Électronique analogique 1 transformation de Fourier signal périodique signal non périodique ...
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électronique analogique1
électronique analogique
transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique
systèmes linéaires
amplificationamplificateuramplificateur opérationnel
filtrage
oscillateurs
électronique analogique2
transformation de Fourier :
x(t) somme de signaux sinusoïdauxTF
si x(t) est périodique, sa TF est discrète :
si x(t) est non périodique, sa TF est continue :
1
nn )tnsin(b)tncos(a)t(x
de)(Xdfe)f(X)t(x tjft2j
électronique analogique3
transformation de Fourier d'un signal périodique :
T
00 dt)t(x
T1
a T
0n dt)tncos()t(x
T2
a T
0n dt)tnsin()t(x
T2
b
x(t)
t
T
M
)1p2(
M2b ; 0b
0a2
Ma
1p2p2
n
0
0
)t1p2sin()1p2(
M22M
)t(x
n
am
plit
ude
TF
électronique analogique4
transformation de Fourier d'un signal périodique :
-1
-0,5
0
0,5
1
tT
T/2
reconstruction de x(t) : la courbe rougeest la somme des 4 premières harmoniques
électronique analogique5
transformation de Fourier d'un signal non périodique :
dte)t(x)f(X ft2j
x(t)
t
T/2
M
-T/2
TF)fTsin(
fM
)f(X
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 f
X(f)tracé de X(f) pour M=1 etT=1, T=4 et T=0,4
électronique analogique6
transformation de Fourier
la TF est linéaire
dualité temps/fréquence
temps "brefs" fréquences élevéestemps "longs" fréquences faibles
enjeu : augmentation des débits de traitementde l'information fréquences élevées
électronique analogique7
électronique analogique
transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique
systèmes linéaires
amplificationamplificateuramplificateur opérationnel
filtrage
oscillateurs
électronique analogique8
i
)i(
i)i(
i dt)t(xc)t(xb)t(ax)t(y
systèmes linéaires
S.L.x(t) y(t)
la relation reliant y(t) à x(t) estune équation différentiellelinéaire à coefficients constants :
exemple : R
Cx(t) y(t)
i(t)dtdy
Ctior
tRitytx
)(
)()()(
)t(ydtdy
RC)t(x
électronique analogique9
systèmes linéaires
exemple : R
Cx(t) y(t)
i(t)
)t(ydtdy
RC)t(x
si x(t) est sinusoïdal : x(t)=Xsin(t),alors y(t) est aussi sinusoïdal : y(t)=AXsin(t+)
)tsin(AX)tcos(AXRC)tsin(X
)tsin(CR
)tcos(CR
RCCRA)tsin(
222222222
1
1
11
RCtgCR
A2221
1
électronique analogique10
systèmes linéaires
exemple : R
Cx(t) y(t)
i(t)
)t(ydtdy
RC)t(x
X
t2
x(t)
y(t) pour RC=0,1
y(t) pour RC=1
y(t) pour RC=10
électronique analogique11
systèmes linéaires
S.L.Aejt
tj
ii
iii Ae
)j(
c)j(ba)t(y
exemple : R
1/jCX()
II.
jC1
)(Y et
I.jC1
R)(X
jRC11
)(X)(Y
tj
tj
tj
ejA
dt)t(x
Aejdtdx
alors Ae)t(x si donc
A G() ejt
Y()
G() =
électronique analogique12
systèmes linéaires
lien avec la transformation de Fourier
S.L.
X()X(f)
x(t) y(t)
TF T
F-1
Y() = G() X()Y(f) = G(f) Y(f)
G()
les signaux harmoniques sont les fonctions propresdes systèmes linéaires
électronique analogique13
systèmes linéaires
exemple : R
Cx(t) y(t) ?
x(t)
t
T
M
s/rd 1000avec j1
1)(G 0
0
-30
-20
-10
010 100 103 1041
(rd/s)
|G()|dB
)(Glog 20)(GdB
électronique analogique14
systèmes linéaires
exemple : 10 100 103 1041
(rd/s)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t
électronique analogique15
électronique analogique
transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique
systèmes linéaires
amplificationamplificateuramplificateur opérationnel
filtrage
oscillateurs
électronique analogique16
amplification
système linéaire caractérisé par G(f)>1 apport d'énergie
amplificateur idéal:
Ve() Vs()
)(V).(A)(V es
A()
i=0
le courant d'entrée est nulla sortie est une source de tension parfaite
électronique analogique17
amplification
amplificateur non idéal (modèle linéaire):
Ve() Vs()A().Ve()
ie is
Re
Rs
sses
eee
iRV).(AV
i.RV
VsA.Ve
ie is
Re
Rs
Ve
RgEg Rcsc
c
ge
egs RR
R.
