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Sébastien Renaux-PetelCNRS-IAP
L’ANALYSE DE FOURIER EN PHYSIQUE
(ou voyage au pays de Fourier)
Fleurance - 9 août 2015
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Plan du voyage
1) Introduction générale
2) Séries de Fourier
3) Diffusion de la chaleur
4) Transformée de Fourier et diffraction
5) Traitement d’images
6) Physique quantique
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INTRODUCTION GENERALE
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« Il y avait à l'académie des sciences un Fourier célèbre que la postérité a oublié et dans je ne sais quel grenier un Fourier obscur dont l'avenir se souviendra. »
chapitre “En l'année 1817” du troisième livre des Misérables, Victor Hugo
Fourier vu en 1862
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• Second Fourier : socialiste utopiste Charles Fourier, connu pour avoir imaginé les phalanstères
Fourier vu en 1862
• Premier Fourier : mathématicien et physicien Joseph Fourier, connu principalement pour l’analyse dite de Fourier.
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• Objectivement, Hugo s’est trompé sur la première partie de la phrase.
• Charles Fourier n’est pas oublié, mais l’héritage de Joseph Fourier est colossal.
• Les concepts qu’il a introduits sont utilisés au quotidien par nombre d’ingénieurs et chercheurs, et ont révolutionné notre quotidien.
Fourier vu en 1862
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• Victor Hugo ni ignorant ni méprisant de l'importance des sciences, et des contributions de Fourier en particulier.
• En fait, l’impact de ses travaux a éclaté seulement beaucoup plus tard, notamment avec le développement de l’informatique.
Fourier vu en 1862
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• Analyse de Fourier : décomposer un signal (son, image, mesure physique quelconque, etc) en fréquences.
• Applications dans tous les domaines scientifiques : mathématiques pures, informatique, physique, biologie, médecine ...
• Quelques exemples : électricité, compression d’images, IRM, diffraction, mécanique quantique, cosmologie.
• Concept tellement fondamental qu'on pourrait le comparer à l'invention de l'écriture décimale.
Idée de base
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• Célèbre passage d'une lettre de Jacobi à Legendre, 1881 :
• « Il est vrai que M. Fourier avait l'opinion que le but principal des mathématiques était l'utilité publique et l'explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question du système du monde. »
• Indiscutablement utilité publique et explication de nombreux phénomènes naturels, mais également résolution de « questions de nombres ».
Postérité
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SERIES DE FOURIER
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Grandeurs sinusoïdales
T0 =2⇡
!0U0 + U1 cos(!0t)
U1 cos(!0t)
Exemple classique : tension sinusoïdale
période
fréquence
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Notion de spectre
U0 + U1 cos(!0t)
U1 cos(!0t)
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Un exemple plus complexe
u(t) = U0 + U1 cos(!0t) + U3 cos(3!0t)
Représentation temporelle
Représentation fréquentielle
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f1(t) = F0 cos(!0t) f3(t) = F0
✓cos(!0t) +
1
9
cos(3!0t)
◆
Synthèse de la fonction triangle
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f1(t) = F0 cos(!0t) f3(t) = F0
✓cos(!0t) +
1
9
cos(3!0t)
◆
Synthèse de la fonction triangle
terme de pulsation omega0 :
fondamental
Composantes sinusoïdales de pulsation multiple de
omega0 : harmoniques
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f1(t) = F0 cos(!0t) f3(t) = F0
✓cos(!0t) +
1
9
cos(3!0t)
◆
Synthèse de la fonction triangle
f2n+1(t) = F0
k=nX
k=0
1
(2k + 1)
2cos((2k + 1)!0t)
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Synthèse de la fonction triangle
• 10 termes : très bonne synthèse ! Indistinguable à l’oeil nu de la fonction triangle.
• En effet, les amplitudes des harmoniques décroissent en 1/n2
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Généralisation ?
• Pour toute fonction périodique :
?• Somme infinie, ou encore « série », en l’occurence série de Fourier.
• Question mathématique de convergence de la série pas évidente. Dépend de la régularité de f.
