Post on 13-Sep-2018
Analyse des Signaux
La série de Fourier (sF)
Chapitre 2
Analyse des Signaux
Équation de synthèse
2
Analyse des Signaux
Équation d’analyse
3
Analyse des Signaux
Preuve
4
Supposons que l’équation de synthèse est valide.
Quelles sont les coefficients F(n)?
Analyse des Signaux
Preuve
5
Analyse des Signaux
Preuve
6
Analyse des Signaux
Preuve
7
Analyse des Signaux
Preuve
8
Analyse des Signaux
Circulaire ? ! ?
9
Analyse des Signaux
Particularités 1/2
10
Analyse des Signaux
Exemple (sF d’une exponentielle, sF d’une cosinus)
11
Analyse des Signaux
Exemple (sF d’une sinus)
12
Analyse des Signaux
Particularités 2/2
13
Analyse des Signaux
Série de Fourier d’une onde carrée 1/3
14
Analyse des Signaux
Série de Fourier d’une onde carrée 2/3
15
Analyse des Signaux
Fonction sinc
16
Analyse des Signaux
Série de Fourier d’une onde carrée 3/3
17
Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
18
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
19
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
20
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
21
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
Analyse des Signaux
Spectre d’amplitude et de phase
22
Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
Analyse des Signaux
En composant un numéro de téléphone
24
1209 1336 1477697
770
852
941
signal en temps
domaine fréquentiel
Analyse des Signaux
Propriétés de la série de Fourier
Section 2.2
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
26
symétrie hermitienne
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
27
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
28
Analyse des Signaux
Série de Fourier réelle
29
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
30
Analyse des Signaux
En composant un numéro de téléphone
31
1209 1336 1477697
770
852
941
signal en temps
domaine fréquentiel
Analyse des Signaux
Propriétés de la série de Fourier
Section 2.2
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
33
symétrie hermitienne
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
34
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
35
Analyse des Signaux
Série de Fourier réelle
36
Analyse des Signaux
Série de Fourier réelle
37
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −0
0.5
1-1
0 1-1
39
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −
40
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 2/2
41
Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 1/7
42
Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 2/7
43
Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 3/7
44
Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 4/7
45
Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 5/7
46
Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 2/2
47
Analyse des Signaux
Exemples
Analyse des Signaux
2004, Minitest 1, Problème 2
49
Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
53
Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
F(n)
n
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
54
Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
55
Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
56
Analyse des Signaux
Autres propriétés
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −0
0.5
1-1
0 1-1
58
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −
59
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire
Partie paire
Partie impaire
( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −
60
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −
Partie paire
Partie impaire
0
1
1-1 t
fp(t)
0
0.5
1-1t
f t f t f tev p p( ) ( ) ( )= + -1 2
0
0.5
1-1 t
f t f t f tod p p( ) ( ) ( )= - -1 2
partie paire partie impaire
61
Analyse des Signaux
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
Arg
F n F n
F n F n
( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −
62
Analyse des Signaux
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
Arg
F n F n
F n F n
( ) ( )( ) ( )
Re
Imev
od
f t F n
f t j F n
⇔
⇔
( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +
( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −
63
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −
Partie paire
Partie impaire
0
1
1-1 t
fp(t)
0
0.5
1-1t
f t f t f tev p p( ) ( ) ( )= + -1 2
0
0.5
1-1 t
f t f t f tod p p( ) ( ) ( )= - -1 2
partie paire partie impaire
73
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − Partie paire
74
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − − Partie impaire
75
Analyse des Signaux
76
Analyse des Signaux
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
Arg
F n F n
F n F n
( ) ( )( ) ( )
Re
Imev
od
f t F n