RRR
.E.AV
électronique analogique18
amplification
cascade d'amplificateurs:
Ve A.Ve
ie
Re
Rs V'e VsA'.V'eR'e
R's
se
e
e
s
R'R'R
'.A.AVV
amplificateur d'entrée : Re élevéeamplificateur de sortie : Rs faible
électronique analogique19
amplificateur opérationnel
amplificateur opérationnel idéal:
A.(v+-v-)
ie
Re
Rs
+
-
v+
v-
vs v+-v-
A Re Rs 0
v+-v- 0is 0
électronique analogique20
amplificateur opérationnel
exemples de montages linéaires :
vs
+
-ve
R1
R2
ve
0
1
2
e
s
RR
1VV
vs
ve
R1
R2
0+
-
0
1
2
e
s
RR
VV
électronique analogique21
amplificateur opérationnel
exemples de montages linéaires :
vs
ve
R' R0
+
-
0
jRC1'RR
'RZ
VV
e
s
vs
ie
R
0+
-
0
eRiVs
C
électronique analogique22
électronique analogique
transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique
systèmes linéaires
amplificationamplificateuramplificateur opérationnel
filtrage
oscillateurs
électronique analogique23
filtrage
réduction du bruit:
V(f)
s
f
antirepliement:
V(f)
ffe 2fe
électronique analogique24
filtrage
sélection (ou élimination) d'une bande fréquentielledans le spectre d'un signal :
f
V(f)
fp1 fp2 fp3
s1 s2 s3
sélection d'un signal modulé en amplitude
électronique analogique25
filtrage
sélection (ou élimination) d'une bande fréquentielledans le spectre d'un signal :
tTF
f
V(f)
réjection de parasites
v(t)
f
V(f)
électronique analogique26
filtrage
Système linéaire:
i
)i(
i)i(
i dt)t(xc)t(xb)t(ax)t(y
Les signaux harmoniques sont fonctions propres de l ’opérateurlinéaires.
Fonction de transfert:
p
0
pp
k
0
kk
jb
ja
H
p
0
pp
k
0
kk
sb
sa
sH
Stabilité: p k et pôles à parties réelles négatives
électronique analogique27
filtrage
Les pôles sont réels ou complexes conjugués
p
0
pp
k
0
kk
sb
sa
sH est décomposable en
i i
i
ps
2éme ordre1er ordre
Un filtre d ’ordre quelconque peut être réaliser par la cascade de filtres du premier et du deuxième ordre.
électronique analogique28
filtrage
Filtre du 2éme ordre normalisé: 1
Qs
s
1ou
1s2s
1sH
22
-40
-30
-20
-10
0
10
0,1 1 10
Butterworth
Bessel
Chebychev
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 2 4 6 8 10
Butterworth
Bessel
Chebychev
Q=0,707 ButterworthQ=0,577 BesselQ=1,128 Chebyshev
électronique analogique29
filtrageGabarit d ’un filtre:
H()critère de " gain plat "dans la bande passante
sélectivitéphase linéaire
Transposition de fréquence:
Exemple:
1s2s
1sH
2
1s2s
s
sH
02
0
2
20
2
s=0/s
Filtre PB normalisé Filtre PH
s=0/sFiltre Passe-Bas Filtre Passe-Haut
s=s+02/s
Filtre Passe-Bas Filtre Passe-Bande
électronique analogique30
filtrage
Filtres de Butterworth:
Filtre maximally flat: N2N
2N2
2N
s11
1H(s)ou
1
1H
si N est pair, les pôles sont les racines de s2N=ej, donc sk=ekj/2N.