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• On a :
hcos(n!0t)i = 0hsin(n!0t)i = 0
hf(t)i = 1
T0
Z t0+T0
t0
f(t)dt =a02
et
• Donc, si f égale sa série de Fourier :
Et en pratique, comment choisir les coefficients ?
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Et en pratique, comment choisir les coefficients ?
• De plus :
hcos(n!0t) cos(m!0t)i =8<
:
= 0 si n 6= m
=
12 sinon
1 2 3 4 5 6
-0.5
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
cos(x) cos(3x)
cos
2(2x)
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Et en pratique, comment choisir les coefficients ?
• De plus :
hcos(n!0t) cos(m!0t)i =8<
:
= 0 si n 6= m
=
12 sinon
an =
2
T0
Z t0+T0
t0
f(t) cos(n!0t)dt
bn =2
T0
Z t0+T0
t0
f(t) sin(n!0t)dt
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Historique
• Précurseurs : d’Alembert, Euler, Bernoulli, Lagrange (cordes vibrantes)
• Fourier (1800-1830) : pas rigoureux. Aucune hypothèse.
• 1829, Dirichlet : premier énoncé correct pour des fonctions suffisamment régulières : la série de Fourier converge bien vers sa fonction !
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Application : deux jolies formules
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10
f(x) = x
2 �⇡ x ⇡pour
2⇡Fonction f périodique
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Application : deux jolies formules
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10
f(x) = x
2 �⇡ x ⇡pour
2⇡Fonction f périodique Décomposition de Fourier :
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Application : deux jolies formules
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10
f(x) = x
2 �⇡ x ⇡pour
2⇡Fonction f périodique
x
2=
⇡
2
3
+
1X
n=1
4(�1)
n
n
2cos(nx)
Décomposition de Fourier :
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Application : deux jolies formules
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10
f(x) = x
2 �⇡ x ⇡pour
2⇡Fonction f périodique
x
2=
⇡
2
3
+
1X
n=1
4(�1)
n
n
2cos(nx)
Décomposition de Fourier :
⇡2
6=
1X
n=1
1
n2x = ⇡
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Application : deux jolies formules
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10
f(x) = x
2 �⇡ x ⇡pour
2⇡Fonction f périodique
x
2=
⇡
2
3
+
1X
n=1
4(�1)
n
n
2cos(nx)
Décomposition de Fourier :
⇡2
6=
1X
n=1
1
n2x = ⇡
⇡2
12=
1X
n=1
(�1)n+1
n2x = 0
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Bizarrerie mathématique
•1848, phénomène de Gibbs
•1873, du Bois-Reymond : premier exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point.
• 1926, Kolmogorov : exemple de fonction intégrable dont la série de Fourier diverge partout.
• Dans la suite, on considère des fonctions suffisament régulières, et en bon physicien, on ne justifiera aucun aspect mathématique.
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Phénomène de Gibbs
fn(t) = F0
1
2
+
k=nX
k=1
sin(k ⇡2 )
k ⇡2
cos(k!0t)
!
• Sommes partielles de la série de Fourier de la fonction créneau :
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Phénomène de Gibbs
• Sommes partielles de la série de Fourier de la fonction créneau :
• Effet de bord au voisinage des discontinuités
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Bizarrerie mathématique
•1848, phénomène de Gibbs
•1873, du Bois-Reymond : premier exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point.
• 1926, Kolmogorov : exemple de fonction intégrable dont la série de Fourier diverge partout.
• Dans la suite, on considère des fonctions suffisament régulières, et en bon physicien, on ne justifiera aucun aspect mathématique.
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•1848, phénomène de Gibbs
•1873, du Bois-Reymond : premier exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point.
• 1926, Kolmogorov : exemple de fonction intégrable dont la série de Fourier diverge partout.
• Dans la suite, on considère des fonctions suffisament régulières, et en bon physicien, on ne justifiera aucun aspect mathématique.
Bizarrerie mathématique
Dans la suite, on considère des fonctions suffisament régulières, et en bon physicien, on ne justifiera presque aucun aspect mathématique.