f t j F n
⇔
⇔
( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +
( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −
77
Analyse des Signaux
78
Analyse des Signaux
79
Analyse des Signaux
80
Analyse des Signaux
81
Analyse des Signaux
82
Analyse des Signaux
83
Analyse des Signaux
84
Analyse des Signaux
85
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval et le spectre de puissance
Sections 2.3 et 2.4
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval et puissance
87
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
88
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
89
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
90
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
91
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
92
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
93
Analyse des Signaux
Exemple: spectre de puissance de la porte périodisée
94
Analyse des Signaux
Exemple: spectre de puissance de la porte périodisée
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4 5 -5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
P(n)
n
( ) ( ) 2P n F n=
95
Analyse des Signaux
Exemple: spectre de puissance de la porte périodisée
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4 5 -5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
P(n)
n
( )0
0
2 2
20
1
1
1
1 14 2
T
TP f t dt
T
dt
−
−
=
= =
∫
∫
( ) ( ) 2P n F n=
96
Analyse des Signaux
Spectre de puissance
97
Analyse des Signaux
Spectre de puissance
Pour fp(t) réelle, le spectre de puissance P(n) est pair
Le spectre de puissance est
– simplement le carré du spectre d’amplitude
– une répartition de puissance dans les harmoniques
98
Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
Analyse des Signaux
Instrument musical
En jouent une seule note (fréquence), plusieurs harmoniques sont génères Spectrogramme
– Un spectre pour un intervalle de temps– Le couleur gris indique importance de le coefficient de Fourier– Plusieurs spectres affichées – un pour chaque intervalle du temps
Différents instruments ⇒ différents coefficients
100
Analyse des Signaux
Instrument musical Spectrogram
101durés des notes
harmoniques
Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
Installation de l’app filtre_GUI
Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
La musique et le voix
Analyse des Signaux
Aspects Mathématiques
Section 2.5
Analyse des Signaux
( ) ( ) ω∞
−∞
Φ =∑ 0jn tt F n e
105
( )Φ = ( ) ????t f t
Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
106
Analyse des Signaux
Convergence de la fonction porte : Reconstruction
107
Analyse des Signaux
Reconstruction : Qu’est-ce qui se passe ?
108
Analyse des Signaux
Fonction et distribution porte
109
Analyse des Signaux
Conditions de convergence et théorèmes
110
Analyse des Signaux
Conditions de convergence et théorèmes
111
Analyse des Signaux
Théorème de Fourier
112
Analyse des Signaux
Vitesse de convergence 1/3
113
Analyse des Signaux
Vitesse de convergence 2/3
114
Analyse des Signaux
Vitesse de convergence 3/3
115
Analyse des Signaux
Continuité des dérivés
Domaine fréquentiel Domaine temporel Vitesse
fp(t) pas continue 1/n
fp (t) continue
fp’ (t) pas continue1/n2
fp (t), fp’ (t) continue
fp"(t) pas continue1/n3
( ) ( )< < et K KA n B nn n
( ) ( )< <2 2 et K KA n B nn n
( ) ( )< <3 3
et K KA n B nn n
116
Analyse des Signaux
Mini-Tests
2012
2011
117
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
118
f(t) comme somme des exponentielles complexes ?
f(t) comme somme des fonctions trigonométriques ?
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
119
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
120
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
121
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
122
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
123
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
124
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
125
Analyse des Signaux
Mini-test 2015
126
Analyse des Signaux
Mini-test 2015
127
Analyse des Signaux
Mini-test 2015
128
Analyse des Signaux
Mini-test 2015
129
Analyse des Signaux
Mini-test 2015
130
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-0.2
0
0.2
n
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
n
A(n)
B(n)
réel
imag
inai
re
1/n
Analyse des Signaux
Mini-test 2015
131
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2
-1
0
1
2
n
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
n
A(n)
B(n)
réel
imag
inai
re
1/n2
Analyse des Signaux
Mini-test 2015
132
π/2−π/2 3π/2
−3π/2
1
-1
fp(t)
( )
( ) ( )
π ππ π
π
− < <= − > >
= +
sin 2 20 2 , 2
2
p
p p
t tf t
t t
f t f t