La série de Fourier (sF) -...

Analyse des Signaux

La série de Fourier (sF)

Chapitre 2

Analyse des Signaux

Équation de synthèse

2

Analyse des Signaux

Équation d’analyse

3

Analyse des Signaux

Preuve

4

Supposons que l’équation de synthèse est valide.

Quelles sont les coefficients F(n)?

Analyse des Signaux

Preuve

5

Analyse des Signaux

Preuve

6

Analyse des Signaux

Preuve

7

Analyse des Signaux

Preuve

8

Analyse des Signaux

Circulaire ? ! ?

9

Analyse des Signaux

Particularités 1/2

10

Analyse des Signaux

Exemple (sF d’une exponentielle, sF d’une cosinus)

11

Analyse des Signaux

Exemple (sF d’une sinus)

12

Analyse des Signaux

Particularités 2/2

13

Analyse des Signaux

Série de Fourier d’une onde carrée 1/3

14

Analyse des Signaux


15

Analyse des Signaux

Fonction sinc

16

Analyse des Signaux


17

Analyse des Signaux

Synthése d’une onde carrée

18

Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques

https://www.youtube.com/watch?v=5CccPDQKjko

Analyse des Signaux


19



Analyse des Signaux


20



Analyse des Signaux


21



Analyse des Signaux

Spectre d’amplitude et de phase

22

Analyse des Signaux

Exemple - MATLAB

Analyse des Signaux

En composant un numéro de téléphone

24

1209 1336 1477697

770

852

941

signal en temps

domaine fréquentiel

Analyse des Signaux

Propriétés de la série de Fourier

Section 2.2

Analyse des Signaux

Propriétés de la Série de Fourier 1/2

26

symétrie hermitienne

Analyse des Signaux


27

Analyse des Signaux


28

Analyse des Signaux

Série de Fourier réelle

29

Analyse des Signaux


30

Analyse des Signaux

En composant un numéro de téléphone

31

1209 1336 1477697

770

852

941

signal en temps

domaine fréquentiel

Analyse des Signaux

Propriétés de la série de Fourier

Section 2.2

Analyse des Signaux


33

symétrie hermitienne

Analyse des Signaux


34

Analyse des Signaux


35

Analyse des Signaux


36

Analyse des Signaux


37

Analyse des Signaux

Fonctions paires et impaires

Fonction paire

Fonction impaire

( ) ( )p pf t f t− =

( ) ( )p pf t f t− = −0

0.5

1-1

0 1-1

39

Analyse des Signaux


Fonction paire

Fonction impaire

paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire

( ) ( )p pf t f t− =

( ) ( )p pf t f t− = −

40

Analyse des Signaux


41

Analyse des Signaux

Exemples d’utilisation des propriétés 1/7

42

Analyse des Signaux


43

Analyse des Signaux


44

Analyse des Signaux


45

Analyse des Signaux


46

Analyse des Signaux


47

Analyse des Signaux

Exemples

Analyse des Signaux

2004, Minitest 1, Problème 2

49

Analyse des Signaux

Exemple

fp(t)

t

0 2 11 1 10 1 2

tt

t

− ≤ < − − ≤ < ≤ <

( )( )

(0) 1 2(2 ) 0 0

1(2 1)

2 1

k

FF k pour k

F kk π

= = ≠ − + = +

53

Analyse des Signaux

Exemple

fp(t)

t

0 2 11 1 10 1 2

tt

t

− ≤ < − − ≤ < ≤ <

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F(n)

n

( )( )

(0) 1 2(2 ) 0 0

1(2 1)

2 1

k

FF k pour k

F kk π

= = ≠ − + = +

54

Analyse des Signaux

Exemple

fp(t)

t

0 2 11 1 10 1 2

tt

t

− ≤ < − − ≤ < ≤ <

( )( )

(0) 1 2(2 ) 0 0

1(2 1)

2 1

k

FF k pour k

F kk π

= = ≠ − + = +

55

Analyse des Signaux

Exemple

fp(t)

t

0 2 11 1 10 1 2

tt

t

− ≤ < − − ≤ < ≤ <

( )( )

(0) 1 2(2 ) 0 0

1(2 1)

2 1

k

FF k pour k

F kk π

= = ≠ − + = +

56

Analyse des Signaux

Autres propriétés

Analyse des Signaux


Fonction paire

Fonction impaire

( ) ( )p pf t f t− =

( ) ( )p pf t f t− = −0

0.5

1-1

0 1-1

58

Analyse des Signaux


Fonction paire

Fonction impaire


( ) ( )p pf t f t− =

( ) ( )p pf t f t− = −

59

Analyse des Signaux


Fonction paire

Fonction impaire


Partie paire

Partie impaire

( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +

1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −

60

Analyse des Signaux



Partie paire

Partie impaire

0

1

1-1 t

fp(t)

0

0.5

1-1t

f t f t f tev p p( ) ( ) ( )= + -1 2

0

0.5

1-1 t

f t f t f tod p p( ) ( ) ( )= - -1 2

partie paire partie impaire

61

Analyse des Signaux

( ) ( )( ) ( )

Paire ImpaireRe Im

Arg

F n F n

F n F n

( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −

62

Analyse des Signaux

( ) ( )( ) ( )

Paire ImpaireRe Im

Arg

F n F n

F n F n

( ) ( )( ) ( )

Re

Imev

od

f t F n

f t j F n

⇔

⇔

( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +

( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −

63

Analyse des Signaux



Partie paire

Partie impaire

0

1

1-1 t

fp(t)