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Notation complexe• Ecriture réelle :
f(t) =a02
+
1X
n=1
[an cos(!nt) + bn sin(!nt)]
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Notation complexe• Ecriture réelle :
• Ecriture complexe équivalente :
�e
ix
= cosx+ i sinx
�
avec
cn =
an � ibn2
pour n � 0 c�n = c⇤n =
an + ibn2
pour n 0et
f(t) =a02
+
1X
n=1
[an cos(!nt) + bn sin(!nt)]
f(t) =X
n2Zcne
i!nt
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Notation complexe• Ecriture réelle :
• Ecriture complexe équivalente :
�e
ix
= cosx+ i sinx
�
avec
cn =
an � ibn2
pour n � 0 c�n = c⇤n =
an + ibn2
pour n 0et
f(t) =a02
+
1X
n=1
[an cos(!nt) + bn sin(!nt)]
f(t) =X
n2Zcne
i!nt
cn =1
T
Z
periode
f(t)e�i!nt dt
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DIFFUSION DE LA
CHALEUR
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Premier « exemple »
Joseph Fourier (1768-1830)
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Premier « exemple »
• 1807 : Fourier écrit l’équation de la chaleur
• 1808 : mémoire accepté par l’Académie des Sciences, malgré les nombreuses controverses et oppositions, par Laplace, Poisson, Lagrange etc.
• 1822 : publication du « Traité analytique de la chaleur », version remaniée et augmentée du mémoire de Fourier. Lecture toujours intéressante actuellement.
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Premier « exemple »
• 1807 : Fourier écrit l’équation de la chaleur
• 1808 : mémoire accepté par l’Académie des Sciences, malgré les nombreuses controverses et oppositions, par Laplace, Poisson, Lagrange etc.
• 1822 : publication du « Traité analytique de la chaleur », version remaniée et augmentée du mémoire de Fourier. Lecture toujours intéressante actuellement.
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Le problème
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Le problème
Evolution de la température d’une tige de fer, soumise à une température constante à ses deux extrémités.
T1 T2
x = 0 x = L
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Le problème
Evolution de la température d’une tige de fer, soumise à une température constante à ses deux extrémités.
T1 T2
x = 0 x = L
T (x, t) ?
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Le problème
T1 T2
x = 0 x = L
@T (x, t)
@t
= D
@
2T (x, t)
@x
2Equation de la chaleur
« coefficient de diffusivité thermique » (dépend du matériau)
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Le problème
T1 T2
x = 0 x = L
@T (x, t)
@t
= D
@
2T (x, t)
@x
2
T (0, t) = T1 T (L, t) = T2
Equation de la chaleur
Conditions aux limites et
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Le problème
T1 T2
x = 0 x = L
@T (x, t)
@t
= D
@
2T (x, t)
@x
2
T (0, t) = T1 T (L, t) = T2
Equation de la chaleur
Conditions aux limites et
Condition initiale T (x, 0) = T0(x)
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T1
T2
x = 0 x = L
T (x,1)
La solution à temps long
• Solution intuitive
• Vérifie l’équation de la chaleur, et les conditions aux limites
Tf (x)
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Résolution
u = T � Tf• La différence vérifie :
@u(x, t)
@t
= D
@
2u(x, t)
@x
2
u(0, t) = 0 u(L, t) = 0
Equation de la chaleur
Conditions aux limites
Condition initiale
et
u(x, 0) = T0(x)� Tf (x) ⌘ f(x)
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Résolution
u = T � Tf• La différence vérifie :
@u(x, t)
@t
= D
@
2u(x, t)
@x
2
u(0, t) = 0 u(L, t) = 0
Equation de la chaleur
Conditions aux limites
Condition initiale
et
u(x, 0) = T0(x)� Tf (x) ⌘ f(x)
• A chaque instant, u peut être décomposée en série de Fourier !
