension aux bornes d’une bobine
• UL: tension aux bornes de la bobine en volts (V).
• L: inductance de la bobine en henrys (H).
• r: résistance de la bobine en ohms ().• i: intensité du courant traversant la
bobine en ampères (A).• di/dt: dérivée par rapport au temps de
l'intensité du courant traversant la bobine en ampères par seconde (A.s-1).
dtdiLriUL
CIRCUIT RL Réponse à l’échelon en intensité
• Loi de Kirchhoff :
E = UR +UL= Ri + ri + L
= (R+r)i +L
On pose Ro = R + r
D’où E = Ro i +L
dtdi
dtdi
dtdi
• EHA :
Solution de la forme : i = e at
Equation caractéristique : La + R0 = 0 => a =
• => i = I0 car en régime permanent i=I0
• SPEC : E= cste donc ip = cste =>
• D’où R ip = E => ip =
• SGEC :
00 dtdiLiR
LR0
e L
TR0
0dtdip
RE
00
0
R
EIi e
tL
R
• Si on place un interrupteur dans le circuit :
• Interrupteur fermé: Le courant s'installe progressivement: la bobine s'oppose à l'apparition de celui-ci.
• Interrupteur ouvert: Le courant diminue progressivement: la bobine s'oppose à la disparition de celui-ci.
• Conclusion: Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit où elle se trouve.
• Or l’intensité du courant dans la bobine est continue :
i(t=0-) = i( t=0+)
Conditions initiales :
i(t=0-) = 0
i( t=0+) =
i( t=0+) =
• =>
• D’où
0
0
0REeI L
00REI
00REI
)1(0
0
tLR
eREi
CIRCUIT RLRéponse à l’échelon en tension
• Loi de Kichhoff :
E = UR +UL => UL = E – R0i
D’où UL = E –R0
UL = E
)1(0
0
tLR
eRE
tLR
e0
Constante de temps
La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit RL ou RC .
• Circuit RC : τ = R C
• Circuit RL : 0RL
Circuit RC
• Se comportant comme un « circuit intégrateur ».
• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de lacapacité• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
• loi des mailles à l’instant t :
on a :dt
tdvC
dt
tdQti
s )()()(
)()()( tvtvtv sRe
)(1)(ti
Cdt
tdvs
et : )()( tRitvR
• on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
dt
tdvRCtv
sR
)()( donc :
(1)
• on divise (1) par RC = :
dt
tdv
RC
tv sR )()(on obtient :
RC
tv
RC
tv
RC
tv sRe )()()(
• finalement on obtient :
RC
tv
dt
tdv
RC
tv sse )()()(
• si RC est très grand, on a RC
tvs )( très petit devantdt
tdvs )(
• on peut donc faire une approximation :
dt
tdv
RC
tv se )()(
• en intégrant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la capacité et la tension d’entrée :
dttvRC
tv es )(1
)(
Si on se met dans les conditions où RC
tvs )(est très petit devant
dt
tdvs )(,
c’est-à-dire pour RC très grand, on voit que la tension de sortie est en première approximation le signal intégré de la tension d’entrée.
Le circuit RC se comporte comme un « circuit intégrateur ».
Circuit RL
• Se comportant comme un « circuit dérivateur ».
• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de labobine• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
• loi des mailles à l’instant t :
)()()( tvtvtv sRe
)()( tRitvR • on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
on a :
et :dt
tdiLtvs
)()(
)()( tLidttvs
)()( tvR
Ldttv Rs
(2)
• donc : dttvL
Rtv sR )()(
)()()( tvR
Ltv
R
Ltv
R
LsRe
• on multiplie (2) par R
L = :
• finalement on obtient :
)()()( tvR
Ldttvtv
R
Lsse
dttvtvR
LsR )()(on obtient :
• si R
Lest très petit, on a )(tv
R
Ls très petit par rapport à dttvs )(
• on peut donc faire une approximation :
dttvtvR
Lse )()(
• en dérivant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la bobine et la tension d’entrée :
dt
tdv
R
Ltv
es
)()(
Si on se met dans les conditions où )(tvR
Ls est très petit devant
dttvs )( , c’est-à-dire pour R
Ltrès petit, on constate que la tension
de sortie est en première approximation le signal dérivé de la tensiond’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».
Circuit RC
• Se comportant comme un « circuit dérivateur ».
• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de larésistance• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
Le circuit RC peut aussi se comporter comme un « circuit dérivateur »,en prenant cette fois-ci la tension de sortie aux bornes de la capacité :
On suit le même raisonnement que précédemment :
• loi des mailles : )()()( tvtvtv sce
• on a : )()( tRitvs )(1)(ti
Cdt
tdvcet :
soit : )(1)(
tvRCdt
tdvs
c
dttvtRCv sc )()(• ce qui donne :
)()()( tRCvtRCvtRCv sce • on remplace dans l’équation :
)()()( tRCvdttvtRCv sse RC• si est très petit, on a )(tRCvs très petit devant dttvs )(
dttvRC
tv se )(1
)(• en approximation :
• en dérivant :dt
tdvRCtv
es
)()(
On voit que la tension de sortie est en première approximation le signal dérivé de la tension d’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit dérivateur ».
Circuit RL
• Se comportant comme un « circuit intégrateur ».
De la même façon le circuit RL peut se comporter comme un « circuitintégrateur » :
• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de larésistance• vL(t) : tension aux bornes de la bobine
• loi des mailles : )()()( tvtvtv sLe
• on a :dt
tdiLtvL
)()(
dt
tdiR
dt
tdvs )()(et :
)()(
tvL
R
dt
tdvL
s• donc :
)()()( tvL
Rtv
L
Rtv
L
RsLe • on remplace dans :
)()(
)( tvL
R
dt
tdvtv
L
Rs
se
L
R)(tv
L
Rs
dt
tdvs )(• si est très petit, on a très petit devant :
dt
tdvtv
L
R se
)()( • en approximation :
• en intégrant : dttvL
Rtv es )()(
On voit que la tension de sortie est l’intégrale de la tension d’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».
La relation entre le signal de sortie et le signal d’entrée est appelé :
))es
(j(E
S(jωH
E
S(jωH exp))
Il apparaît :
)()( jHG
))(arg()( jH
Le Gain en tension :
Le Déphasage :
Fonction de transfert :
Rappel : f 2
• Gain en amplitude : GdB () = 20 log G()
• Phase :
On appelle représentation de BODE de la fonction de transfert l'association des graphes :
On appelle bande passante bande de fréquences dans laquelle l'amplitude est supérieure à un pourcentage de sa valeur maximale. En général, U>Umax/ .
Plus simplement, c’est la gamme de fréquence pour laquelle on considère qu’ un signal est transmis.
La gamme de fréquence étant souvent élevé on utilise une échelle logarithmique.
2
IjCω1
sV
IRIjCω1
sVrVeV
jRCω1
1H
jCω
jCω
R1/jCω
1/jCω
Ve
VsH
)²( RCHG
1
1
)(
sin
cos
)arg()arg(
RCarctg
Rc
jCH
1
1
Gain
Phase )²( RCG
1
1
)( RCarctg
Bande
PassanteGmax/ 2
Gmax
c
Le circuit RC intégrateur se comporte comme un filtre passe-bas, puisqu’il ne transmet le signal que dans une bande de fréquence
Ph
ase
Gai
nd
b
GdB () ()
∞G#1/(RC
G0
Gdb# -20*log(RC)
Gdb -∞-
(intégrateur)
court circuit
Rappels : )²( RC
G
1
1
)( RCarctg
Gmax=1
(filtre passif)
Gdb max =0 0coupe circuit
c=1/RC G(c)=1/ Gdb=-3 -
=0 ∞=c=1/RC
Que se passe-t-il quand prend les valeurs suivantes ?
G Gdb Equivalence
Gmax=1
(filtre passif)
Gdb max =0 0coupe circuit
c=1/RC G(c)=1/ Gdb=-3 -
∞G#1/(RC
G0
Gdb# -20*log(RC)
Gdb -∞-
(intégrateur)
court circuit
2
L’étude du gain et de la phase du circuit intégrateur par l’intermédiaire de la fonction complexe et de la phase permet de déterminer :
• Le type de filtre : passe-bas
• La fréquence de coupure de la bande passante à 3 dB : RC
fc 2
1
RCfc
2
1
Lorsque RC est grand, on a fc 0
Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal.
RCfc
2
1
Lorsque RC est petit, on a fc ∞
Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la composante continue du signal.
Filtre passe-bas
Filtre passe-haut
RL
fc2
1
Lorsque L/R est petit, on a fc ∞
Lorsque L/R est grand, on a fc 0
Filtre passe-bas
Filtre passe-hautRL
fc2
1
Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal.
Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la composante continue du signal.
Applications du circuit ‘‘ Intégrateur’’
• Oscilloscope : donne la composante continue d’un signal alternatif
• Amplis Hi-Fi : filtre passe-bas qui supprime les hautes fréquences