Ex: N=4x
x
x
x
x
x
x
x
22
4
ss8
3sin21ss
8sin21
1sH
si N est impair, les pôles sont les racines de s2N=ej2, donc sk=ekj/N.
Ex: N=3
x
x
23
ss1s1
1sH
x
x
x
x
électronique analogique31
filtrage
Filtres de Chebychev:
Plus sélectif que B.: )(T1
1H
2N
22
N
Les polynômes de C. sont définis par: TN+1(x)=2xTN(x)-TN-1(x) avec, T0(x)=1 et T1(x)=x.
électronique analogique32
filtrage
Filtres de Bessel:
Pour qu’un signal ne soit pas déformé par un système linéaire,il faut qu ’il subisse un retard pur: s(t)=A.e(t-).
S(f)=A.E(f).exp(-j2f)
Le gain du système est donc G(f)=A.exp(-j2f).La phase du filtre varie linéairement avec la fréquence.Un tel filtre est non causal donc non physique, le filtre de Besselest celui qui approche le mieux un filtre à phase linéaire.
)s(B
asH
NN
BN est un polynôme de Bessel défini par:BN(s)=(2N-1)BN-1(s)+s2BN-2(s)avec B0=1 et B1(s)=s+1
15s15s6s
15sH;
3s3s
3sH ;
1s
1sH
233221
électronique analogique33
filtrage
Comparaison des fonctions de transfert (filtres d ’ordre 3)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,01 0,1 1 10
Butterworth-mod
Chebychev-mod
Bessel-mod
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0,01 0,1 1 10
Butterworth
Chebychev
Bessel
-4,7124
-3,1416
-1,5708
0
0 2 4 6 8
Butterworth
Bessel
Phase comparéedes filtres de Butterworthet de Bessel
électronique analogique34
filtrage
Filtres actifs: construits autour d ’un composant actif (amplificateur) non nécessairement stables comportement fréquentiel limité par les éléments actifs
vs
Exemple:
Ave
R
R
RC
C 222v
v
CR
2s
RCA4
s
sRCA
e
s
stabilité A<4
A4
1Qet
RC
20
Passe-bande du 2ème ordre
électronique analogique35
filtrage
Cellules prédéfinies: filtre de Sallen-Key (1965)
vs
Ave
C2
1sA1CRRRCsCRCR
A
112122
2211vv
e
s
stabilité
Passe-bas du 2ème ordre
C1
R1 R2
1
CR
CRRA
11
221
Les cellules de Sallen-Key permettent de réalisertous les filtres polynomiaux
électronique analogique36
filtrage
Cellules prédéfinies: cellule de Rauch (2ème ordre)
1s3R
1R1
R1
RRCsCCRR
RR
21322
22132
12
vv
e
s
Stabilité inconditionnellevsve C1
R1 R3
R2
C2
-
+
vsve
Y4
-+
Y5
Y1 Y3
Y2
Généralisation:
4321543
31vv
YYYYYYY
YYe
s
électronique analogique37
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
C
1 2
R
électronique analogique38
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
E C
1 2
E ’
Q(t0)=C.E
électronique analogique39
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
E C
1 2
E ’
Q(t0)=C.E Q(t0+t)=C.E ’
Q=C.(E ’-E)
I = Q/t = C/T.(E ’-E )
T
RI
E E ’
R=T/C
électronique analogique40
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
E C Ca
1 2
Q=C.E
électronique analogique41
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
E C Ca
1 2
Q=C.E
Q0=CE
V1
Q=C2.E/(C+Ca) Q=CCa.E/(C+Ca)
Conservation de la charge:CE=CV1+CaV1
V1=CE/(C+Ca)
électronique analogique42
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
E C Ca
1 2 Q0=CE
V1
Q=C2.E/(C+Ca) Q=CCa.E/(C+Ca)
V1=CE/(C+Ca)
Q=C.E
Q1=CE[1+Ca/(Ca+C)]
électronique analogique43
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
E C Ca
1 2 Q0=CE
V1
Q=C2.E/(C+Ca) Q=CCa.E/(C+Ca)
V1=CE/(C+Ca)
Q=C.E
Q1=CE[1+Ca/(Ca+C)]
Q=C2.E(1+Ca)/(C+Ca) Q=CCa.E(1+Ca)/(C+Ca)
V2
V2=CE(1+Ca)/(C+Ca)
électronique analogique44
filtrage
Circuits à capacités commutées: principe
Relation de récurrence:V0=0V1=CE/(C+Ca)V2= [CE+CaV1] /(C+Ca)…Vn= [CE+CaVn-1] /(C+Ca)
ECC
C1V
n
a
an
00,20,40,60,8
11,2
0 20 40 60
Vn
Eexp1V aRCnT
n
R=T/C
électronique analogique45
filtrage
Circuits à capacités commutées: mise en oeuvre
vs
C 0
C
2
R=T/C
CTC
j
1
RCj
1
v
v
00e
s
ve
1
C 02
ve
1
12vs
électronique analogique46
transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique
systèmes linéaires
amplificationamplificateuramplificateur opérationnel
filtrage
oscillateurs
électronique analogique
électronique analogique47
Génération de signaux
Principe !