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Résolution
u(x, t) =1X
n=1
un(t) sin(2⇡nx/L)• Série de Fourier
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Résolution
u(x, t) =1X
n=1
un(t) sin(2⇡nx/L)
1X
n=1
u
0n(t) sin(2⇡nx/L) = �
1X
n=1
un(t)D(2⇡n/L)2 sin(2⇡nx/L)
• Série de Fourier
injectée dans l’équation de la chaleur
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Résolution
u(x, t) =1X
n=1
un(t) sin(2⇡nx/L)
1X
n=1
u
0n(t) sin(2⇡nx/L) = �
1X
n=1
un(t)D(2⇡n/L)2 sin(2⇡nx/L)
u0n(t) = �D(2⇡n/L)2un(t)
• Série de Fourier
injectée dans l’équation de la chaleur
Identification :
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Résolution
u(x, t) =1X
n=1
un(t) sin(2⇡nx/L)
1X
n=1
u
0n(t) sin(2⇡nx/L) = �
1X
n=1
un(t)D(2⇡n/L)2 sin(2⇡nx/L)
u0n(t) = �D(2⇡n/L)2un(t)
un(t) = un(0) e�D(2⇡n/L)2t
• Série de Fourier
injectée dans l’équation de la chaleur
Identification :
Résolution :
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Résolution
u(x, t) =1X
n=1
un(t) sin(2⇡nx/L)
1X
n=1
u
0n(t) sin(2⇡nx/L) = �
1X
n=1
un(t)D(2⇡n/L)2 sin(2⇡nx/L)
u0n(t) = �D(2⇡n/L)2un(t)
un(t) = un(0) e�D(2⇡n/L)2t
• Série de Fourier
injectée dans l’équation de la chaleur
Identification :
Résolution :
Rien d’autre que les coefficients de Fourier de la condition initiale !
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Phénomène complexe en espace réel : superposition de phénomènes simples en espace de Fourier
Morale
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Phénomène complexe en espace réel : superposition de phénomènes simples en espace de Fourier
Morale
• Ecart initial à l’état d’équilibre : u(x, 0) = T (x, 0)� Tf (x)
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Phénomène complexe en espace réel : superposition de phénomènes simples en espace de Fourier
Morale
• Ecart initial à l’état d’équilibre : u(x, 0) = T (x, 0)� Tf (x)
Passage en Fourier
• Simple décroissance exponentielle de l’amplitude de chaque harmonique : un(t) / e�#n2t
![Page 57: LÕANALYSE DE FOURIER EN PHYSIQUE (ou voyage au pays de ... · • Charles Fourier n’est pas oublié, mais l’héritage de Joseph Fourier est colossal. • Les concepts qu’il](https://reader034.fdocuments.fr/reader034/viewer/2022050511/5f9bbba9cdfc6e77464ea8f8/html5/thumbnails/57.jpg)
Phénomène complexe en espace réel : superposition de phénomènes simples en espace de Fourier
• Les composantes de haute fréquence sont effacées plus rapidement. Le genre d’intuition que permet le passage en Fourier.
Morale
• Ecart initial à l’état d’équilibre : u(x, 0) = T (x, 0)� Tf (x)
Passage en Fourier
• Simple décroissance exponentielle de l’amplitude de chaque harmonique : un(t) / e�#n2t
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TRANSFORMEE DE FOURIER ET DIFFRACTION
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Du discret au continu
Intuition géniale de Fourier : décomposition similaire pour des fonctions quelconques, non périodiques !
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Du discret au continu
f(t) =X
n2Zcne
i!nt
Intuition géniale de Fourier : décomposition similaire pour des fonctions quelconques, non périodiques !
cn =1
T
Z
periode
f(t)e�i!nt dt
Série de Fourier
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Du discret au continu
f(t) =X
n2Zcne
i!nt f(t) =1p2⇡
Z
Rf(!)ei!t d!
Intuition géniale de Fourier : décomposition similaire pour des fonctions quelconques, non périodiques !
cn =1
T
Z
periode
f(t)e�i!nt dt
Série de Fourier
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Du discret au continu
f(t) =X
n2Zcne
i!nt f(t) =1p2⇡
Z
Rf(!)ei!t d!
