Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay Corrigé du Devoir n°1 du 5 février 2005

Ce corrigé se compose de deux parties. La première comporte uniquement les représentations graphiques, et la seconde partie, en fin de document, comporte l'ensemble des développements.

1. Séries et transformées de Fourier

1-1- Série de Fourier Décomposition en série de Fourier des 6 signaux périodiques ci-dessous, et le tracé du module du spectre d'amplitude.

Redressement doubles alternances Redressement simple alternance

2

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

y(t)=A cos(2πft) y(t)=abs(A cos(2πft)) y(t)=A cos(2πft) si cos(2πft) ≥ 0 y(t)=0 si cos(2πft) < 0

exemples tracés pour A = 1 et f = 1

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

6,37

0,85

0,20

3,18

2,12

10

0,09 0,05 0,03

5

0,10 0,060,180,42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9n° harmonique (fréquence)

10

sinussinus double alternancesinus simple alternance

Spectre de l'amplitude|Cn| exemples tracés pour A = 10

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Triangle Triangle redressé doubles alternances Triangle redressé simple alternance

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

8,11

0,900,45

0,230,32 0,100,170,45 0,16

4,05

5

0,16 0,080,05

2,5

4,05

2,03

0,080

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9n° harmonique (fréquence)

10

triangle

triangle double alternance

triangle simple alternance

|Cn|Spectre de l'amplitude

exemples tracés pour A = 10

Décomposition en série de Fourier dans le cas général d'un signal rectangulaire périodique y(t) ci-dessous,

y(t)

t

A

0 d T 2T -T T+d Figure 1 : signal rectangulaire

et les représentations graphiques des spectres du module de l'amplitude et de la phase pour les 3 rapports cycliques (d/T) différents (1/8, ¼ et ½) représentés ci-dessous.

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Rectangle : rapport cyclique = 1/8 Rectangle : rapport cyclique = 1/4 Rectangle : rapport cyclique = 1/2

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Spectre de l'amplitude d'un signal rectangle periodique6,37

0,91

3,18

1,25

1,96

1,59

0,71

5

2,12

1,27

0,58 0,490,420,50,30

2,5

4,5

1,5

0,90

1,06

0,640,64

0,41 0,35

0,45

1,18

2,442,25

0,75

0,35 0,270,45

0,53 0,53 0,45

0,320,160

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1n° harmonique (fréquence)

6

1/2

1/4

1/8

|Cn|

Le module du spectre de l'amplitude de chaque harmonique est supporté par le module d'un sinus cardinal.

( )πfπfsin2AY T

d

(f) =

dans cet exemple, A=10

Spectre de la phase d'un signal rectangle periodique67,5°

22,5°

-22,5°

-45°

-67,5°

45°

22,5°

-22,5°

-45°

-67,5°

-45°

-90°

45°

-90°

-45°

-90°

45°

67,5°

45°

-90°

-45°

45°

-45°

45°

-100°

-80°

-60°

-40°

-20°

0°

20°

40°

60°

80°

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

n° harmonique (fréquence)

1/8

1/4

1/2

φn

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1-2- Transformée de Fourier

1-2-1. Démonstration :

1-2-2. Filtre idéal :

1-2-3. Fonction gaussienne :

1-2-4. Sinusoïde tronquée : On considère comme signal x(t), une sinusoïde tronquée de période T, et de durée totale de fonctionnement Ta. Pour simplifier les calculs, Ta est un multiple entier de périodes Ta Tk ⋅= avec k ∈Ν*. La représentation temporelle est donnée par la figure ci-dessous.

Ta/2-Ta/2

-1

-0,5

0

0,5

1

-5 -3 -1 1 3 5

Figure 2 : exemple de sinusoïde tronquée (A = 1, F = ¼ et k=2)

On note A l'amplitude et T

F 1= la fréquence du signal sinusoïdal.

La transformée de Fourier de x(t) est X(f), ici notée Y(f) :

Le module est donné par , et la phase est donnée par le signe de Y(f).

-0,3

0

0,3

0,6

0,9

-3 -2 -1 0 1 2 3

X(f)

∆ ∆

Figure 3 : exemple du spectre d'amplitude d'une sinusoïde tronquée (F=1,5 et k = 11)

La largeur de la raie (∆) entre les passages à 0 est définie par : aT

Fk

22=⋅=∆

Il faut avoir 200 périodes pour avoir une largeur de raie égale à F⋅=100

1∆

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-0,3

0

0,3

0,6

0,9

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|X(f)|

-180

-90

0

90

180

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

φ(X(f))

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figure 4 : exemple du module et de la phase pour une cosinus tronquée à 5 périodes

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2. Produit de convolution

Rappel : θθθ dhehes tttt ∫∞

∞−−⋅=∗= )()()()()(

)()()()()( ttttt ehhes ∗=∗=

( ) )()(2)()(1)()(2)(1 ttttttt hehehee ∗+∗=∗+

( ) ( ))(2)(1)()(2)(1)( tttttt hhehhe ∗∗=∗∗ Soit s(t) le produit de convolution des deux signaux e(t) et h(t) définis ci-dessous,

e(t) = 0 pour t < 0 e(t) = E pour t ∈ [0..T] e(t) = 0 pour t > T

h(t) = 0 pour t < 0 h(t) = -t/τ+1 pour t ∈ [0..τ] h(t) = 0 pour t > τ

E

T0

1

2

-2 0 2 4 6 8

e(t)

τ0

1

2

-2 0 2 4 6 8

h(t)

s(t)

3,2

1,8

3

4,2

0,2

0,8

1,8

0

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0<t<T T<t<d d<t<T+d T+d<t

T = 3 d = τ = 5 T+ d = T+ τ = 8

sur ce graphique, d = τ

2t5ts

2

(t) +−

=

539t

56s(t) +

−=

56416tts

2

(t)+−

=

Figure 5 : représentation du produit de convolution )()()( ttt hes ∗=