x(t) y(t)
X(f) Y(f)=G(f).X(f)
G(f)
amplificateur
ve
ie
vs
is
Le gain du système est dépendant: des tolérances sur les composants actifs de la température du vielillissement
électronique analogique48
Génération de signaux
Système bouclé: stabilité !
x yG(f)
Pour IGHI >1, le gain du système ne dépend que de H
+-
H(f)
yr
yr=G.H.
=x- yr
GH1
G
x
y)f(F
Instabilité pour GH=-1
Conditions d ’instabilité: IGHI=1 et Arg(GH)=
électronique analogique49
Génération de signaux
Système bouclé: stabilité !
yG(f)
H(f)
yr
IGHI>1
saturation
-
x +
électronique analogique50
Génération de signaux
Oscillateurs sinusoïdaux: systèmes bouclés fonctionnant à la limitede l ’instabilité
yG(f)
-
k
yr
En général la chaîne de retourest passive.
Condition d ’accrochage: kG(f)=-1
yG(f)
k
Condition d ’accrochage: kG(f)=1
électronique analogique51
Génération de signaux
Oscillateurs sinusoïdaux: exemple oscillateur de Colpitts
Condition d ’accrochage: kG(f)=1
ve
is=gve
L
CCLC
2
R
1g
R
électronique analogique52
Génération de signaux
Oscillateurs sinusoïdaux HF: un circuit résonnant fixe la fréquence des oscillations l ’amplificateur compense les pertes du circuit résonnant
ve
is=gve
L
C
C ’
R
L
Oscillateur de Hartley
électronique analogique53
Génération de signaux
Oscillateurs sinusoïdaux HF: Oscillateur de Clapp
ve
is=gve
R L
C1 C2
C
1
2
C
C
R
1g
C
1
C
1
C
1
L
1
21
électronique analogique54
1,00E+01
1,00E+02
1,00E+03
1,00E+04
1,00E+05
1,00E+06
1,00E+07
9,9 9,95 10 10,05 10,1
Génération de signaux
Oscillateurs à quartz
Q
Cs
CLR
(Mrd/s)
Z()
fs=10 Mrd/s
fp=10,005 Mrd/sEx: R= 30 Cs=10fF L=1H C0=10pF
électronique analogique55
Génération de signaux
Oscillateurs à quartz: résonance série
Q
ve vs
Re
G.ve
principe: instabilité pour Q résistif foscfs
Q
Oscillateur à portes CMOS
électronique analogique56
Génération de signaux
Oscillateurs à réseau déphaseur (BF)
principe:
ve vs
Re
G.ve
Amplificateur (en général à A.Op.)
Réseau RC
électronique analogique57
Génération de signaux
Oscillateurs à réseau déphaseur (BF)
Exemple:
-AR
C C C
R R
v1 v2
3332221
2
CjRCR5jRC61
1
v
v
v2/v1 doit être réelRC
60
29A
électronique analogique58
Génération de signaux
Oscillateurs à réseau déphaseur (BF)
Exemple: oscillateur à pont de Wien
AR C
CRv1 v2
2221
2
CRjRC31
jRC
v
v
RC
10
3A
v2/v1 doit être réel