Intuition géniale de Fourier : décomposition similaire pour des fonctions quelconques, non périodiques !
cn =1
T
Z
periode
f(t)e�i!nt dt
Somme continue sur les fréquences : intégrale
Série de Fourier
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Du discret au continu
f(t) =X
n2Zcne
i!nt f(t) =1p2⇡
Z
Rf(!)ei!t d!
Intuition géniale de Fourier : décomposition similaire pour des fonctions quelconques, non périodiques !
cn =1
T
Z
periode
f(t)e�i!nt dt
Somme continue sur les fréquences : intégrale
Série de Fourier
conventions ...
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Du discret au continu
f(t) =X
n2Zcne
i!nt f(t) =1p2⇡
Z
Rf(!)ei!t d!
Intuition géniale de Fourier : décomposition similaire pour des fonctions quelconques, non périodiques !
cn =1
T
Z
periode
f(t)e�i!nt dt
Somme continue sur les fréquences : intégrale
Série de Fourier
f(!) =1p2⇡
Z
Rf(t)e�i!t dt
conventions ...
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Du discret au continu
f(t) =X
n2Zcne
i!nt f(t) =1p2⇡
Z
Rf(!)ei!t d!
Intuition géniale de Fourier : décomposition similaire pour des fonctions quelconques, non périodiques !
cn =1
T
Z
periode
f(t)e�i!nt dt
Somme continue sur les fréquences : intégrale
Série de Fourier Transformée de Fourier
f(!) =1p2⇡
Z
Rf(t)e�i!t dt
conventions ...
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Transformée de Fourier
f(t) =1p2⇡
Z
Rf(!)ei!t d! f(!) =
1p2⇡
Z
Rf(t)e�i!t dt
• Temps (signal électrique, acoustique ...)
• Espace (équations de la chaleur, équations d’onde ...)
Temps t et fréquence ! = 2⇡/T
Position x et fréquence spatiale k = 2⇡/�
f(x) =1p2⇡
Z
Rf(k)eikx dk f(k) =
1p2⇡
Z
Rf(x)e�ikx dx
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Deux propriétés utiles de la TF
• Egalité de l’énergie dans le domaine réel et dans le domaine fréquentiel (égalité de Parseval)
Z
R|f(x)|2dx =
Z
R|f(k)|2dk
TF [f 0](k) = ik ⇥ TF [f ](k)
• Dériver en Fourier, c’est multiplier !
TF[f 0](k) =1p2⇡
Z
Rf
0(x)e�ikx dx = � 1p2⇡
Z
Rf(x)(�ik)e�ikx dx
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Réalisation naturelle de la TF :diffraction à l’infini
kd
T (r) =
8<
:
1
0
si l’objet est transparent
si l’objet est opaque
• Coefficient de transmission
• Source et écran d’observation à l’infini
• Amplitude diffractée dans la direction ?
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Réalisation naturelle de la TF :diffraction à l’infini
• Principe de Huygens-Fresnel : somme des ondes partielles, avec déphasage
Amplitude diffractée : TF à deux dimensions de
T (r) = T (x, y) !