0

0.5

1-1t

f t f t f tev p p( ) ( ) ( )= + -1 2

0

0.5

1-1 t

f t f t f tod p p( ) ( ) ( )= - -1 2

partie paire partie impaire

73

Analyse des Signaux


1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − Partie paire

74

Analyse des Signaux


1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − − Partie impaire

75

Analyse des Signaux

76

Analyse des Signaux

( ) ( )( ) ( )

Paire ImpaireRe Im

Arg

F n F n

F n F n

( ) ( )( ) ( )

Re

Imev

od

f t F n

f t j F n

⇔

⇔

( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +

( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −

77

Analyse des Signaux

78

Analyse des Signaux

79

Analyse des Signaux

80

Analyse des Signaux

81

Analyse des Signaux

82

Analyse des Signaux

83

Analyse des Signaux

84

Analyse des Signaux

85

Analyse des Signaux

Théorème de Parseval et le spectre de puissance

Sections 2.3 et 2.4

Analyse des Signaux

Théorème de Parseval et puissance

87

Analyse des Signaux

Théorème de Parseval : Preuve

88

Analyse des Signaux


89

Analyse des Signaux


90

Analyse des Signaux


91

Analyse des Signaux


92

Analyse des Signaux


93

Analyse des Signaux

Exemple: spectre de puissance de la porte périodisée

94

Analyse des Signaux


-4 -3 -2 -1

0

1 2 3 4 5 -5 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

P(n)

n

( ) ( ) 2P n F n=

95

Analyse des Signaux


-4 -3 -2 -1

0

1 2 3 4 5 -5 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

P(n)

n

( )0

0

2 2

20

1

1

1

1 14 2

T

TP f t dt

T

dt

−

−

=

= =

∫

∫

( ) ( ) 2P n F n=

96

Analyse des Signaux

Spectre de puissance

97

Analyse des Signaux

Spectre de puissance

Pour fp(t) réelle, le spectre de puissance P(n) est pair

Le spectre de puissance est

– simplement le carré du spectre d’amplitude

– une répartition de puissance dans les harmoniques

98

Analyse des Signaux

Exemple - MATLAB

Analyse des Signaux

Instrument musical

En jouent une seule note (fréquence), plusieurs harmoniques sont génères Spectrogramme

– Un spectre pour un intervalle de temps– Le couleur gris indique importance de le coefficient de Fourier– Plusieurs spectres affichées – un pour chaque intervalle du temps

Différents instruments ⇒ différents coefficients

100

Analyse des Signaux

Instrument musical Spectrogram

101durés des notes

harmoniques

Analyse des Signaux

Exemple - MATLAB

Installation de l’app filtre_GUI

Analyse des Signaux

Exemple - MATLAB

La musique et le voix

Analyse des Signaux

Aspects Mathématiques

Section 2.5

Analyse des Signaux

( ) ( ) ω∞

−∞

Φ =∑ 0jn tt F n e

105

( )Φ = ( ) ????t f t

Analyse des Signaux

Exemple

fp(t)

t

0 2 11 1 10 1 2

tt

t

− ≤ < − − ≤ < ≤ <

( )( )

(0) 1 2(2 ) 0 0

1(2 1)

2 1

k

FF k pour k

F kk π

= = ≠ − + = +

106

Analyse des Signaux

Convergence de la fonction porte : Reconstruction

107

Analyse des Signaux

Reconstruction : Qu’est-ce qui se passe ?

108

Analyse des Signaux

Fonction et distribution porte

109

Analyse des Signaux

Conditions de convergence et théorèmes

110

Analyse des Signaux

Conditions de convergence et théorèmes

111

Analyse des Signaux

Théorème de Fourier

112

Analyse des Signaux

Vitesse de convergence 1/3

113

Analyse des Signaux


114

Analyse des Signaux


115

Analyse des Signaux

Continuité des dérivés

Domaine fréquentiel Domaine temporel Vitesse

fp(t) pas continue 1/n

fp (t) continue

fp’ (t) pas continue1/n2

fp (t), fp’ (t) continue

fp"(t) pas continue1/n3

( ) ( )< < et K KA n B nn n

( ) ( )< <2 2 et K KA n B nn n

( ) ( )< <3 3

et K KA n B nn n

116

Analyse des Signaux

Mini-Tests

2012

2011

117

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

118

f(t) comme somme des exponentielles complexes ?

f(t) comme somme des fonctions trigonométriques ?

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

119

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

120

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

121

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

122

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

123

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

124

Analyse des Signaux

Mini-test1 2014

125

Analyse des Signaux

Mini-test 2015

126

Analyse des Signaux

Mini-test 2015

127

Analyse des Signaux

Mini-test 2015

128

Analyse des Signaux

Mini-test 2015

129

Analyse des Signaux

Mini-test 2015

130

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-0.2

0

0.2

n

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

n

A(n)

B(n)

réel

imag

inai

re

1/n

Analyse des Signaux

Mini-test 2015

131

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1

0

1

2

n

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

n

A(n)

B(n)

réel

imag

inai

re

1/n2

Analyse des Signaux

Mini-test 2015

132

π/2−π/2 3π/2

−3π/2

1

-1

fp(t)

( )

( ) ( )

π ππ π

π

− < <= − > >

= +

sin 2 20 2 , 2

2

p

p p

t tf t

t t

f t f t

La série de Fourier (sF) -...

Documents

Transcript of La série de Fourier (sF) -...