Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

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Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i Du point de vue mathématique, on comprend qu'à la résolution d'une équation différentielle linéaire, on va obtenir certains termes qui seront amortis par des exponentielles négatives, et d'autres pas. Ainsi, le régime transitoire est donné par les termes de la solution qui sont amortis exponentiellement. Les autres termes définissent ce qu'on appelle le régime permanent.

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REPONSE TEMPORELLE. D’ UN CIRCUIT RLC DEGRADE. Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension Ui

Du point de vue mathématique, on comprend qu'à la

résolution d'une équation différentielle linéaire, on va

obtenir certains termes qui seront amortis par des

exponentielles négatives, et d'autres pas. Ainsi, le régime

transitoire est donné par les termes de la solution qui sont

amortis exponentiellement. Les autres termes définissent

ce qu'on appelle le régime permanent.

Page 2: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Circuit RCRéponse à l’échelon en tension

• Loi de Kirchhoff :

Ui = UR +U0 = Ri + u

• Or

• D’où :

iUudtduRC

dtduC

dtdqi

Page 3: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• EHA :

• Solution de la forme : u = e rt

• Equation caractéristique : RC r +1 = 0 => r =

• D’où u car U -> A en fin de charge

• SPEC : Ui = cste donc u p = cste =>

• D’où

• => Up = Ui

• D’où SGEC :

RC1

e RCt

A

0dtdup

0udtduRC

iRCt

UAeu

ipp UudtduRC

Page 4: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• Or la tension aux bornes d’un condensateur est continue :

u(t=0-) = u( t=0+)

Conditions initiales :

u(t=0-) = 0

u( t=0+) =

A +Ui = 0 => A = - Ui

D’où :

iiRC UAUAe 0

)1( RCt

i eUu

Page 5: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Régime libre et régime forcé : importance des conditions initiales

• Parallèlement à la distinction régime transitoire et permanent, on peut en distinguer une seconde : le régime libre correspond à l'évolution du système laissé à lui-même, sans intervention extérieure. Du point de vue mathématique, cela revient à laisser agir les seules conditions initiales, sans membre de droite

dans l'équation différentielle ; la réponse libre du système est la solution à l'équation homogène, avec conditions initiales.

• Le régime forcé correspond à la réponse du système lorsque ses

conditions initiales sont nulles et qu'il n'y a donc que l'excitation qui agit sur le système.

Page 6: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• En ce qui concerne le circuit RC , si on a une charge initiale stockée dans la capacité, on obtient :

avec q0= Cu0

• Ici le régime libre correspond à la décharge du condensateur. La réponse transitoire s'en trouve modifiée, alors que le régime permanent est le même, vu qu'il dépend de l'excitation et que cette dernière est encore un échelon unité.

Page 7: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Tension aux bornes d’une bobine

• UL: tension aux bornes de la bobine en volts (V).

• L: inductance de la bobine en henrys (H).

• r: résistance de la bobine en ohms ().• i: intensité du courant traversant la

bobine en ampères (A).• di/dt: dérivée par rapport au temps de

l'intensité du courant traversant la bobine en ampères par seconde (A.s-1).

dtdiLriUL

Page 8: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

CIRCUIT RL Réponse à l’échelon en intensité

• Loi de Kirchhoff :

E = UR +UL= Ri + ri + L

= (R+r)i +L

On pose Ro = R + r

D’où E = Ro i +L

dtdi

dtdi

dtdi

Page 9: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• EHA :

Solution de la forme : i = e at

Equation caractéristique : La + R0 = 0 => a =

• => i = I0 car en régime permanent i=I0

• SPEC : E= cste donc ip = cste =>

• D’où R ip = E => ip =

• SGEC :

00 dtdiLiR

LR0

e L

TR0

0dtdip

RE

00

0

R

EIi e

tL

R

Page 10: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• Si on place un interrupteur dans le circuit :

• Interrupteur fermé: Le courant s'installe progressivement: la bobine s'oppose à l'apparition de celui-ci.

• Interrupteur ouvert: Le courant diminue progressivement: la bobine s'oppose à la disparition de celui-ci.

• Conclusion: Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit où elle se trouve.