A(kd) = Ai
Zd2r T (r) e�ir·(kd�ki)
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Diffraction et TF : exemples
a
• Fente de largeur a TF de la fonction créneau
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Diffraction et TF : exemples
a
• Fente de largeur a TF de la fonction créneau
f(k) =1p2⇡
Za
0e
�ikx dx =ae
�ika/2
p2⇡
sinc (ka/2) sinc (x) =sin(x)
x
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Diffraction et TF : exemples
a
• Fente de largeur a TF de la fonction créneau
f(k) =1p2⇡
Za
0e
�ikx dx =ae
�ika/2
p2⇡
sinc (ka/2) sinc (x) =sin(x)
x
• Intensité = |A(kx
)|2 / sinc2(kx
a/2)
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Diffraction et TF : exemples
-5 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0sinc2 (u)
u = kx
a/2
a
Image diffractée
• Fente de largeur a TF de la fonction créneau
f(k) =1p2⇡
Za
0e
�ikx dx =ae
�ika/2
p2⇡
sinc (ka/2) sinc (x) =sin(x)
x
• Intensité = |A(kx
)|2 / sinc2(kx
a/2)
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Diffraction et TF : exemples
-5 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0sinc2 (u)
u = kx
a/2
�kx
=2⇡
aa
Image diffractée
• Fente de largeur a TF de la fonction créneau
f(k) =1p2⇡
Za
0e
�ikx dx =ae
�ika/2
p2⇡
sinc (ka/2) sinc (x) =sin(x)
x
• Intensité = |A(kx
)|2 / sinc2(kx
a/2)
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Diffraction et TF : exemples
• Diffraction par une fente rectangulaire
A(kx
, ky
)|2 / sinc2(kx
a/2) sinc2(ky
b/2)
a
Image diffractéeb
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Diffraction et TF : exemples
• Diffraction par une fente rectangulaire
A(kx
, ky
)|2 / sinc2(kx
a/2) sinc2(ky
b/2)
a
Image diffractéeb
Ex : source de lumière observée à travers un rideau
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Diffraction et TF : exemples
• Diffraction par une fente circulaire
Image diffractée
|A(kr)|2 /����J1(kra/2)
kra/2
����2
a
fonction de BesselJ1(x)
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Diffraction et TF : exemples
• Diffraction par une fente circulaire
Image diffractée
|A(kr)|2 /����J1(kra/2)
kra/2
����2
a
fonction de BesselJ1(x)
�k ' 1/a
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Diffraction et TF : exemples
Cliché de diffraction d'un cristal de lysozyme
Symétrie d’ordre 5 observée par diffraction
électronique dans un cristal
Diffraction valable également pour des ondes de matière (physique quantique)
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TRAITEMENT D’IMAGES
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Convolution
(f ? g)(t) =
Z
Rf(⌧)g(t� ⌧)d⌧
• Convolution de deux fonctions :
• De manière très générique, on a souvent en physique :
signal de sortie signal d’entréeinstrument= ?
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Effet de la convolution :
• Convolution de deux fonctions : effet de moyennage et lissage.
-10 -5 5 10 15
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-10 -5 5 10 15
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-10 -5 5 10 15
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
?
=
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Fourier et convolution
TF [f ? g] = TF [f ]⇥ TF [g]
• La TF d’une convolution est le simple produit des TF :
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Fourier et convolution
TF [f ? g] = TF [f ]⇥ TF [g]
• La TF d’une convolution est le simple produit des TF :
signal de sortie signal d’entréeinstrument= ?
entree = TF
�1
TF[sortie]
TF[instrument]
�
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« Défloutage » d’une photo
• En cas de mauvaise mise au point, convolution avec la forme du diaphragme de l’objectif :
?
=
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image nette = TF
�1
TF[image floue]
TF[diaphragme]
�
« Défloutage » d’une photo• La connaissance de la forme du diaphragme permet de déconvoluer :
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Filtrage d’image
Credit : Aude Oliv, MIT
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Principe de la compression JPEG
Image TF[image] Elimination des modes de Fourier de basse intensité TF inverse
Image filtrée
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PHYSIQUE QUANTIQUE
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Equation de Schrödinger
• En physique quantique, l’état d’une particule ponctuelle est décrit par une fonction d’onde (r, t)
• Probabilité de mesurer la particule à la position dans un volume élémentaire
rd3r
d3P = | (r, t)|d3r
densité de probabilité
i~@ @t
= � ~22m
�
• Equation d’évolution de la fonction d’onde (particule libre)
✓� =
@
2
@x
2+
@
2
@y
2+
@
2
@z
2
◆
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Résolution de l’équation de Schrödinger✓� =
@
2
@x
2+
@
2
@y
2+
@
2
@z
2
◆
i~@ (k, t)@t
=~2k2
2m (k, t)
• On utilise la transformation de Fourier : TF [ (r, t)] = (k, t)
!k =~k2
2m
(r, t) =
Zd3k
(2⇡)3/2 (k, 0)ei(k·r�!kt)
• Simple intégration : avec
• Solution générale : superposition d’ondes planes
i~@ @t
= � ~22m
�
(k, t) = (k, 0)e�i!kt
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Densité de probabilité d’impulsion • Solution générale pour une particule libre : paquet d’ondes
(r, t) =
Zd3k
(2⇡)3/2 (k, 0)ei(k·r�!kt)
Contribution de l’onde plane dans le paquet d’ondesei(k·r�!kt)
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Densité de probabilité d’impulsion • Solution générale pour une particule libre : paquet d’ondes
(r, t) =
Zd3k
(2⇡)3/2 (k, 0)ei(k·r�!kt)
Contribution de l’onde plane dans le paquet d’ondesei(k·r�!kt)
• Plus généralement, la densité de probabilité pour l’« impulsion » est donnée par | (k, t)|2
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Densité de probabilité d’impulsion • Solution générale pour une particule libre : paquet d’ondes
(r, t) =
Zd3k
(2⇡)3/2 (k, 0)ei(k·r�!kt)
Contribution de l’onde plane dans le paquet d’ondesei(k·r�!kt)
• Bien cohérent mathématiquement car (égalité de Parseval)Z
R3
| (r, t)|2d3r =
Z
R3
| (k, t)|2d3k = 1 (probabilité totale)
• Plus généralement, la densité de probabilité pour l’« impulsion » est donnée par | (k, t)|2
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Largeur d’une fonction et de sa TF • Fonction f quelconque et sa transformée de Fourier fZ
|f(x)|2dx =
Z|f(k)|2dk = 1 (convention)
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Largeur d’une fonction et de sa TF • Fonction f quelconque et sa transformée de Fourier fZ
|f(x)|2dx =
Z|f(k)|2dk = 1 (convention)
|f(k)|2|f(x)|2 et peuvent être considérées comme des•
densités de probabilité pour les variables aléatoires x et k
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Largeur d’une fonction et de sa TF • Fonction f quelconque et sa transformée de Fourier fZ
|f(x)|2dx =
Z|f(k)|2dk = 1 (convention)
hxi =Z
x|f(x)|2dx hki =Z
k|f(k)|2dk
�k2 =
Z(k � hki)2 |f(k)|2dk�x
2 =
Z(x� hxi)2 |f(x)|2dx
|f(k)|2|f(x)|2 et peuvent être considérées comme des•
densités de probabilité pour les variables aléatoires x et k
Valeurs moyennes : • et
Dispersions : •
et
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Largeur d’une fonction et de sa TF • Fonction f quelconque et sa transformée de Fourier fZ
|f(x)|2dx =
Z|f(k)|2dk = 1 (convention)
hxi =Z
x|f(x)|2dx hki =Z
k|f(k)|2dk
�k2 =
Z(k � hki)2 |f(k)|2dk�x
2 =
Z(x� hxi)2 |f(x)|2dx
|f(k)|2|f(x)|2 et peuvent être considérées comme des•
densités de probabilité pour les variables aléatoires x et k
Valeurs moyennes : • et
Dispersions : •
et
�x�k � 1
2On va montrer que Propriété
intrinsèque à la TF !
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Démonstration • Quitte à considérer
X = x� hxi K = k � hkieton peut considérer que les variables aléatoires sont centrées (de moyenne nulle).