• Or l’intensité du courant dans la bobine est continue :

i(t=0-) = i( t=0+)

Conditions initiales :

i(t=0-) = 0

i( t=0+) =

i( t=0+) =

• =>

• D’où

0

0

0REeI L

00REI

00REI

)1(0

0

tLR

eREi

Page 11: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

CIRCUIT RLRéponse à l’échelon en tension

• Loi de Kichhoff :

E = UR +UL => UL = E – R0i

D’où UL = E –R0

UL = E

)1(0

0

tLR

eRE

tLR

e0

Page 12: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Constante de temps

La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit RL ou RC .

• Circuit RC : τ = R C

• Circuit RL : 0RL

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Page 14: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Circuit RC

• Se comportant comme un « circuit intégrateur ».

Page 15: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de lacapacité• vR(t) : tension aux bornes de la résistance

• loi des mailles à l’instant t :

on a :dt

tdvC

dt

tdQti

s )()()(

)()()( tvtvtv sRe

)(1)(ti

Cdt

tdvs

et : )()( tRitvR

• on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :

dt

tdvRCtv

sR

)()( donc :

(1)

Page 16: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• on divise (1) par RC = :

dt

tdv

RC

tv sR )()(on obtient :

RC

tv

RC

tv

RC

tv sRe )()()(

• finalement on obtient :

RC

tv

dt

tdv

RC

tv sse )()()(

• si RC est très grand, on a RC

tvs )( très petit devantdt

tdvs )(

Page 17: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• on peut donc faire une approximation :

dt

tdv

RC

tv se )()(

• en intégrant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la capacité et la tension d’entrée :

dttvRC

tv es )(1

)(

Si on se met dans les conditions où RC

tvs )(est très petit devant

dt

tdvs )(,

c’est-à-dire pour RC très grand, on voit que la tension de sortie est en première approximation le signal intégré de la tension d’entrée.

Le circuit RC se comporte comme un « circuit intégrateur ».

Page 18: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Circuit RL

• Se comportant comme un « circuit dérivateur ».

Page 19: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de labobine• vR(t) : tension aux bornes de la résistance

• loi des mailles à l’instant t :

)()()( tvtvtv sRe

)()( tRitvR • on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :

on a :

et :dt

tdiLtvs

)()(

)()( tLidttvs

)()( tvR

Ldttv Rs

(2)

Page 20: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• donc : dttvL

Rtv sR )()(

)()()( tvR

Ltv

R

Ltv

R

LsRe

• on multiplie (2) par R

L = :

• finalement on obtient :

)()()( tvR

Ldttvtv

R

Lsse

dttvtvR

LsR )()(on obtient :

• si R

Lest très petit, on a )(tv

R

Ls très petit par rapport à dttvs )(

Page 21: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• on peut donc faire une approximation :

dttvtvR

Lse )()(

• en dérivant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la bobine et la tension d’entrée :

dt

tdv

R

Ltv

es

)()(

Si on se met dans les conditions où )(tvR

Ls est très petit devant

dttvs )( , c’est-à-dire pour R

Ltrès petit, on constate que la tension

de sortie est en première approximation le signal dérivé de la tensiond’entrée.

Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».

Page 22: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Circuit RC

• Se comportant comme un « circuit dérivateur ».

Page 23: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de larésistance• vR(t) : tension aux bornes de la résistance

Le circuit RC peut aussi se comporter comme un « circuit dérivateur »,en prenant cette fois-ci la tension de sortie aux bornes de la capacité :

On suit le même raisonnement que précédemment :

• loi des mailles : )()()( tvtvtv sce

• on a : )()( tRitvs )(1)(ti

Cdt

tdvcet :

soit : )(1)(

tvRCdt

tdvs

c

Page 24: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

dttvtRCv sc )()(• ce qui donne :

)()()( tRCvtRCvtRCv sce • on remplace dans l’équation :

)()()( tRCvdttvtRCv sse RC• si est très petit, on a )(tRCvs très petit devant dttvs )(

dttvRC

tv se )(1

)(• en approximation :

• en dérivant :dt

tdvRCtv

es

)()(

On voit que la tension de sortie est en première approximation le signal dérivé de la tension d’entrée.

Le circuit se comporte comme un « circuit dérivateur ».