• On va montrer que le polynôme du second degré de la variable réelle �
vérifie
P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx � 0
donc le discriminant doit être négatif ou nul :
1� 4�x
2 �k
2 0 �x�k � 1
2
P (�) = �x
2 � �+�k
2�
2
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P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx
Démonstration
On développe
P (�) =
Z
Rdx
�x
2|f(x)|2 + �x(f(x)f 0⇤(x) + c.c.) + �
2|f 0(x)|2�
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P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx
Démonstration
On développe
P (�) =
Z
Rdx
�x
2|f(x)|2 + �x(f(x)f 0⇤(x) + c.c.) + �
2|f 0(x)|2�
P (�) = �x
2 � �
Z
Rdx|f(x)|2 + �
2
Z
Rdx|f 0(x)|2
définition
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P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx
Démonstration
On développe
P (�) =
Z
Rdx
�x
2|f(x)|2 + �x(f(x)f 0⇤(x) + c.c.) + �
2|f 0(x)|2�
P (�) = �x
2 � �
Z
Rdx|f(x)|2 + �
2
Z
Rdx|f 0(x)|2
intégration par partiesdéfinition
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P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx
Démonstration
On développe
P (�) =
Z
Rdx
�x
2|f(x)|2 + �x(f(x)f 0⇤(x) + c.c.) + �
2|f 0(x)|2�
P (�) = �x
2 � �
Z
Rdx|f(x)|2 + �
2
Z
Rdx|f 0(x)|2
intégration par partiesdéfinition
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P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx
Z
Rdx |f 0(x)|2 =
Z
Rdk |f 0(k)|2 =
Z
Rdk k2|f(k)|2 = �k
2
Démonstration
On développe
P (�) =
Z
Rdx
�x
2|f(x)|2 + �x(f(x)f 0⇤(x) + c.c.) + �
2|f 0(x)|2�
P (�) = �x
2 � �
Z
Rdx|f(x)|2 + �
2
Z
Rdx|f 0(x)|2
intégration par parties
égalité de Parseval
définition
avec
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P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx
Z
Rdx |f 0(x)|2 =
Z
Rdk |f 0(k)|2 =
Z
Rdk k2|f(k)|2 = �k
2
Démonstration
On développe
P (�) =
Z
Rdx
�x
2|f(x)|2 + �x(f(x)f 0⇤(x) + c.c.) + �
2|f 0(x)|2�
P (�) = �x
2 � �
Z
Rdx|f(x)|2 + �
2
Z
Rdx|f 0(x)|2
intégration par parties
égalité de Parseval dérivée et TF
définition
avec
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P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx
Z
Rdx |f 0(x)|2 =
Z
Rdk |f 0(k)|2 =
Z
Rdk k2|f(k)|2 = �k
2
Démonstration
On développe
P (�) =
Z
Rdx
�x
2|f(x)|2 + �x(f(x)f 0⇤(x) + c.c.) + �
2|f 0(x)|2�
P (�) = �x
2 � �
Z
Rdx|f(x)|2 + �
2
Z
Rdx|f 0(x)|2
définitionintégration par parties
égalité de Parseval dérivée et TF définition
avec
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Démonstration • Quite à considérer
X = x� hxi K = k � hkieton peut considérer que les variables aléatoires sont centrées (de moyenne nulle).
• On va montrer que le polynôme du second degré de la variable réelle �
vérifie
P (�) ⌘Z
R|xf(x) + �f
0(x)|2dx � 0
donc le discriminant doit être négatif ou nul :
1� 4�x
2 �k
2 0 �x�k � 1
2
P (�) = �x
2 � �+�k
2�
2
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« Application »
• Relation d’incertitude de Heisenberg
�x�k � 1
2p = ~kavec
impulsion
�x�p � ~2
Importance fondamentale pour la physique quantique !
• Diffraction : plus une fente est étroite, plus l’image diffractée est large (déjà observée sur des exemples).
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Conclusion
• Inhérent au phénomène de diffraction et à la physique quantique.
• Utilisé au quotidien dans le traitement du signal, cad dans tous nos appareils numériques !
• Résolution des équations différentielles de la physique : chaleur, ondes, mécanique quantique,
cosmologie, biologie ...
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Conclusion
• Analyse de Fourier : décomposer un signal (son, image, mesure physique quelconque, etc) en fréquences.
• Phénomène complexe en espace réel : superposition de phénomènes simples en espace de Fourier.
• J’espère vous avoir montré comment, souvent, les scientifiques pensent en (espace de) Fourier.
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• Henri Poincaré : « la Théorie de la Chaleur de Fourier est un des premiers exemples d'application de l'analyse à la physique [...]. Les résultats qu'il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus encore est la méthode qu'il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique. »
Conclusion
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