Page 25: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Circuit RL

• Se comportant comme un « circuit intégrateur ».

Page 26: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

De la même façon le circuit RL peut se comporter comme un « circuitintégrateur » :

• ve(t) : tension d’entrée• vs(t) : tension de sortie aux bornes de larésistance• vL(t) : tension aux bornes de la bobine

• loi des mailles : )()()( tvtvtv sLe

• on a :dt

tdiLtvL

)()(

dt

tdiR

dt

tdvs )()(et :

)()(

tvL

R

dt

tdvL

s• donc :

Page 27: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

)()()( tvL

Rtv

L

Rtv

L

RsLe • on remplace dans :

)()(

)( tvL

R

dt

tdvtv

L

Rs

se

L

R)(tv

L

Rs

dt

tdvs )(• si est très petit, on a très petit devant :

dt

tdvtv

L

R se

)()( • en approximation :

• en intégrant : dttvL

Rtv es )()(

On voit que la tension de sortie est l’intégrale de la tension d’entrée.

Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».

Page 28: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

La relation entre le signal de sortie et le signal d’entrée est appelé :

))es

(j(E

S(jωH

E

S(jωH exp))

Il apparaît :

)()( jHG

))(arg()( jH

Le Gain en tension :

Le Déphasage :

Fonction de transfert :

Rappel : f 2

Page 29: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

• Gain en amplitude : GdB () = 20 log G()

• Phase :

On appelle représentation de BODE de la fonction de transfert l'association des graphes :

On appelle bande passante bande de fréquences dans laquelle l'amplitude est supérieure à un pourcentage de sa valeur maximale. En général, U>Umax/ .

Plus simplement, c’est la gamme de fréquence pour laquelle on considère qu’ un signal est transmis.

La gamme de fréquence étant souvent élevé on utilise une échelle logarithmique.

2

Page 30: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

IjCω1

sV

IRIjCω1

sVrVeV

jRCω1

1H

jCω

jCω

R1/jCω

1/jCω

Ve

VsH

)²( RCHG

1

1

)(

sin

cos

)arg()arg(

RCarctg

Rc

jCH

1

1

Gain

Phase )²( RCG

1

1

)( RCarctg

Page 31: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Bande

PassanteGmax/ 2

Gmax

c

Le circuit RC intégrateur se comporte comme un filtre passe-bas, puisqu’il ne transmet le signal que dans une bande de fréquence

Page 32: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Ph

ase

Gai

nd

b

GdB () ()

Page 33: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

∞G#1/(RC

G0

Gdb# -20*log(RC)

Gdb -∞-

(intégrateur)

court circuit

Rappels : )²( RC

G

1

1

)( RCarctg

Gmax=1

(filtre passif)

Gdb max =0 0coupe circuit

c=1/RC G(c)=1/ Gdb=-3 -

=0 ∞=c=1/RC

Que se passe-t-il quand prend les valeurs suivantes ?

Page 34: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

G Gdb Equivalence

Gmax=1

(filtre passif)

Gdb max =0 0coupe circuit

c=1/RC G(c)=1/ Gdb=-3 -

∞G#1/(RC

G0

Gdb# -20*log(RC)

Gdb -∞-

(intégrateur)

court circuit

2

Page 35: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

L’étude du gain et de la phase du circuit intégrateur par l’intermédiaire de la fonction complexe et de la phase permet de déterminer :

• Le type de filtre : passe-bas

• La fréquence de coupure de la bande passante à 3 dB : RC

fc 2

1

Page 36: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

RCfc

2

1

Lorsque RC est grand, on a fc 0

Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal.

RCfc

2

1

Lorsque RC est petit, on a fc ∞

Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la composante continue du signal.

Filtre passe-bas

Filtre passe-haut

Page 37: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

RL

fc2

1

Lorsque L/R est petit, on a fc ∞

Lorsque L/R est grand, on a fc 0

Filtre passe-bas

Filtre passe-hautRL

fc2

1

Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal.

Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la composante continue du signal.

Page 38: Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension U i

Applications du circuit ‘‘ Intégrateur’’

• Oscilloscope : donne la composante continue d’un signal alternatif

• Amplis Hi-Fi : filtre passe-bas qui supprime les hautes fréquences